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专题 18 系的扩充与复数的引入
1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=（ ）
A．4√5 B．4√2 C．2√5 D．2√2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|iz+3z|=√4+4=2√2．
故选：D.
z
2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则 =（ ）
zz−1
1 √3 1 √3
A．−1+√3i B．−1−√3i C．− + i D．− − i
3 3 3 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
z=−1−√3i,zz=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.
z −1+√3i 1 √3
= =− + i
zz−1 3 3 3
故选 ：C
3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】
因为a,b∈R，(a+b)+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.
4．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则
（ ）
A．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2
【答案】A
【解析】
【分析】
先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
z=1+2i
z+az+b=1−2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a−2)i
由z+az+b=0,得¿,即¿
故选:A
5．【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+z=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法可求z，从而可求z+z.
【详解】
1 i
由题设有1−z= = =−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，
i i2
故选：D
6．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i).
【详解】
(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，
故选：D.7．【2021年甲卷文科】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
8．【2021年乙卷文科】设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得： .
故选：C.
9．【2021年乙卷理科】设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数 .
【详解】
设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
10．【2021年新高考1卷】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为 ，故 ，故
故选：C.
11．【2021年新高考1卷】复数 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，故选：A.
12．【2020年新课标1卷理科】若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
【详解】
由题意可得： ，则 .
故 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
13．【2020年新课标1卷文科】若 ，则 （ ）
A．0 B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 将 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．14．【2020年新课标2卷文科】（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
15．【2020年新课标3卷理科】复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】
因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：D.
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
16．【2020年新课标3卷文科】若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
17．【2020年新高考1卷（山东卷）】 （ ）
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．【2020年新高考2卷（海南卷）】 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接计算出答案即可.
【详解】故选：B
【点睛】
本题考查的是复数的计算，较简单.
19．【2019年新课标1卷理科】设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和
点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则 ．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几
何法，利用方程思想解题．
20．【2019年新课标1卷文科】设 ，则 =
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算（分母实数化），求得 ，再求 ．
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，故选C．【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求
解．
21．【2019年新课标2卷理科】设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出共轭复数再判断结果.
【详解】
由 得 则 对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
【点睛】
本题考点为共轭复数，为基础题目．
22．【2019年新课标2卷文科】设z=i(2+i)，则 =
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据共轭复数的概念，写出 ．
【详解】
，
所以 ，选D．
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．23．【2019年新课标3卷理科】若 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据复数运算法则求解即可.
【详解】
．故选D．
【点睛】
本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
24．【2018年新课标1卷理科】设 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，然后
求解复数的模.
详解：
，
则 ，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚
部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分
母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，
造成不必要的失分.
25．【2018年新课标2卷理科】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解： 选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
26．【2018年新课标2卷文科】
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：根据公式 ，可直接计算得
详解： ，故选D.
点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考
中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的
乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略 中的负号导致出错.
27．【2018年新课标3卷理科】
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算展开即可．
【详解】解：
故选D.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
28．【2020年新课标2卷理科】设复数 ， 满足 ， ，则
=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：令 ， ，根据复数的相等可求得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数 所对应的点为 , , 根据复数的几何意义及复数的
模，判定平行四边形 为菱形， ，进而根据复数的减法的几何
意义用几何方法计算 .
【详解】
方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，.
故答案为： .
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,
由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，
∴ .
【点睛】
方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能
力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
