文档内容
2012 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=
（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1， ） C．﹙ ，3﹚ D．（3，+∞）
【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．
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【专题】5J：集合．
【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．
【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x }，
所以A∩B={x|x }∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．
2．（5分）在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由 = =1+3i，能求出在复平面内，复数 对应的点的坐
标．
【解答】解：∵ =
= =1+3i，
第1页 | 共19页∴在复平面内，复数 对应的点的坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘积运算，是基础题．解题时要认真审题，
注意复数的几何意义的求法．
3．（5分）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D 内随机取一个
点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域；CF：几何概型．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，
故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的
点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．
【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S =4，
1
满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外
部，
面积为 =4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选：D．
第2页 | 共19页【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、
的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】列出循环过程中S 与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选：C．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
5．（5分）函数f（x）=x ﹣（ ）x的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第3页 | 共19页【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故
函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（ ）＞0
由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点
【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）
∵y= 在定义域上为增函数，y=﹣ 在定义域上为增函数
∴函数f（x）= 在定义域上为增函数
而f（0）=﹣1＜0，f（1）= ＞0
故函数f（x）= 的零点个数为1个
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，
函数单调性的判断和意义，属基础题
6．（5分）已知{a }为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
n
A．a +a ≥2a B．a 2+a 2≥2a 2
1 3 2 1 3 2
C．若a =a ，则a =a D．若a ＞a ，则a ＞a
1 3 1 2 3 1 4 2
【考点】87：等比数列的性质．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】a +a = ，当且仅当 a ，q 同为正时，a +a ≥2a 成立；
1 3 2 1 3 2
，所以 ；若a =a ，则a =a q2，
1 3 1 1
从而可知 a =a 或 a =﹣a ；若 a ＞a ，则 a q2＞a ，而 a ﹣a =a q（q2﹣1），
1 2 1 2 3 1 1 1 4 2 1
其正负由q的符号确定，故可得结论．
第4页 | 共19页【解答】解：设等比数列的公比为 q，则 a +a = ，当且仅当 a ，q 同为
1 3 2
正时，a +a ≥2a 成立，故A不正确；
1 3 2
，∴ ，故B正确；
若a =a ，则a =a q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a =a 或a =﹣a ，故C不正确；
1 3 1 1 1 2 1 2
若 a ＞a ，则 a q2＞a ，∴a ﹣a =a q（q2﹣1），其正负由 q 的符号确定，故 D
3 1 1 1 4 2 1
不正确
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面
积即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S = =10，
底
S = ，
后
第5页 | 共19页S = =10，
右
S = =6 ．
左
几何体的表面积为：S=S +S +S +S =30+6 ．
底 后 右 左
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能
力计算能力．
8．（5分）某棵果树前n 年的总产量S 与n之间的关系如图所示．从目前记录的
n
结果看，前m 年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【考点】38：函数的表示方法；3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中图象表示某棵果树前n 年的总产量S 与n之间的关系，可分析
出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．
【解答】解：若果树前n年的总产量S 与n在图中对应P（S，n）点
则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
第6页 | 共19页由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选：C．
【点评】本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确
分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．
二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分．
9．（5分）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为 ．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理
构造直角三角形，即可求得弦长．
【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2
∵圆心到直线y=x的距离为
∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2 =
故答案为：
【点评】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线
y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．
10．（5 分）已知{a }为等差数列，S 为其前 n 项和，若 a = ，S =a ，则 a =
n n 1 2 3 2
1 ，S = ．
n
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的
前n项和．
【解答】解：根据{a }为等差数列，S =a +a =a = +a ；
n 2 1 2 3 2
第7页 | 共19页∴d=a ﹣a =
3 2
∴a = + =1
2
S = =
n
故答案为：1，
【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于
容易题．
11．（5分）在△ABC中，若a=3，b= ， ，则∠C的大小为 ．
【考点】HP：正弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】利用正弦定理 = ，可求得∠B，从而可得∠C的大小．
【解答】解：∵△ABC中，a=3，b= ， ，
∴由正弦定理 = 得： = ，
∴sin∠B= ．又b＜a，
∴∠B＜∠A= ．
∴∠B= ．
∴∠C=π﹣ ﹣ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查正弦定理，求得∠B 是关键，易错点在于忽视“△中大变对大
角，小边对小角”结论的应用，属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）= 2 ．
第8页 | 共19页【考点】4H：对数的运算性质．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg
（ab）．由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，
f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2
=lg（ab）2=2lg（ab）=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 的
值为 1 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．
【解答】解：因为 = = = =1．
故答案为：1
【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．
14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若∀x∈R，f（x）＜
0或g（x）＜0，则m 的取值范围是 （﹣4，0） ．
【考点】2E：复合命题及其真假；2H：全称量词和全称命题．
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第9页 | 共19页【专题】5L：简易逻辑．
【分析】由于 g（x）=2x﹣2≥0 时，x≥1，根据题意有 f（x）=m（x﹣2m）
（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
【解答】解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴此时f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的
左面
则
∴﹣4＜m＜0
故答案为：（﹣4，0）
【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质
的应用是解答本题的关键
三、解答题共 6小题，共 80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H4：正弦函数的定义域和值域；
HM：复合三角函数的单调性．
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【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由 sinx≠0 可得 x≠kπ（k∈Z），将 f（x）化为 f（x）= sin
第10页 | 共19页（2x﹣ ）﹣1即可求其最小正周期；
（2）由（1）得 f（x）= sin（2x﹣ ）﹣1，再由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤
2kπ+ ，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．
【解答】解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），
故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵f（x）=
=2cosx（sinx﹣cosx）
=sin2x﹣cos2x﹣1
= sin（2x﹣ ）﹣1
∴f（x）的最小正周期T= =π．
（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+ ，2kπ+ ]（k∈Z）
∴由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，x≠kπ（k∈Z）
得kπ+ ≤x≤kπ+ ，（k∈Z）
∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注
重辅助角公式的考察应用，求得 f（x= sin（2x﹣ ）﹣1 是关键，属于中
档题．
16．（14 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，
点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE 折起到△A DE 的位置，使A F⊥CD，
1 1
如图2．
（1）求证：DE∥平面A CB；
1
（2）求证：A F⊥BE；
1
（3）线段A B上是否存在点Q，使A C⊥平面DEQ？说明理由．
1 1
第11页 | 共19页【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．
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【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A CB；
1
（2）由题意可证 DE⊥平面 A DC，从而有 DE⊥A F，又 A F⊥CD，可证 A F⊥平
1 1 1 1
面BCDE，问题解决；
（3）取 A C，A B 的中点 P，Q，则 PQ∥BC，平面 DEQ 即为平面 DEP，由 DE⊥
1 1
平面，P是等腰三角形DA C底边A C的中点，可证A C⊥平面DEP，从而A C
1 1 1 1
⊥平面DEQ．
【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC，又DE⊄平面A CB，
1
∴DE∥平面A CB．
1
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥A D，又DE⊥CD，
1
∴DE⊥平面A DC，而A F⊂平面A DC，
1 1 1
∴DE⊥A F，又A F⊥CD，
1 1
∴A F⊥平面BCDE，
1
∴A F⊥BE．
1
（3）线段A B上存在点Q，使A C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A C，
1 1 1
A B的中点P，Q，则PQ∥BC．
1
第12页 | 共19页∵DE∥BC，
∴DE∥PQ．
∴平面DEQ即为平面DEP．
由（Ⅱ）知DE⊥平面A DC，
1
∴DE⊥A C，
1
又∵P是等腰三角形DA C底边A C的中点，
1 1
∴A C⊥DP，
1
∴A C⊥平面DEP，从而A C⊥平面DEQ，
1 1
故线段A B上存在点Q，使A C⊥平面DEQ．
1 1
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查
学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．
17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃
圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，
数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别
为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出
第13页 | 共19页a，b，c 的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据 x ，x ，…，
1 2
x 的平均数）
n
【考点】BC：极差、方差与标准差；CE：模拟方法估计概率．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投
放正确的概率；
（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；
（ 3 ） 计 算 方 差 可 得 =
，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，
故厨余垃圾投放正确的概率为 ；
（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错
误的概率为 ；
（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，
有s2=80000．
【点评】本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．
18．（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求
a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求
k的取值范围．
第14页 | 共19页【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公
共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确
定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值
为 h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2 时，函数 h（x）在区间[k，2]上的最大值小于
28，由此可得结论．
【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k =2a，
1
g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k =3+b，
2
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，
即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．
（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1
则h′（x）=3x2+6x﹣9，
令h'（x）=0，
解得：x =﹣3，x =1；
1 2
∴k≤﹣3 时，函数 h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，
（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28
﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k 的取值范围是（﹣∞，﹣3]
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与
最值，解题的关键是正确求出导函数．
19．（14分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），
第15页 | 共19页离心率为 ，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为 时，求k的值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 ，可建立方程组，
从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线 y=k（x﹣1）与椭圆 C 联立 ，消元可得（1+2k2）
x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，
利用△AMN的面积为 ，可求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 ，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）直线 y=k（x﹣1）与椭圆 C 联立 ，消元可得（1+2k2）
x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
设M（x ，y ），N（x ，y ），则x +x = ，
1 1 2 2 1 2
∴|MN|= =
第16页 | 共19页∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为 ，
∴
∴k=±1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面
积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．
20．（13分）设A是如下形式的2行3列的数表，
a b c
d e f
满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．
记 r（A）为 A 的第 i 行各数之和（i=1，2），C（A）为 A 的第 j 列各数之和
i j
（j=1，2，3）；记 k（A）为|r （A）|，|r （A）|，|c （A）|，|c （A）|，
1 2 1 2
|c （A）|中的最小值．
3
（1）对如下数表A，求k（A）的值
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A形如
1 1 ﹣1﹣2d
d d ﹣1
其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；
（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．
【考点】F5：演绎推理．
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第17页 | 共19页【专题】5M：推理和证明．
【分析】（1）根据 r（A）为 A 的第 i 行各数之和（i=1，2），C（A）为 A 的第 j
i j
列各数之和（j=1，2，3）；记 k（A）为|r （A）|，|r （A）|，|c （A）|，
1 2 1
|c （A）|，|c （A）|中的最小值可求出所求；
2 3
（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d 的取值范围可求出所求；
（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所
得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）
因此，不防设r （A）≥0，c （A）≥0，c （A）≥0，然后利用不等式的性质可
1 1 2
知3k（A）≤r （A）+c （A）+c （A），从而求出k（A）的最大值．
1 1 2
【解答】解：（1）因为r （A）=1.2，r （A）=﹣1.2，c （A）=1.1，c （A）=0.7，
1 2 1 2
c （A）=﹣1.8，
3
所以k（A）=0.7
（2）r （A）=1﹣2d，r （A）=﹣1+2d，c （A）=c （A）=1+d，c （A）=﹣2﹣2d
1 2 1 2 3
因为﹣1≤d≤0，
所以|r （A）|=|r （A）|≥1+d≥0，|c （A）|≥1+d≥0
1 2 3
所以k（A）=1+d≤1
当d=0时，k（A）取得最大值1
（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）
a b c
d e f
任意改变 A 三维行次序或列次序，或把 A 中的每个数换成它的相反数，所得数
表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）
因此，不防设r （A）≥0，c （A）≥0，c （A）≥0，
1 1 2
由k（A）的定义知，k（A）≤r （A），k（A）≤c （A），k（A）≤c （A），
1 1 2
从而 3k（A）≤r （A）+c （A）+c （A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=
1 1 2
（a+b+c+d+e+f）+（a+b﹣f）=a+b﹣f≤3
所以k（A）≤1
第18页 | 共19页由（2）可知，存在满足性质P的数表A 使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．
【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时分析问题的能力以及不等式
性质的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．
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