文档内容
第4讲 数系的扩充与复数的引入
最新考纲 考向预测
1.通过方程的解，认识复 主要考查复数的基本概念(复数的
数. 实部、虚部、共轭复数、复数的模
2.理解复数的代数表示及 命题趋势 等)，复数相等的充要条件，复数的
其几何意义，理解两个复 代数形式的四则运算，重点考查复
数相等的含义. 数的除法运算.
3.掌握复数代数表示的四
则运算，了解复数加、减运 核心素养 数学抽象、数学运算
算的几何意义.
1．复数
(1)定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部a，虚部b；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：
复数
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
(5)模：|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z ＝a＋bi，z ＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z ＋z ＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d ) i ；
1 2
②减法：z －z ＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d ) i ；
1 2
③乘法：z ·z ＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i ；
1 2④除法：＝＝＝ ＋ i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z ，z ，z ∈C，有z ＋z ＝z ＋ z ，(z
1 2 3 1 2 2 1 1
＋z )＋z ＝z ＋ ( z ＋ z )．
2 3 1 2 3
常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
(4)|z|2＝||2＝z·.
常见误区
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来，例如，
若z ，z ∈C，z＋z＝0，就不能推出z ＝z ＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
1 2 1 2
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.( )
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内
两个数也能比较大小．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．(2020·新高考卷Ⅰ)＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选D.方法一：＝＝＝－i，选D.
方法二：利用i2＝－1进行替换，则＝＝＝＝－i，选D.
3．(多选)已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法正确的是(
)
A．复数z的虚部为－5
B．复数z的共轭复数＝1－5iC．|z|＝
D．z在复平面内对应的点位于第三象限
解析：选ACD.z＝(a－i)(3＋2i)＝3a＋2＋(2a－3)i，则3a＋2＝－1，解得a＝－
1，所以其虚部为2a－3＝2×(－1)－3＝－5，故A正确；z＝－1－5i，其共轭复数＝
－1＋5i，故B错误；|z|＝＝，故C正确；z在复平面内对应的点为(－1，－5)，位于第
三象限，故D正确．
4．如图，在复平面内，复数 z ，z 对应的向量分别是OA，OB，则z ·z ＝
1 2 1 2
________．
解析：z ＝－2＋i，z ＝1＋2i，
1 2
z ·z ＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i.
1 2
答案：－4－3i
5．(易错题)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于______．
解析：因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋
2m≠0，解得m＝2.
答案：2
复数的有关概念
[题组练透]
1．已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选A.由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得
所以a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i，故选A.
2．(2020·贵阳市四校联考)已知复数z＝(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的
值是( )
A．－2 B．－1C．1 D．2
解析：选C.因为复数z＝＝＝＋i为纯虚数，所以＝0，且≠0，解得a＝1，故选
C.
3．(2020·安徽省考试试题)z是z＝的共轭复数，则z的虚部为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.z＝＝＝＝－＋i，则z＝－－i，所以z的虚部为－，故选C.
4．(多选)(2020·山东日照期末)若复数z满足(1－i)z＝3＋i(其中i是虚数单位)，
则( )
A．复数z的实部是2 B．复数z的虚部是2i
C．z＝1－2i D．|z|＝
解析：选CD.由题意，得z＝＝＝＝1＋2i，所以复数z的实部是1，虚部是2，z＝
1－2i，|z|＝＝，所以A，B错误，C，D正确．故选CD.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足
的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即
可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
复数的几何意义
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，
y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C.通解：因为z在复平面内对应的点为(x，y)，
所以z＝x＋yi(x，y∈R)．
因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，
所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.
优解一：因为|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离
为1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.
优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1，1)不在选项A，D的圆上，所以排除A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数z＝2i
满足|z－i|＝1，但点(0，2)不在选项B的圆上，所以排除B.故选C.
2．(2020·河北九校第二次联考)已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则z在复平面
内对应的点在( )
A．第一象限 B．第三象限
C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上
解析：选C.z＝＝＝＝－1－i，所以z＝－1＋i，则z在复平面内对应的点为(－
1，)，所以z在复平面内对应的点在第二象限，排除A，B.又(－1，)满足方程y＝－x，
所以z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，故选C.
3．(2021·成都市诊断性检测)若复数z 与z ＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内
1 2
对应的点关于实轴对称，则z ＝( )
1
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
解析：选B.z ＝－3－i在复平面内对应的点为(－3，－1)，点(－3，－1)关于实
2
轴对称的点为(－3，1)，所以z ＝－3＋i.
1
4．(多选)设复数z满足z(1－i)＝2(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是(
)
A．|z|＝
B．复数z的虚部是i
C．z＝－1＋i
D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限
解析：选AD.因为z(1－i)＝2，所以z＝＝＝1＋i，所以|z|＝＝，所以A正确；z＝
1＋i的虚部为1，所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为z＝1－i，所以C错误；z＝1＋i
在复平面内所对应的点为(1，1)，在第一象限，所以D正确．故选AD.
5．已知复数z ＝－1＋2i，z ＝1－i，z ＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别
1 2 3
为A，B，C，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1，2)，
OB＝(1，－1)，
根据OC＝λOA＋μOB得
(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以解得所以λ＋μ＝1.
答案：1复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，
b)⇔OZ.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解
析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
复数代数形式的运算
1．(2021·湖北八校第一次联考)复数z满足(1＋i)z＝|1－i|，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C.－i D．＋i
解析：选C.方法一：因为(1＋i)z＝|1－i|，所以z＝＝＝＝－i，故选C.
方法二：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，因为(1＋i)z＝|1－i|，所以a－b＋(a＋b)i
＝，所以解得所以z＝－i，故选C.
2．(2020·开封市模拟考试)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C.因为z＝1＋2i，所以＝＝＝i，故选C.
3．若＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选B.依题意，得＝
＝＝－－i，
所以m＝－，n＝－，所以m－n＝.故选B.
4．(2020·山东济南期中)设a为非零实数，复数z ＝a＋i，z ＝－2i，则|z ·z |的最
1 2 1 2
小值为( )
A. B．3
C．2 D．9
解析：选B.因为z ＝a＋i，z ＝－2i，所以z ·z ＝(a＋i)＝3＋i，所以|z ·z |＝≥3，
1 2 1 2 1 2
当且仅当－2a＝0，即a2＝时等号成立．所以|z ·z |的最小值为3.故选B.
1 2
5．(多选)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)设z ，z ，z 为复数，z ≠0.
1 2 3 1
下列命题中正确的是( )A．若|z |＝|z |，则z ＝±z
2 3 2 3
B．若z z ＝z z ，则z ＝z
1 2 1 3 2 3
C．若z ＝z ，则|z z |＝|z z |
2 3 1 2 1 3
D．若z z ＝|z |2，则z ＝z
1 2 1 1 2
答案：BC
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的
看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
[A级 基础练]
1．(2020·武汉市学习质量检测)已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则
实数a＝( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选D.z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(2＋a)i，因为z∈R，所以2＋a＝0，即
a＝－2，故选D.
2．(2020·昆明市三诊一模)如图，已知复数z在复平面内对应的向量为OZ，O为
坐标原点，则|z|为( )
A．1 B．
C. D．2
解析：选B.因为向量OZ＝(1，1)，所以复数z对应的点为(1，1)，所以|z|＝＝，故
选B.
3．(2020·广东省七校联考)已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为(
)
A.＋i B．－i
C.＋i D．－i解析：选B.由题意知z＝＝＝＋i，所以z＝－i，故选B.
4．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )
A．－7 B．7
C．－4 D．4
解析：选A.因为＝1＋＋＝－3－4i，
所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
所以a＋b＝－7，故选A.
5．已知i为虚数单位，则＝( )
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
解析：选A.方法一：＝＝5，故选A.
方法二：＝＝＝5，故选A.
6．(2020·江西五校联考)复数z满足(z－2)·i＝z(i为虚数单位)，z为复数z的共
轭复数，则下列说法正确的是( )
A．z2＝2i B．z·z＝2
C．|z|＝2 D．z＋z＝0
解析：选B.由题意，得zi－2i＝z，z(i－1)＝2i，z＝＝＝＝1－i，则z2＝－2i，z·z＝
(1－i)·(1＋i)＝2，|z|＝，z＋z＝1－i＋1＋i＝2，故选B.
7．(2020·武昌区高三调研)已知复数z满足＝i，则z在复平面内对应的点位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.通解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝i，所以＝i，所以a＋bi＝(1－b)
＋ai，所以，解得a＝b＝，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.
优解：因为＝i，所以z＝＝＝＋i，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象
限，故选A.
8．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为( )
A．20 B．12
C．2 D．2
解析：选C.设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则解得或即|z|＝＝＝2.故选C.
9．(多选)已知复数z＝－1＋i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数
w
＝，
则下列结论正确的是( )
A． 在复平面内对应的点位于第二象限
w
B．| |＝1
w
C． 的实部为－
w
D． 的虚部为i
w
解析：选ABC. ＝＝＝＝＝－＋i， 在复平面内对应的点的坐标为，位于第
w w
二象限，| |＝＝1， 的实部为－，虚部为.故选ABC.
w w
10．(多选)已知复数z＝，则( )
A．z2 021是纯虚数
B．|z＋i|＝2
C．z的共轭复数为－i
D．复数z＋z·i在复平面内对应的点在第二象限
解析：选ABC.由题意知，z＝＝＝i，所以z2 021＝i2 021＝i，A正确；|z＋i|＝|2i|＝
2，B正确；z的共轭复数为－i，C正确；z＋z·i＝－i＋i·i＝－1－i，该复数在复平面
内对应点(－1，－1)，在第三象限，D错误．故选ABC.
11．(多选)已知复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的模等于13
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的共轭复数为－2－3i
D．若z(m＋4i)是纯虚数，则m＝－6
解析：选BD.因为z＝＝2－3i，所以|z|＝，因此A项错误；复数z在复平面内对
应的点为(2，－3)，位于第四象限，B项正确；z的共轭复数z＝2＋3i，C项错误；因
为z(m＋4i)＝(2－3i)(m＋4i)＝(2m＋12)＋(8－3m)i为纯虚数，所以2m＋12＝0，8
－3m≠0，得m＝－6，故D项正确．故选BD.
12．(多选)已知不相等的复数z ，z ，则下列说法正确的是( )
1 2
A．若z ＋z 是实数，则z 与z不一定相等
1 2 1
B．若|z |＝|z |，则z＝z
1 2C．若z ＝z ，则z ，z 在复平面内对应的点关于实轴对称
1 2 1 2
D．若z＋z>0，则z>z
解析：选AC.当z ＝2，z ＝3时，z ＋z ＝5∈R，但z ＝3，z ≠z ，故A正确；当z
1 2 1 2 2 1 2 1
＝1＋i，z ＝1－i时，|z |＝，|z |＝，|z |＝|z |，但z＝2i，z＝－2i，z≠z，故B错误；设z
2 1 2 1 2 2
＝a＋bi(a∈R，b≠0)，则z ＝z ＝a－bi，z 在复平面内对应的点的坐标为(a，－b)，
1 2 1
z 在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，－b)与点(a，b)关于实轴对称，故C正
2
确；设z＝2＋2i，z＝1－2i，z＋z>0，但由于z，z不能比较大小，故D错误．
13．设复数z满足z＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________．
解析：复数z满足z＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.
答案：－i
14．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，
则m＝________．
解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代
入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
答案：－5
15．已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i 所对应的点在第
________象限，复数z对应点的轨迹是________．
解析：令z＝x＋yi(x，y∈R)，
x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
y＝－(a2－2a＋2)＝－[(a－1)2＋1]≤－1，消去a2－2a得y＝－x＋2(x≥3)，故
复数z所对应的点在第四象限，z对应点的轨迹为一条射线，其方程为y＝－x＋
2(x≥3)．
答案：四 一条射线
16．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应
的复数分别是z ，z ，则|z －z |＝________．
1 2 1 2
解析：由图象可知z ＝i，z ＝2－i，
1 2
故|z －z |＝|－2＋2i|＝＝2.
1 2
答案：2[B级 综合练]
17．(多选)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，z2＋|z|＝0且|z|≠0，则( )
A．|z|＝1 B．z＝1－i
C．z＝±i D．zz＝1
解析：选ACD.由z2＋|z|＝0且|z|≠0，得|z|＝－z2，|z|＝|z2|，故|z|＝1，即x2＋y2＝1.
所以x2－y2＋2xyi＋＝0，故当x＝0时，y2＝1，则y＝±1，所以z＝±i；当y＝0时，无
解．
18．(2020·高考全国卷Ⅱ)设复数z ，z 满足|z |＝|z |＝2，z ＋z ＝＋i，则|z －z |＝
1 2 1 2 1 2 1 2
________．
解析：方法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则由|z |＝|z |＝
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2
2，得x＋y＝x＋y＝4.因为z ＋z ＝x ＋x ＋(y ＋y )i＝＋i，所以|z ＋z |2＝(x ＋x )2＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(y ＋y )2＝x＋y＋x＋y＋2x x ＋2y y ＝8＋2x x ＋2y y ＝()2＋12＝4，所以2x x ＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2y y ＝－4，所以|z －z |＝|x －x ＋(y －y )i|＝＝
1 2 1 2 1 2 1 2
＝＝2.
方法二：设z ＝a＋bi(a，b∈R)，则z ＝－a＋(1－b)i，则即所以|z －z |2＝(2a－)2
1 2 1 2
＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z －z |＝2.
1 2
方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.因
为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z －z |＝
1 2
2.
方法四：设z ＋z ＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z ＋z |＝|z|
1 2 1 2
＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条
对角线的长为|z －z |＝2××2＝2.
1 2
答案：2
19．复数z ＝＋(10－a2)i，z ＝＋(2a－5)i，若z ＋z 是实数，求实数a的值．
1 2 1 2
解：z ＋z ＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
1 2
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为z ＋z 是实数，所以a2＋2a－15＝0，
1 2
解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.
20．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i为虚数单位．
(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解：(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即m∈(－∞，－2)．
[C级 创新练]
21．在复数列{a }中，已知a ＝－i，a ＝a＋i(n≥2，n∈N*)，则＝________．
n 1 n
解析：因为a ＝－i，所以
1
a ＝a＋i＝(－i)2＋i＝i－1；
2
a ＝(i－1)2＋i＝－i；
3
a ＝(－i)2＋i＝i－1；
4
a ＝(i－1)2＋i＝－i；
5
…
a ＝－i；
2 019
a ＝i－1.
2 020
则＝＝＝－＋.
答案：－＋
22．在数学中，记表达式ad－bc是由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z
1
＝1＋i，z ＝，z ＝z ，则当＝－i时，z 的虚部为________．
2 3 2 4
解析：根据题意有＝z z －z z ，
1 4 2 3
因为z ＝z ，z ＝，
3 2 2
所以z z ＝z z ＝，
2 3 2 2
因此有(1＋i)z －＝－i，
4
即(1＋i)z ＝3－i，
4
整理得z ＝＝＝1－2i.
4所以z 的虚部是－2.
4
答案：－2
