北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§7.2 平面向量的数量积及向量的综合应用
基础篇
【基础集训】
考点一 平面向量的数量积
1.已知向量⃗AB=(1,2),⃗AC=(-3,1),则⃗AB·⃗BC= ( )
A.6 B.-6 C.-1 D.1
答案 B
2.已知a=(-1,3),b=(m,m-4),c=(2m,3),若a∥b,则b·c= ( )
A.-7 B.-2 C.5 D.8
答案 A
3.已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a+b),则a在b方向上的投影为 ( )
1 1
A.-1 B.1 C.- D.
2 2
答案 C
考点二 平面向量数量积的应用
4.已知向量a=(√3,0),b=(0,-1),c=(k,√3),若(a-2b)⊥c,则k= ( )
3 3
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
答案 B
5.已知单位向量e,e 的夹角为θ,且tan θ=2√2,若向量m=2e-3e,则|m|= ( )
1 2 1 2
A.9 B.10 C.3 D.√10
答案 C
6.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C
|2a-b|
7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则 等于 ( )
a·(a+b)
5 5
A.- B.1 C.2 D.
3 4
答案 B
8.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得
DE=2EF,则⃗AF·⃗BC的值为 ( )
5 1 1 11
A.- B. C. D.
8 8 4 8
答案 B
[教师专用题组]
【基础集训】北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
考点一 平面向量的数量积
1.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b满足2a+b=0,a·b=-2,则(3a+b)·(a-b)= ( )
A.1 B.3 C.4 D.5
答案 B ∵2a+b=0,
∴a与b的夹角为π,且|b|=2|a|,
又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cos π=-2,
∴|a|=1,|b|=2,
故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.
2.(2018河南新乡二模,5)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则m·n= ( )
9 17
A.0 B.4 C.- D.-
2 2
答案 D ∵向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,
1
∴2k-1-4k=0,解得k=- ,
2
∴m=( 1),
-2,-
2
∴m·n=-2×4+( 1)×1=-17.
-
2 2
故选D.
3.(2017曲一线命题专家高考模拟磨尖卷四·沈阳卷,15)若a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-√3b在向
量b方向上的投影为 .
答案 -√3
(a-√3b)·b a·b-√3b2 -√3b2
解析 向量a-√3b在向量b方向上的投影为 = = =-√3.
|b| |b| |b|
(a-√3b)·b
思路分析 利用投影的定义,求 的值.
|b|
考点二 平面向量数量积的应用
1.(2018北京石景山一模,5)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值
为 ( )
3
A.1 B. C.2 D.3
2
答案 D 因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,
所以a·b=|a|·|b|cos 120°=3×2×( 1)=-3,
-
2
因为(a+mb)⊥a,
所以(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m=0,解得m=3,故选D.
3
2.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,a·b= .若m∈R,则|a+mb|的最小值是 ( )
5北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3 4 4 5
A. B. C. D.
4 3 5 4
答案 C 由题意得|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=1+6m+m2=( 3) 2 +16,故当m=-3时,|a+mb|2取得最小值,
m+
5 5 25 5
16 4
为 ,此时|a+mb|取得最小值,为 ,故选C.
25 5
3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|= ( )
A.1 B.√5 C.2 D.2√5
答案 D 由题意可知,|a|=√5,|b|=3√5,a∥b,且a与b方向相反.
由c·(4a+b)=5,可得4a·c+b·c=5,
由c与b的夹角为120°可得c与a的夹角为60°,
3√5
所以b·c=|b||c|cos 120°=- |c|,
2
√5
a·c=|a||c|cos 60°= |c|.
2
所以4×√5|c|+( 3√5 )=5,
- |c|
2 2
解得|c|=2√5,故选D.
4.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若⃗AP=λ⃗AB+⃗AC,且⃗AP⊥⃗BC,则实数λ的
值为( )
22 10 12
A. B. C.6 D.
15 3 7
答案 A 因为⃗AP=λ⃗AB+⃗AC,且⃗AP⊥⃗BC,
所以有⃗AP·⃗BC=(λ⃗AB+⃗AC)·(⃗AC-⃗AB)=λ⃗AB·⃗AC-λ⃗AB2+⃗AC2-⃗AB·⃗AC=(λ-1)⃗AB·⃗AC-λ⃗AB2+
⃗AC2=0,
整理可得(λ-1)×3×4×cos 120°-9λ+16=0,
22
解得λ= ,故选A.
15
解题关键 解答本题的关键是由题意得出⃗AP·⃗BC=(λ⃗AB+⃗AC)·(⃗AC-⃗AB)=0,进而求得λ的值.
5.(2017重庆育才中学模拟,6)过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB,若在该圆上存
在一点C,使得⃗OC=a⃗OA+b⃗OB(a、b∈R),则以下说法正确的是 ( )
A.点P(a,b)一定在单位圆内
B.点P(a,b)一定在单位圆上
C.点P(a,b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上
答案 B 易知| |= =1.
⃗OC √a2⃗OA2+b2⃗OB2+2ab⃗OA·⃗OB
∵ ⊥ ,| |=| |=1,∴| |= =1,
⃗OA ⃗OB ⃗OA ⃗OB ⃗OC √a2+b2
∴OP= =1,又圆的半径为1,
√a2+b2
∴点P一定在单位圆上.故选B.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
6.(2018江西九江二模,6)在Rt△ABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足
⃗PC=k⃗BC,当⃗PM·⃗PN取得最小值时,实数k的值为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 8
答案 C 建立平面直角坐标系,如图所示,
设AB=AC=3,P(x,3-x)(0≤x≤3),
则M(1,0),N(2,0),⃗PM=(1-x,x-3),⃗PN=(2-x,x-3),
则 · =2x2-9x+11=2( 9) 2 +7,
⃗PM ⃗PN x-
4 8
∴当x=9时, · 取得最小值,此时P(9 3),
⃗PM ⃗PN ,
4 4 4
PC 1
∴k= = .故选C.
BC 4
7.(2018河北唐山二模,7)在△ABC中,∠C=90°,AB=6,点P满足CP=2,则⃗PA·⃗PB的最大值为 ( )
A.9 B.16 C.18 D.25
答案 B ∵∠C=90°,AB=6,
∴⃗CA·⃗CB=0,∴|⃗CA+⃗CB|=|⃗CA-⃗CB|=|⃗BA|=6,
∴⃗PA·⃗PB=(⃗PC+⃗CA)·(⃗PC+⃗CB)=⃗PC2+⃗PC·(⃗CA+⃗CB)+⃗CA·⃗CB=⃗PC·(⃗CA+⃗CB)+4,
∴当⃗PC与⃗CA+⃗CB方向相同时,⃗PC·(⃗CA+⃗CB)取得最大值2×6=12,
∴⃗PA·⃗PB的最大值为16.故选B.
1 1
8.(2017甘肃嘉峪关二模,7)若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足⃗CM= ⃗CB+ ⃗CA,则⃗AM·⃗MB
3 2
的值为 ( )
15 15
A.2 B.- C. D.-2
2 2
答案 A 如图所示,A(3 ),B( 3√3),C( 3 ),
,0 0, - ,0
2 2 2
∴ =(3 3√3), =(3,0),
⃗CB , ⃗CA
2 2
∴ =1 +1 =1(3 3√3)+1(3,0)=( √3),
⃗CM ⃗CB ⃗CA , 2,
3 2 3 2 2 2 2
∴ = + =(1 √3),
⃗OM ⃗OC ⃗CM ,
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∴ = - =( √3), = - =( 1 ),
⃗AM ⃗OM ⃗OA -1, ⃗MB ⃗OB ⃗OM - ,√3
2 2
∴ · =-1×( 1)+√3× =2,故选A.
⃗AM ⃗MB - √3
2 2
思路分析 建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.
方法总结 向量的坐标运算体现了数形结合的思想方法,因此,在解题时应充分重视.
9.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与
A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则⃗CM·⃗CN的取值范围是 ( )
A.[ 3 ) B.[-1,1) C.[ 1 ) D.[-1,0)
- ,0 - ,1
4 2
答案 A 如图,连接OC.⃗CM·⃗CN=(⃗OM-⃗OC)·(⃗ON-⃗OC)=⃗OM·⃗ON-⃗OM·⃗OC-⃗OC·⃗ON+⃗OC2
=⃗OM·⃗ON+⃗OC2=-1+⃗OC2,
∵∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点,
∴| |∈[1 ),
⃗OC ,1
2
∴ · ∈[ 3 ),故选A.
⃗CM ⃗CN - ,0
4
解题关键 题中的隐含条件⃗OM·⃗ON=-1,⃗OM+⃗ON=0是解题关键.
10.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a·(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为 .
2π
答案
3
解析 设a与b的夹角为θ,因为a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0⇒|a|·|a|+|a|·|b|cos θ=0,
1 2π
又因为2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cos θ=0,即1+2cos θ=0,所以cos θ=- ,从而θ= .
2 3
11.(2017宁夏银川质检,13)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点E为DC的中点,则⃗AE·⃗BE= .
答案 -3
1
解析 解法一:由已知,可得⃗AE=⃗AD+⃗DE=⃗AD+ ⃗DC,⃗BE=⃗BC+⃗CE
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=
⃗AD
-1
⃗DC
,∴
⃗AE
·
⃗BE
=(⃗AD+ 1
⃗DC
)·(⃗AD- 1
⃗DC
)=
⃗AD2
-1
⃗DC2
=1-4=-3.
2 2 2 4
解法二:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,0),B(4,0),E(2,1),∴⃗AE=(2,1),⃗BE=(-2,1),
∴⃗AE·⃗BE=-4+1=-3.
思路分析 解法一利用平面向量的几何性质解题,解法二通过建立平面直角坐标系,求出各点坐标,利用向量
的坐标运算解题.解法一侧重于逻辑推理,对思维能力要求较高,解法二的解题关键是建立恰当的平面直角坐
标系,侧重于计算,思路简单.两种解法各有优劣,可根据实际情况灵活选用.
12.(2016北京朝阳期中,7)在△ABC中,已知⃗AB·⃗AC=4,|⃗BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则⃗AM·
⃗AN的值是 ( )
21
A.5 B. C.6 D.8
4
答案 C 解法一:如图,设BC的中点为O,连接AO.
由⃗AB·⃗AC=4,|⃗BC|=3,
可得( + )·( + )=( + )·( - )= - = -(3) 2 =4,
⃗AO ⃗OB ⃗AO ⃗OC ⃗AO ⃗OB ⃗AO ⃗OB ⃗AO2⃗OB2 ⃗AO2
2
25
∴⃗AO2= .
4
∴ · =( + )·( + )=( + )·( - )= - =25-(1) 2 =6.
⃗AM ⃗AN ⃗AO ⃗OM ⃗AO ⃗ON ⃗AO ⃗OM ⃗AO ⃗OM ⃗AO2 ⃗OM2
4 2
故选C.
解法二:∵|⃗BC|=3,∴|⃗AC-⃗AB|2=9.
∴⃗AC2+⃗AB2-2⃗AC·⃗AB=9,又⃗AB·⃗AC=4,
∴⃗AC2+⃗AB2=17.
1 1 2 1
又∵⃗AN=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC,
3 3 3 3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2 2 1 2
⃗AM=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC,
3 3 3 3
∴
⃗AM
·
⃗AN
=(1
⃗AB+
2
⃗AC
)·(2
⃗AB+
1
⃗AC
)=2(
⃗AC2
+
⃗AB2
)+5
⃗AB
·
⃗AC
=2×17+5×4=6.
3 3 3 3 9 9 9 9
13.(2018北京通州期中,13)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足⃗AP=2⃗PM,则⃗PA·(⃗PB+
⃗PC)的值为 .
答案 -4
解析 ∵AM=3,点P在AM上,且满足⃗AP=2⃗PM,∴|⃗AP|=2.∵M是BC的中点,∴⃗PB+⃗PC=2⃗PM=⃗AP,
∴⃗PA·(⃗PB+⃗PC)=⃗PA·⃗AP=-|⃗AP|2=-4.
综合篇
【综合集训】
考法一 求向量模的方法
1.(2019甘肃静宁一中三模)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5√2,则|b|= ( )
A.√2 B.√5 C.2 D.5
答案 D
2.(多选题)(2020山东临沂、枣庄临考演练,9)设向量a=(2,0),b=(1,1),则 ( )
π
A.|a|=|b| B.(a-b)∥b C.(a-b)⊥b D.a与b的夹角为
4
答案 CD
3.(2020浙江温州二模(4月),12)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则|a+b|= ,b在a上的投影等于
.
1
答案 √7;
2
4.(2020浙江绍兴嵊州期末,16)已知单位向量a,b满足|a-2b|=|2b|,设向量c=a+x(2b-a),x∈[0,1],则|c+a|的取值
范围是 .
答案 [√15 ]
,√6
2
考法二 求平面向量夹角的方法
