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专题 27 复数的概念与运算
【考纲要求】
一、复数的概念
【思维导图】
【考点总结】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 +1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
① =-1，即i是方程 +1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程 +1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a
与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚
数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数 ，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi 有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b) 平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi 复平面内的
点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数
z=a+bi 平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模向量 的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，
它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r= (r 0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用 表示，即若z=a+bi，则 =a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a
本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在
复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
① =z.
②实数的共轭复数是它本身，即z= z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.二、复数的四则运算
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设 =a+bi， =c+di(a,b,c,d R)是任意两个复数，那么 + =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意 , , ∈C，有
①交换律： + = + ；
②结合律：( + )+ = +( + ).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设 =a+bi， =c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ， ，则 =(a,b)， =(c,d).
以 ， 对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得 =
+ =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应
的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义两个复数 =a+bi， =c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 ， ，那么这两个复数的
差
- 对应的向量是 - ，即向量 .
如果作 = ，那么点Z对应的复数就是 - (如图所示).
这说明两个向量 与 的差 就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设 =a+bi， =c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意 , , ∈C，有
①交换律： = ；
②结合律：( ) = ( )；
③分配律： ( + )= + .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z， , 和正整数m,n，有 =
，
= ， = .
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 (a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)= = = = + i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
【题型汇编】
题型一：复数的概念
题型二：复数的四则运算
【题型讲解】
题型一：复数的概念
一、单选题
1．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若 （ 为虚数单位）是纯虚数，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2023·全国·高三专题练习）设复数z满足条件 ，那么 的最大值是（ ）
A．3 B．
C． D．4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或0
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）若 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2022·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则
（ ）A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若 ，则
8．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标
平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如 ，也即复数 的模的几何意义为
对应的点 到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．复数 与 分别对应向量 与 ，则向量 对应的复数为9+i
C．若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限
D．若复数 满足 ，则复数 对应的点所构成的图形面积为
9．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ， ，其中 R，问m为何值时 ．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ， .
(1)求 ；
(2)复数 ， 对应的向量分别是 ， ，其中 为坐标原点，当 时，求 的值.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的方程 有实数根.
(1)求实数a的值；
(2)设 ，求 的值.
13．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限， ，且 ，
求z；
（2）已知复数 为纯虚数，求实数m的值.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ．
(1)若 ，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求 的值．
题型二：复数的四则运算
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 （
）
A．0 B． C．1 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）A．若 ， ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 为纯虚数，则
D．若复数 满足 ，则复数 的虚部为
4．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知 ， ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足 ，其中 是虚数单位，则 （ ）.
A． B． C． D．
7．（2023·湖北·高三阶段练习）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南·高三阶段练习）若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则 等于（ ）
A．2 B． C．4 D．8
10．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）设 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·广东·盐田高中高三阶段练习）若复数 （i为虚数单位，a， 且 ）为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·福建漳州·三模）若复数z满足 ，则z=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足方程 ，则（ ）
A． 可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根
C． 可能为 D．该方程的各根之和为2
14．（2023·全国·高三专题练习）已知不相等的复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是实数，则 与 不一定相等
B．若 ，则
C．若 ，则 在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若 ，则
15．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，且复数 对应的点在第一象限，则下列结
论正确的是（ ）
A．复数 的虚部为
B．
C．
D．复数 的共轭复数为三、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 .
(1)若 对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
(2)当 时，且 （ 表示 的共轭复数），若 ，求z.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，其中 ，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求 的虚部．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （ 是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设 是z的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
19．（2023·全国·高三专题练习）设复数 、 满足 .
(1)若 、 满足 ，求 、 ；
(2)若 ，则是否存在常数 ，使得等式 恒成立？若存在，试求出 的值；若不存在，请说
明理由.
