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第五章 平面向量 ２ ３９
§５．２ 平面向量的数量积及其应用
２．（２０１５课标 文，４，５分）向量ａ ｂ 则 ａ
数量积的定义及夹角与模问题 学生用书Ｐ８８ Ⅱ ＝（１，－１）， ＝（－１，２）， （２ ＋
ｂ ａ
）· ＝ （ ）
１．（２０２０课标 文，５，５分）已知单位向量ａ ｂ的夹角为 ° 则
Ⅱ ， ６０ ， Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
在下列向量中 与ｂ垂直的是 答案 Ｃ 因为 ａ ｂ
， （ ） ２ ＋ ＝２（１，－１）＋（－１，２）＝（２，－２）＋（－１，
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 所以 ａ ｂ ａ
Ａ． ＋２ Ｂ．２ ＋ Ｃ． －２ Ｄ．２ － ２）＝（１，０）， （２ ＋ ）· ＝（１，０）·（１，－１）＝１×１＋０×（－１）
１． 答案 Ｄ ．故选 ．
＝１ Ｃ
２．（２０１９课标
Ⅱ
理，３，５分）已知→ＡＢ
＝（２，３），
→ＡＣ
＝（３，
ｔ
），｜
Ｂ→Ｃ
｜＝
３．（２０１５四川理，７，５分）设四边形ＡＢＣＤ为平行四边形
，｜
→ＡＢ
｜＝
１， 则→ＡＢ · Ｂ→Ｃ ＝ （ ） ６，｜ Ａ→Ｄ ｜＝４ ．若点Ｍ ， Ｎ满足Ｂ→Ｍ ＝３ Ｍ→Ｃ ， Ｄ→Ｎ ＝２ Ｎ→Ｃ ， 则Ａ→Ｍ · Ｎ→Ｍ ＝
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３ （ ）
２． 答案 Ｃ
Ａ．２０ Ｂ．１５ Ｃ．９ Ｄ．６
３．（２０２１全国甲文，１３，５分）若向量ａ ｂ满足 ａ ａ ｂ ａ
ｂ 则 ｂ ．
， ｜ ｜＝３，｜ － ｜＝５， 答案 Ｃ 依题意有Ａ→Ｍ
＝
→ＡＢ
＋
Ｂ→Ｍ
＝
→ＡＢ
＋
３ Ｂ→Ｃ
，
Ｎ→Ｍ
＝
Ｎ→Ｃ
＋
Ｃ→Ｍ
· ＝１， ｜ ｜＝ ４
３． 答案 ( )
３ ２ １ Ｄ→Ｃ １ Ｂ→Ｃ １ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ 所以Ａ→Ｍ Ｎ→Ｍ →ＡＢ ３ Ｂ→Ｃ
４．（２０２１全国乙理，１４，５分）已知向量ａ ｂ 若 ａ ＝ － ＝ － ， · ＝ ＋ ·
＝（１，３）， ＝（３，４）， （ ３ ４ ３ ４ ４
λｂ ｂ 则λ ． ( )
－ ）⊥ ， ＝ １ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ １→ＡＢ２ ３ Ｂ→Ｃ２ ．故选 ．
－ ＝ － ＝９ Ｃ
４． 答案 ３ ３ ４ ３ １６
４．（２０１５广东文，９，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知四边形
５ ，
解题指导 根据（ａ λｂ） ｂ得（ａ λｂ）·ｂ ，再转化为坐
－ ⊥ － ＝０ ＡＢＣＤ是平行四边形 →ＡＢ Ａ→Ｄ 则Ａ→Ｄ →ＡＣ
， ＝（１，－２）， ＝（２，１）， · ＝
标运算，得到关于λ的方程求解即可．
（ ）
５．（２０２０课标 理，１４，５分）设ａ ｂ为单位向量 且 ａ ｂ 则
Ⅰ ， ， ｜ ＋ ｜＝１，
Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２
ａ ｂ ．
｜ － ｜＝ 答案 Ａ 四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 →ＡＣ →ＡＢ Ａ→Ｄ
５． 答案 ∵ ，∴ ＝ ＋ ＝
６．（２０２０课 标
３
理，１３，５分）已知单位向量ａ ｂ的夹角为 ° ｋａ （３，－１），∴
Ａ→Ｄ
·
→ＡＣ
＝２×３＋１×（－１）＝５
．选
Ａ
．
Ⅱ ， ４５ ，
ｂ与ａ垂直 则ｋ ． ５．（２０１４课标 ，理３，文４，５分）设向量ａ ｂ满足 ａ ｂ
－ ， ＝ Ⅱ ， ｜ ＋ ｜＝ １０，
ａ ｂ 则ａ ｂ
６． 答案 ２ ｜ － ｜＝ ６， · ＝ （ ）
． ． ． ．
２ Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ５
７．（２０２０课标
Ⅰ
文，１４，５分）设向量ａ
＝（１，－１），
ｂ
＝（
ｍ
＋１，２
ｍ
－
答案 Ａ
∵ ｜
ａ
＋
ｂ
｜＝ １０，∴
ａ２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ２
＝１０
．
①
若ａ ｂ 则ｍ ．
４）， ⊥ ， ＝ 又 ａ ｂ ａ２ ａ ｂ ｂ２ ．
７． 答案 ｜ － ｜＝ ６，∴ －２ · ＋ ＝６ ②
５ 得 ａ ｂ 即ａ ｂ 故选
８．（２０１９课标 理，１３，５分）已知ａ ｂ为单位向量 且ａ ｂ ①－②， ４ · ＝４， · ＝１， Ａ．
Ⅲ ， ， · ＝０， ６．（２０１４ 大纲全国文，６，５ 分）已知 ａ ｂ 为单位向量 其夹角为
、 ，
若ｃ ａ ｂ 则 ａ ｃ ．
＝２ － ５ ， ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ° 则 ａ ｂ ｂ
６０ ， （２ － ）· ＝ （ ）
８． 答案 ２
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
３ 答案 Ｂ ａ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ２ ° ２
９．（２０１９天津，文１４，理１４，５分）在四边形ＡＢＣＤ中 ＡＤ ＢＣ ＡＢ （２ － ）· ＝２ · －｜ ｜ ＝２×１×１×ｃｏｓ ６０ －１ ＝
， ∥ ， 故选 ．
０， Ｂ
＝２ ３， ＡＤ ＝５，∠ Ａ ＝３０ ° ， 点Ｅ在线段ＣＢ的延长线上 ， 且ＡＥ ＝ ７．（２０１８上海，８，５分）在平面直角坐标系中 已知点Ａ Ｂ
， （－１，０）、
ＢＥ
，
则Ｂ→Ｄ
·
→ＡＥ
＝
．
Ｅ Ｆ是ｙ轴上的两个动点 且 Ｅ→Ｆ 则→ＡＥ Ｂ→Ｆ的最
９． 答案 （２，０）， 、 ， ｜ ｜＝２， ·
－１ 小值为 ．
以下为教师用书专用（１—８） 答案
－３
１．（２０１５山东理，４，５ 分）已知菱形 ＡＢＣＤ 的边长为 ａ ＡＢＣ 解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问
，∠ ＝
题．设Ｅ ｍ Ｆ ｎ 又Ａ Ｂ
° 则Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ （０， ）， （０， ）， （－１，０）， （２，０），
６０ ， · ＝ （ ）
→ＡＥ ｍ Ｂ→Ｆ ｎ ．
３ ａ２ ３ ａ２ ３ ａ２ ３ ａ２ ∴ ＝（１， ）， ＝（－２， ）
Ａ．－
２
Ｂ．－
４
Ｃ．
４
Ｄ．
２ ∴
→ＡＥ
·
Ｂ→Ｆ
＝－２＋
ｍｎ
，
又知
｜
Ｅ→Ｆ
｜＝２，∴ ｜
ｍ
－
ｎ
｜＝２
．
答案 Ｄ Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ｄ２ １ ａ２ 当ｍ ｎ 时 →ＡＥ Ｂ→Ｆ ｍｎ ｎ ｎ ｎ２ ｎ
· ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ ＝ ① ＝ ＋２ ， · ＝ －２＝（ ＋２） －２＝ ＋２ －２
２ ｎ ２ ．
＝（ ＋１） －３
ａ２ ３ ａ２．
＋ ＝ 当ｎ 即Ｅ Ｆ 时 →ＡＥ Ｂ→Ｆ取得最小值 ．
２ ∴ ＝－１， （０，１）， （０，－１） ， · －３
２ ４０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
② 当ｍ ＝ ｎ －２ 时 ， →ＡＥ · Ｂ→Ｆ ＝ ｍｎ －２＝（ ｎ －２） ｎ －２＝ ｎ２ －２ ｎ －２ ６． 答案 １８或 ０
ｎ ２ ． ５
＝（ －１） －３ ７．（２０２０北京，１３，５分）已知正方形ＡＢＣＤ的边长为 点Ｐ满足
当ｎ 即Ｅ Ｆ 时 →ＡＥ Ｂ→Ｆ取得最小值 ． ２，
∴ ＝１， （０，－１）， （０，１） ， · －３
综上可知 ， →ＡＥ · Ｂ→Ｆ的最小值为 －３ ． →ＡＰ ＝ ２ １ （ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ）， 则 ｜ Ｐ→Ｄ ｜＝ ； Ｐ→Ｂ · Ｐ→Ｄ ＝ ．
８．（２０１４重庆文，１２，５分）已知向量ａ与ｂ的夹角为 ° 且ａ
６０ ， ＝ ７． 答案
５；－１
（－２，－６），｜ ｂ ｜＝ １０， 则ａ · ｂ ＝ ． ８．（２０１９江苏，１２，５分）如图 在 ＡＢＣ中 Ｄ是ＢＣ的中点 Ｅ在
答案 ， △ ， ，
１０ 边ＡＢ上 ＢＥ ＥＡ ＡＤ与ＣＥ交于点Ｏ．若→ＡＢ →ＡＣ Ａ→Ｏ Ｅ→Ｃ
解析 由ａ ＝（－２，－６）， 得 ｜ ａ ｜＝ （－２） ２ ＋（－６） ２ ＝２ １０， ＡＢ ， ＝２ ， · ＝６ · ，
则 的值是 ．
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ° ． ＡＣ
∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ〈 ， 〉＝２ １０× １０×ｃｏｓ６０ ＝１０
数量积的综合应用 学生用书Ｐ８８
１．（多选题）（２０２１ 新高考 ，１０，５ 分）已知 Ｏ 为坐标原点 点
Ⅰ ，
Ｐ α α Ｐ β β Ｐ α β α β
１（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）， ２（ｃｏｓ ，－ｓｉｎ ）， ３（ｃｏｓ（ ＋ ），ｓｉｎ（ ＋ ）），
Ａ 则 ８． 答案
（１，０）， （ ） ３
Ａ．｜
Ｏ→Ｐ
１｜＝｜
Ｏ→Ｐ
２｜ Ｂ．｜
Ａ→Ｐ
１｜＝｜
Ａ→Ｐ
２｜
９．（２０２０浙江，１７，４分）已知平面单位向量ｅ
１，
ｅ
２，
满足
｜２
ｅ
１－
ｅ
２｜
１． Ｃ． Ｏ→ 答 Ａ 案 · Ｏ→Ｐ Ａ ３ Ｃ ＝ Ｏ→Ｐ １· Ｏ→Ｐ ２ Ｄ． Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｐ １＝ Ｏ→Ｐ ２· Ｏ→Ｐ ３ ≤ 最小 ２ 值
．设
是
ａ
＝
ｅ
１＋
ｅ
２，
ｂ
． ＝３
ｅ
１＋
ｅ
２，
向量ａ
，
ｂ的夹角为θ
，
则
ｃｏｓ
２θ的
２．（２０２０ 新高考 Ⅰ ，７，５ 分）已知 Ｐ 是边长为 ２ 的正六边形 ９． 答案 ２８
ＡＢＣＤＥＦ内的一点 则→ＡＰ →ＡＢ的取值范围是 ２９
， · （ ） １０．（２０２０天津，１５，５分）如图 在四边形ＡＢＣＤ中 Ｂ ° ＡＢ
， ，∠ ＝６０ ，
Ａ．（－２，６） Ｂ．（－６，２）
ＢＣ 且Ａ→Ｄ λ Ｂ→Ｃ Ａ→Ｄ →ＡＢ ３ 则实数 λ 的值为
Ｃ．（－２，４） Ｄ．（－４，６） ＝３， ＝６， ＝ ， · ＝－ ，
２． 答案 Ａ ２
３．（２０１８天 津 理，８，５分）如图 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＢＣ ， 若Ｍ ， Ｎ是线段ＢＣ上的动点 ， 且 ｜ Ｍ→Ｎ ｜＝１， 则Ｄ→Ｍ ·
， ， ⊥ ，
ＡＤ ＣＤ ＢＡＤ ° ＡＢ ＡＤ ．若点Ｅ为边ＣＤ上的动点 Ｄ→Ｎ的最小值为 ．
⊥ ，∠ ＝１２０ ， ＝ ＝１ ，
则→ＡＥ Ｂ→Ｅ的最小值为
· （ ）
１０． 答案 １ １３
；
６ ２
以下为教师用书专用（１—３３）
１．（２０１９课标 文，３，５ 分）已知向量 ａ ｂ 则
Ⅱ ＝（２，３）， ＝（３，２），
２１ ３ ２５ ａ ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．３ ｜ － ｜＝ （ ）
１６ ２ １６
３． 答案 Ａ
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ．５ ２ Ｄ．５０
４．（２０２１新高考 ，１５，５分）已知向量ａ ｂ ｃ ０ ａ ｂ ｃ 答案 Ａ 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模
Ⅱ ＋ ＋ ＝ ，｜ ｜＝１，｜ ｜＝｜ ｜＝
ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ ． 的计算 考查数学运算的核心素养．
２， · ＋ · ＋ · ＝ ；
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
４． 答案 ９ ∵ ＝（２，３）， ＝（３，２），∴ － ＝ （－１，１），∴ ｜ － ｜ ＝
－
２ ２ ２ 故选 ．
５．（２０２１浙江，１７，４分）已知平面向量ａ ｂ ｃ ｃ ０ 满足 ａ （－１） ＋１ ＝ ２， Ａ
， ， （ ≠ ） ｜ ｜＝１， 一题多解 ａ （ ， ），ｂ （ ， ）， ａ ２ ， ｂ ２ ，ａ
ｂ ａ ｂ ａ ｂ ｃ ．记平面向量ｄ在ａ ｂ方向上的 ∵ ＝ ２ ３ ＝ ３ ２ ∴ ｜ ｜ ＝１３ ｜ ｜ ＝１３
投
｜
影
｜＝
分
２，
别
·
为ｘ
＝０
ｙ
，
ｄ
（
ａ
－
在
）·
ｃ方
＝
向
０
上的投影为ｚ 则ｘ２
，
ｙ２ ｚ２ 的最
·ｂ
＝１２
，则
｜
ａ
－
ｂ
｜ ＝
ａ２
－２
ａ·ｂ
＋
ｂ２
＝ １３－２×１２＋１３ ＝ ２
．故
， ， － ， ＋ ＋ 选 ．
小值是 ． Ａ
２．（２０１８天津文，８，５分）在如图的平面图形中 已知ＯＭ ＯＮ
５． 答案 ２ ， ＝１，
ＭＯＮ ° Ｂ→Ｍ Ｍ→Ａ Ｃ→Ｎ Ｎ→Ａ 则Ｂ→Ｃ Ｏ→Ｍ的值为
５ ＝２，∠ ＝１２０ ， ＝２ ， ＝２ ， ·
６．（２０２０江苏，１３，５分）在 ＡＢＣ中 ＡＢ ＡＣ ＢＡＣ °
△ ， ＝４， ＝３，∠ ＝９０ ， （ ）
Ｄ在边 ＢＣ 上 延长 ＡＤ 到 Ｐ 使得 ＡＰ 若 →ＰＡ ｍ Ｐ→Ｂ
， ， ＝ ９， ＝ ＋
( )
３ ｍ Ｐ→Ｃ ｍ为常数 则ＣＤ的长度是 ．
－ （ ），
２
Ａ．－１５ Ｂ．－９ Ｃ．－６ Ｄ．０
答案 Ｃ 本题考查向量的运算．
第五章 平面向量 ２ ４１
解法一 ： 连接ＯＡ． ∵ Ｂ→Ｃ ＝ →ＡＣ － →ＡＢ ＝３ Ａ→Ｎ －３ Ａ→Ｍ ＝３（ Ｏ→Ｎ － Ｏ→Ａ ）－ æ ç １ ｘ， ３ ｙ ö ÷ é êê（ｘ ）· ( ｘ １ ) ｙ· æ çｙ ３ ö ÷ ù úú
è － － ø ＝ ２ ë ＋１ － ＋ è － øû ＝
Ｏ→Ｍ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｍ ２ ２ ２ ２
∴ ３（ Ｂ→Ｃ · － Ｏ→Ｍ ） ＝ ＝ ３ ３（ （ Ｏ→Ｎ － － Ｏ→Ｍ ） ） ， · Ｏ→Ｍ ＝３（ Ｏ→Ｎ · Ｏ→Ｍ －｜ Ｏ→Ｍ ｜ ２ ）＝ ２ é ë êê ( ｘ ＋ １ ) ２ ＋ æ è çｙ － ３ ö ø ÷ ２ － ３ ù û úú．
° ２ ．故选 ． ４ ４ ４
３×（２×１×ｃｏｓ１２０ －１ ）＝３×（－２）＝－６ Ｃ
解法二 在 ＡＢＣ中 不妨设 Ａ ° 取特殊情况 ＯＮ ＡＣ 因此，当ｘ １ ，ｙ ３时，→ＰＡ·（Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ）取得最小值，为
： △ ， ∠ ＝９０ ， ⊥ ， ＝－ ＝ ＋ ２×
以Ａ为坐标原点 ＡＢ ＡＣ所在直线分别为ｘ轴 ｙ轴建立如图 ４ ４
， ， ， ( )
所示的平面直角坐标系 ３ ３ ，故选 ．
， － ＝－ Ｂ
因为 ＭＯＮ ° ＯＮ ＯＭ ４ ２
∠ ＝１２０ ， ＝２， ＝１， ４．（２０１６课标 理，３，５分）已知向量ａ ｍ ｂ 且
æ ö æ ö ( ) ( ) Ⅱ ＝（１， ）， ＝（３，－２），
所以Ｏ è ç ２， ３ ø ÷ ， Ｃ è ç ０， ３ ３ ø ÷ ， Ｍ ５ ，０ ， Ｂ １５ ，０ ． （ ａ ＋ ｂ ）⊥ ｂ ， 则ｍ ＝ （ ）
２ ２ ２ ２
Ａ．－８ Ｂ．－６ Ｃ．６ Ｄ．８
æ ö æ ö
故Ｂ→Ｃ · Ｏ→Ｍ ＝è ç － １ ２ ５ ， ３ ２ ３ ø ÷ ·è ç １ ２ ，－ ２ ３ ø ÷ ＝－ １ ４ ５ － ４ ９ ＝－６ ．故选 Ｃ ． ２× 答 （ ｍ 案 － ２） Ｄ ＝ ０， 由 ∴ 题 ｍ 可 ＝８ 得 ．故 ａ 选 ＋ ｂ Ｄ ＝ ． （４， ｍ －２）， 又 （ ａ ＋ ｂ ）⊥ ｂ ，∴ ４×３－
５．（２０１６四川文，９，５分）已知正三角形ＡＢＣ的边长为 平面ＡＢＣ
２ ３，
内的动点Ｐ Ｍ满足 →ＡＰ Ｐ→Ｍ Ｍ→Ｃ 则 Ｂ→Ｍ ２的最大值是
， ｜ ｜＝１， ＝ ， ｜ ｜
（ ）
３．（２０１７课标 理，１２，５分）已知 ＡＢＣ是边长为 的等边三角 ４３ ４９ ３７＋６ ３ ３７＋２ ３３
Ⅱ △ ２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ４ ４ ４
形 Ｐ为平面ＡＢＣ内一点 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 的最小值是 答案 Ｂ 以 Ａ为坐标原点 建立如图所示的平面直角坐
， ， ·（ ＋ ） ，
标系
（ ） ，
３ ４ 则Ａ Ｃ Ｂ ．
Ａ．－２ Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．－１ （０，０）， （２ ３，０）， （ ３，３）
２ ３ 设Ｐ ｘ ｙ →ＡＰ ｘ２ ｙ２
答案 Ｂ 设ＢＣ的中点为Ｄ ＡＤ的中点为Ｅ 则有→ＰＢ →ＰＣ （ ， ），∵ ｜ ｜＝１，∴ ＋ ＝１，
， ， ＋ ＝
Ｐ→Ｍ Ｍ→Ｃ Ｍ为ＰＣ的中点
Ｐ→Ｄ ∵ ＝ ，∴ ，
２ ， æｘ ｙ ö
则→ＰＡ
·（
Ｐ→Ｂ
＋
Ｐ→Ｃ
）＝２
→ＰＡ
·
Ｐ→Ｄ
∴
Ｍ
è
ç ＋２ ３
， ø
÷
，
２ ２
＝２（ Ｐ→Ｅ ＋ →ＥＡ ）·（ Ｐ→Ｅ － →ＥＡ ）＝２（ Ｐ→Ｅ２ － →ＥＡ２ ） ． Ｂ→Ｍ ２ æ ç ｘ ＋２ ３ ö ÷ ２ ( ｙ ) ２ ｘ２ ｙ２ ｙ １ ｙ
æ ö２ ∴ ｜ ｜ ＝è － ３ø ＋ －３ ＝ ＋ －３ ＋９＝ －３ ＋
而→ＡＥ２ ç ３÷ ３ ２ ２ ４ ４ ４
＝è ø ＝ ，
２ ４ ３７ ｙ
当Ｐ与Ｅ重合时
，
Ｐ→Ｅ２ 有最小值
０，
故此时→ＰＡ
·（
Ｐ→Ｂ
＋
Ｐ→Ｃ
）
取最 ９＝
４
－３ ，
小值 又 ｙ 当ｙ 时 Ｂ→Ｍ ２ 取得最大值 且最大值
， ∵ －１≤ ≤１，∴ ＝－１ ，｜ ｜ ，
最小值为 →ＥＡ２ ３ ３ ． 为４９．
－２ ＝－２× ＝－
４ ２ ４
思路分析 由 ＡＢＣ为正三角形， →ＡＰ ，考虑到用建立
△ ｜ ｜ ＝１
平面直角坐标系的方法来解决向量问题．
评析 本题考查了向量的坐标运算，运用了转化与化归思想．
６．（２０１５福建文，７，５分）设ａ ｂ ｃ ａ ｋｂ．若ｂ
＝（１，２）， ＝（１，１）， ＝ ＋ ⊥
ｃ 则实数ｋ的值等于
， （ ）
３ ５ ５ ３
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
方法总结 在求向量数量积的最值时，常用取中点的方法， ２ ３ ３ ２
答案 Ａ ｃ ａ ｋｂ ｋ ｋ ．由ｂ ｃ 得ｂ ｃ 即 ｋ
如本题中利用→ＰＡ·Ｐ→Ｄ Ｐ→Ｅ２ →ＥＡ２ 可快速求出最值． ＝ ＋ ＝（１＋ ，２＋ ） ⊥ ， · ＝０， １＋
＝ －
一题多解 以ＡＢ所在直线为ｘ轴，ＡＢ的中点为原点建立 ｋ 解得ｋ ３ ．故选 ．
＋２＋ ＝０， ＝－ Ａ
２
平面直角坐标系，如图，
７．（２０１５重庆理，６，５分）若非零向量ａ ｂ满足 ａ ２ ２ ｂ 且
， ｜ ｜＝ ｜ ｜，
３
ａ ｂ ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为
（ － ）⊥（３ ＋２ ）， （ ）
．π ．π ．３π ．
Ａ Ｂ Ｃ Ｄπ
４ ２ ４
答案 Ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
∵ （ － ）⊥（３ ＋２ ），∴ （ － ）·（３ ＋２ ）＝０⇒
则Ａ（ ， ），Ｂ（ ， ），Ｃ（ ， ），设Ｐ（ｘ，ｙ），取ＢＣ的中点Ｄ， ａ ２ ａ ｂ ｂ ２ ａ ２ ａ ｂ ａ ｂ ｂ ２
－１ ０ １ ０ ０ ３ ３｜ ｜ － · －２｜ ｜ ＝０⇒３｜ ｜ －｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ 〈 ， 〉－２｜ ｜
æ ö ．
则Ｄç １ ， ３÷．→ＰＡ·（Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ） →ＰＡ·Ｐ→Ｄ （ ｘ， ｙ）· ＝０
è ø ＋ ＝ ２ ＝２ －１－ －
２ ２ 又 ａ ２ ２ ｂ ８ ｂ ２ ２ ２ ｂ ２ ａ ｂ ｂ ２ ．
∵ ｜ ｜＝ ｜ ｜，∴ ｜ ｜ － ｜ ｜ ·ｃｏｓ 〈 ， 〉－２｜ ｜ ＝０
３ ３ ３
２ ４２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
答案
ａ ｂ ２． ａ ｂ －２
∴ ｃｏｓ 〈 ， 〉＝ ∵ 〈 ， 〉∈［０，π］， 解析 由 ａ ｂ ２ ａ ２ ｂ ２ 可得ａ ｂ ａ ｂ ｍ
２ ｜ ＋ ｜ ＝｜ ｜ ＋｜ ｜ · ＝０，∴ · ＝ ＋２＝
ｍ ．
ａ ｂ π．选 ． ０，∴ ＝－２
∴ 〈 ， 〉＝ ４ Ａ 思路分析 由 ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ２ ＝｜ ａ ｜ ２ ＋｜ ｂ ｜ ２ 得ａ·ｂ ＝０ ，然后利用数
８．（２０１５重庆文，７，５分）已知非零向量ａ ｂ满足 ｂ ａ 且ａ 量积的坐标表示得到关于ｍ的方程，解方程求得ｍ．
， ｜ ｜＝４｜ ｜，
⊥（２ ａ ＋ ｂ ）， 则ａ与ｂ的夹角为 （ ） １４．（２０１８北京文，９，５分）设向量ａ ＝（１，０）， ｂ ＝（－１， ｍ ） ．若ａ ⊥
ｍａ ｂ 则ｍ ．
π π ２π ５π （ － ）， ＝
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２ ３ ６ 答案
答案 Ｃ 因为ａ ａ ｂ 所以ａ ａ ｂ －１
⊥（２ ＋ ）， ·（２ ＋ ）＝０， 解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．
ａ ｂ
得到ａ · ｂ ＝－２｜ ａ ｜ ２ ， 设ａ与ｂ的夹角为θ ， 则 ｃｏｓ θ ＝ ａ · ｂ ＝ ∵ ａ ＝（１，０）， ｂ ＝（－１， ｍ ），∴ ａ２ ＝１， ａ · ｂ ＝－１，
｜ ｜｜ ｜ 由ａ ｍａ ｂ 得ａ ｍａ ｂ
ａ ２ ⊥（ － ） ·（ － ）＝０，
－２｜ ｜ １ 又 θ 所以θ ２π 故选 ． 即ｍａ２ ａ ｂ
ａ ２ ＝－ ， ０≤ ≤π， ＝ ， Ｃ － · ＝０，
４｜ ｜ ２ ３ 即ｍ ｍ ．
９．（２０１４大纲全国理，４，５分）若向量ａ ｂ满足 ａ ａ ｂ －（－１）＝０，∴ ＝－１
、 ：｜ ｜＝１，（ ＋ ）⊥ １５．（２０１７课标 理，１３，５分）已知向量ａ ｂ的夹角为 ° ａ
ａ ａ ｂ ｂ 则 ｂ Ⅰ ， ６０ ，｜ ｜＝
，（２ ＋ ）⊥ ， ｜ ｜＝ （ ） ｂ 则 ａ ｂ ．
２，｜ ｜＝１， ｜ ＋２ ｜＝
２ 答案
Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ． ２ ３
{ ａ ｂ ａ ａ２ ａ ｂ ２ 解析 本题考查向量数量积的计算．
答案 Ｂ 由题意得 （ ＋ ）· ＝ ＋ · ＝０， ａ２ ｂ２
（２ ａ ＋ ｂ ）· ｂ ＝２ ａ · ｂ ＋ ｂ２ ＝０ ⇒－２ ＋ 由题意知ａ · ｂ ＝｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ｃｏｓ６０ ° ＝２×１× １ ＝１， 则 ｜ ａ ＋２ ｂ ｜ ２ ＝
＝０， 即 －２｜ ａ ｜ ２ ＋｜ ｂ ｜ ２ ＝０， 又 ｜ ａ ｜＝１，∴ ｜ ｂ ｜＝ ２ ．故选 Ｂ ． ａ ｂ ２ ａ ２ ｂ ２ ａ ｂ ２ ．
æ ö （ ＋２ ） ＝｜ ｜ ＋４｜ ｜ ＋４ · ＝４＋４＋４＝１２
１０．（２０１６ 课标 ，３，５ 分） 已知向量→ＢＡ ç １ ３÷ Ｂ→Ｃ 所以 ａ ｂ ．
Ⅲ ＝ è ， ø， ＝ ｜ ＋２ ｜＝２ ３
２ ２ １６．（２０１７课标 文，１３，５分）已知向量ａ ｂ ｍ ．
æ ö Ⅰ ＝（－１，２）， ＝（ ，１）
ç ３ １ ÷ 则 ＡＢＣ 若向量ａ ｂ与ａ垂直 则ｍ ．
è ， ø， ∠ ＝ （ ） ＋ ， ＝
２ ２ 答案
° ° ° ° ７
Ａ．３０ Ｂ．４５ Ｃ．６０ Ｄ．１２０ 解析 本题考查向量数量积的坐标运算．
答案 Ａ ＡＢＣ
→ＢＡ
·
Ｂ→Ｃ
３ 所以 ＡＢＣ ａ ｂ ｍ ａ ｂ ｍ 又 ａ ｂ ａ
ｃｏｓ∠ ＝ ＝ ， ∠ ＝ ∵ ＝（－１，２）， ＝（ ，１），∴ ＋ ＝（ －１，３）， （ ＋ ）⊥ ，
→ＢＡ Ｂ→Ｃ ２ ａ ｂ ａ ｍ 解得ｍ ．
｜ ｜·｜ ｜ ∴ （ ＋ ）· ＝－（ －１）＋６＝０， ＝７
° 故选 ． １７．（２０１６课标 文，１３，５分）设向量ａ ｘ ｘ ｂ 且
３０ ， Ａ Ⅰ ＝（ ， ＋１）， ＝（１，２），
思路分析 由向量的夹角公式可求得 ＡＢＣ的值，进而 ａ ｂ 则ｘ ．
ｃｏｓ∠ ⊥ ， ＝
得 ＡＢＣ的大小．
∠ 答案 ２
１１．（２０１６北京，４，５分）设ａ ｂ是向量．则 ａ ｂ 是 ａ ｂ －
， “｜ ｜＝｜ ｜” “｜ ＋ ｜＝ ３
ａ ｂ 的
｜ － ｜” （ ） 解析 因为ａ ｂ 所以ｘ ｘ 解得ｘ ２ ．
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ⊥ ， ＋２（ ＋１）＝０， ＝－
Ａ． Ｂ． ３
充分必要条件 既不充分也不必要条件 易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ 当 ａ ｂ 时 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ． 主要原因．
｜ ｜＝｜ ｜＝０ ，｜ ｜＝｜ ｜⇔｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
当 ａ ｂ 时 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ２ ａ ｂ ２ ａ ｂ １８．（２０１６山东文，１３，５分）已知向量ａ ｂ ．若
｜ ｜＝｜ ｜≠０ ，｜ ＋ ｜＝｜ － ｜⇔（ ＋ ） ＝（ － ） ⇔ · ＝（１，－１）， ＝（６，－４）
ａ ｂ 推不出 ａ ｂ ．同样 由 ａ ｂ 也不能推出ａ ａ ｔａ ｂ 则实数ｔ的值为 ．
＝０⇔ ⊥ ， ｜ ｜＝ ｜ ｜ ， ｜ ｜＝｜ ｜ ⊥（ ＋ ），
ｂ．故选 ． 答案
⊥ Ｄ －５
解后反思 由向量加法、减法的几何意义知：当ａ、ｂ不共 解析 因为ａ
⊥（
ｔａ
＋
ｂ
），
所以ａ
·（
ｔａ
＋
ｂ
）＝０，
即ｔａ２
＋
ａ
·
ｂ
＝
线，且 ａ ｂ 时，ａ ｂ与ａ ｂ垂直；当ａ ｂ时， ａ ｂ ａ
｜ ｜＝｜ ｜ ＋ － ⊥ ｜ ＋ ｜＝｜ － 又因为ａ ｂ 所以 ａ ａ ｂ
ｂ ． ０， ＝（１，－１）， ＝（６，－４）， ｜ ｜＝ ２， · ＝１×６＋
｜ 因此可得 ｔ 解得ｔ ．
１２．（２０１６山东，８，５分）已知非零向量ｍ ｎ满足 ｍ ｎ （－１）×（－４）＝１０， ２ ＋１０＝０， ＝－５
， ４｜ ｜ ＝３｜ ｜， 评析 本题主要考查向量的数量积运算，向量的模以及两向
ｍ ｎ １ ．若ｎ ｔｍ ｎ 则实数ｔ的值为 量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的运算求解能力以
ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ⊥（ ＋ ）， （ ）
３ 及方程思想的应用．
９ ９ １９．（２０１６北京文，９，５分）已知向量ａ ｂ 则ａ
Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ． Ｄ．－ ＝（１， ３）， ＝（ ３，１），
４ ４
答案 Ｂ 因为ｎ ｔｍ ｎ 所以ｔｍ ｎ ｎ２ 所以ｍ 与ｂ夹角的大小为 ．
⊥（ ＋ ）， · ＋ ＝０， ·
ｎ ｎ２ 又 ｍ ｎ 答案 π
＝－ ｔ ， ４｜ ｜＝３｜ ｜， ６
ｍ ｎ ｍ ｎ ａ ｂ
所以 ｍ ｎ · ４ · ４ １ 所以ｔ ． 解析 ａ ｂ · １× ３＋ ３×１ ３
ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ｜ ｍ ｜·｜ ｎ ｜ ＝ ３｜ ｎ ｜ ２ ＝－ ３ ｔ ＝ ３ ， ＝－４ ∵ ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ ＝ ２×２ ＝ ２ ，
故选 ．
Ｂ ａ与ｂ夹角的大小为π．
１３．（２０１６ 课标 ，１３，５ 分）设向量 ａ ｍ ｂ 且 ∴
Ⅰ ＝（ ，１）， ＝（１，２）， ６
｜ ａ ＋ ｂ ｜ ２ ＝｜ ａ ｜ ２ ＋｜ ｂ ｜ ２ ， 则ｍ ＝ ． ２０．（２０１５浙江，１３，４分）已知ｅ １， ｅ ２ 是平面单位向量 ， 且ｅ １· ｅ ２
第五章 平面向量 ２ ４３
ａ ２ ａ ｂ ° ｂ ２ ．
１ ．若平面向量ｂ满足ｂ ｅ ｂ ｅ 则 ｂ ． ４｜ ｜ －４｜ ｜·｜ ｜ｃｏｓ４５ ＋｜ ｜ ＝１０
＝
２
· １＝ · ２＝１， ｜ ｜＝
ａ ｂ ２ ｂ ．
∵ ｜ ｜＝１，∴ ｜ ｜ －２ ２｜ ｜－６＝０
答案 ２ ｂ 或 ｂ 舍去 ．
３ ∴ ｜ ｜＝３ ２ ｜ ｜＝－ ２（ ）
解析 令
３
ｅ 与ｅ 的夹角为θ ｅ ｅ ｅ ｅ θ
评析 本题考查了向量的基本运算，考查了方程的思想．通过
１ ２ ，∴ １· ２＝｜ １｜·｜ ２｜ｃｏｓ ＝ “平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键．
θ １ 又 ° θ ° θ °．因为ｂ ｅ ｅ 所
ｃｏｓ ＝
２
， ０ ≤ ≤１８０ ，∴ ＝６０ ·（ １－ ２）＝０， ２６．（２０１２安徽文，１１，５分）设向量ａ
＝（１，２
ｍ
），
ｂ
＝（
ｍ
＋１，１），
ｃ
＝
ｍ 若 ａ ｃ ｂ 则 ａ ．
以ｂ与ｅ ｅ 的夹角均为 ° 从而 ｂ １ ２ ． （２， ）， （ ＋ ）⊥ ， ｜ ｜＝
１、 ２ ３０ ， ｜ ｜＝ °＝ ３ 答案
ｃｏｓ３０ ３ ２
２１．（２０１４课标 理，１５，５分）已知Ａ Ｂ Ｃ为圆Ｏ上的三点 若 解析 ａ ｃ ｍ
Ⅰ ， ， ， ＋ ＝（３，３ ），
Ａ→Ｏ ＝ １ （ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ）， 则→ＡＢ与→ＡＣ的夹角为 ． ∵ （ ａ ＋ ｃ ）⊥ ｂ ，
２ ａ ｃ ｂ
答案 ° ∴ （ ＋ ）· ＝０，
９０ ｍ ｍ
∴３ ＋３＋３ ＝０，
解析 由Ａ→Ｏ １ →ＡＢ →ＡＣ 可知Ｏ为ＢＣ的中点 即ＢＣ为
＝ （ ＋ ） ， ｍ １
２ ∴ ＝－ ，
圆Ｏ的直径 又因为直径所对的圆周角为直角 所以 ＢＡＣ ２
， ， ∠ ＝ ａ
∴ ＝（１，－１），
° 所以→ＡＢ与→ＡＣ的夹角为 °．
９０ ， ９０ ａ ２ ２ ．
∴ ｜ ｜＝ １ ＋（－１） ＝ ２
２２．（２０１４湖北文，１２，５分）若向量Ｏ→Ａ ＝（１，－３），｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ Ｏ→Ｂ ｜， Ｏ→Ａ 评析 本题主要考查向量的基本运算，考查了向量垂直的充
Ｏ→Ｂ 则 →ＡＢ ． 要条件．
· ＝０， ｜ ｜＝
答案 ２７．（２０１１课标，文１３，５分）已知ａ与ｂ为两个不共线的单位向
２ ５
量 ｋ为实数 若向量ａ ｂ与向量ｋａ ｂ垂直 则ｋ ．
解析 →ＡＢ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ａ２ Ｏ→Ｂ２ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ ， ， ＋ － ， ＝
｜ ｜＝｜ － ｜＝ ＋ －２ · ， 答案
∵ ｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ Ｏ→Ｂ ｜＝ １ ２ ＋（－３） ２ ＝ １０， Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｂ ＝０， 解析 由 １ 题意知 ａ ｂ ａ ｂ 且 ａ ｂ ．
｜ ｜＝１，｜ ｜＝１，〈 ， 〉≠０ 〈 ， 〉≠π
∴ ｜
→ＡＢ
｜＝ ２０＝２ ５，
故答案为
２ ５
． 由ａ
＋
ｂ与向量ｋａ
－
ｂ垂直
，
得
（
ａ
＋
ｂ
）·（
ｋａ
－
ｂ
）＝０，
２３．（２０１４湖北理，１１，５分）设向量ａ
＝（３，３），
ｂ
＝（１，－１）
．若
（
ａ
＋ 即ｋ ｜ ａ ｜ ２ ＋（ ｋ －１）｜ ａ ｜｜ ｂ ｜·ｃｏｓ〈 ａ ， ｂ 〉－｜ ｂ ｜ ２ ＝０，
λｂ ａ λｂ 则实数λ ．
）⊥（ － ）， ＝ ｋ ａ ｂ ．又 ａ ｂ
答案 （ －１）（１＋ｃｏｓ〈 ， 〉）＝０ １＋ｃｏｓ〈 ， 〉≠０，
±３ ｋ ｋ ．
∴ －１＝０， ＝１
解析 ａ ｂ ａ ｂ ．因为 ａ 评析 本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识，考查
｜ ｜＝３ ２，｜ ｜＝ ２， · ＝３×１＋３×（－１）＝０ （
λｂ ａ λｂ 所以 ａ λｂ ａ λｂ ａ ２ λ２ ｂ ２ 学生的运算求解能力，属中等难度试题．
＋ ）⊥（ － ）， （ ＋ ）·（ － ）＝ ｜ ｜ － ｜ ｜ ＝１８－
λ２ ．故λ ．
２４．（
２
２０１
＝
３
０
课标
＝±
，理
３
１３，文１３，５分）已知两个单位向量ａ ｂ的
２８．（２０１５福建理，９，５分）已知→ＡＢ
⊥
→ＡＣ
，｜
→ＡＢ
｜＝
１
ｔ ，｜
→ＡＣ
｜＝
ｔ．若点
Ⅰ ，
夹角为 ° ｃ ｔａ ｔ ｂ．若ｂ ｃ 则ｔ ．
６０ ， ＝ ＋（１－） · ＝０， ＝ →ＡＢ →ＡＣ
答案 Ｐ是 ＡＢＣ所在平面内的一点 且→ＡＰ ４ 则Ｐ→Ｂ
解析 解
２
法一 ｂ ｃ
△ ， ＝
｜
→ＡＢ
｜
＋
｜
→ＡＣ
｜
， ·
：∵ · ＝０，
ｂ ｔａ ｔ ｂ ｔａ ｂ ｔ ｂ２ Ｐ→Ｃ的最大值等于
∴ ·［ ＋（１－） ］＝０， · ＋（１－）· ＝０， （ ）
又 ａ ｂ ａ ｂ °
∵ ｜ ｜＝｜ ｜＝１，〈 ， 〉＝６０ ， Ａ．１３ Ｂ．１５ Ｃ．１９ Ｄ．２１
答案 Ａ 以Ａ为原点 ＡＢ所在直线为ｘ轴 ＡＣ所在直线
１ ｔ ｔ ｔ ． ， ，
∴ ＋１－ ＝０， ＝２ ( )
２ 为ｙ轴建立平面直角坐标系 则Ｂ １ ｔ Ｃ ｔ Ｐ
解法二 由ｔ ｔ 知向量ａ ｂ ｃ的终点Ａ Ｂ Ｃ共线 在 ， ｔ ，０ （ ＞０）， （０， ），
： ＋（１－）＝１ 、 、 、 、 ，
æ ö ( ) ( )
平面直角坐标系中设ａ
＝（１，０），
ｂ
＝è
ç １
，
３
ø
÷
， （１，４），
Ｐ→Ｂ
·
Ｐ→Ｃ
＝
１
ｔ －１，－４ ·（－１，
ｔ
－４）＝ １７－ ４
ｔ
＋
１
ｔ ≤
２ ２
æ ö ( )
则ｃ ç ３ ３÷． 当且仅当ｔ １ 时 取 故Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ的最大
＝è ，－ ø １７－２×２＝１３ ＝ ， “＝” ， ·
２ ２ ２
把ａ ｂ ｃ的坐标代入ｃ ｔａ ｔ ｂ 得ｔ ． 值为 故选 ．
、 、 ＝ ＋（１－） ， ＝２ １３， Ａ
２９．（２０１９浙江，１７，６分）已知正方形 ＡＢＣＤ 的边长为 ．当每个
１
λ ｉ 取遍 时 λ →ＡＢ λ Ｂ→Ｃ λ Ｃ→Ｄ λ Ｄ→Ａ
ｉ（ ＝１，２，３，４，５，６） ±１ ，｜ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４
λ →ＡＣ λ Ｂ→Ｄ 的最小值是 最大值是 ．
评析 本题考查了向量的运算，利用三点共线的条件得到ｃ ＋ ５ ＋ ６ ｜ ，
答案
的坐标是解题关键． ０；２ ５
解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算 在向量
２５．（２０１２课标，理１３，文１３，５分）已知向量ａ ｂ夹角为 ° 且 ，
， ４５ ， ｜ 的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处
ａ ａ ｂ 则 ｂ ．
｜＝１，｜２ － ｜＝ １０， ｜ ｜＝ 理能力 数学运算及数据分析的核心素养．
，
答案 如图 建立平面直角坐标系 则 Ａ Ｂ Ｃ
３ ２ ， ， （０，０）， （１，０）， （１，１），
解析 ａ ｂ 两边平方得 Ｄ
｜２ － ｜＝ １０ （０，１），
２ ４４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｍ ．
∴ ＝８
易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆．
３２．（２０１７北京文，１２，５分）已知点Ｐ在圆ｘ２ ｙ２ 上 点Ａ的坐
＋ ＝１ ，
标为 Ｏ为原点 则Ａ→Ｏ →ＡＰ的最大值为 ．
（－２，０）， ， ·
答案
６
→ＡＢ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ Ｄ→Ａ →ＡＣ
∴ ＝（１，０）， ＝（０，１）， ＝（－１，０）， ＝（０，－１）， ＝ 解析 解法一 Ａ→Ｏ →ＡＰ表示→ＡＰ在Ａ→Ｏ方向上的投影与 Ａ→Ｏ
： · ｜ ｜
Ｂ→Ｄ
（１，１）， ＝（－１，１）， 的乘积 当Ｐ在Ｂ点时 Ａ→Ｏ →ＡＰ有最大值 此时Ａ→Ｏ →ＡＰ
， ， · ， · ＝２×３
故 λ →ＡＢ λ Ｂ→Ｃ λ Ｃ→Ｄ λ Ｄ→Ａ λ →ＡＣ λ Ｂ→Ｄ ．
｜ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ｜ ＝６
λ λ λ λ λ λ λ λ
＝｜（ １－ ３＋ ５－ ６， ２－ ４＋ ５＋ ６）｜
λ λ λ λ ２ λ λ λ λ ２．
＝ （ １－ ３＋ ５－ ６） ＋（ ２－ ４＋ ５＋ ６） （∗）
显然 式中第一个括号中的λ λ 与第二个括号中的λ
（∗） １， ３ ２，
λ 的取值互不影响 只需讨论λ 与λ 的取值情况即可
４ ，∴ ５ ６ ，
当λ 与λ 同号时 不妨取λ λ
５ ６ ， ５＝１， ６＝１，
则 式即为 λ λ ２ λ λ ２
（∗） （ １－ ３） ＋（ ２－ ４＋２） ， 解法二 设Ｐ ｘ ｙ 则Ａ→Ｏ →ＡＰ ｘ ｙ ｘ 由
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ： （ ， ）， · ＝（２，０）·（ ＋２， ）＝２ ＋４，
∵ １
时
， ２， ３，
式
４∈
取
｛
最
－１
小
，１
值
｝，∴
当
１＝
λ
３，
λ
２－ ４＝
如
－２
λ
（ ２＝－
λ
１， ４ 题意知
－１≤
ｘ
≤１，∴
ｘ
＝１
时
，
Ａ→Ｏ
·
→ＡＰ取最大值
６，∴
Ａ→Ｏ
·
→ＡＰ
＝１） ，（∗） ０， ｜ １－ ３｜ ＝２（ １＝１， ３＝－
的最大值为 ．
λ λ λ λ 时 式取最大值 ６
１）， ２－ ４＝２（ ２＝１， ４＝－１） ，（∗） ２ ５， ３３．（２０１３北京文，１４，５分）已知点Ａ Ｂ Ｃ ．
当λ 与 λ 异号时 不妨取 λ λ 则 式即 （１，－１）， （３，０）， （２，１）
５ ６ ， ５ ＝１， ６ ＝－１， （∗） 若平面区域Ｄ由所有满足→ＡＰ λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ
为 λ λ ２ λ λ ２． ＝ ＋ （１≤ ≤２，０≤ ≤
（ １－ ３＋２） ＋（ ２－ ４） 的点Ｐ组成 则Ｄ的面积为 ．
同理可得最小值仍为 最大值仍为 １） ，
０， ２ ５， 答案
３
综上 最小值为 最大值为 ．
， ０， ２ ５ 解析 →ＡＢ →ＡＣ ．
解题关键 本题未知量比较多，所以给学生的第一感觉是 ＝（２，１）， ＝（１，２）
难，而实际上 注意到图形为规则的正方形，λ（ｉ ， ， ， ， ，
设Ｐ
（
ｘ
，
ｙ
），
由→ＡＰ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
，
ｉ ＝１ ２ ３ ４ ５ ì ｘ ｙ
）的取值只有两种可能（ 或 ），这就给建系及讨论λ 的 ïλ ２ － －３
６ １ －１ ｉ {ｘ λ μ ï ＝ ，
值创造了条件，也是求解本题的突破口． 得 －１＝２ ＋ ，故有í ３
ｙ λ μ ï ｘ ｙ
３０．（２０１９课标 文，１３，５分）已知向量ａ ｂ 则 ＋１＝ ＋２ ， ïμ － ＋２ ＋３．
Ⅲ ＝（２，２）， ＝（－８，６）， î ＝
ａ ｂ ． ３
ｃｏｓ〈 ， 〉＝ 又λ μ 故有
∈［１，２］， ∈［０，１］，
答案 － １ ２ ０ ì ï ï１≤ ２ ｘ － ｙ －３ ≤２， { ｘ ｙ
解析 本题考查平面向量夹角的计算 通过向量的坐标运 í ３ 即 ３≤２ － －３≤６，
， ï ｙ ｘ ｙ ｘ ．
ï ２ － ＋３ ０≤２ － ＋３≤３
算考查学生的运算求解能力 体现运算法则与运算方法的素 î０≤ ≤１，
， ３
养要素． 则平面区域Ｄ如图中阴影部分所示．
ａ ｂ
由题意知 ａ ｂ · ２×（－８）＋２×６
ｃｏｓ〈 ， 〉 ＝ ａ ｂ ＝ ＝
｜ ｜·｜ ｜ ２ ２ ＋２ ２ × （－８） ２ ＋６ ２
２．
－
１０
３１．（２０１９北京文，９，５分）已知向量ａ ｂ ｍ 且ａ
＝（－４，３）， ＝（６， ），
ｂ 则ｍ ．
⊥ ， ＝
答案
８
解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运
易知其面积为 ．
算 考查了方程的思想方法． ３
， 评析 本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识；
ａ ｂ ａ ｂ ｍ ｍ
∵ ⊥ ，∴ · ＝（－４，３）·（６， ）＝－２４＋３ ＝０， 同时又考查了转化及数形结合思想，综合能力要求较高．
第五章 平面向量 ２ ４５
学生用书Ｐ８９
1 当ａ与ｂ同向时 ａ ｂ ａ ｂ
（３） ， · ＝｜ ｜｜ ｜；
考点 数量积的定义及夹角与模问题 当ａ与ｂ反向时 ａ ｂ ａ ｂ ．
， · ＝－｜ ｜｜ ｜
特别地 ａ ａ ａ ２．
１．两个向量的夹角 ， · ＝｜ ｜
ａ ｂ
θ · ．
定义和范围 （４）ｃｏｓ ＝ ａ ｂ
（１） ｜ ｜｜ ｜
ａ ｂ ａ · ｂ ．
（５）｜ · ｜≤⑩ ｜ ｜ ｜ ｜
2
考点 数量积的综合应用
１．向量数量积的应用
已知ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ ．
（２） 两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 证明 ＝（ 垂 １ 直 ， 问 １） 题 ， ＝ 常 （ 用 ２， 向 ２ 量 ） 垂直的充要条件 ａ ｂ ａ ｂ
（１） ， ： ⊥ ⇔ ·
ｘ ｘ ｙ ｙ ．
＝０⇔ １ ２＋ １ ２＝０
ａ ｂ
求解夹角问题 常利用夹角公式 θ ·
２．平面向量的数量积 （２） ， ：ｃｏｓ ＝ ａ ｂ ＝
｜ ｜｜ ｜
ｘ ｘ ｙ ｙ
１ ２＋ １ ２ 其中θ为ａ与ｂ的夹角 ．
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ （ ）
１＋ １· ２＋ ２
求线段长度问题 常利用向量的长度公式 ａ ａ２
（３） ， ：｜ ｜＝ ＝
ｘ２ １＋ ｙ ２ １ 或 ｜ →ＡＢ ｜＝ （ ｘ Ｂ－ ｘ Ａ） ２ ＋（ ｙ Ｂ－ ｙ Ａ） ２．
２．向量中常用的结论
在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ．
△ ，∠ ，∠ ，∠ ， ，
æ →ＡＢ →ＡＣ ö
在Ａ→Ｉ λç ÷的条件下 存在λ使得Ｉ为 ＡＢＣ
（１） ＝ è →ＡＢ ＋ →ＡＣ ø ， △
｜ ｜ ｜ ｜
的内心
；
ａ→ＰＡ ｂＰ→Ｂ ｃＰ→Ｃ ０ Ｐ为 ＡＢＣ的 内心 ．
３．向量数量积的性质 ＋ ＋ ＝ ⇔ △
设ａ ｂ都是非零向量 ｅ是与ｂ方向相同的单位向量 θ是ａ （２）｜
→ＰＡ
｜＝｜
Ｐ→Ｂ
｜＝｜
Ｐ→Ｃ
｜⇔
Ｐ为
△
ＡＢＣ的
外心 ．
、 ， ，
与ｅ的夹角 则 →ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０ Ｇ为 ＡＢＣ的 重心 ．
， （３） ＋ ＋ ＝ ⇔ △
（１） ｅ · ａ ＝ ａ · ｅ ＝⑧ ｜ ａ ｜ｃｏｓ θ ． （４） →ＰＡ · Ｐ→Ｂ ＝ Ｐ→Ｂ · Ｐ→Ｃ ＝ Ｐ→Ｃ · →ＰＡ ⇔ Ｐ为 △ ＡＢＣ的 垂心 ．
ａ ｂ ａ·ｂ ．
（２） ⊥ ⇔⑨ ＝０
学生用书Ｐ８９
一、求解平面向量模的方法 系 由数量积的关系得到 ＡＯＢ 的大小及点 Ｂ 的坐标 得到
， ∠ ，
利用向量数量积求解长度问题是向量数量积的重要应用
， ｜
Ｏ→Ａ
＋
Ｏ→Ｂ
－
Ｏ→Ｃ
｜＝１
表示一个圆
，
问题最后转化成了求圆上动点到
求解平面向量模的常用方法如下 原点距离的取值范围．
：
ａ ａ ａ． 解析 以Ｏ为原点 ＯＡ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐标
（１）｜ ｜＝ · ，
ａ ｂ ａ ｂ ２ ａ２ ａ ｂ ｂ２． 系 如图 Ａ ．
（２）｜ ± ｜＝ （ ± ） ＝ ±２ · ＋ ， ， （ ２，０）
若ａ ｘ ｙ 则 ａ ｘ２ ｙ２或 ａ ２ ｘ２ ｙ２．
（３） ＝（ ， ）， ｜ ｜＝ ＋ ｜ ｜ ＝ ＋
例１ 已知Ａ Ｂ是半径为 的 Ｏ上的两个点 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ
， ２ ☉ ， · ＝１，
Ｏ所在平面上有一点Ｃ满足 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ 则向量Ｏ→Ｃ的模
☉ ｜ ＋ － ｜＝１，
的取值范围是 ．
解题思路
由Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 得 ＡＯＢ π 于是
要求 Ｏ→Ｃ 的取值范围 首先要了解向量Ｏ→Ｃ对应点的特征 · ＝１，｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ２， ∠ ＝ ，
｜ ｜ ， ， ３
Ｏ→Ｃ 是Ｃ点到原点的距离 所以本题考虑用坐标法 建立坐标
｜ ｜ ， ，
２ ４６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) æ ö２ æ ö２ 出ａ ｂ与 ａ ｂ 及ａ与ｂ夹角之间的关系即可 利用垂直的
Ｂ ２ ６ ．设Ｃ ｘ ｙ 则çｘ ３ ２÷ çｙ ６÷ ． · ｜ ｜，｜ ｜ ，
， （ ， ）， è － ø ＋è － ø ＝１ 充要条件即可得到 ｂ ２ ａ ｂ ｂ ２ 进而得出结果．
２ ２ ２ ２ ２｜ ｜ ｃｏｓ〈 ， 〉－｜ ｜ ＝０，
问题转化为求圆 æ çｘ ３ ２ ö ÷ ２ æ çｙ ６ ö ÷ ２ 上一点到原点距 思路二 ：（ ａ － ｂ ）⊥ ｂ是本题中的关键条件 ， 它表示两个向量
è － ø ＋è － ø ＝１ 垂直 于是把问题几何化 设ａ Ｏ→Ａ ｂ Ｏ→Ｂ 得到→ＢＡ Ｏ→Ｂ 在三角
２ ２ ， ， ＝ ， ＝ ， ⊥ ，
æ ö 形ＡＢＯ内 根据 ａ ｂ 得到夹角大小．
离的取值范围．原点到圆心ç３ ２ ６÷的距离为 又圆的半径 ， ｜ ｜＝２｜ ｜
è ， ø ６， 解析 解法一 因为 ａ ｂ ｂ
２ ２ ： （ － ）⊥ ，
为 １， 所以 ｜ Ｏ→Ｃ ｜ 的取值范围为 ［ ６－１， ６＋１］ ． 所以 （ ａ － ｂ ）· ｂ ＝ ａ · ｂ －｜ ｂ ｜ ２ ＝０，
又因为 ａ ｂ 所以 ｂ ２ ａ ｂ ｂ ２
答案 ｜ ｜＝２｜ ｜， ２｜ ｜ ｃｏｓ〈 ， 〉－｜ ｜ ＝０，
［ ６－１， ６＋１］
１－１ 在 △ ＡＢＣ 中 ， ＡＢ ＝５， ＡＣ ＝１０， →ＡＢ · →ＡＣ ＝２５， 点 Ｐ 是 即 ｃｏｓ〈 ａ ， ｂ 〉＝ １ ， 又知 〈 ａ ， ｂ 〉∈［０，π］， 所以 〈 ａ ， ｂ 〉＝ π ，
２ ３
△
ＡＢＣ内
（
包括边界
）
的一动点
，
且→ＡＰ
＝
３ →ＡＢ
－
２ λ→ＡＣ
（
λ
∈
Ｒ
），
故选
Ｂ
．
５ ５ 解法二 如图 令Ｏ→Ａ ａ Ｏ→Ｂ ｂ 则→ＢＡ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ａ ｂ
则 →ＡＰ 的最大值是 ： ， ＝ ， ＝ ， ＝ － ＝ － ，
｜ ｜ （ ）
因为 ａ ｂ ｂ 所以 ＯＢＡ π
（ － ）⊥ ， ∠ ＝ ，
３ ３ ２
Ａ． Ｂ． ３７ Ｃ． ３９ Ｄ． ４１
２ 又 ａ ｂ 所以 ＡＯＢ π 即 ａ ｂ π．
１－１． 答案 Ｂ ｜ ｜＝２｜ ｜， ∠ ＝ ， 〈 ， 〉＝
３ ３
１－２ （２０１８浙江，９，４分）已知ａ ｂ ｅ是平面向量 ｅ是单位 故选 ．
， ， ， Ｂ
向量．若非零向量ａ与ｅ的夹角为π 向量ｂ满足ｂ２ ｅ ｂ
， －４ · ＋３＝
３
则 ａ ｂ 的最小值是
０， ｜ － ｜ （ ）
Ａ． ３－１ Ｂ． ３＋１ Ｃ．２ Ｄ．２－ ３ 答案 Ｂ
１－２． 答案 Ａ
２－１ （２０１７山东理，１２，５分）已知ｅ ｅ 是互相垂直的单位
１， ２
二、求解平面向量夹角的方法
向量．若 ｅ ｅ 与 ｅ λｅ 的夹角为 ° 则实数 λ 的值
３ １－ ２ １＋ ２ ６０ ，
１．定义法 即利用向量数量积的定义ａ ｂ ａ ｂ θ θ 是 ．
， · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ （
为ａ与ｂ的夹角 进行求解 在求解时 要注意θ的取值范围是
） ， ， ２－１． 答案 ３
．
［０，π］ ３
ｘ ｘ ｙ ｙ 易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错．
２．坐标法 即利用 θ １ ２＋ １ ２ 进行求解 其中ａ
， ｃｏｓ ＝ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ， ２－２ （２０２０江苏海安中学阶段测试，１２）已知向量ａ ｂ ｃ满
１＋ １· ２＋ ２ ， ，
ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ θ为ａ与ｂ的夹角 ．
＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）（ ） 足ａ ｂ ｃ ０ 且ａ与ｂ的夹角的正切值为 １ ｂ与ｃ的夹角的
例２ （２０１９课标 理，７，５分）已知非零向量ａ ｂ满足 ａ ＋ ＋ ＝ ， － ，
Ⅰ ， ｜ ｜＝ ２
ｂ 且 ａ ｂ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为
２｜ ｜， （ － ）⊥ ， （ ） 正切值为 １ ｂ 则ａ ｃ的值为 ．
－ ，｜ ｜＝２， ·
π π ２π ５π ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ３ ３ ６ ２－２． 答案 ４
解题思路
５
思路一 欲求两向量ａ ｂ的夹角 依据夹角公式 只需表示
： ， ， ，
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ９０
数量积的定义及夹角与模问题
Ａ． ５ Ｂ．２ ５ Ｃ．５ Ｄ．１０
２． 答案 Ｄ
１．（２０２１湖南永州二模，３）在边长为 的等边三角形ＡＢＣ中 Ｂ→Ｍ ３．（２０２１湖南衡阳一模，６）非零向量ａ ｂ ｃ满足ａ ｂ ａ ｃ ａ
３ ， ， ， · ＝ · ，
１ Ｍ→Ｃ 则→ＢＡ Ｂ→Ｍ 与ｂ的夹角为π ｂ 则ｃ在ａ上的投影向量的长度为
＝ ， · ＝ （ ） ，｜ ｜＝４，
２ ６
３ ３ ３ １ （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ２ ４ ２ Ａ．２ Ｂ．２ ３ Ｃ．３ Ｄ．４
１． 答案 Ｂ ３． 答案 Ｂ
２．（２０２０广东新兴第一中学期末，３）在平行四边形ＡＢＣＤ中
，
→ＡＢ ４．（２０２１江苏盐城二模，３）已知ａ
，
ｂ是相互垂直的单位向量
，
与
ａ ｂ共面的向量ｃ满足ａ ｃ ｂ ｃ 则ｃ的模为
Ａ→Ｄ 则该四边形的面积为 ， · ＝ · ＝２， （ ）
＝（１，２）， ＝（－４，２）， （ ）
第五章 平面向量 ２ ４７
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ．２ Ｄ．２ ２
４． 答案 Ｄ
５．（２０２０重庆育才中学月考，３）已知向量ａ ａ ｂ
＝（１，１），２ ＋ ＝（４，
则向量ａ ｂ的夹角为
２）， ， （ ）
π π π π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ９． 答案
３ ６ ４ ２ １８
５． 答案 Ｃ
６．（２０２１山东菏泽期末，３）若ａ ｂ是两个单位向量 其夹角是θ 数量积的综合应用
、 ， ，
则 π θ π 是 ａ ｂ 的 １．（２０２１辽宁开原三模，７）设ａ ｂ ｃ为单位向量 且ａ ｂ 则
“ ＜ ＜ ” “｜ － ｜＞１” （ ） ， ， ， · ＝０，
３ ２ ａ ｃ ｂ ｃ 的最小值为
充分不必要条件 必要不充分条件 （ － ）·（ － ） （ ）
Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件 Ａ．－２ Ｂ． ２－２ Ｃ．－１ Ｄ．１－ ２
Ｃ． Ｄ．
６． 答案 Ａ １． 答案 Ｄ
７．（２０２１山东济南十一学校联考，１３）已知向量ｍ
＝（－１，２），
ｎ
＝
２．（２０２０百校联考高考考前冲刺（二），３）在直角梯形ＡＢＣＤ中
，
λ 若ｍ ｎ 则 ｍ ｎ与ｍ夹角的余弦值为 ． →ＡＢ Ａ→Ｄ Ｂ ° ＡＢ ＢＣ 点Ｅ为ＢＣ上一点 且
（２， ）， ⊥ ， ２ ＋ · ＝０，∠ ＝３０ ， ＝２ ３， ＝２， ，
→ＡＥ ｘ→ＡＢ ｙＡ→Ｄ 当ｘｙ的值最大时 →ＡＥ
７． 答案 ２ ５ ＝ ＋ ， ，｜ ｜＝ （ ）
５
８．（２０２０河北衡水中学第九次调研，１４）已知 ＡＢＣ 中 ＡＢ Ａ． ５ Ｂ．２ Ｃ． ３０ Ｄ．２ ３
△ ， ＝３， ２
２． 答案 Ｂ
ＡＣ ＢＣ 若点Ｄ满足Ａ→Ｄ １→ＡＢ １→ＡＣ 则Ｄ→Ｂ Ｄ→Ｃ ．
＝５， ＝７， ＝ ３ ＋ ２ ， · ＝ ３．（２０２０湖北襄阳四中３月月考，９）在 ＡＢＣ中 ＡＣ ＡＢ
８． 答案 △ ，｜ ｜＝２，｜ ｜
－１２ ＢＡＣ ° →ＡＥ λ→ＡＢ →ＡＦ μ→ＡＣ Ｍ为线段ＥＦ的中点
９．（２０２１上海杨浦一模，１１）如图所示 在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＝２，∠ ＝１２０ ， ＝ ， ＝ ， ，
， ， ＝２，
ＡＤ ＝１， 分别将边ＢＣ与ＤＣ等分成 ８ 份 ， 并将等分点自下而上 若 ｜ Ａ→Ｍ ｜＝１， 则λ ＋ μ的最大值为 （ ）
依次记作Ｅ Ｅ Ｅ 自左到右依次记作Ｆ Ｆ Ｆ 满足
１， ２，…， ７， １， ２，…， ７， ７ ２ ７ ２１
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．
Ａ→Ｅ
ｉ·
Ａ→Ｆ
ｊ≤２（
其中ｉ
，
ｊ
∈
Ｎ∗
，１≤
ｉ
，
ｊ
≤７）
的有序数对
（
ｉ
，
ｊ
）
共有
３． 答
３
案 Ｃ
３ ３
对．
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ９１ ６０分钟 ７０分
一、单项选择题（每小题５分，共２５分）
Ｄ→Ｂ Ｐ为ＣＤ上一点 且满足→ＡＰ ｍ→ＡＣ １ →ＡＢ 若 ＡＢＣ的
１．（２０２１河北石家庄一模，２）设向量ａ ｂ ｍ 且 ＝２ ， ， ＝ ＋ ， △
＝（１，２）， ＝（ ，－１）， ２
ａ ｂ ａ 则实数ｍ 面积为 则 →ＡＰ 的最小值为
（ ＋ ）⊥ ， ＝ ２ ３， ｜ ｜ （ ）
３ ３
Ａ．－３ Ｂ． Ｃ．－２ Ｄ．－
２ ２
１． 答案 Ａ
２．（２０２０山东全真模拟，４）已知扇形ＡＯＢ ＡＯＢ θ 扇形半径为
，∠ ＝ ，
Ｃ是弧ＡＢ上一点 若Ｏ→Ｃ ２ ３Ｏ→Ａ ３Ｏ→Ｂ 则θ
３， ， ＝ ＋ ， ＝ （ ）
３ ３ ４
Ａ． ２ Ｂ． Ｃ．３ Ｄ． ３
π π π ２π ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５． 答案 Ｄ
６ ３ ２ ３
２． 答案 Ｄ
二、多项选择题（每小题５分，共１５分）
３．（２０２１ 山东临沂二模，７）点 Ａ Ｂ Ｃ 在圆 Ｏ 上 若 ＡＢ
、 、 ， ｜ ｜ ＝２， ６．（２０２１辽宁铁岭一模，１０）下列说法中错误的为
（ ）
∠ ＡＣＢ ＝３０ ° ， 则Ｏ→Ｃ · →ＡＢ的最大值为 （ ） 已知ａ ｂ 且ａ与ａ∙λ∙ｂ的夹角为锐角 则实
Ａ． ＝（１，２）， ＝（１，１）， ＋ ，
( )
Ａ．３ Ｂ．２ ３ Ｃ．４ Ｄ．６ 数λ的取值范围是 ５
３． 答案 Ｃ － ，＋∞
３
( )
４．（２０２１山东德州二模，６）在平行四边形 ＡＢＣＤ 中
，
已知Ｄ→Ｅ
＝ 向量ｅ ｅ １ ３ 不能作为平面内所有向量
Ｂ． １＝（２，－３）， ２＝ ，－
２ ４
１ Ｅ→Ｃ
，
Ｂ→Ｆ
＝
１ Ｆ→Ｃ
，｜
→ＡＥ
｜＝ ２，｜
→ＡＦ
｜＝ ６，
则→ＡＣ
·
Ｂ→Ｄ
＝ （ ） 的一组基底
２ ２
非零向量ａ和ｂ 满足 ａ ｂ 且ａ与ｂ同向 则ａ ｂ
９ ７ Ｃ． ， ｜ ｜＞｜ ｜ ， ＞
Ａ．－９ Ｂ．－ Ｃ．－７ Ｄ．－ 非零向量ａ和ｂ 满足 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ与ａ ｂ的夹角
２ ２ Ｄ． ， ｜ ｜＝｜ ｜＝｜ － ｜， ＋
４． 答案 Ｂ 为 °
３０
６． 答案 ＡＣ
５．（２０２０山东济宁一中月考）如图 在 ＡＢＣ中 ＢＡＣ π Ａ→Ｄ
， △ ，∠ ＝ ， ７．（２０２１江苏盐城一模，９）下列关于向量ａ ｂ ｃ的运算 一定成
３ ， ， ，
２ ４８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
立的是
（ ）
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ
Ａ．（ ＋ ）· ＝ · ＋ · Ｂ．（ · ）· ＝ ·（ · ）
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ． · ≤｜ ｜·｜ ｜ Ｄ．｜ － ｜≤｜ ｜＋｜ ｜
７． 答案 ＡＣＤ
８．（２０２１湖北重点中学期末，１１）对于给定的 ＡＢＣ 其外心为
△ ，
Ｏ 重心为Ｇ 垂心为Ｈ 则下列结论正确的是
， ， ， （ ）
Ａ→Ｏ →ＡＢ １→ＡＢ２ １２． 答案 ６
Ａ． · ＝
２ ５
Ｂ．
Ｏ→Ａ
·
Ｏ→Ｂ
＝
Ｏ→Ａ
·
Ｏ→Ｃ
＝
Ｏ→Ｂ
·
Ｏ→Ｃ 四、解答题（共１０分）
过点Ｇ的直线ｌ交ＡＢ ＡＣ于Ｅ Ｆ 若→ＡＥ λ→ＡＢ →ＡＦ μ→ＡＣ 则 æ ö
Ｃ． 、 、 ， ＝ ， ＝ ， １３．（２０２１江苏新海高级中学期末，１７）已知向量ａ ç １ ３÷
＝è－ ， ø，
１ １ ２ ２
λ＋ μ ＝３
ｂ θ θ θ ．
＝（２ｃｏｓ ，２ｓｉｎ ），０＜ ＜π
→ＡＢ →ＡＣ 若ａ ｂ 求 θ的值
Ａ→Ｈ与 共线 （１） ∥ ， ｃｏｓ ；
Ｄ． ＋ ( )
｜
→ＡＢ
｜ｃｏｓ
Ｂ
｜
→ＡＣ
｜ｃｏｓ
Ｃ
若 ａ ｂ ｂ 求 θ π 的值．
８． 答案 ＡＣＤ （２） ｜ ＋ ｜＝｜ ｜， ｓｉｎ ＋
６
三、填空题（每小题５分，共２０分） １３． 解析 因为ａ ｂ 所以 １ θ ３ θ 即
（１） ∥ ， － ·２ｓｉｎ ＝ ·２ｃｏｓ ， －
９．（２０２０湖南永州祁阳二模，８）已知平面向量ａ ｂ ｅ ｅ ａ ２ ２
， ， ，｜ ｜＝１， ·
ｅ ｂ ｅ 且 ａ ｂ 则ａ ｂ的最大值是 ． θ θ 所以 θ 又 θ 所以θ ２π 所以
＝１， · ＝－２， ｜２ ＋ ｜＝２， · ｓｉｎ ＝ ３ｃｏｓ ， ｔａｎ ＝－ ３， ０＜ ＜π， ＝ ，
３
９． 答案 ３
－ θ １ ．
２ ｃｏｓ ＝－
１０．（２０１９河南、河北百校联盟４月联考，１５）如图 在平面四边形 ２
， 因为 ａ ｂ ｂ 所以 ａ ｂ ２ ｂ ２ 化简得 ａ ２ ａ ｂ
（２） ｜ ＋ ｜＝｜ ｜， ｜ ＋ ｜ ＝｜ ｜ ， ｜ ｜ ＋２ ·
ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＢＣ ＡＤ ＢＤ ＢＣＤ ° ＣＢ ＣＤ 点Ｍ æ ö
， ⊥ ， ⊥ ，∠ ＝６０ ， ＝ ＝２ ３， 又ａ ç １ ３÷ ｂ θ θ 则 ａ ２ ａ ｂ
为ＢＣ边上一动点 则Ａ→Ｍ Ｄ→Ｍ的取值范围为 ． ＝０， ＝è－ ， ø， ＝（２ｃｏｓ ，２ｓｉｎ ）， ｜ ｜ ＝１， · ＝
， · ２ ２
( )
θ θ 所以 θ θ １ 则 θ π
－ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ， ３ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－ ， ｓｉｎ － ＝－
２ ６
( ) ( )
１ 又 θ 所以θ π π ５π 又 θ π 所
， ０＜ ＜π， － ∈ － ， ， ｓｉｎ － ＜０，
４ ６ ６ ６ ６
( )
以θ π π
－ ∈ － ，０ ，
６ ６
( ) ( )
[ ] 所以 θ π ２ θ π １５
１０． 答案 ４５ ｃｏｓ － ＝ １－ｓｉｎ － ＝ ，
，１８ ６ ６ ４
４ ( ) [( ) ]
１１．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，１３）若向量ａ ｂ满 所以 θ π θ π π
， ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ － ＋
足ａ θ θ θ Ｒ ｂ 则 ａ ｂ 的取值范围为 ６ ６ ３
＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）（ ∈ ），｜ ｜＝２， ｜２ － ｜ ( ) ( )
． θ π π θ π π ３ ５－１．
＝ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝
１１． 答案 ６ ３ ６ ３ ８
［０，４］ 规律总结 已知向量ａ （ｘ ，ｙ ），ｂ （ｘ ，ｙ ），
１２．（２０２１山东枣庄二模，１４）如图 由四个全等的三角形与中间 ＝ １ １ ＝ ２ ２
， （ ）若ａ ｂ，则有ｘ ｙ ｘ ｙ ；
的一个小正方形ＥＦＧＨ拼成的一个大正方形ＡＢＣＤ中
，
→ＡＦ
＝ （
１
）若ａ
∥
ｂ，则有ｘ
１
ｘ
２－
ｙ
２
ｙ
１＝０
．
２ ⊥ １ ２＋ １ ２＝０
→ＡＥ．设→ＡＦ ｘ→ＡＢ ｙＡ→Ｄ 则ｘ ｙ的值为 ．
３ ＝ ＋ ， ＋
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
１ Ｃ→Ｂ２ ９ 故选 ．
１．（２０２１北京西城一模，６）在 ＡＢＣ中 Ｃ ° ＡＣ ＢＣ 点 ＋ ＝ ， Ｃ
△ ， ＝９０ ， ＝４， ＝３， ２ ２
Ｐ是ＡＢ的中点
，
则Ｃ→Ｂ
·
Ｃ→Ｐ
＝ （ ）
２．（２０２１ 安徽合肥一模，７）在
△
ＡＢＣ 中
，
ＡＢ
＝２，
ＡＣ
＝３，
Ｂ→Ｄ
＝
Ｄ→Ｃ →ＡＥ Ｅ→Ｂ 则Ａ→Ｄ Ｃ→Ｅ
９ ９ ２ ， ＝ ， · ＝ （ ）
Ａ． Ｂ．４ Ｃ． Ｄ．６
４ ２ ７ ７ １６ １６
答案 Ｃ 在
△
ＡＢＣ 中
，∠
ＢＣＡ
＝９０
°
，∴
→ＣＡ
·
Ａ．－
６
Ｂ．
６
Ｃ．－
３
Ｄ．
３
答案 Ｃ 在 ＡＢＣ中 因为Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ 所以Ａ→Ｄ →ＡＢ Ｂ→Ｄ
Ｃ→Ｂ 点 Ｐ 是 ＡＢ 的中点 Ｃ→Ｐ １ →ＣＡ △ ， ＝２ ， ＝ ＋ ＝
＝０，∵ ，∴ ＝ （ ＋
２ →ＡＢ ２ Ｂ→Ｃ ２ →ＡＣ １ →ＡＢ 又→ＡＥ Ｅ→Ｂ 所以Ｃ→Ｅ →ＣＡ １ →ＡＢ
＋ ＝ ＋ ， ＝ ， ＝ ＋ ＝
Ｃ→Ｂ Ｃ→Ｂ Ｃ→Ｐ Ｃ→Ｂ １ →ＣＡ Ｃ→Ｂ １ →ＣＡ Ｃ→Ｂ ３ ３ ３ ２
），∴ · ＝ · （ ＋ ）＝ ·
２ ２
第五章 平面向量 ２ ４９
( ) ( )
１→ＡＢ →ＡＣ 所以Ａ→Ｄ Ｃ→Ｅ ２→ＡＣ １→ＡＢ １ →ＡＢ →ＡＣ
－ ， · ＝ ＋ · － ＝
２ ３ ３ ２
２→ＡＣ２ １→ＡＢ２ ２ １６ 故选 ．
－ ＋ ＝－６＋ ＝－ ， Ｃ
３ ６ ３ ３
方法总结 有关平面向量数量积运算问题的解题策略：（ ）直
１
接根据数量积的定义进行运算，即ａ·ｂ ａ ｂ · θ，其中θ
＝｜ ｜｜ ｜ ｃｏｓ ８ ８ 或 ８ 或
为ａ与ｂ的夹角；（ ）利用数量积的坐标运算求，若 ａ （ｘ ， Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ．－ －１ Ｄ．－ １
ｙ ），ｂ （ｘ ，ｙ ），则 ２ ａ·ｂ （ｘ ，ｙ ）·（ｘ ，ｙ ） ｘ ｘ ＝ ｙ ｙ １ ； 答案 Ｃ 连接Ｂ ５ Ｅ ，∵ ∠ ＡＣＢ ＝９０ ５ ° ，∴ ＡＢ为圆的 ５ 直径 ，∴ ＢＥ
１ ＝ ２ ２ ＝ １ １ ２ ２ ＝ １ ２＋ １ ２ ＡＥ
（ ）基底法，即把向量分别用已知“基向量”来表示，进而转化 ⊥ ，
３
为求“基向量”的数量积；（ ４ ）利用几何意义直接求解． ∴ →ＡＥ · →ＡＢ ＝｜ →ＡＥ ｜·｜ →ＡＢ ｜·ｃｏｓ∠ ＢＡＥ ＝｜ →ＡＥ ｜ ２ ＝ １８ ，
３．（２０２１江西三校３月联考，６）在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ ５
， ＝１， ＝２，
ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ
，
过点Ａ作ＡＥ
⊥
ＢＤ
，
则→ＡＥ
·
Ｅ→Ｃ
＝ （ ） ∴
ＢＥ２
＝
ＡＢ２
－
ＡＥ２
＝４－
１８
＝
２
，∴
ＢＥ
＝
１０
，
５ ５ ５
１２ ２４ １２ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２５ ２５ ５ ５ 设ＢＤ ＤＣ ｘ 则ＡＣ ｘ２ ＡＤ ｘ２
答案 Ｄ 建立如图所示的平面直角坐标系 则Ａ Ｂ ＝ ＝ ， ＝ ４－４ ， ＝ ４－３ ，
， （０，１）， ＢＤ ＢＥ
ＢＥＤ ＡＣＤ
Ｃ Ｄ 则Ｂ→Ｄ 设Ｅ ｘ ｙ 所以→ＡＥ ∵ △ ∽△ ，∴ ＡＤ＝ＡＣ，
（０，０）， （２，０）， （２，１）， ＝（２，１）， （ ， ）， ＝
ｘ ｙ Ｂ→Ｅ ｘ ｙ
（ ， －１）， ＝（ ， ）， １０
ì ｘ
ïｘ ２ ５ 解得ｘ２ １ 或 ４
→ＡＥ Ｂ→Ｄ且Ｂ→Ｅ Ｂ→Ｄ
{
２
ｘ
＋
ｙ
－１＝０，解得í
ï ＝
５
， ∴
４－３
ｘ２ ＝
４－４
ｘ２ ， ＝
２ ５
，
∵ ⊥ ∥ ，∴ ｘ ｙ ï
－２ ＝０，
î
ïｙ
＝
１
， ∵
Ａ→Ｄ
·
Ｂ→Ｃ
＝－２
ｘ２
，∴
Ａ→Ｄ
·
Ｂ→Ｃ
＝－
８ 或
－１
．
５ ５
６．（２０２１ 河南三门峡一模，７）已知点 Ｇ 是 ＡＢＣ 的重心 →ＡＧ
△ ， ＝
λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ Ｒ 若 Ａ ° →ＡＢ →ＡＣ 则 →ＡＧ 的最
＋ （ ， ∈ ）， ∠ ＝１２０ ， · ＝－２， ｜ ｜
小值是
（ ）
３ ２ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２ ２ ３
( ) ( ) ( )
答案 Ｄ 设ＢＣ的中点为Ｄ
，
则有
２
Ａ→Ｄ
＝
→ＡＢ
＋
→ＡＣ
，
又因为点
Ｅ ２ １ →ＡＥ ２ ４ Ｅ→Ｃ ８ １ 则→ＡＥ Ｅ→Ｃ
∴ ， ， ＝ ，－ ， ＝ ，－ ， · ＝ Ｇ是 ＡＢＣ的重心 →ＡＧ ２ Ａ→Ｄ １ →ＡＢ →ＡＣ 又 ＢＡＣ
５ ５ ５ ５ ５ ５ △ ，∴ ＝ ＝ （ ＋ ）， ∠ ＝
( ) ( ) ３ ３
２ ８ ４ １ ４ ．故选 ．
× ＋ － × － ＝ Ｄ ° →ＡＢ →ＡＣ 则→ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ →ＡＣ ° 即
５ ５ ５ ５ ５ １２０ ， · ＝－２， · ＝ ｜ ｜ ｜ ｜ｃｏｓ １２０ ＝－２，
４．（２０２１ 河南 ３ 月适应性测试，１０）若
△
ＡＢＣ 的外心为 Ｏ
，
且
｜
→ＡＢ
｜｜
→ＡＣ
｜＝４，∴ ｜
→ＡＧ
｜＝
１
｜
→ＡＢ
＋
→ＡＣ
｜＝
１ →ＡＢ２
＋
→ＡＣ２
＋２
→ＡＢ
·
→ＡＣ
ＢＡＣ ° ＡＢ ＡＣ 则Ｏ→Ａ →ＢＡ Ｏ→Ｂ Ｃ→Ｂ Ｏ→Ｃ →ＡＣ等于 ３ ３
∠ ＝６０ ， ＝２， ＝３， · ＋ · ＋ ·
１ →ＡＢ ２ →ＡＣ ２ 又 →ＡＢ ２ →ＡＣ ２ →ＡＢ →ＡＣ
（ ） ＝ ｜ ｜ ＋｜ ｜ －４， ｜ ｜ ＋｜ ｜ ≥２｜ ｜·｜ ｜ ＝８，
３
Ａ．５
答案 Ｃ 在
Ｂ．８
ＡＢＣ中 Ｂ
Ｃ
ＡＣ
．１０
° ＡＢ
Ｄ．
Ａ
１
Ｃ
３
由余弦
当且仅当
｜
→ＡＢ
｜＝｜
→ＡＣ
｜
时等号成立
，∴ ｜
→ＡＧ
｜≥
１
８－４＝
２
，
即
｜
△ ，∠ ＝６０ ， ＝２， ＝３， ３ ３
定理得ＢＣ２ ＡＢ２ ＡＣ２ ＡＢ ＡＣ ＢＡＣ １ →ＡＧ 的最小值为 ２ ．故选 ．
＝ ＋ －２ · ·ｃｏｓ∠ ＝４＋９－２×２×３× ｜ Ｄ
２ ３
７．（２０２１陕西西安五校３月联考，７）如图 直角 ＡＢＣ中 ＡＢＣ
所以ＢＣ 因为Ｏ为 ＡＢＣ的外心 所以Ｏ→Ａ →ＢＡ １ ， △ ，∠
＝７， ＝ ７， △ ， · ＝ ° ＡＢ ＢＣ Ｍ 点是线段 ＡＣ 上一动点 若以 Ｍ 为圆
２ ＝９０ ， ＝３， ＝４， ，
→ＢＡ２ １ ２ Ｏ→Ｂ Ｃ→Ｂ １ Ｃ→Ｂ２ １ ２ ７ Ｏ→Ｃ →ＡＣ
心
， ５
为半径的圆与线段ＡＣ交于Ｐ
，
Ｑ两点
，
则Ｂ→Ｐ
·
Ｂ→Ｑ的最小
＝ ×２ ＝２， · ＝ ＝ ×（ ７） ＝ ， · ＝
２ ２ ２ ２ 值为
（ ）
１→ＡＣ２ １ ２ ９ 则Ｏ→Ａ →ＢＡ Ｏ→Ｂ Ｃ→Ｂ Ｏ→Ｃ →ＡＣ ７ ９
＝ ×３ ＝ ， · ＋ · ＋ · ＝２＋ ＋
２ ２ ２ ２ ２
故选 ．
＝１０， Ｃ
５．（２０２１天津河东一模，９）已知圆Ｏ上有三点Ａ Ｂ Ｃ ＡＢ 且
， ， ， ＝２
ＡＣＢ ° Ｄ为ＢＣ的中点 ＡＤ的延长线与圆Ｏ交于点Ｅ
∠ ＝９０ ， ， ，
如图 →ＡＥ →ＡＢ １８ 则Ａ→Ｄ Ｂ→Ｃ的值为 １２ １９ ９ １９
， · ＝ ， · （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ １５ ２５ １３ １５
２ ５０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
答案 Ｂ 连接 ＢＭ．Ｂ→Ｐ · Ｂ→Ｑ ＝（ Ｂ→Ｍ ＋ Ｍ→Ｐ ）·（ Ｂ→Ｍ － Ｍ→Ｐ ）＝ ＋ ｂ ｜＝｜ ａ － ｂ ｜ 时 ， ａ２ ＋２ ａ · ｂ ＋ ｂ２ ＝ ａ２ －２ ａ · ｂ ＋ ｂ２ ， 得ａ · ｂ ＝０，
所以ａ ｂ 所以 正确
Ｂ→Ｍ ２ Ｍ→Ｐ ２ Ｂ→Ｍ ２ 只需求 Ｂ→Ｍ 的最小值即可 ⊥ ， Ｃ ；
｜ ｜ －｜ ｜ ＝｜ ｜ －５， ｜ ｜ ， 对于 由 的判断可知 当λ 时成立 而λ 时 不成立
Ｄ， Ａ ， ＜０ ， ＞０ ， ，
当ＢＭ ＡＣ时 Ｂ→Ｍ 最小 此时 Ｂ→Ｍ １２ Ｂ→Ｐ Ｂ→Ｑ １４４ 所以 错误 故选 ．
⊥ ，｜ ｜ ， ｜ ｜＝ ，（ · ）ｍｉｎ＝ Ｄ ， ＢＣ
５ ２５ １１．（２０２１届山东新泰第一中学第二次月考，１０）设向量ａ ｂ满足
，
１９ 选 ．
－５＝ ， Ｂ ａ ｂ 且 ｂ ａ 则以下结论正确的是
２５ ｜ ｜＝｜ ｜＝１， ｜ －２ ｜＝ ５， （ ）
８．（２０２１浙江新高考研究卷（二），９）已知向量ａ ｂ ｃ满足 ａ ａ ｂ ａ ｂ
， ， ｜ ｜＝ Ａ． ⊥ Ｂ．｜ ＋ ｜＝２
ａ ｂ ａ ｂ °
ｂ ｃ ｂ 若向量ｃ ａ与ｂ的夹角为π 则 ａ ｃ 的 Ｃ．｜ － ｜＝ ２ Ｄ．〈 ， 〉＝６０
１，｜ ｜＝２，｜ － ｜＝１， － ６ ， ｜ － ｜ 答案 ＡＣ 将 ｂ ａ ｂ ａ ２ 两边平方可得 ｂ
｜ －２ ｜＝ （ －２ ） ＝ ５ （
取值范围为
（ ） －２ ａ ） ２ ＝５，
． ． ． ． 即 ａ ｂ ａ ｂ
Ａ（０，２ ３］ Ｂ（０，４］ Ｃ（０，２］ Ｄ［２，４］ ５－４ · ＝５，∴ · ＝０，
答案 Ａ 记Ｏ→Ａ
＝
ａ
，
Ｏ→Ｂ
＝
ｂ
，
Ｏ→Ｃ
＝
ｃ
， ∴
ａ
⊥
ｂ
，
因此
Ａ
正确
，Ｄ
不正确
；
不妨设ＯＢ为固定线段 则点Ａ Ｃ分别 由于 ａ ｂ ａ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ａ ｂ 则 不正确
， ， ｜ ＋ ｜＝ （ ＋ ） ＝ ＋ ＋２ · ＝ ２， Ｂ ；
在以点 Ｏ ， 点 Ｂ 为圆心 ，１ 为半径的圆 又因为 ｜ ａ － ｂ ｜＝ （ ａ － ｂ ） ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ －２ ａ · ｂ ＝ ２， 则 Ｃ 正确．
上 易知两圆外切 且直线 ＡＣ 与直线 故选 ．
， ，
ＡＣ
１２．（２０２０山东德州一中开学考，１２）已知 ｅ ｅ 是两个单位向
ＯＢ的夹角为π ， 设直线ＡＣ与圆Ｏ ， 圆Ｂ的交点分别为Ａ ， Ｐ ； １， ２
６
Ｑ Ｃ 如图 则 ａ ｃ 最小值为 ＰＱ 最大值为 ＡＣ ． 量 λ Ｒ时 ｅ λｅ 的最小值为 ３ 则下列结论正确的是
， ， ， ｜ － ｜ ｜ ｜， ｜ ｜ ， ∈ ，｜ １＋ ２｜ ，
分别取线段ＡＰ ＱＣ的中点Ｍ Ｎ 连接ＯＭ ＢＮ 则ＯＭ垂直平 ２
， ， ， ， ，
分线段ＡＰ ＢＮ垂直平分线段ＱＣ． （ ）
，
ｅ ｅ 的夹角是π ｅ ｅ 的夹角是π或２π
结合图形及已知可知 ＭＮ 所以 ａ ｃ 的最小值为 此 Ａ． １， ２ Ｂ． １， ２
｜ ｜＝ ３， ｜ － ｜ ０， ３ ３ ３
时Ａ Ｃ重合于两圆切点处 与条件不符 所以 ａ ｃ ．
， ， ， ｜ － ｜＞０ ｅ ｅ 或 ｅ ｅ 或 ３
ａ ｃ 的最大值为 ＰＱ ．故选 ． Ｃ．｜ １＋ ２｜＝１ ３ Ｄ．｜ １＋ ２｜＝１
｜ － ｜ ２ ３－｜ ｜≤２ ３ Ａ ２
答案 ＢＣ 设ｅ ｅ 的夹角为θ ｅ ｅ ｅ
二、多项选择题 １， ２ ，∵ ｜ １｜＝｜ ２｜＝１，∴ ｜ １＋
λｅ ｅ λｅ ２
９．（２０２０山东泰安二模，１０）已知向量ａ ｂ ｃ ２｜＝ （ １＋ ２）
＝（２，１）， ＝（１，－１）， ＝
（ ｍ －２，－ ｎ ）， 其中ｍ ， ｎ均为正数 ， 且 （ ａ － ｂ ）∥ ｃ ， 下列说法正确 ＝ ｅ２ １＋ λ２ｅ２ ２＋２ λｅ １· ｅ ２ ＝ λ２ ＋２ λ ｃｏｓ θ ＋１ ．
的是
（ ） 又 ｅ λｅ 的最小值为 ３
ａ与ｂ的夹角为钝角 ∵ ｜ １＋ ２｜ ，
Ａ． ２
λ２ λ θ 的最小值为 ３
向量ａ在ｂ方向上的投影为 ５ ∴ ＋２ ｃｏｓ ＋１ ，
Ｂ． ４
５ 又 λ２ λ θ λ θ ２ ２θ ２θ
ｍ ｎ ∵ ＋２ ｃｏｓ ＋１＝（ ＋ｃｏｓ ） ＋１－ｃｏｓ ≥１－ｃｏｓ ，
Ｃ．２ ＋ ＝４
ｍｎ的最大值为 ２θ ３ θ １ 或 １ θ π或２π 故 成立
Ｄ． ２ ∴１－ｃｏｓ ＝ ，∴ ｃｏｓ ＝ － ，∴ ＝ ， Ｂ ，
答案 ＣＤ 由题意知 ａ ｂ 所以ａ与ｂ的夹角为锐 ４ ２ ２ ３ ３
角 ， 故选 项 Ａ 错误 ；
， · ＝１＞０， 此时
，｜
ｅ
１＋
ｅ
２｜ ＝
ｅ２
１＋２
ｅ
１·
ｅ
２＋
ｅ２
２ ＝ ２＋２×１×１×ｃｏｓ
θ
＝１
或
故 成立 故选 ．
ａ ｂ ３， Ｃ ， ＢＣ
向量ａ在ｂ方向上的投影为 · １ ２ 故选项 错误 １３．（２０２０百师联盟期中联考）已知向量 ａ α α ｂ
ｂ ＝ ＝ ， Ｂ ； ＝（ｓｉｎ ，ｃｏｓ ）， ＝
｜ ｜ ２ ２ 则下列命题正确的是
ａ ｂ 因为 ａ ｂ ｃ ｍ ｎ 均为正数 所以 ｃ 为非零 （１，２）， （ ）
－ ＝（１，２）， （ － ）∥ ， ， ，
向量 若ａ ｂ 则 α １
， Ａ． ∥ ， ｔａｎ ＝
且 ｎ ｍ 所以 ｍ ｎ 故选项 正确 ２
－ ＝２ －４， ２ ＋ ＝４， Ｃ ；
若ａ ｂ 则 α １
由基本不等式知 ｍ ｎ ｍｎ 所以ｍｎ 当且仅当 Ｂ． ⊥ ， ｔａｎ ＝
，４＝２ ＋ ≥２ ２ ， ≤２， ２
ｍ ｎ 时取等号
２ ＝ ＝２ ， 若ｆ α ａ ｂ取得最大值 则 α １
故ｍｎ的最大值为 故选项 正确．故选 ． Ｃ． （ ）＝ · ， ｔａｎ ＝
２， Ｄ ＣＤ ２
１０．（２０２１届百师联盟高三一轮复习联考（二），１１）设ａ ｂ是两 ａ ｂ 的最大值为
， Ｄ．｜ － ｜ ５＋１
个非零向量 则下列描述正确的是 答案 ＡＣＤ 对于 选项 若ａ ｂ 则 α α 即
， （ ） Ａ ， ∥ ， ２ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝０，
若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ ｂ
Ａ． ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜， ⊥ α １ 正确
若 ａ ｂ ａ ｂ 则存在实数λ 使得ｂ λａ ｔａｎ ＝ ，Ａ ；
Ｂ． ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜， ， ＝ ２
若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ ｂ 对于 选项 若ａ ｂ 则 α α 即 α 不
Ｃ． ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜， ⊥ Ｂ ， ⊥ ， ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝０， ｔａｎ ＝－２，Ｂ
若存在实数λ 使得ｂ λａ 则 ａ ｂ ａ ｂ 正确
Ｄ． ， ＝ ， ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜ ；
答案 ＢＣ 对于
Ａ，
当
｜
ａ
＋
ｂ
｜＝｜
ａ
｜－｜
ｂ
｜
时
，
ａ２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ２
＝ 对于 选项 ｆ α ａ ｂ α α
(
α １
ａ ２ ａ ｂ ｂ ２ 得ａ ｂ ａ ｂ 因为ａ ｂ是两个 Ｃ ， （ ）＝ · ＝ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝ ５ ｓｉｎ · ＋
｜ ｜ －２｜ ｜｜ ｜＋｜ ｜ ， · ＝－｜ ｜·｜ ｜， ， ５
非零向量 )
， ２ α α φ φ １ φ ２ 故ｆ α
所以ａ ｂ共线且方向相反 所以 错误 正确 对于 当 ａ ｃｏｓ ＝ ５ｓｉｎ（ ＋ ），ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ， （ ）ｍａｘ＝
， ， Ａ ，Ｂ ； Ｃ， ｜ ５ ５ ５
第五章 平面向量 ２ ５１
５，
当且仅当α
＋
φ
＝
π
＋２
ｋ
π，
ｋ
∈
Ｚ时取
“＝”， ＝１①，
直线ＡＭ方程为ｙ
＝
３ｘ
②，∴
→ＡＢ
·
Ｂ→Ｃ
＝
→ＡＢ
·（
→ＡＣ
－
→ＡＢ
）
２ ( ) ３
æ ö
π ｋ φ
( ) ｓｉｎ ＋２ π－ φ →ＡＢ２ 联立 解得Ｍç ３ ３÷．由图可知 当Ｐ在线
此时 α π ｋ φ ２ ｃｏｓ １ ＝－ ＝－１， ①②， è ， ø ，
ｔａｎ ＝ｔａｎ ＋２ π－ ＝ ( ) ＝ φ＝ ， ４ ４
２ ｃｏｓ π ＋２ ｋ π－ φ ｓｉｎ ２ 段ＢＣ上时 Ａ→Ｍ Ｂ→Ｐ有最大值 ．
２ ， · ０
因此 正确 思路分析 由于题中三角形为直角三角形且Ｐ为动点，故
Ｃ ；
采取建系的方法研究更为简便．解决直角三角形、等边三角
对于 选项 ａ ｂ ａ２ ａ ｂ ｂ２ α α
Ｄ ，｜ － ｜ ＝ －２ · ＋ ＝ ６－２（ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ） 形、矩形等特殊图形中的向量问题时，建立合适的平面直角
α θ
＝ ６－２ ５ｓｉｎ（ ＋ ）， 坐标系可以快速打开思路．
当且仅当 α θ 时 ａ ｂ 取最大值 ａ ｂ
ｓｉｎ（ ＋ ）＝ －１ ，｜ － ｜ ，｜ － ｜ｍａｘ＝ １６．（２０２１天津和平一模，１５）如图 四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＣＤ ＡＢ
， ， ∥ ，
６＋２ ５ ＝ ５＋１， 从而 Ｄ 正确 ， 故选 ＡＣＤ ． ＝５， ＣＤ ＝２， ＢＣ ＝ １３， →ＡＣ · Ｂ→Ｄ ＝０， Ｍ ， Ｎ分别是线段ＡＢ ， ＡＤ
１４．（２０２０山东九校联考）已知 ＡＢＣ是边长为 的等边三角形
△ ２ ， 上的点 且 ＡＭ ＡＮ 则Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ的最大值为 ．
， ｜ ｜＋｜ ｜＝２， ·
Ｄ Ｅ分别是ＡＣ ＡＢ上的点 且→ＡＥ Ｅ→Ｂ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｃ ＢＤ与ＣＥ
， 、 ， ＝ ， ＝２ ，
交于点Ｏ 则下列说法正确的是
， （ ）
→ＡＢ Ｃ→Ｅ
Ａ． · ＝－１
Ｏ→Ｅ Ｏ→Ｃ ０
Ｂ． ＋ ＝
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ３
Ｃ．｜ ＋ ＋ ｜＝ 答案 １
２
２
Ｅ→Ｄ在Ｂ→Ｃ方向上的投影为 ７ 解析 设ＡＣ ＢＤ的交点为Ｏ．
Ｄ． ，
６ 根据ＡＢ ＣＤ ＡＢ ＣＤ ．
答案 ＢＣＤ 由题意知Ｅ为ＡＢ的中 ∥ ， ＝５， ＝２
可设ＯＣ ｘ ＯＡ ｘ ＯＤ ｙ ＯＢ ｙ 则由ＡＣ ＢＤ得
点 则ＣＥ ＡＢ 以Ｅ为原点 ＥＡ ＥＣ所在 ＝２ ， ＝５ ， ＝２ ， ＝５ ， ⊥
直
，
线分别
⊥
为ｘ轴
，
ｙ轴建立平
，
面直
，
角坐标
ＯＣ２
＋
ＯＤ２
＝
ＣＤ２
，
ＯＣ２
＋
ＯＢ２
＝
ＢＣ２
，
系 如图所示 ， 即 （２ ｘ ） ２ ＋（２ ｙ ） ２ ＝４①，（２ ｘ ） ２ ＋（５ ｙ ） ２ ＝１３②，
， ：
æ ö 联立 可得ｘ２ ４ ｙ２ ３
所以Ｅ Ａ Ｂ Ｃ Ｄç １ ２ ３÷ ①② ＝ ， ＝ ，
（０，０）， （１，０）， （－１，０）， （０， ３）， è ， ø， ７ ７
３ ３
æ ö 故ＡＤ２ ＯＤ２ ＯＡ２ ３ ４ 故ＡＤ ．
设Ｏ ｙ ｙ 则Ｂ→Ｏ ｙ Ｄ→Ｏ ç １ ｙ ２ ３÷ ＝ ＋ ＝４× ＋２５× ＝１６， ＝４
（０， ）， ∈（０， ３）， ＝（１， ）， ＝è－ ， － ø， ７ ７
３ ３
ＢＤ ｙ ３ ．
因为Ｂ→Ｏ Ｄ→Ｏ 所以ｙ ２ ３ １ ｙ 解得ｙ ３ ＝７ ＝７× ＝ ２１
∥ ， － ＝－ ， ＝ ， ７
３ ３ ２ ＡＤ２ ＡＢ２ ＢＤ２
即Ｏ是ＣＥ的中点 ， 则Ｏ→Ｅ ＋ Ｏ→Ｃ ＝ ０ ， 所以选项 Ｂ 正确 ； 在 △ ＡＢＤ中 ， 由余弦定理得 ｃｏｓ∠ ＢＡＤ ＝ ２× ＋ ＡＤ × － ＡＢ ＝ ２ １ ，
｜
Ｏ→Ａ
＋
Ｏ→Ｂ
＋
Ｏ→Ｃ
｜＝｜２
Ｏ→Ｅ
＋
Ｏ→Ｃ
｜＝｜
Ｏ→Ｅ
｜＝
３
，
所以选项
Ｃ
正确
；
设
｜
Ａ→Ｍ
｜＝
ｍ
（０≤
ｍ
≤２），
则
｜
Ａ→Ｎ
｜＝２－
ｍ
，
２
因为ＣＥ ＡＢ 所以→ＡＢ Ｃ→Ｅ 所以选项 错误
所以Ａ→Ｍ
·
Ａ→Ｎ
＝
ｍ
（２－
ｍ
）ｃｏｓ∠
ＢＡＤ
＝
１
（－
ｍ２
＋２
ｍ
）＝
１
［－（
ｍ
－
⊥ ， · ＝０， Ａ ； ２ ２
æ ö
２
Ｅ→Ｄ ç １ ２ ３÷ Ｂ→Ｃ １） ＋１］，
＝è ， ø， ＝（１， ３），
３ ３ 显然 当ｍ 时 Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ取得最大值 １ ．
， ＝１ ， ·
１ ２
Ｅ→Ｄ Ｂ→Ｃ ＋２ １７．（２０２１浙江“９＋１”联盟４月联考，１７）设圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 上两点
故Ｅ→Ｄ在Ｂ→Ｃ方向上的投影为 · ３ ７ 所以选项 ： ＋ ＝１
＝ ＝ ， Ｄ
｜ Ｂ→Ｃ ｜ ２ ６ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 满足 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ １ 则 ｘ ｙ ｘ ｙ
正确．故选 ． （ １， １）， （ ２， ２） ： · ＝－ ， ｜ １－２ １｜＋｜ ２－２ ２
ＢＣＤ ２
的取值范围是 ．
三、填空题 ｜
é ù
１５．（２０２１ 北京平谷一模，１３）已知在直角三角形ＡＢＣ中 Ａ 答案 êê １５ úú
，∠ ＝ ë ， １５û
２
° ＡＢ ＢＣ 那么→ＡＢ Ｂ→Ｃ等于 若ＡＭ是ＢＣ
９０ ， ＝１， ＝２， · ； 解析 由→ＯＡ Ｏ→Ｂ １及点Ａ Ｂ在圆Ｏ上 得 ＡＯＢ °．
边上的高 点Ｐ在 ＡＢＣ 内部或边界上运动 那么 Ａ→Ｍ Ｂ→Ｐ · ＝－ ， ， ∠ ＝１２０
， △ ， · ２
的最大值是 ． ｘ ｙ ｘ ｙ
设ｈ ｜ １－２ １｜ ｜ ２－２ ２｜ 则ｈ表示点Ａ Ｂ分别到直线ｘ ｙ
答案 ＝ ＋ ， ， －２
－１；０ ５ ５
解析 由 ＢＡＣ ° ＡＢ ＢＣ 可得 的距离之和．
∠ ＝９０ ， ＝１， ＝２， ＝０
ＡＣ 以ＡＢ所在直线为ｘ轴 以ＡＣ所在 取直线ｘ ｙ 为ｘ轴重新建立直角坐标系后 ｈ表示点Ａ Ｂ
＝ ３， ， －２ ＝０ ， ，
直线为 ｙ 轴 建立平面直角坐标系 则 分别到ｘ轴的距离之和．
， ，
ｙ 在新的直角坐标系下 设 Ａ θ θ Ｂ θ °
Ｂ Ｃ 直线ＢＣ的方程为ｘ ， （ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）， （ｃｏｓ（ ＋１２０ ），
（１，０）， （０， ３）， ＋ θ °
３ ｓｉｎ（ ＋１２０ ）），
２ ５２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
则有ｈ θ θ ° ． ．
＝｜ｓｉｎ ｜＋｜ｓｉｎ（ ＋１２０ ）｜
由对称性 不妨设点Ｂ在ｘ轴上或其上方 即 ° θ °．
， ， －１２０ ≤ ≤６０ 答案 ７
{ θ θ ° ° θ °
所以ｈ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ（ ＋１２０ ），０ ≤ ≤６０ ， ８
＝ θ θ ° ° θ ° 解析 因为 ａ ｂ 是单位向量 且 ｂ 在 ａ 方向上的投影为
－ｓｉｎ ＋ｓｉｎ（ ＋１２０ ），－１２０ ≤ ＜０ ， ， ，
ａ ｂ ａ ｂ ｂ
当 ０ ° ≤ θ ≤６０ °时 ， ｈ ＝ｓｉｎ θ ＋ｓｉｎ（ θ ＋１２０ ° ）＝ １ ｓｉｎ θ ＋ ３ ｃｏｓ θ ＝ ｜ · ａ ｜ ＝ ａ · ｂ ＝ － ４ １ ， 所 以 ｃｏｓ θ ＝ ｜ （ ａ ＋ ＋ ２ ２ ｂ ｜ ） · · ｜ ｂ ｜ ＝
２ ２
ｓｉｎ（ θ ＋６０ ° ），
é ù
ａ
·
ｂ
＋２
ｂ２ －
４
１ ＋２
７ ．
由 ６０ ° ≤ θ ＋６０ ° ≤１２０ ° ， 得ｈ ∈ë êê ３ ，１û úú ， ａ２ ＋４ ａ · ｂ ＋４ ｂ２ ＝ ( １ ) ＝ ８
２ １＋４× － ＋４
４
当
－１２０
°
≤
θ
＜０
°时
，
ｈ
＝－ｓｉｎ
θ
＋ｓｉｎ（
θ
＋１２０
°
）＝－
３
ｓｉｎ
θ
＋
３
·
一题多解 设ａ
＝
Ｏ→Ａ，ｂ
＝
Ｏ→Ｂ，以Ｏ为坐标原点，Ｏ→Ａ的方向
２ ２
为ｘ轴的正方向建立平面直角坐标系（图略），则ａ （ ， ），
θ θ ° ＝ １ ０
ｃｏｓ ＝－ ３ｓｉｎ（ －３０ ）， ａ·ｂ
é ù 设ｂ （ α， α），则 ａ·ｂ １ ，即 α １，ａ ｂ
由 ° θ ° ° 得ｈ êê ３ úú． ＝ ｃｏｓ ｓｉｎ ａ ＝ ＝－ ｃｏｓ ＝－ ＋２
－１５０ ≤ －３０ ＜－３０ ， ∈ë ， ３û ｜ ｜ ４ ４
２ （ α， α），所以（ａ ｂ）·ｂ （ α）· α
＝ １＋２ｃｏｓ ２ｓｉｎ ＋２ ＝ １＋２ｃｏｓ ｃｏｓ ＋
综上得 ３ ｈ
≤ ≤ ３， ２α ７， ａ ｂ （ α）２ （ α）２
２ ２ｓｉｎ ＝ ｜ ＋ ２ ｜ ＝ １＋２ｃｏｓ ＋ ２ｓｉｎ ＝
４
é ù
从而 ｜ ｘ １－２ ｙ １｜＋｜ ｘ ２－２ ｙ ２｜＝ ５ ｈ ∈ë êê １５ ， １５û úú． （ａ ｂ）·ｂ ７
２ ２α ２α α ，所以 θ ＋２ ４
解题关键 本题的关键是理解 ｘ ｙ ｘ ｙ 的几何 ４ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ ＋１＋４ｃｏｓ ＝２ ｃｏｓ ＝ ａ ｂ · ｂ ＝
｜ １－２ １｜＋｜ ２－２ ２｜ ｜ ＋２ ｜ ｜ ｜ ２
意义，并正确转化为三角函数问题，注意需讨论角的范围，写
７．
成分段函数的形式． ＝
８
１８．（２０２１安徽六安一中４月月考，１４）已知单位向量ａ ｂ满足ｂ
，
在ａ方向上的投影为 １ 设ａ ｂ与ｂ的夹角为θ 则 θ
－ ， ＋２ ， ｃｏｓ ＝
４
学生用书Ｐ９２
１．（２０２１５·３原创题）如图所示 ， 在直角梯形ＡＢＣＤ中 ， ＡＢ ∥ ＣＤ ， ４，｜ →ＡＣ ｜＝３， Ｄ为线段ＢＣ上一点 ， 点Ｅ是平面内异于点Ｄ的一
ＡＤ
⊥
ＡＢ
，
ＡＢ
＝３，
ＤＣ
＝１，
则→ＡＢ
·
→ＡＣ
＝
．
点 满足 Ａ→Ｄ →ＡＢ →ＡＣ Ｄ→Ｅ Ｂ→Ｃ 则→ＡＥ Ｃ→Ｂ ．
， ２ ＝ ＋ ， · ＝０， · ＝
４． 答案 ７
２
５．（２０２１ ５·３ 原创题）设平面向量 ａ ｘ ｂ
＝（ ３ｓｉｎ（π－ ），１）， ＝
( ( ) )
π ｘ ２ｘ 函数ｆ ｘ ａ ｂ １ ．
ｓｉｎ ＋ ，ｃｏｓ ， （ ）＝ · －
１． 答案 ２ ２
３ 求函数ｆ ｘ 的单调递增区间
（１） （ ） ；
２．（２０２１ ５·３原创题）ａ ｂ均为单位向量 且夹角为π 若ｃ与 若锐角三角形ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 且
， ， ， （２） ， 、 、 ， ， ，
３
[ ]
ａ ， ｂ的夹角的范围均为 ０， π ， 且ｃ · ａ ＝１， 则ｃ · ｂ的最大值 ｆ （ Ａ ）＝ ２ １ ， ｂ ＝４， 求 △ ＡＢＣ面积Ｓ的取值范围．
３ ( )
为 ． ５． 解析
（１）
ｆ
（
ｘ
）＝ ３ｓｉｎ（π－
ｘ
）ｓｉｎ
π
＋
ｘ
＋ｃｏｓ
２ｘ
－
１
＝ ３·
２． 答案 ２ ２
２ ( )
３．（２０２１ ５·３原创题）如图 在四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＢＤ ＡＤ
， ， ＝ ＝ ＝ ｘ ｘ ２ｘ １ ３ ｘ １ ｘ ｘ π
ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ，
ＢＣ ＣＤ Ｍ为ＡＢ的中点 则→ＣＡ Ｃ→Ｍ的最大值为 ． ２ ２ ２ ６
２， ⊥ ， ， ·
根据 π ｋ ｘ π ｋ π ｋ Ｚ 解得ｋ π ｘ
－ ＋２ π≤２ ＋ ≤２ π＋ （ ∈ ）， π－ ≤ ≤
２ ６ ２ ３
ｋ π ｋ Ｚ
π＋ （ ∈ ），
６
[ ]
故函数ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ ．
（ ） π－ ， π＋ （ ∈ ）
３ ６
( )
ｆ Ａ １ Ａ π １
３． 答案 ５ ＋ ７ （２）∵ （ ）＝ ２ ，∴ ｓｉｎ ２ ＋ ６ ＝ ２ ，
２
又 Ａ π Ａ π ５π Ａ π
４．（２０２１ ５·３原创题）在 ＡＢＣ中 →ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ ０＜ ＜ ，∴２ ＋ ＝ ，∴ ＝ ，
△ ，｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，｜ ｜＝ ２ ６ ６ ３
第五章 平面向量 ２ ５３
又ｂ Ｓ １ ｂｃ Ａ ｃ． 解得π Ｂ π
＝４，∴ △ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ＝ ３ ＜ ＜ ，
２ ６ ２
ｃ ｂ ｂ Ｃ
在 ＡＢＣ中 由 得ｃ ｓｉｎ Ｂ ３ １ ２ ３ ２ ３
△ ， Ｃ＝ Ｂ， ＝ Ｂ， ∴ ｔａｎ ＞ ⇒０＜ Ｂ＜ ３⇒０＜ Ｂ＜６⇒２＜ Ｂ＋２＜８，
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ３ ｔａｎ ｔａｎ ｔａｎ
( ) æ ö 即 ｃ ．
π Ｂ ç ３ Ｂ １ Ｂ÷ ２＜ ＜８
４ｓｉｎ ＋ ４è ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ø Ｂ Ｂ
∴ ｃ ＝ ３ Ｂ ＝ ２ Ｂ ２ ＝ ２ ３ｃｏｓ ＋ Ｂ ２ｓｉｎ ＝ ∴ Ｓ △ ＡＢＣ＝ ３ ｃ ∈（２ ３，８ ３），
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ＡＢＣ面积Ｓ的取值范围是 ．
∴ △ （２ ３，８ ３）
２ ３ ．
Ｂ＋２
ｔａｎ
ì
ï Ｂ π
ï０＜ ＜ ，
又 ＡＢＣ为锐角三角形 且Ａ π 故í ２
△ ， ＝ ， ï
３ ï ２π Ｂ π
î０＜ － ＜ ，
３ ２
