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专题七 平面向量 ４０３
７．２ 平面向量的数量积及向量的综合应用
§
与ｅ的夹角 则
，
ｅ ａ ａ ｅ ａ θ．
（１） · ＝ · ＝｜ ｜ｃｏｓ
ａ ｂ ａ ｂ ．
（２） ⊥ ⇔ · ＝⑦ ０
考点一 平面向量的数量积
当ａ与ｂ同向时 ａ ｂ ａ ｂ
（３） ， · ＝｜ ｜｜ ｜；
１．两个向量的夹角 当ａ与ｂ反向时 ａ ｂ ａ ｂ ．
， · ＝－｜ ｜｜ ｜
特别地 ａ ａ ａ ２ ａ ａ２．
， · ＝｜ ｜ ；｜ ｜＝
ａ·ｂ
θ ．
（４）ｃｏｓ ＝⑧ ａ ｂ
｜ ｜｜ ｜
ａ ｂ ａ ｂ ．
（５）｜ · ｜≤｜ ｜·｜ ｜
考点二 平面向量数量积的应用
１．已知ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则
＝（ １， １）， ＝（ ２， ２），
证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件
（１） ， ：
ａ ｂ ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ．
２．平面向量的数量积的有关概念 ⊥ 求 ⇔ 夹 · 角问 ＝ 题 ０⇔ 利 ⑨ 用 夹 １ ２ 角 ＋ 公 １ 式 ２＝０
（２） ， ：
ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ
θ · １ ２＋ １ ２ ．
ｃｏｓ ＝
｜
ａ
｜｜
ｂ
｜
＝⑩ ｘ２
１＋
ｙ２
１
· ｘ２
２＋
ｙ２
２
求线段的长度 向量的模 ａ ａ ａ ｘ２ ｙ２或 ＡＢ
（３） ： ｜ ｜＝ · ＝ １＋ １ ｜ ｜
→ＡＢ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ．
＝｜ ｜＝ （ ２－ １） ＋（ ２－ １） （ （ １， １）， （ ２， ２））
２．向量中常用的结论
在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ．
△ ，∠ ，∠ ，∠ ， ，
æ →ＡＢ →ＡＣ ö
在Ａ→Ｉ λç ÷的条件下 存在λ使得Ｉ为 ＡＢＣ
易错警示 若ａ ｂ ｃ ｂ 为实数 则ａｂ ｂｃ ａ ｃ 但 （１） ＝ è →ＡＢ ＋ →ＡＣ ø ， △
（１） ， ， （ ≠０） ， ＝ ⇒ ＝ ； ｜ ｜ ｜ ｜
对于向量就不适用 即ａ ｂ ｂ ｃ ／ ａ ｃ ｂ ． 的内心 ａ→ＰＡ ｂＰ→Ｂ ｃＰ→Ｃ ０ Ｐ为 ＡＢＣ的内心．
， · ＝ · ⇒ ＝ （ ≠０） ； ＋ ＋ ＝ ⇔ △
数量积的运算不适合乘法结合律 即 ａ ｂ ｃ不一定等
（２） ， （ · ） →ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ为 ＡＢＣ的外心．
于ａ ｂ ｃ ． （２）｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜⇔ △
（ · ） →ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０ Ｇ为 ＡＢＣ的重心．
３．平面向量数量积的性质 （３） ＋ ＋ ＝ ⇔ △
设ａ ｂ都是非零向量 ｅ是与ｂ方向相同的单位向量 θ是ａ →ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ→Ｃ →ＰＡ Ｐ为 ＡＢＣ的垂心．
、 ， ， （４） · ＝ · ＝ · ⇔ △
考点二 平面向量数量积的应用
４．已知向量ａ ｂ ｃ ｋ 若 ａ ｂ ｃ
＝（ ３，０）， ＝（０，－１）， ＝（ ， ３）， （ －２ ）⊥ ，
则ｋ
考点一 平面向量的数量积 ＝ （ ）
３ ３
１．已知向量→ＡＢ →ＡＣ 则→ＡＢ Ｂ→Ｃ Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ． Ｄ．－
＝（１，２）， ＝（－３，１）， · ＝ （ ） ２ ２
答案 Ｂ
Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．－１ Ｄ．１
答案 Ｂ ５．已知单位向量ｅ ｅ 的夹角为θ 且 θ 若向量ｍ ｅ
１， ２ ， ｔａｎ ＝２ ２， ＝２ １
２．已知ａ ｂ ｍ ｍ ｃ ｍ 若ａ ｂ 则ｂ ｃ ｅ 则 ｍ
＝（－１，３）， ＝（ ， －４）， ＝（２ ，３）， ∥ ， · ＝ －３ ２， ｜ ｜＝ （ ）
（ ） Ａ．９ Ｂ．１０
Ａ．－７ Ｂ．－２ Ｃ．５ Ｄ．８ Ｃ．３ Ｄ． １０
答案 Ａ 答案 Ｃ
３．已知 ａ ｂ 且ａ ａ ｂ 则ａ在ｂ方向上的投影为 ６．若非零向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ａ ｂ ｂ 则ａ与ｂ的夹
｜ ｜＝１，｜ ｜＝２， ⊥（ ＋ ）， ， ｜ ｜＝｜ ｜，（２ ＋ ）· ＝０，
角为
（ ） （ ）
° ° ° °
１ １ Ａ．３０ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．１５０
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－ Ｄ． 答案 Ｃ
２ ２
答案 Ｃ
４０４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ ｂ ８．已知 ＡＢＣ是边长为 的等边三角形 点Ｄ Ｅ分别是边ＡＢ
７．已知向量ａ ｍ ｂ 且ａ ｂ 则 ｜２ － ｜ 等于 △ １ ， 、 、
＝（ ，２）， ＝（２，－１）， ⊥ ， ａ ａ ｂ
·（ ＋ ） ＢＣ的中点 连接ＤＥ并延长到点Ｆ 使得ＤＥ ＥＦ 则→ＡＦ Ｂ→Ｃ
， ， ＝２ ， ·
（ ） 的值为
（ ）
５ ５
Ａ．－ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ． ５ １ １ １１
３ ４ Ａ．－ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ ８ ８ ４ ８
答案 Ｂ
所以 ａ ｍｂ ａ ａ２ ｍａ ｂ ２ ｍ 解得ｍ 故选 ．
（ ＋ ）· ＝ ＋ · ＝３ －３ ＝０， ＝３， Ｄ
２．（２０１７北京西城二模，６）设ａ ｂ是平面上的两个单位向量 ａ
， ，
ｂ ３ ．若ｍ Ｒ 则 ａ ｍｂ 的最小值是
考点一 平面向量的数量积 · ＝ ∈ ， ｜ ＋ ｜ （ ）
５
１．（２０１７北京东城一模，５）已知向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ０ ａ ｂ
， ２ ＋ ＝ ， · ＝ ３ ４ ４ ５
则 ａ ｂ ａ ｂ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
－２， （３ ＋ ）·（ － ）＝ （ ） ４ ３ ５ ４
Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 答案 Ｃ 由题意得 ａ ｍｂ ２ ａ２ ｍａ ｂ ｍ２ｂ２ ６ ｍ
答案 Ｂ ａ ｂ ０ ｜ ＋ ｜ ＝ ＋２ · ＋ ＝１＋ ＋
∵２ ＋ ＝ ， ( ) ５
ａ与ｂ的夹角为 且 ｂ ａ ２
∴ π， ｜ ｜＝２｜ ｜， ｍ２ ｍ ３ １６ 故当ｍ ３ 时 ａ ｍｂ ２ 取得最小值 为
又 ａ ｂ ａ ｂ ＝ ＋ ５ ＋ ２５ ， ＝－ ５ ，｜ ＋ ｜ ，
∵ · ＝－２，∴ ｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ π＝－２，
ａ ｂ １６ 此时 ａ ｍｂ 取得最小值 为 ４ 故选 ．
∴ ｜ ｜＝１，｜ ｜＝２， ， ｜ ＋ ｜ ， ， Ｃ
故 ａ ｂ ａ ｂ ａ ２ ａ ｂ ｂ ２ ． ２５ ５
（３ ＋ ）·（ － ）＝３｜ ｜ －２ · －｜ ｜ ＝３×１－２×（－２）－４＝３ ３．已知向量ａ ｂ 若向量ｃ满足ｃ与ｂ的夹角
２．（２０１８河南新乡二模，５）若向量ｍ ｋ ｋ 与向量ｎ ＝（－１，２）， ＝（３，－６），
＝（２ －１， ） ＝（４， 为 ° ｃ ａ ｂ 则 ｃ
共线 则ｍ ｎ １２０ ， ·（４ ＋ ）＝５， ｜ ｜＝ （ ）
１） ， · ＝ （ ）
９ １７ Ａ．１ Ｂ． ５ Ｃ．２ Ｄ．２ ５
Ａ．０ Ｂ．４ Ｃ．－ Ｄ．－ 答案 Ｄ 由题意可知 ａ ｂ ａ ｂ 且ａ与ｂ
２ ２ ，｜ ｜＝ ５，｜ ｜＝３ ５， ∥ ，
答案 Ｄ 向量ｍ ｋ ｋ 与向量ｎ 共线 方向相反．
∵ ＝（２ －１， ） ＝（４，１） ，
由ｃ ａ ｂ 可得 ａ ｃ ｂ ｃ
ｋ ｋ 解得ｋ １ ·（４ ＋ ）＝５， ４ · ＋ · ＝５，
∴２ －１－４ ＝０， ＝－ ， 由ｃ与ｂ的夹角为 °可得ｃ与ａ的夹角为 °
２ １２０ ６０ ，
( )
∴ ｍ ＝ －２，－ １ ， 所以ｂ ｃ ｂ ｃ ° ３ ５ ｃ
２ · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ１２０ ＝－ ｜ ｜，
( ) ２
ｍ ｎ １ １７．
∴ · ＝－２×４＋ － ×１＝－ ａ ｃ ａ ｃ ° ５ ｃ ．
２ ２ · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ６０ ＝ ｜ ｜
故选 ２
Ｄ． æ ö
３．（２０１７ 曲一线命题专家高考模拟磨尖卷四·沈阳卷，１５）若 所以 ５ ｃ ç ３ ５ ｃ ÷
４× ｜ ｜＋è－ ｜ ｜ø＝５，
ａ ｂ是两个互相垂直的单位向量 则向量ａ ｂ在向量ｂ方 ２ ２
， ， － ３ 解得 ｃ 故选 ．
向上的投影为 ． ｜ ｜＝２ ５， Ｄ
４．（２０１８湖北宜昌二模，７）已知 ＡＢＣ中 Ａ ° 且ＡＢ
答案 △ ，∠ ＝１２０ ， ＝３，
－ ３ ＡＣ 若→ＡＰ λ→ＡＢ →ＡＣ 且→ＡＰ Ｂ→Ｃ 则实数λ的值为
ａ ｂ ｂ ＝４， ＝ ＋ ， ⊥ ， （ ）
解析 向量ａ ｂ在向量ｂ方向上的投影为（ － ３ ）·
－ ３ ｂ ＝ ２２ １０ １２
｜ ｜ Ａ． Ｂ． Ｃ．６ Ｄ．
ａ ｂ ｂ２ ｂ２ １５ ３ ７
· －
ｂ
３
＝
－
ｂ
３
＝－ ３
． 答案 Ａ 因为→ＡＰ
＝
λ→ＡＢ
＋
→ＡＣ
，
且→ＡＰ
⊥
Ｂ→Ｃ
，
｜ ｜ ｜ ｜
思路分析 利用投影的定义 求（ ａ － ３ ｂ ）· ｂ 的值．
所以有→ＡＰ
·
Ｂ→Ｃ
＝（
λ→ＡＢ
＋
→ＡＣ
）·（
→ＡＣ
－
→ＡＢ
）＝
λ→ＡＢ
·
→ＡＣ
－
λ→ＡＢ２
＋
， ｂ →ＡＣ２ →ＡＢ →ＡＣ λ →ＡＢ →ＡＣ λ→ＡＢ２ →ＡＣ２
｜ ｜ － · ＝（ －１） · － ＋ ＝０，
整理可得 λ ° λ
考点二 平面向量数量积的应用 （ －１）×３×４×ｃｏｓ１２０ －９ ＋１６＝０，
解得λ ２２ 故选
１．（２０１８北京石景山一模，５）已知平面向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ＝ ， Ａ．
， ｜ ｜＝３，｜ １５
ａ与ｂ的夹角为 ° 若 ａ ｍｂ ａ 则实数ｍ的值为
｜＝２， １２０ ， （ ＋ ）⊥ ， 解题关键 解答本题的关键是由题意得出→ＡＰ Ｂ→Ｃ λ→ＡＢ
· ＝（ ＋
（ ） →ＡＣ →ＡＣ →ＡＢ 进而求得λ的值．
）·（ － ）＝０，
Ａ．１ Ｂ．
３
Ｃ．２ Ｄ．３
５．（２０１７重庆育才中学模拟，６）过坐标原点Ｏ作单位圆ｘ２
＋
ｙ２
＝
２ 的两条互相垂直的半径ＯＡ ＯＢ 若在该圆上存在一点Ｃ 使
答案 Ｄ 因为 ａ ｂ ａ与ｂ的夹角为 ° １ 、 ， ，
｜ ｜＝３，｜ ｜＝２， １２０ ，
( ) 得Ｏ→Ｃ ａＯ→Ａ ｂＯ→Ｂ ａ ｂ Ｒ 则以下说法正确的是
所以ａ ｂ ａ ｂ ° １ ＝ ＋ （ 、 ∈ ）， （ ）
· ＝｜ ｜·｜ ｜ｃｏｓ１２０ ＝３×２× － ＝－３， 点Ｐ ａ ｂ 一定在单位圆内
２ Ａ． （ ， ）
因为 ａ ｍｂ ａ 点Ｐ ａ ｂ 一定在单位圆上
（ ＋ ）⊥ ， Ｂ． （ ， ）
专题七 平面向量 ４０５
点Ｐ ａ ｂ 一定在单位圆外
Ｃ． （ ， ）
当且仅当ａｂ 时 点Ｐ ａ ｂ 在单位圆上
Ｄ． ＝０ ， （ ， ）
答案 Ｂ 易知 Ｏ→Ｃ ａ２ Ｏ→Ａ２ ｂ２ Ｏ→Ｂ２ ａｂＯ→Ａ Ｏ→Ｂ ．
｜ ｜＝ ＋ ＋２ · ＝１
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ａ２ ｂ２
∵ ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜＝１，∴ ｜ ｜＝ ＋ ＝１，
ＯＰ ａ２ ｂ２ 又圆的半径为
∴ ＝ ＋ ＝１， １，
点Ｐ一定在单位圆上．故选 ．
∴ Ｂ
６．（２０１８江西九江二模，６）在 ＡＢＣ 中 ＡＢ ＡＣ 点 Ｍ Ｎ 是
Ｒｔ△ ， ＝ ， 、 思路分析 建立平面直角坐标系 利用向量的坐标运算求解．
，
线段ＡＣ的三等分点 点Ｐ在线段ＢＣ上运动且满足Ｐ→Ｃ ｋＢ→Ｃ 方法总结 向量的坐标运算体现了数形结合的思想方法 因
， ＝ ， ，
当Ｐ→Ｍ Ｐ→Ｎ取得最小值时 实数ｋ的值为 此 在解题时应充分重视．
· ， （ ） ，
９．（２０１７湖南郴州质量监测，９）已知Ａ Ｂ是单位圆Ｏ上的两点
１ １ １ １ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｏ为圆心 ＡＯＢ ° 点Ｃ是线段ＡＢ上不与Ａ Ｂ重合的
２ ３ ４ ８ （ ），∠ ＝１２０ ， 、
答案 Ｃ 建立平面直角坐标系 如图所示
， ， 动点．ＭＮ是圆Ｏ的一条直径 则Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ的取值范围是
， · （ ）
[ )
３
Ａ． － ，０ Ｂ．［－１，１）
４
[ )
１
Ｃ． － ，１ Ｄ．［－１，０）
２
答案 Ａ 如图 连接ＯＣ．Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｃ
， · ＝（ － ）·（ － ）
设ＡＢ ＡＣ Ｐ ｘ ｘ ｘ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｃ２
＝ ＝３， （ ，３－ ）（０≤ ≤３）， ＝ · － · － · ＋
则Ｍ Ｎ Ｐ→Ｍ ｘ ｘ Ｐ→Ｎ ｘ ｘ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｃ２ Ｏ→Ｃ２
（１，０）， （２，０）， ＝（１－ ， －３）， ＝（２－ ， －３）， ＝ · ＋ ＝－１＋ ，
则Ｐ→Ｍ
·
Ｐ→Ｎ
＝２
ｘ２
－９
ｘ
＋１１＝２
( ｘ
－
９ ) ２
＋
７
，
∵ ∠ ＡＯＢ ＝
[
１２０ ° ， 点
)
Ｃ是线段ＡＢ上不与Ａ 、 Ｂ重合的动点 ，
４ ８ Ｏ→Ｃ １
( ) ∴ ｜ ｜∈ ，１ ，
当ｘ ９ 时 Ｐ→Ｍ Ｐ→Ｎ取得最小值 此时Ｐ ９ ３ ２
∴ ＝ ， · ， ， ， [ )
４ ４ ４ Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ ３ 故选 ．
ＰＣ ∴ · ∈ － ，０ ， Ａ
ｋ １ ．故选 ４
∴ ＝ＢＣ＝ Ｃ．
４
７．（２０１８河北唐山二模，７）在 ＡＢＣ 中 Ｃ ° ＡＢ 点 Ｐ
△ ，∠ ＝９０ ， ＝６，
满足ＣＰ 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ的最大值为
＝２， · （ ）
Ａ．９ Ｂ．１６ Ｃ．１８ Ｄ．２５
答案 Ｂ Ｃ ° ＡＢ
∵ ∠ ＝９０ ， ＝６，
→ＣＡ Ｃ→Ｂ →ＣＡ Ｃ→Ｂ →ＣＡ Ｃ→Ｂ →ＢＡ
∴ · ＝０，∴ ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜＝｜ ｜＝６，
解题关键 题中的隐含条件Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ０是解题
→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ →ＣＡ Ｐ→Ｃ Ｃ→Ｂ Ｐ→Ｃ２ Ｐ→Ｃ →ＣＡ Ｃ→Ｂ →ＣＡ · ＝－１， ＋ ＝
∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ ·（ ＋ ）＋ 关键．
Ｃ→Ｂ Ｐ→Ｃ →ＣＡ Ｃ→Ｂ
· ＝ ·（ ＋ ）＋４， １０．（２０１７北京海淀一模，１２）若非零向量ａ ｂ满足ａ ａ ｂ
， ·（ ＋ ）＝
∴ 当Ｐ→Ｃ与→ＣＡ ＋ Ｃ→Ｂ方向相同时 ， Ｐ→Ｃ ·（ →ＣＡ ＋ Ｃ→Ｂ ） 取得最大值 ２×６ ０，２｜ ａ ｜＝｜ ｂ ｜， 则向量ａ ， ｂ的夹角为 ．
＝１２， 答案 ２π
→ＰＡ Ｐ→Ｂ的最大值为 ．故选
∴ · １６ Ｂ． ３
８．（２０１７甘肃嘉峪关二模，７）若等边 ＡＢＣ的边长为 平面内 解析 设ａ与ｂ的夹角为θ 因为ａ ａ ｂ 所以ａ ａ
△ ３， ， ·（ ＋ ）＝０， ·
ａ ｂ ａ ａ ａ ｂ θ
一点Ｍ满足Ｃ→Ｍ １ Ｃ→Ｂ １→ＣＡ 则Ａ→Ｍ Ｍ→Ｂ的值为 ＋ · ＝０⇒｜ ｜·｜ ｜＋｜ ｜·｜ ｜ｃｏｓ ＝０，
＝ ＋ ， · （ ） 又因为 ａ ｂ 所以 ａ ａ ａ ａ θ 即
３ ２ ２｜ ｜＝｜ ｜≠０， ｜ ｜·｜ ｜＋２｜ ｜·｜ ｜ｃｏｓ ＝０，
１５ １５ θ 所以 θ １ 从而θ ２π．
Ａ．２ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－２ １＋２ｃｏｓ ＝０， ｃｏｓ ＝－ ， ＝
２ ２ ２ ３
( ) æ ö ( ) １１．（２０１７宁夏银川质检，１３）在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ 点
答案 Ａ 如图所示 Ａ ３ Ｂç ３ ３÷ Ｃ ３ ， ＝４， ＝１，
，
２
，０ ， è０，
２
ø， －
２
，０ ，
Ｅ为ＤＣ的中点 则→ＡＥ Ｂ→Ｅ ．
， · ＝
æ ö 答案
∴
Ｃ→Ｂ
＝è
ç ３
，
３ ３
ø
÷
，
→ＣＡ
＝（３，０），
－３
２ ２ 解析 解法一 由已知 可得→ＡＥ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｅ Ａ→Ｄ １ Ｄ→Ｃ Ｂ→Ｅ
æ ö æ ö ： ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝
Ｃ→Ｍ １ Ｃ→Ｂ １→ＣＡ １ ç ３ ３ ３÷ １ ç ３÷ ２
∴ ＝ ＋ ＝ è ， ø＋ （３，０）＝è２， ø，
３ ２ ３ ２ ２ ２ ２ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｅ
＋
æ ö ( ) ( )
∴ Ｏ→Ｍ ＝ Ｏ→Ｃ ＋ Ｃ→Ｍ ＝è ç １ ， ３ ø ÷ ， ＝ Ａ→Ｄ － １ Ｄ→Ｃ ，∴ →ＡＥ · Ｂ→Ｅ ＝ Ａ→Ｄ ＋ １ Ｄ→Ｃ · Ａ→Ｄ － １ Ｄ→Ｃ ＝ Ａ→Ｄ２ －
２ ２ ２ ２ ２
æ ö ( )
∴
Ａ→Ｍ
＝
Ｏ→Ｍ
－
Ｏ→Ａ
＝è
ç
－１，
３
ø
÷
，
Ｍ→Ｂ
＝
Ｏ→Ｂ
－
Ｏ→Ｍ
＝ －
１
， ３ ，
１ Ｄ→Ｃ２
＝１－４＝－３
．
２ ２ ４
( ) 解法二 以点Ａ为坐标原点 ＡＢ所在直线为ｘ轴 ＡＤ所在直
Ａ→Ｍ Ｍ→Ｂ １ ３ 故选 ． ： ， ，
∴ · ＝－１× － ＋ × ３＝２， Ａ 线为ｙ轴 建立如图所示的平面直角坐标系．
２ ２ ，
４０６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｍ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｎ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｍ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｍ
∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ － ）
( )
２
Ａ→Ｏ２ Ｏ→Ｍ２ ２５ １ ．
＝ － ＝ － ＝６
４ ２
故选 ．
Ｃ
则Ａ （０，０）， Ｂ （４，０）， Ｅ （２，１），∴ →ＡＥ ＝（２，１）， Ｂ→Ｅ ＝（－２，１）， 解法二 ：∵ ｜ Ｂ→Ｃ ｜＝３，∴ ｜ →ＡＣ － →ＡＢ ｜ ２ ＝９ ．
∴
→ＡＥ
·
Ｂ→Ｅ
＝－４＋１＝－３
．
∴
→ＡＣ２
＋
→ＡＢ２
－２
→ＡＣ
·
→ＡＢ
＝９，
又→ＡＢ
·
→ＡＣ
＝４，
思路分析 解法一利用平面向量的几何性质解题 解法二通
， →ＡＣ２ →ＡＢ２ ．
过建立平面直角坐标系 求出各点坐标 利用向量的坐标运算 ∴ ＋ ＝１７
， ，
解题．解法一侧重于逻辑推理 对思维能力要求较高 解法二
， ，
的解题关键是建立恰当的平面直角坐标系 侧重于计算 思路
， ，
简单．两种解法各有优劣 可根据实际情况灵活选用．
，
１２．（２０１６北京朝阳期中，７）在 ＡＢＣ中 已知→ＡＢ →ＡＣ Ｂ→Ｃ
△ ， · ＝４，｜ ｜
Ｍ Ｎ分别是ＢＣ边上的三等分点 则Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ的值是
＝３， ， ， ·
（ ） 又 Ａ→Ｎ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ →ＡＢ １ →ＡＣ →ＡＢ ２→ＡＢ １→ＡＣ
∵ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，
２１ ３ ３ ３ ３
Ａ．５ Ｂ． Ｃ．６ Ｄ．８
４ Ａ→Ｍ →ＡＢ ２ Ｂ→Ｃ →ＡＢ ２ →ＡＣ →ＡＢ １→ＡＢ ２→ＡＣ
答案 Ｃ 解法一 如图 设ＢＣ的中点为Ｏ 连接ＡＯ． ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，
： ， ， ３ ( ３ ) ( ３ ３ )
Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ １→ＡＢ ２→ＡＣ ２ →ＡＢ １→ＡＣ ２ →ＡＣ２
∴ · ＝ ＋ · ＋ ＝ （ ＋
３ ３ ３ ３ ９
→ＡＢ２ ５→ＡＢ →ＡＣ ２×１７ ５×４ ．
）＋ · ＝ ＋ ＝６
９ ９ ９
１３．（２０１８北京通州期中，１３）在 ＡＢＣ中 Ｍ是ＢＣ的中点 ＡＭ
△ ， ，
点 Ｐ 在 ＡＭ 上 且满足→ＡＰ Ｐ→Ｍ 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 的
＝３， ， ＝２ ， ·（ ＋ ）
值为 ．
由→ＡＢ →ＡＣ Ｂ→Ｃ
· ＝４，｜ ｜＝３， 答案
可得 Ａ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｃ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ａ→Ｏ２ －４
（ ＋ ( ）· ) ２ （ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － 解析 ∵ ＡＭ ＝３， 点Ｐ在ＡＭ上 ， 且满足→ＡＰ ＝２ Ｐ→Ｍ ，∴ ｜ →ＡＰ ｜＝
Ｏ→Ｂ２
＝
Ａ→Ｏ２
－
３
＝４， ． Ｍ是ＢＣ的中点 Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ→Ｍ →ＡＰ
２ ２∵ ，∴ ＋ ＝２ ＝ ，
∴ Ａ→Ｏ２ ＝ ２５． ∴ →ＰＡ ·（ Ｐ→Ｂ ＋ Ｐ→Ｃ ）＝ →ＰＡ · →ＡＰ ＝－｜ →ＡＰ ｜ ２ ＝－４ ．
４
ｂ ，故 ａ·ｂ １ ， ａ ｂ ａ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ａ·ｂ
｜ ｜＝１ ＝－ ｜ － ｜ ＝ ｜ － ｜ ＝ ＋ －２ ＝
２
．
１＋１＋１＝ ３
考法一 求向量模的方法
答案 （ ）Ａ （ ）
１ ２ ３
例１ （２０２０河南部分重点中学３月模拟，８）已知单位
（１） 方法总结 向量的长度即向量的模 通常有以下求解方法
， ：
向量ａ ｂ的夹角为θ 且 θ １ 若向量ｍ ａ ｂ 则 ｍ ａ ａ ａ
， ， ｔａｎ ＝ ， ＝ ５ －３ ， ｜ ｜＝ （１）｜ ｜＝ · ；
２
ａ ｂ ａ２ ａ ｂ ｂ２
（２）｜ ± ｜＝ ±２ · ＋ ；
（ ）
或 若ａ ｘ ｙ 则 ａ ｘ２ ｙ２．
（３） ＝（ ， ）， ｜ ｜＝ ＋
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ２６ Ｄ． ２ ２６
（２０２０ 课标Ⅰ理，１４，５ 分）设 ａ ｂ 为单位向量 且
（２） ， ，
ａ ｂ 则 ａ ｂ ． 例 平面向量ａ与ｂ的夹角为 ° ａ ｂ 则
｜ ＋ ｜＝１， ｜ － ｜＝ ４５ ， ＝（１，１），｜ ｜＝２，
解析 （ ） ａ与ｂ为单位向量， ａ ｂ ，又θ为ａ ａ ｂ 等于
１ ∵ ∴ ｜ ｜＝｜ ｜ ＝１ ｜３ ＋ ｜ （ ）
与ｂ的夹角，且
ｔａｎ
θ
＝
１ ，
∴
θ为锐角，且
ｃｏｓ
θ
＝２ｓｉｎ
θ，又
ｓｉｎ
２θ
＋
Ａ
解
．１
题
３＋
导
６
引
２ Ｂ．２ ５ Ｃ． ３０ Ｄ． ３４
２
由ａ ｂ 及 ａ ｂ °得 ａ 及ａ ｂ的值
２θ ， θ ２ ５，又 ｍ ａ ｂ， ｍ （ ａ ｂ）２ ＝（１，１），｜ ｜＝２ 〈 ， 〉＝４５ ｜ ｜ ·
ｃｏｓ ＝１ ∴ ｃｏｓ ＝ ∵ ＝ ５ －３ ∴ ｜ ｜＝ ５ －３
５ 利用 ａ ｂ ａ ｂ ２求得结果
→ ｜３ ＋ ｜＝ （３ ＋ ）
ａ２ ｂ２ ａ·ｂ ２ ５ ，故选 ．
＝ ５ ＋９ －６ ５ ＝ ５＋９－６ ５×１×１× ＝ ２ Ａ
５
（ ）由 ａ ｂ ，得 ａ ｂ ２ ，即ａ２ ｂ２ ａ·ｂ ，而 ａ
２ ｜ ＋ ｜＝１ ｜ ＋ ｜ ＝１ ＋ ＋２ ＝１ ｜ ｜＝
专题七 平面向量 ４０７
ａ ａ ｂ
解析 依题意得 ａ ，ａ·ｂ ° ， ａ 求向量ａ ｂ的模 ａ ｂ 最后利用 ａ ａ ｂ ·（ ＋ ） 求解．
｜ ｜＝ ２ ＝ ２×２×ｃｏｓ ４５ ＝２ ∴ ｜３ ＋ ｜ ＋ ｜， ｃｏｓ〈 ， ＋ 〉＝ ａ ａ ｂ
｜ ｜·｜ ＋ ｜
ｂ （ ａ ｂ）２ ａ２ ａ·ｂ ｂ２ ， 先由ａ ｂ 求出实数λ的值 再写出ａ ｂ的坐标 利
＋ ｜ ＝ ３ ＋ ＝ ９ ＋６ ＋ ＝ １８＋１２＋４ ＝ ３４ （２） ⊥ ， ， ＋ ３ ，
选 ．
Ｄ ａ ｂ ａ
用向量夹角公式 向量坐标形式 θ （ ＋ ３ ）· 求出余弦
答案 Ｄ （ ）ｃｏｓ ＝ ａ ｂ ａ
｜ ＋ ３ ｜｜ ｜
例 （２０１８四川双流中学期中，９）已知平面向量→ＰＡ →ＰＢ满 值 从而得出夹角．
， ，
ａ·（ａ ｂ）
足 →ＰＡ →ＰＢ →ＰＡ →ＰＢ １ 若 →ＢＣ 则 →ＡＣ 的最大值为 解析 （ ） 由题意得 〈ａ，ａ ｂ〉 ＋
｜ ｜＝｜ ｜＝１， · ＝－ ， ｜ ｜＝１， ｜ ｜ １ ｃｏｓ ＋ ＝ ａ · ａ ｂ ＝
２ ｜ ｜ ｜ ＋ ｜
ａ２ ａ·ｂ
（ ） ＋ ２５－６ １９．故选 ．
Ａ． ２－１ Ｂ． ３－１ Ｃ． ２＋１ Ｄ． ３＋１ ｜
ａ
｜
· ａ２
＋
ｂ２
＋２
ａ·ｂ ＝
５× ２５＋３６－１２
＝
３５
Ｄ
æ ö
解析 因为 →ＰＡ Ｐ→Ｂ ，→ＰＡ·Ｐ→Ｂ １ ，所以 ＡＰＢ （ ）设ａ ｂ与ａ的夹角为θ， ａ （ ， ），ｂ çλ， ３÷，ａ
｜ ｜＝｜ ｜＝１ ＝－ ｃｏｓ∠ ２ ＋ ３ ∵ ＝ －１ ３ ＝è ø
２ ３
＝－ １ ，即 ∠ ＡＰＢ ＝ ２π，所以 ｜ →ＡＢ ｜＝ １＋１＋１＝ ３ ，如图，建立平 ⊥ ｂ， ∴ －１× λ ＋３× ３ ＝０ ，解得λ ＝ ３ ，
２ ３
３
æ ö æ ö
面直角坐标系，则Ａ è ç － ３， ０ø ÷，Ｂ è ç ３， ０ø ÷，由题设知点Ｃ（ｘ，ｙ） ∴ ａ ＋ ３ ｂ ＝ （ －１＋３ ， ３＋１ ） ＝ （ ２ ， ４ ），
２ ２ （ａ ｂ）·ａ （ ）
æ ö θ ＋ ３ ２× －１ ＋４×３ ２，
在以点Ｂ è ç ３， ０ø ÷为圆心， １ 为半径的圆上运动，结合图形可知， ∴ ｃｏｓ ＝ ｜ ａ ＋ ３ ｂ ｜｜ ａ ｜ ＝ ２ ２ ＋４ ２ × （ －１ ）２ ＋３ ２ ＝ ２
２
点Ｃ（ｘ，ｙ）运动到点Ｄ时， ｜ →ＡＣ ｜ 最大， ｜ →ＡＣ ｜ｍａｘ＝｜ Ａ→Ｄ ｜＝｜ →ＡＢ ｜＋１ ∵ θ ∈ ［ ０ ， π ］， ∴ θ ＝ π ４ ，故选 Ｂ．
，故选 ． 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｂ
＝ ３＋１ Ｄ １ ２
例 （２０１７江西七校联考，１３）已知向量ａ ｂ
＝（１， ３）， ＝
ｍ 且ｂ在ａ方向上的投影为 则向量ａ与ｂ的夹角为
（３， ）， －３，
．
解题导引
由ｂ在ａ方向上的投影为 求得
－３ 由ｂ的坐标求得 ｂ
ｍ的值 → ｜ ｜
答案 Ｄ
ａ ｂ
利用 ａ ｂ · 求得结果
→ ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ａ ｂ
｜ ｜｜ ｜
考法二 求平面向量夹角的方法
解析 ｂ在ａ方向上的投影为 ， ｂ 〈ａ，ｂ〉 ，
∵ －３ ∴ ｜ ｜ｃｏｓ ＝－３
例２ （２０２０课标Ⅲ理，６，５分）已知向量ａ ｂ满足
（１） ， 又 ａ ２ （ ）２ ， ａ·ｂ ａ ｂ 〈ａ，ｂ〉 ，又ａ·
ａ ｂ ａ ｂ 则 ａ ａ ｂ ｜ ｜＝ １ ＋ ３ ＝２ ∴ ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ ＝－６
｜ ｜＝５，｜ ｜＝６， · ＝－６， ｃｏｓ〈 ， ＋ 〉＝ （ ） ｂ ｍ， ｍ ，解得ｍ ，
＝１×３＋ ３ ∴３＋ ３ ＝－６ ＝－３ ３
３１ １９ １７ １９
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． 则ｂ （ ， ）， ｂ ２ （ ）２ ， 〈ａ，ｂ〉
３５ ３５ ３５ ３５ ＝ ３ －３ ３ ∴ ｜ ｜＝ ３ ＋ －３ ３ ＝６ ∴ ｃｏｓ
（２０２０山东潍坊６月模拟，４）已知向量ａ ｂ ａ·ｂ
（２） ＝（－１，３）， ＝ －６ １ ， 〈ａ，ｂ〉 ， ａ与ｂ的夹角为 ２ ．
æ ö ＝ ａ ｂ ＝ ＝－ ∵０≤ ≤π ∴ π
çλ ３÷ 若ａ ｂ 则ａ ｂ与ａ的夹角为 ｜ ｜｜ ｜ ２×６ ２ ３
è ， ３ ø， ⊥ ， ＋ ３ （ ） 答案 ２
π
３
π π π ２π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ４ ３ ３
解题导引 先求出两向量ａ ａ ｂ的数量积ａ ａ ｂ 再
（１） ， ＋ ·（ ＋ ），
ａ ｂ ｂ ａ与ｂ的夹角为π
Ｃ．（ － ）⊥ Ｄ．
４
答案 ＣＤ
考法一 求向量模的方法 ３．（２０２０浙江温州二模（４月），１２）已知向量ａ ｂ满足 ａ
， ｜ ｜＝２，
１．（２０１９甘肃静宁一中三模）已知向量ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 则 ａ ｂ ｂ 在 ａ 上的投影等于
＝（２，１）， · ＝１０，｜ ＋ ｜ ｜＝１， · ＝１， ｜ ＋ ｜ ＝ ，
．
ｂ 则 ｂ
｜＝５ ２， ｜ ｜＝ （ ）
答案 １
Ａ． ２ Ｂ． ５ Ｃ．２ Ｄ．５ ７；
答案 Ｄ ２
４．（２０２０ 浙江绍兴嵊州期末，１６）已知单位向量 ａ ｂ 满足
２．（多选题）（２０２０山东临沂、枣庄临考演练，９）设向量ａ ，
＝（２， ａ ｂ ｂ 设向量ｃ ａ ｘ ｂ ａ ｘ 则 ｃ ａ 的取
ｂ 则 ｜ －２ ｜＝｜２ ｜， ＝ ＋ （２ － ）， ∈［０，１］， ｜ ＋ ｜
０）， ＝（１，１）， （ ） 值范围是 ．
ａ ｂ ａ ｂ ｂ
Ａ．｜ ｜＝｜ ｜ Ｂ．（ － ）∥
４０８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
é ù ｃ ｍ ｎ 其中ｍ ｎ均为正数 且 ａ ｂ ｃ 下
答案 êê １５ úú （１，－１）， ＝（ －２，－ ）， ， ， （ － ）∥ ，
ë ， ６û 列说法正确的是
２ （ ）
ａ与ｂ的夹角为钝角
Ａ．
考法二 求平面向量夹角的方法
向量ａ在ｂ方向上的投影为 ５
５．（２０２０山东青岛期末，３）向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ａ Ｂ．
， ｜ ｜＝１，｜ ｜＝ ２，（ ＋ ５
ｂ ａ ｂ 则向量ａ与ｂ的夹角为 ｍ ｎ
）⊥（２ － ）， （ ） Ｃ．２ ＋ ＝４
° ° ° ° ｍｎ的最大值为
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．９０ Ｄ．１２０ Ｄ． ２
答案 Ｃ 答案 ＣＤ
６．（２０２０皖江名校联盟第五次联考，６）已知单位向量 ａ 满足 ８．（２０１７山东，１２，５分）已知ｅ ｅ 是互相垂直的单位向量．若
１， ２
ａ ｂ ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为 ｅ ｅ 与ｅ λｅ 的夹角为 ° 则实数λ的值是 ．
２｜ ｜＝｜ ｜，｜ ＋２ ｜＝ １３， （ ） ３ １－ ２ １＋ ２ ６０ ，
° ° ° °
Ａ．３０ Ｂ．６０ Ｃ．９０ Ｄ．１２０ 答案 ３
答案 Ｄ
３
７．（多选题）（２０２０山东泰安二模，１０）已知向量ａ ｂ
＝（２，１）， ＝
可得 Ａ→Ｄ ２ １ →ＡＢ ２ →ＡＣ ２
＝２， ｜ ｜ ＝ （｜ ｜ ＋｜ ｜ －２）
４
考法一 求向量模的方法 ≥
１
（２｜
→ＡＢ
｜·｜
→ＡＣ
｜－２）＝
１
，
４ ２
１．（２０１９吉林第一次调研，５）已知等边 ＡＢＣ 的边长为 则
△ ２， 所以 Ａ→Ｄ ２．
｜
→ＡＢ
＋２
Ｂ→Ｃ
＋３
→ＣＡ
｜＝ （ ）
｜ ｜ｍｉｎ＝
２
４．已知ａ ｂ均为单位向量 且ａ ｂ ．若 ｃ ａ ｃ ｂ 则
、 ， · ＝０ ｜ －４ ｜＋｜ －３ ｜＝５， ｜
Ａ．２ ３ Ｂ．２ ７ Ｃ．４ ３ Ｄ．１２ ｃ ａ 的取值范围是
答案 Ａ 由题意得→ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＣＡ →ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＣＡ ＋ ｜ （ ）
· ＝－２， · ＝－２， · ＝
则 →ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＣＡ ２ →ＡＢ２ Ｂ→Ｃ２ →ＣＡ２ →ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＡＢ Ａ．［３， １０］ Ｂ．［３，５］
－２， ｜ ＋２ ＋３ ｜ ＝ ＋４ ＋９ ＋４ · ＋６
→ＣＡ Ｂ→Ｃ →ＣＡ →ＡＢ Ｂ→Ｃ Ｃ．［３，４］ Ｄ．［ １０，５］
· ＋１２ · ＝４＋１６＋３６－８－１２－２４＝１２，∴ ｜ ＋２ ＋３ 答案 Ｂ ａ ｂ均为单位向量 且ａ ｂ
→ＣＡ
｜＝２ ３
．故选
Ａ
．
设ａ
∵
ｂ
、
．设ｃ ｘ
，
ｙ
· ＝０，
∴ ＝（１，０）， ＝（０，１） ＝（ ， ），
２．（２０１７湖南永州一模，１１）已知向量ａ与向量ｂ的夹角为２π ， 由 ｜ ｃ －４ ａ ｜＋｜ ｃ －３ ｂ ｜＝５， 得 （ ｘ －４） ２ ＋ ｙ２ ＋ ｘ２ ＋（ ｙ －３） ２ ＝５，
３ 即 ｘ ｙ 到Ａ 和Ｂ 的距离之和为
且 ａ ｂ 若向量 ｃ ｘａ ｙｂ ｘ Ｒ 且 ｘ ｙ Ｒ 则 （ ， ） （４，０） （０，３） ５，
｜ ｜＝｜ ｜ ＝２， ＝ ＋ （ ∈ ≠０， ∈ ）， 令ｃ的起点为坐标原点Ｏ 则ｃ的终点的轨迹是点 和
ｘ ， （４，０） （０，
的最大值为
之间的线段
ｃ （ ）
３） ，
又 ｃ ａ ｘ ２ ｙ２表示Ｍ 到线段ＡＢ上的点的距
３ ｜ ＋ ｜＝ （ ＋１） ＋ （－１，０）
Ａ． Ｂ． ３ 离 且最小值是点Ｍ 到直线 ｘ ｙ 的距离
３ ， （－１，０） ３ ＋４ －１２＝０ ，
１ ｃ ａ ｜－３－１２｜ ．
Ｃ． Ｄ．３ ∴ ｜ ＋ ｜ｍｉｎ＝ ＝３
３ ５
ｘ２ ｘ２ 又最大值为 ＭＡ
答案 Ａ １ ｜ ｜＝５，
ｃ ２ ＝ ｘ２ ｘｙ ｙ２ ＝ ( ｙ ) ２ ｙ ， ｃ ａ 的取值范围是 ．故选 ．
｜ ｜ ４ －４ ＋４ ∴ ｜ ＋ ｜ ［３，５］ Ｂ
４ ｘ －４· ｘ ＋４
ｙ ( ｙ ) ２ ｙ
当 －４ １ 时 取得最小值 且最
ｘ ＝－ ＝ ，４ ｘ －４· ｘ ＋４ ，
２×４ ２
小值为
３，
ｘ２
所以 的最大值为 １ 则所求最大值为 ３．
ｃ ２ ，
｜ ｜ ３ ３
３．已知在
△
ＡＢＣ中
，
Ｄ为ＢＣ的中点
，
若
∠
ＢＡＣ
＝１２０
°
，
→ＡＢ
·
→ＡＣ
＝
５．（２０１８河北衡水中学六调，８）已知向量Ｏ→Ａ
＝（３，１），
Ｏ→Ｂ
＝（－１，
－１，
则
｜
Ａ→Ｄ
｜
的最小值为
（ ） ３），
Ｏ→Ｃ
＝
ｍＯ→Ａ
－
ｎＯ→Ｂ
（
ｍ
＞０，
ｎ
＞０），
若ｍ
＋
ｎ
∈［１，２］，
则
｜
Ｏ→Ｃ
｜
的取
值范围是
１ ２ ３ （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．
２ ２ ２
Ａ．［ ５，２ ５］ Ｂ．［ ５，２ １０）
答案 Ｂ 显然有 Ａ→Ｄ １ →ＡＢ →ＡＣ ．
｜ ｜＝ ｜ ＋ ｜ Ｃ．（ ５， １０） Ｄ．［ ５，２ １０］
２
答案 Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ｍＯ→Ａ ｎＯ→Ｂ
→ＡＢ →ＡＣ ∵ ＝（３，１）， ＝（－１，３），∴ ＝ － ＝
因为→ＡＢ →ＡＣ ＢＡＣ ° 所以 →ＡＢ →ＡＣ ·
· ＝－１，∠ ＝１２０ ， ｜ ｜·｜ ｜＝ ＢＡＣ ｍ ｎ ｍ ｎ 则 Ｏ→Ｃ ｍ ｎ ２ ｍ ｎ ２
ｃｏｓ∠ （３ ＋ ， － ３ ）， ｜ ｜ ＝ （３ ＋ ） ＋（ －３ ） ＝
专题七 平面向量 ４０９
( ) [ )
１
即
０（ ｍ２ ＋
ｍ
ｎ２ ）
ｎ
， 令ｔ ＝
又ｍ
ｍ２ ＋ ｎ
ｎ
２ ， 则
故
｜ Ｏ→
在
Ｃ ｜
平
＝
面直
１０
角
ｔ ，
坐
而
标
ｍ
系
＋ ｎ
中
∈
表
［１
示
， Ａ． －∞， １
２
Ｂ． １
２
，＋∞
２］， １≤ ＋ ≤２， ＞０， ＞０， [ ) ( ) ( )
如图 阴影区域不包括横轴与纵轴的相应部分 ２ ２ １
（ ）， Ｃ． －２， ∪ ，＋∞ Ｄ．（－∞，－２）∪ －２，
３ ３ ２
答案 Ｄ 由题意知ａ ｂ λ 因为ａ ｂ的夹角
＝（１，－２）， ＝（１， ）， 、
ａ ｂ λ
为锐角 所以 ａ ｂ · １－２ 且ａ与ｂ不共
， ｃｏｓ〈 ， 〉＝
｜
ａ
｜｜
ｂ
｜
＝
５ １＋
λ２ ＞０，
线 即λ １ 且λ ．故选 ．
， ＜ ≠－２ Ｄ
２
３．ａ ｂ是非零向量 若ａ ｂ与 ａ ｂ垂直 ａ ｂ与 ａ ｂ垂直．
， ， ＋３ ７ －５ ， －４ ７ －２
试求ａ与ｂ的夹角．
ｔ ＝ ｍ２ ＋ ｎ２表示阴影区域中任意一点与原点 （０，０） 的距离 ， 分 解析 解法一 设ａ与ｂ的夹角为θ．由题意知
：
{ ａ ｂ ａ ｂ
析可得 ２ ｔ ．结合 Ｏ→Ｃ ｔ 得 Ｏ→Ｃ ．故 （ ＋３ ）·（７ －５ ）＝０，
， ≤ ＜２ ｜ ｜ ＝ １０ ， ５≤｜ ｜＜２ １０ ａ ｂ ａ ｂ
２ （ －４ ）·（７ －２ ）＝０，
选
Ｂ
． {
７
ａ２
＋１６
ａ
·
ｂ
－１５
ｂ２
＝０， ①
∴ ａ２ ａ ｂ ｂ２
考法二 求向量夹角的方法 ７ －３０ · ＋８ ＝０， ②
由 得 ａ ｂ ｂ２ 所以ｂ２ ａ ｂ．
①－② ４６ · －２３ ＝０， ＝２ · ③
１．已知 ｜ ａ ｜＝ １０， ａ · ｂ ＝－ ５ ３０ ， 且 （ ａ － ｂ ）·（ ａ ＋ ｂ ）＝－１５， 则向 将 ③ 代入 ② 得ａ２ ＝２ ａ · ｂ ，∴ ｜ ａ ｜＝｜ ｂ ｜，
２ 由ｂ２ ａ ｂ可知 ｂ ２ ａ ｂ θ
量ａ与ｂ的夹角为 ∴ ＝２ · ｜ ｜ ＝２｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ ，
（ ）
θ １ ° θ ° θ °
∴ ｃｏｓ ＝ ，∵０ ≤ ≤１８０ ，∴ ＝６０ ，
２π ３π ５π π ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ４ ６ ３ 即向量ａ与ｂ的夹角为 °．
答案 Ｃ 设ａ与ｂ的夹角为θ． ａ ｂ ａ ｂ ６０
∵ （ － ）·（ ＋ ）＝－１５， 解法二 设ａ与ｂ的夹角为θ．由题意知
：
ａ２ ｂ２ 又 ａ ｂ ． { ａ ｂ ａ ｂ
∴ － ＝－１５， ｜ ｜＝ １０，∴ ｜ ｜＝５ （ ＋３ ）·（７ －５ ）＝０，
ａ ｂ ａ ｂ
又ａ ｂ ５ ３０ （ －４ ）·（７ －２ ）＝０，
· ＝－ ， { ａ２ ａ ｂ ｂ２
２ ７ ＋１６ · －１５ ＝０， ①
∴ ａ２ ａ ｂ ｂ２
５ ３０ ７ －３０ · ＋８ ＝０， ②
ａ ｂ － 得 ａ ｂ
θ · ２ ３ ①×１５＋②×８ ｜ ｜＝｜ ｜，
∴ ｃｏｓ ＝ ｜ ａ ｜｜ ｂ ｜ ＝ １０×５ ＝－ ２ ， 由 ① 得 ７｜ ａ ｜ ２ ＋１６｜ ａ ｜｜ ｂ ｜ｃｏｓ θ －１５｜ ｂ ｜ ２ ＝０，
又θ θ ５π．故选 ． θ θ １
∈［０，π］，∴ ＝ Ｃ ∴７＋１６ｃｏｓ －１５＝０，∴ ｃｏｓ ＝ ，
６ ２
２．已知ｉ ｊ分别是与ｘ轴 ｙ轴方向相同的单位向量 ａ ｉ ｊ ｂ ｉ ° θ ° θ °
、 、 ， ＝ －２， ＝ ∵０ ≤ ≤１８０ ，∴ ＝６０ ，
λｊ 且ａ ｂ的夹角为锐角 则实数λ的取值范围是 即向量ａ与ｂ的夹角为 °．
＋ ， 、 ， （ ） ６０
得圆的半径为Ｒ ３ １ ．由正三角形外接圆的圆心也是其
＝ × ＝ ３
３ ２
２
例 （２０１９湖南长郡中学第五次月考，１１）已知Ｐ是边
重心得Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０，故→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ→Ｏ Ｏ→Ｃ． Ｐ→Ｏ Ｏ→Ｃ
＋ ＋ ＝ ＋ ＋２ ＝４ ＋ ｜４ ＋ ｜≤
长为 ３ 的等边三角形ＡＢＣ外接圆上的动点 ， 则 ｜ →ＰＡ ＋ Ｐ→Ｂ ＋２ Ｐ→Ｃ ｜ 的 ｜４ Ｐ→Ｏ ｜＋｜ Ｏ→Ｃ ｜＝５ Ｒ ＝５ ３ ，当且仅当Ｐ→Ｏ与Ｏ→Ｃ同向，即ＰＣ为圆Ｏ
最大值是
（ ） 的直径时，取得最大值 ．
５ ３
解法二：设Ｏ为 ＡＢＣ外接圆的圆心，以Ｏ为原点，ＯＡ所在
Ａ．２ ３ Ｂ．３ ３ Ｃ．４ ３ Ｄ．５ ３ △
解题导引 思路一 设外接圆的圆心为Ｏ 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 直线为ｙ轴，过Ｏ与 ＯＡ垂直的直线为 ｘ 轴建立平面直角坐标
： ， ＋ ＋２
Ｐ→Ｏ Ｏ→Ａ Ｐ→Ｏ Ｏ→Ｂ Ｐ→Ｏ Ｏ→Ｃ Ｐ→Ｏ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ 正三角形
系，如图所示，
＝ ＋ ＋ ＋ ＋２（ ＋ ）＝４ ＋ ＋ ＋２ ，
外接圆的圆心为Ｏ 亦为三角形的重心 则Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ０ 从
（ ）， ＋ ＋ ＝ ，
而把所求转化为求 Ｐ→Ｏ Ｏ→Ｃ模的最大值 思路二 可以考虑以
４ ＋ ； ：
ＡＢＣ外接圆的圆心为原点 ＯＡ所在直线为ｙ轴 过Ｏ与ＯＡ垂
△ ， ，
直的直线为ｘ轴建立坐标系 设Ｐ θ θ 以 θ为参
， （ ３ｃｏｓ ， ３ｓｉｎ ），
量 转化为求三角函数最值问题．
，
解析 解法一：设 ＡＢＣ的外接圆的圆心为Ｏ．由正弦定理
△
４１０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
连接ＯＢ，ＯＣ． ( ) ２ æ ö２
易知 ｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ Ｏ→Ｂ ｜＝｜ Ｏ→Ｃ ｜＝ ３ ， ∴ Ａ（ ０ ， ３ ），Ｂ æ è ç － ３ ， － ３ ö ø ÷， ∴ ｜ →ＰＡ ＋ Ｐ→Ｂ ＋２ Ｐ→Ｃ ｜＝ ２ ３ －４ ３ｃｏｓ θ ＋è ç － ２ ３ －４ ３ｓｉｎ θ ø ÷
２ ２ æ ö ( )
æ ö ç １ θ ３ θ÷ θ π
Ｃ è ç ３ ， － ３ ø ÷，设Ｐ（ ３ｃｏｓ θ， ３ｓｉｎ θ）（ ０≤ θ ＜２π ）． ＝ ５１＋２４è ２ ｓｉｎ － ２ ｃｏｓ ø ＝ ５１＋２４ｓｉｎ － ３ ≤
２ ２ ( )
，当 θ π ，即θ ５ 时，取“ ”．故所求最大值是
则→ＰＡ （ θ， θ）， ５ ３ ｓｉｎ － ＝１ ＝ π ＝
＝ － ３ｃｏｓ ３－ ３ｓｉｎ ３ ６
Ｐ→Ｂ ＝ æ è ç － ３ － ３ｃｏｓ θ， － ３ － ３ｓｉｎ θ ö ø ÷， ５ ３ ，选 Ｄ ．
２ ２ 答案 Ｄ
æ ö
Ｐ→Ｃ ç ３ θ， ３ θ÷，
＝è － ３ｃｏｓ － － ３ｓｉｎ ø
２ ２
æ ö
→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ ç ３ θ， ３ θ÷，
∴ ＋ ＋２ ＝è －４ ３ｃｏｓ － －４ ３ｓｉｎ ø
２ ２
１５ ４５ １５
Ａ． ３ Ｂ．４５ Ｃ． Ｄ． ３
２ ２ ４
答案 Ｃ
１．（２０２０山东师范大学附中最后一卷）已知 ＡＢＣ 中 Ａ ° ３．（２０２０浙江嘉兴期末，１４）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分
△ ， ＝６０ ， △ ， ， ，
ＡＢ ＡＣ Ｏ为 ＡＢＣ所在平面上一点 且满足ＯＡ ＯＢ
＝６， ＝４， △ ， ＝ ＝ 别为ａ ｂ ｃ ．Ｉ 是 ＡＢＣ 内切圆的圆心 若Ａ→Ｉ ｘ→ＡＢ
＝４， ＝４， ＝６ △ ， ＝ ＋
ＯＣ．设Ａ→Ｏ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
，
则λ
＋
μ的值为
（ ） ｙ→ＡＣ 则ｘ ｙ ．
， ＝ ， ＝
１１ ７
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ． 答案 ２ ３
１８ １１ ；
答案 Ｃ ７ ７
４．（２０１９河南十所名校尖子生第二次调研，１５）已知Ａ Ｂ Ｃ均
， ，
２．（２０２０山东潍坊一模，８）已知ｆ ｘ ３ ｘ Ａ Ａ Ａ 为 位于同一单位圆 Ｏ 上 且→ＢＡ Ｂ→Ｃ →ＡＢ ２ 若Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 则
（ ）＝ ｜ｓｉｎ π ｜， １， ２， ３ ， · ＝｜ ｜ ， · ＝３，
２
图象的顶点 Ｏ Ｂ Ｃ Ｄ为ｆ ｘ 的图象与ｘ轴的交点 线段Ａ Ｄ →ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 的取值范围为 ．
， ， ， ， （ ） ， ３ ｜ 答 ＋ 案 ＋ ｜
上有五个不同的点Ｑ Ｑ Ｑ ．记ｎ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｑ ｉ ［５，７］
１， ２，…， ５ ｉ＝ ２· ｉ（ ＝１，２，…， ５．（２０２０山东青岛三模，１４）已知ｅ ｅ 是平面上不共线的两个
则ｎ ｎ 的值为 １， ２
５）， １＋…＋ ５ （ ） 向量 向量ｂ与ｅ ｅ 共面 若 ｅ ｅ ｅ 与ｅ 的夹角
， １， ２ ， ｜ １｜＝１，｜ ２｜＝２， １ ２
为π 且ｂ ｅ ｂ ｅ 则 ｂ ．
， · １＝１， · ２＝２， ｜ ｜＝
３
答案 ２ ３
３
考点一 平面向量的数量积 考点二 平面向量数量积的应用
１．（２０１９课标Ⅱ，３，５分）已知→ＡＢ →ＡＣ ｔ Ｂ→Ｃ ５．（２０２０课标Ⅱ文，５，５分）已知单位向量ａ ， ｂ的夹角为 ６０ ° ， 则
＝（２，３）， ＝（３， ），｜ ｜＝１， 在下列向量中 与ｂ垂直的是
则→ＡＢ Ｂ→Ｃ ， （ ）
· ＝ （ ） ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ＋２ Ｂ．２ ＋ Ｃ． －２ Ｄ．２ －
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３ 答案 Ｄ
答案 Ｃ
６．（２０２１新高考适应卷，５，５分）已知单位向量ａ ｂ满足ａ ｂ
２．（２０１８课标Ⅱ，４，５分）已知向量ａ ｂ满足 ａ ａ ｂ ， · ＝
， ｜ ｜＝１， · ＝－１， 若向量ｃ ａ ｂ 则 ａ ｃ
则ａ ａ ｂ ０， ＝ ７ ＋ ２ ， ｓｉｎ〈 ， 〉＝ （ ）
·（２ － ）＝ （ ）
７ ２ ７ ２
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．０ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ ３ ３ ９ ９
答案 Ｂ
３．（２０２０北京，１３，５分）已知正方形ＡＢＣＤ的边长为 点Ｐ满
２， æ ö
足→ＡＰ １ →ＡＢ →ＡＣ 则 Ｐ→Ｄ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｄ ． ７．（２０１６ 课标Ⅲ，３，５ 分） 已知向量→ＢＡ ＝ è ç １ ， ３ ø ÷ ， Ｂ→Ｃ ＝
＝ （ ＋ ）， ｜ ｜＝ ； · ＝ ２ ２
２
æ ö
答案 ç ３ １ ÷ 则 ＡＢＣ
５；－１ è ， ø， ∠ ＝ （ ）
４．（２０１９天津，１４，５分）在四边形ＡＢＣＤ中 ＡＤ ＢＣ ＡＢ ２ ２
， ∥ ， ＝２ ３， ° ° ° °
ＡＤ Ａ ° 点Ｅ 在线段 ＣＢ 的延长线上 且 ＡＥ ＢＥ 则 Ａ．３０ Ｂ．４５ Ｃ．６０ Ｄ．１２０
＝５，∠ ＝３０ ， ， ＝ ， 答案 Ａ
Ｂ→Ｄ →ＡＥ ． ８．（２０１６北京，４，５分）设ａ ｂ是向量．则 ａ ｂ 是 ａ ｂ
· ＝ ， “｜ ｜＝｜ ｜” “｜ ＋ ｜＝
答案 ａ ｂ 的
－１ ｜ － ｜” （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
Ａ． Ｂ．
专题七 平面向量 ４１１
充分必要条件 既不充分也不必要条件 １５．（２０２０ 浙江，１７，４ 分）已知平面单位向量 ｅ ｅ 满足
Ｃ． Ｄ． １， ２，
答案 Ｄ ｅ ｅ ．设ａ ｅ ｅ ｂ ｅ ｅ 向量ａ ｂ的夹角为θ
９．（２０１７ 课标Ⅱ，１２，５分）已知 △ ＡＢＣ是边长为 ２ 的等边三角形 ， Ｐ 则 ｜２ １－ ２ ２ θ ｜ 的 ≤ 最 ２ 小值是 ＝ １＋ ２， ＝ ． ３ １＋ ２， ， ，
ｃｏｓ
为平面ＡＢＣ内一点 则→ＰＡ →ＰＢ →ＰＣ 的最小值是
， ·（ ＋ ） （ ） 答案 ２８
３ ４ ２９
Ａ．－２ Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．－１ １６．（２０２０天津，１５，５ 分）如图 在四边形 ＡＢＣＤ 中 Ｂ °
２ ３ ， ，∠ ＝６０ ，
答案 Ｂ
ＡＢ ＢＣ 且Ａ→Ｄ λＢ→Ｃ Ａ→Ｄ →ＡＢ ３ 则实数λ的值为
１０．（２０１８天津，８，５分）如图 在平面四边形 ＝３， ＝６， ＝ ， · ＝－ ，
， ２
ＡＢＣＤ 中
，
ＡＢ
⊥
ＢＣ
，
ＡＤ
⊥
ＣＤ
，∠
ＢＡＤ
＝ ，
若Ｍ
，
Ｎ是线段ＢＣ上的动点
，
且
｜
Ｍ→Ｎ
｜＝１，
则Ｄ→Ｍ
·
° ＡＢ ＡＤ ．若点 Ｅ 为边 ＣＤ 上的动
１２０ ， ＝ ＝１ Ｄ→Ｎ的最小值为 ．
点 则→ＡＥ Ｂ→Ｅ的最小值为
， · （ ）
２１ ３
Ａ． Ｂ．
１６ ２
２５
Ｃ． Ｄ．３
答 １６ 案 Ａ 答案 １ ； １３
６ ２
１１．（２０１６山东，８，５分）已知非零向量ｍ ｎ满足 ｍ ｎ １７．（２０１９课标Ⅲ，１３，５分）已知ａ ｂ为单位向量 且ａ ｂ
， ４｜ ｜＝３｜ ｜， ， ， · ＝０，
ｍ ｎ １ ．若ｎ ｔｍ ｎ 则实数ｔ的值为 若ｃ ａ ｂ 则 ａ ｃ ．
ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ⊥（ ＋ ）， （ ） ＝２ － ５ ， ｃｏｓ〈 ， 〉＝
３
答案 ２
９ ９
Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ． Ｄ．－ ３
４ ４ １８．（２０１６课标Ⅰ，１３，５ 分）设向量 ａ ｍ ｂ 且
答案 Ｂ ＝（ ，１）， ＝（１，２），
ａ ｂ ２ ａ ２ ｂ ２ 则ｍ ．
１２．（２０２０课标Ⅱ理，１３，５分）已知单位向量ａ ｂ的夹角为 ° ｜ ＋ ｜ ＝｜ ｜ ＋｜ ｜ ， ＝
， ４５ ， 答案
ｋａ ｂ与ａ垂直 则ｋ ． －２
－ ， ＝ １９．（２０１９江苏，１２，５分）如图 在 ＡＢＣ中 Ｄ是ＢＣ的中点 Ｅ
， △ ， ，
答案 ２ 在边ＡＢ上 ＢＥ ＥＡ ＡＤ与ＣＥ交于点Ｏ．若→ＡＢ →ＡＣ Ａ→Ｏ
， ＝２ ， · ＝６ ·
２ ＡＢ
１３．（２０２０课标Ⅰ文，１４，５分）设向量ａ ｂ ｍ ｍ Ｅ→Ｃ 则 的值是 ．
＝（１，－１）， ＝（ ＋１，２ ， ＡＣ
若ａ ｂ 则ｍ ．
－４）， ⊥ ， ＝
答案
５
１４．（２０２０江苏，１３，５ 分）在 ＡＢＣ 中 ＡＢ ＡＣ ＢＡＣ
△ ， ＝４， ＝３，∠ ＝
° Ｄ在边ＢＣ上 延长ＡＤ到Ｐ 使得ＡＰ 若→ＰＡ ｍＰ→Ｂ
９０ ， ， ， ＝９， ＝ ＋
( )
答案
３ － ｍ Ｐ→Ｃ （ ｍ为常数 ）， 则ＣＤ的长度是 ． ３
２ ２０．（２０１７天津，１３，５分）在 ＡＢＣ中 Ａ ° ＡＢ ＡＣ ．
△ ，∠ ＝６０ ， ＝３， ＝２
若Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ →ＡＥ λ→ＡＣ →ＡＢ λ Ｒ 且Ａ→Ｄ →ＡＥ 则λ的
＝２ ， ＝ － （ ∈ ）， · ＝－４，
值为 ．
答案 ３
答案 １８或
０ １１
５
考点一 平面向量的数量积 所以 ａ ｂ ａ
＝（１，０）， （２ ＋ ）· ＝（１，０）·（１，－１）＝１×１＋０×（－１）＝
１．（２０１５山东理，４，５分）已知菱形ＡＢＣＤ的边长为ａ ＡＢＣ ．故选 ．
，∠ ＝ １ Ｃ
° 则Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ ３．（２０１５四川理，７，５分）设四边形ＡＢＣＤ为平行四边形 →ＡＢ
６０ ， · ＝ （ ） ，｜ ｜＝
Ａ．－ ３ ａ２ Ｂ．－ ３ ａ２ Ｃ． ３ ａ２ Ｄ． ３ ａ２ ６，｜ Ａ→Ｄ ｜＝４ ．若点Ｍ ， Ｎ满足Ｂ→Ｍ ＝３ Ｍ→Ｃ ， Ｄ→Ｎ ＝２ Ｎ→Ｃ ， 则Ａ→Ｍ · Ｎ→Ｍ ＝
２ ４ ４ ２
（ ）
答案 Ｄ Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ｄ２ １ ａ２
· ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ ＝ ＋ Ａ．２０ Ｂ．１５ Ｃ．９ Ｄ．６
２
答案 Ｃ 依题意有Ａ→Ｍ →ＡＢ Ｂ→Ｍ →ＡＢ ３ Ｂ→Ｃ Ｎ→Ｍ Ｎ→Ｃ Ｃ→Ｍ
ａ２ ３ ａ２． ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋
＝ ４
２ ( )
２．（２０１５课标Ⅱ文，４，５分）向量ａ ｂ 则 ａ １ Ｄ→Ｃ １ Ｂ→Ｃ １ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ 所以Ａ→Ｍ Ｎ→Ｍ →ＡＢ ３ Ｂ→Ｃ
＝（１，－１）， ＝（－１，２）， （２ ＝ － ＝ － ， · ＝ ＋ ·
ｂ ａ ３ ４ ３ ４ ４
＋ ）· ＝ （ ） ( )
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
１ →ＡＢ
－
１ Ｂ→Ｃ
＝
１→ＡＢ２
－
３ Ｂ→Ｃ２
＝９
．故选
Ｃ
．
答案 Ｃ 因为 ａ ｂ ３ ４ ３ １６
２ ＋ ＝２（１，－１）＋（－１，２）＝（２，－２）＋（－１，２） ４．（２０１５广东文，９，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知四边
，
４１２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
形ＡＢＣＤ是平行四边形 →ＡＢ Ａ→Ｄ 则Ａ→Ｄ →ＡＣ
， ＝（１，－２）， ＝（２，１）， · ＝
（ ）
Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２
答案 Ａ 四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 →ＡＣ →ＡＢ Ａ→Ｄ
∵ ，∴ ＝ ＋ ＝
Ａ→Ｄ →ＡＣ ．选 ． Ａ．－１５ Ｂ．－９ Ｃ．－６ Ｄ．０
（３，－１），∴ · ＝２×３＋１×（－１）＝５ Ａ 答案 Ｃ 本题考查向量的运算．
５．（２０１４课标Ⅱ，理 ３，文 ４，５ 分）设向量 ａ ｂ 满足 ａ ｂ
， ｜ ＋ ｜ ＝
ａ ｂ 则ａ ｂ
解法一
：
连接ＯＡ．
∵
Ｂ→Ｃ
＝
→ＡＣ
－
→ＡＢ
＝３
Ａ→Ｎ
－３
Ａ→Ｍ
＝３（
Ｏ→Ｎ
－
Ｏ→Ａ
）－
１０，｜ － ｜＝ ６， · ＝ （ ）
． ． ． ． Ｏ→Ｍ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｍ
Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ５ ３（ － ）＝３（ － ），
答案 Ａ
∵ ｜
ａ
＋
ｂ
｜＝ １０，∴
ａ２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ２
＝１０
．
① ∴
Ｂ→Ｃ
·
Ｏ→Ｍ
＝３（
Ｏ→Ｎ
－
Ｏ→Ｍ
）·
Ｏ→Ｍ
＝３（
Ｏ→Ｎ
·
Ｏ→Ｍ
－｜
Ｏ→Ｍ
｜
２
）＝
又 ａ ｂ ａ２ ａ ｂ ｂ２ ． ３×（２×１×ｃｏｓ１２０ ° －１ ２ ）＝３×（－２）＝－６ ．故选 Ｃ ．
｜ － ｜＝ ６，∴ －２ · ＋ ＝６ ② 解法二 在 ＡＢＣ中 不妨设 Ａ ° 取特殊情况ＯＮ ＡＣ 以
得 ａ ｂ 即ａ ｂ 故选 ： △ ， ∠ ＝９０ ， ⊥ ，
①－②， ４ · ＝４， · ＝１， Ａ． Ａ为坐标原点 ＡＢ ＡＣ所在直线分别为ｘ轴 ｙ轴建立如图所示
６．（２０１４大纲全国文，６，５ 分）已知ａ ｂ为单位向量 其夹角为 ， ， ，
、 ， 的平面直角坐标系
° 则 ａ ｂ ｂ ，
６０ ， （２ － ）· ＝ （ ） 因为 ＭＯＮ ° ＯＮ ＯＭ
∠ ＝１２０ ， ＝２， ＝１，
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ æ ö æ ö ( ) ( )
答案 Ｂ （２ ａ － ｂ ）· ｂ ＝２ ａ · ｂ －｜ ｂ ｜ ２ ＝２×１×１×ｃｏｓ ６０ ° －１ ２ ＝ 所以Ｏ è ç ２， ３ ø ÷ ， Ｃ è ç ０， ３ ３ ø ÷ ， Ｍ ５ ，０ ， Ｂ １５ ，０ ．
故选 ． ２ ２ ２ ２
０， Ｂ æ ö æ ö
７．（２０１８上海，８，５分）在平面直角坐标系中 ， 已知点Ａ （－１，０）、 故Ｂ→Ｃ · Ｏ→Ｍ ＝è ç － １５ ， ３ ３ ø ÷ ·è ç １ ，－ ３ ø ÷ ＝－ １５ － ９ ＝－６ ．故选 Ｃ ．
Ｂ Ｅ Ｆ是ｙ轴上的两个动点 且 Ｅ→Ｆ 则→ＡＥ Ｂ→Ｆ的 ２ ２ ２ ２ ４ ４
（２，０）， 、 ， ｜ ｜＝２， ·
最小值为 ．
答案
－３
解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问
题．设Ｅ ｍ Ｆ ｎ 又Ａ Ｂ
（０， ）， （０， ）， （－１，０）， （２，０），
３．（２０１７课标Ⅱ理，１２，５分）已知 ＡＢＣ是边长为 的等边三
→ＡＥ ｍ Ｂ→Ｆ ｎ ． △ ２
∴ ＝（１， ）， ＝（－２， ） 角形 Ｐ为平面ＡＢＣ内一点 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 的最小值是
→ＡＥ Ｂ→Ｆ ｍｎ 又知 Ｅ→Ｆ ｍ ｎ ． ， ， ·（ ＋ ）
∴ · ＝－２＋ ， ｜ ｜＝２，∴ ｜ － ｜＝２
当ｍ ｎ 时 →ＡＥ Ｂ→Ｆ ｍｎ ｎ ｎ ｎ２ ｎ （ ）
① ＝ ＋２ ， · ＝ －２＝（ ＋２） －２＝ ＋２ －２ ３ ４
ｎ ２ ． Ａ．－２ Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．－１
＝（ ＋１） －３ ２ ３
∴
当ｎ
＝－１，
即Ｅ
（０，１），
Ｆ
（０，－１）
时
，
→ＡＥ
·
Ｂ→Ｆ取得最小值
－３
． 答案 Ｂ 设ＢＣ的中点为Ｄ
，
ＡＤ的中点为Ｅ
，
则有→ＰＢ
＋
→ＰＣ
＝
当ｍ ｎ 时 →ＡＥ Ｂ→Ｆ ｍｎ ｎ ｎ ｎ２ ｎ Ｐ→Ｄ
② ＝ －２ ， · ＝ －２＝（ －２） －２＝ －２ －２ ２ ，
＝（ ｎ －１） ２ －３ ． 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ →ＰＡ Ｐ→Ｄ
·（ ＋ ）＝２ ·
∴
当ｎ
＝１，
即Ｅ
（０，－１），
Ｆ
（０，１）
时
，
→ＡＥ
·
Ｂ→Ｆ取得最小值
－３
．
＝２（ Ｐ→Ｅ ＋ →ＥＡ ）·（ Ｐ→Ｅ － →ＥＡ ）＝２（ Ｐ→Ｅ２ － →ＥＡ２ ） ．
综上可知 →ＡＥ Ｂ→Ｆ的最小值为 ． æ ö２
， · －３ 而→ＡＥ２ ç ３÷ ３
８．（２０１４重庆文，１２，５分）已知向量ａ与ｂ的夹角为 ° 且ａ ＝è ø ＝ ，
６０ ， ＝ ２ ４
（－２，－６），｜
ｂ
｜＝ １０，
则ａ
·
ｂ
＝
． 当Ｐ与Ｅ重合时
，
Ｐ→Ｅ２ 有最小值
０，
故此时→ＰＡ
·（
Ｐ→Ｂ
＋
Ｐ→Ｃ
）
取最
答案 小值
１０ ，
解析 由ａ ＝（－２，－６）， 得 ｜ ａ ｜＝ （－２） ２ ＋（－６） ２ ＝２ １０， 最小值为 →ＥＡ２ ３ ３ ．
－２ ＝－２× ＝－
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ° ． ４ ２
∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ〈 ， 〉＝２ １０× １０×ｃｏｓ６０ ＝１０
考点二 平面向量数量积的应用
１．（２０１９课标Ⅱ文，３，５ 分）已知向量 ａ ｂ 则
＝（２，３）， ＝（３，２），
ａ ｂ
｜ － ｜＝ （ ）
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ．５ ２ Ｄ．５０
答案 Ａ 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模
的计算 考查数学运算的核心素养． 方法总结 在求向量数量积的最值时 常用取中点的方法 如
； ， ，
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
∵ ＝（２，３）， ＝（３，２），∴ － ＝ （－１，１），∴ ｜ － ｜ ＝ 本题中利用→ＰＡ Ｐ→Ｄ Ｐ→Ｅ２ →ＥＡ２ 可快速求出最值．
· ＝ －
２ ２ 故选 ． 一题多解 以ＡＢ所在直线为 ｘ 轴 ＡＢ 的中点为原点建立平
（－１） ＋１ ＝ ２， Ａ ，
一题多解 ａ ｂ ａ ２ ｂ ２ ａ 面直角坐标系 如图
∵ ＝（２，３）， ＝（３，２），∴ ｜ ｜ ＝１３，｜ ｜ ＝１３， · ， ，
ｂ 则 ａ ｂ ａ２ ａ ｂ ｂ２ ．故
＝１２， ｜ － ｜ ＝ －２ · ＋ ＝ １３－２×１２＋１３ ＝ ２
选 ．
Ａ
２．（２０１８天津文，８，５分）在如图的平面图形中 已知ＯＭ ＯＮ
， ＝１，
ＭＯＮ ° Ｂ→Ｍ Ｍ→Ａ Ｃ→Ｎ Ｎ→Ａ 则Ｂ→Ｃ Ｏ→Ｍ的值为
＝２，∠ ＝１２０ ， ＝２ ， ＝２ ， ·
（ ）
专题七 平面向量 ４１３
则Ａ Ｂ Ｃ 设Ｐ ｘ ｙ 取ＢＣ的中点Ｄ
（－１，０）， （１，０）， （０， ３）， （ ， ）， ， ８．（２０１５重庆理，６，５分）若非零向量ａ ｂ满足 ａ ２ ２ ｂ 且
æ ö ， ｜ ｜＝ ｜ ｜，
则Ｄç １ ３÷．→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ →ＰＡ Ｐ→Ｄ ｘ ｙ ３
è ， ø ·（ ＋ ）＝ ２ · ＝２（－１－ ，－ ）· ａ ｂ ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为
２ ２ （ － ）⊥（３ ＋２ ）， （ ）
æ ö é ( ) æ öù
２ è ç é ë êê １ ２ ( － ｘ ＋ ｘ ， １ ２ ３ ) － ２ ｙ ＋ ø ÷ æ è çｙ － ＝ ３ ö ø ÷ ２ ２ － ３ ë êê （ ù û úú ｘ ． ＋１）· ｘ － ２ １ ＋ ｙ ·è çｙ － ２ ３ ø ÷ û úú ＝ ３ Ａ ｜ ． 答 ａ π ４ ｜ 案 ２ － ａ · Ａ ｂ － ∵ ２｜ Ｂ （ ｂ ． ａ ｜ π ２ ２ － ＝ ｂ ） ０⇒ ⊥ ３ （ ｜ ３ ａ ａ ｜ ＋ ２ ２ Ｃ － ｂ ． ｜ ） ３ ａ ４ π ， ｜ ∴ · （ ｜ ａ ｂ － ｜ ｂ · ） ｃ · ｏ Ｄ ｓ （ ． π 〈 ３ ａ ａ ， ＋ ｂ ２ 〉 ｂ － ） ２ ＝ ｜ ０ ｂ ⇒ ｜ ２
４ ４ ４
．
＝０
因此 当ｘ １ ｙ ３时 →ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ 取得最小值 为
， ＝－ ４ ， ＝ ４ ， ·（ ＋ ） ， ２× 又 ａ ２ ２ ｂ ８ ｂ ２ ２ ２ ｂ ２ ａ ｂ ｂ ２ ．
( ) ∵ ｜ ｜＝ ｜ ｜，∴ ｜ ｜ － ｜ ｜ ·ｃｏｓ 〈 ， 〉－２｜ ｜ ＝０
３ ３ 故选 ． ３ ３ ３
－ ＝－ ， Ｂ
４ ２ ａ ｂ ２． ａ ｂ
４．（２０１７课标Ⅱ文，４，５ 分）设非零向量 ａ ｂ 满足 ａ ｂ ∴ ｃｏｓ 〈 ， 〉＝ ∵ 〈 ， 〉∈［０，π］，
， ｜ ＋ ｜ ＝ ２
ａ ｂ 则
｜ － ｜， （ ） ａ ｂ π．选 ．
ａ ｂ ａ ｂ ∴ 〈 ， 〉＝ Ａ
Ａ． ⊥ Ｂ．｜ ｜＝｜ ｜ ４
ａ ｂ ａ ｂ ９．（２０１５重庆文，７，５分）已知非零向量ａ ｂ满足 ｂ ａ 且
Ｃ． ∥ Ｄ．｜ ｜＞｜ ｜ ， ｜ ｜＝４｜ ｜，
答案 Ａ 本题考查向量的有关概念． ａ ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为
⊥（２ ＋ ）， （ ）
由 ａ ｂ ａ ｂ 的几何意义知 以向量ａ ｂ为邻边的平行四边
｜ ＋ ｜＝｜ － ｜ ， 、 π π ２π ５π
形为矩形 所以ａ ｂ．故选 ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， ⊥ Ａ ３ ２ ３ ６
一题多解 将 ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝｜ ａ － ｂ ｜ 两边分别平方得 ｜ ａ ｜ ２ ＋２ ａ · ｂ ＋ 答案 Ｃ 因为ａ ⊥（２ ａ ＋ ｂ ）， 所以ａ ·（２ ａ ＋ ｂ ）＝０，
｜ ｂ ｜ ２ ＝｜ ａ ｜ ２ －２ ａ · ｂ ＋｜ ｂ ｜ ２ ， 即ａ · ｂ ＝０， 故ａ ⊥ ｂ．故选 Ａ ． 得到ａ ｂ ａ ２ 设ａ与ｂ的夹角为θ 则 θ ａ · ｂ
５．（２０１６课标Ⅱ理，３，５分）已知向量ａ ｍ ｂ 且 · ＝－２｜ ｜ ， ， ｃｏｓ ＝ ａ ｂ ＝
＝（１， ）， ＝（３，－２）， ｜ ｜｜ ｜
ａ ｂ ｂ 则ｍ ａ ２
（ ＋ ）⊥ ， ＝ （ ） －２｜ ｜ １ 又 θ 所以θ ２π 故选 ．
ａ ２ ＝－ ， ０≤ ≤π， ＝ ， Ｃ
Ａ．－８ Ｂ．－６ Ｃ．６ Ｄ．８ ４｜ ｜ ２ ３
答案 Ｄ 由题可得ａ ｂ ｍ 又 ａ ｂ ｂ １０．（２０１４大纲全国理，４，５分）若向量ａ ｂ满足 ａ ａ ｂ
＋ ＝（４， －２）， （ ＋ ）⊥ ，∴ ４×３－２ 、 ：｜ ｜＝１，（ ＋ ）
ｍ ｍ ．故选 ． ａ ａ ｂ ｂ 则 ｂ
×（ －２）＝０，∴ ＝８ Ｄ ⊥ ，（２ ＋ ）⊥ ， ｜ ｜＝ （ ）
６．（２０１６四川文，９，５分）已知正三角形ＡＢＣ的边长为 平面
２ ３， ２
Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ．
ＡＢＣ内的动点Ｐ Ｍ满足 →ＡＰ Ｐ→Ｍ Ｍ→Ｃ 则 Ｂ→Ｍ ２的最大值是 ２
， ｜ ｜＝１， ＝ ， ｜ ｜ { ａ ｂ ａ ａ２ ａ ｂ
（ ）
答案 Ｂ 由题意得 （
ａ
＋
ｂ
）·
ｂ
＝ ＋
ａ
·
ｂ
＝
ｂ２
０，
⇒－２
ａ２
＋
ｂ２
（２ ＋ ）· ＝２ · ＋ ＝０
Ａ． ４ ４ ３ Ｂ． ４ ４ ９ Ｃ． ３７＋ ４ ６ ３ Ｄ． ３７＋２ ４ ３３ ＝０， 即 －２｜ ａ ｜ ２ ＋｜ ｂ ｜ ２ ＝０， 又 ｜ ａ ｜＝１，∴ ｜ ｂ ｜＝ ２ ．故选 Ｂ ．
答案 Ｂ 以 Ａ 为坐标原点 建立如图所示的平面直角坐 １１．（２０１８北京文，９，５分）设向量ａ ｂ ｍ ．若ａ
， ＝（１，０）， ＝（－１， ） ⊥
标系 ｍａ ｂ 则ｍ ．
， （ － ）， ＝
答案
则Ａ Ｃ Ｂ ． －１
（０，０）， （２ ３，０）， （ ３，３） 解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．
设Ｐ ｘ ｙ →ＡＰ ｘ２ ｙ２
（ ， ），∵ ｜ ｜＝１，∴ ＋ ＝１， ａ ｂ ｍ ａ２ ａ ｂ
∵ ＝（１，０）， ＝（－１， ），∴ ＝１， · ＝－１，
∵
Ｐ→Ｍ
＝
Ｍ→Ｃ
，∴
Ｍ为ＰＣ的中点
，
由ａ
⊥（
ｍａ
－
ｂ
）
得ａ
·（
ｍａ
－
ｂ
）＝０，
Ｍ
æ
ç
ｘ
＋２ ３
ｙ ö
÷
即ｍａ２
－
ａ
·
ｂ
＝０，
∴ è ， ø， 即ｍ ｍ ．
２ æｘ ２ ö２ ( ｙ ) ２ ｘ２ ｙ２ １２．（２０１ － ７ （－ 课 １ 标 ）＝ Ⅰ ０ 理 ，∴ ，１３ ＝ ， － ５ １ 分）已知向量ａ ｂ的夹角为 ° ａ
∴ ｜ Ｂ→Ｍ ｜ ２ ＝è ç ＋２ ２ ３ － ３ø ÷ ＋ ２ －３ ＝ ４ ＋ ４ －３ ｙ ＋９＝ ４ １ －３ ｙ ＋ ＝２，｜ ｂ ｜＝１， 则 ｜ ａ ＋２ ｂ ｜＝ ． ， ６０ ，｜ ｜
３７ ｙ 答案
９＝ －３ ， ２ ３
４ 解析 本题考查向量数量积的计算．
又 ｙ 当ｙ 时 Ｂ→Ｍ ２ 取得最大值 且最大值
∵ －１≤ ≤１，∴ ＝－１ ，｜ ｜ ，
由题意知ａ ｂ ａ ｂ ° １ 则 ａ ｂ ２
为４９． · ＝｜ ｜·｜ ｜ｃｏｓ６０ ＝２×１× ＝１， ｜ ＋２ ｜ ＝
２
４ ａ ｂ ２ ａ ２ ｂ ２ ａ ｂ ．
思路分析 由 ＡＢＣ为正三角形 →ＡＰ 考虑到用建立平 （ ＋２ ） ＝｜ ｜ ＋４｜ ｜ ＋４ · ＝４＋４＋４＝１２
△ ，｜ ｜ ＝１， 所以 ａ ｂ ．
面直角坐标系的方法来解决向量问题． ｜ ＋２ ｜＝２ ３
１３．（２０１７课标Ⅰ文，１３，５分）已知向量ａ ｂ ｍ ．
评析 本题考查了向量的坐标运算，运用了转化与化归思想． ＝（－１，２）， ＝（ ，１）
若向量ａ ｂ与ａ垂直 则ｍ ．
７．（２０１５福建文，７，５分）设ａ ｂ ｃ ａ ｋｂ．若ｂ ＋ ， ＝
＝（１，２）， ＝（１，１）， ＝ ＋ 答案
ｃ 则实数ｋ的值等于 ７
⊥ ， （ ） 解析 本题考查向量数量积的坐标运算．
Ａ．－ ３ Ｂ．－ ５ Ｃ． ５ Ｄ． ３ ａ ｂ ｍ ａ ｂ ｍ 又 ａ ｂ ａ
２ ３ ３ ２ ∵ ＝（－１，２）， ＝（ ，１），∴ ＋ ＝（ －１，３）， （ ＋ ）⊥ ，
答案 Ａ ｃ ａ ｋｂ ｋ ｋ ．由ｂ ｃ 得ｂ ｃ 即 ｋ ａ ｂ ａ ｍ 解得ｍ ．
＝ ＋ ＝（１＋ ，２＋ ） ⊥ ， · ＝０， １＋ ∴ （ ＋ ）· ＝－（ －１）＋６＝０， ＝７
１４．（２０１６课标Ⅰ文，１３，５分）设向量ａ ｘ ｘ ｂ
ｋ 解得ｋ ３ ．故选 ． ＝（ ， ＋１）， ＝（１，２），
＋２＋ ＝０， ＝－ Ａ 且ａ ｂ 则ｘ ．
２ ⊥ ， ＝
４１４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
夹角为 ° ｃ ｔａ ｔ ｂ．若ｂ ｃ 则ｔ ．
答案 ２ ６０ ， ＝ ＋（１－） · ＝０， ＝
－ 答案
３ ２
解析 解法一 ｂ ｃ
解析 因为ａ ｂ 所以ｘ ｘ 解得ｘ ２ ． ：∵ · ＝０，
⊥ ， ＋２（ ＋１）＝０， ＝－
３ ∴
ｂ
·［
ｔａ
＋（１－
ｔ
）
ｂ
］＝０，
ｔａ
·
ｂ
＋（１－
ｔ
）·
ｂ２
＝０，
易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主 又 ａ ｂ ａ ｂ °
∵ ｜ ｜＝｜ ｜＝１，〈 ， 〉＝６０ ，
要原因．
１ ｔ ｔ ｔ ．
１５．（２０１６山东文，１３，５分）已知向量ａ ｂ ． ∴ ＋１－ ＝０， ＝２
＝（１，－１）， ＝（６，－４） ２
若ａ ｔａ ｂ 则实数ｔ的值为 ． 解法二 由ｔ ｔ 知向量ａ ｂ ｃ的终点Ａ Ｂ Ｃ共线 在
⊥（ ＋ ）， ： ＋（１－）＝１ 、 、 、 、 ，
答案 æ ö
－５ 平面直角坐标系中设ａ ｂ ç １ ３÷
解析 因为ａ ｔａ ｂ 所以ａ ｔａ ｂ 即ｔａ２ ａ ｂ ＝（１，０）， ＝è ， ø，
⊥（ ＋ ）， ·（ ＋ ）＝０， ＋ · ＝ ２ ２
又因为ａ ｂ 所以 ａ ａ ｂ æ ö
０， ＝（１，－１）， ＝（６，－４）， ｜ ｜＝ ２， · ＝１×６＋ 则ｃ ç ３ ３÷．
因此可得 ｔ 解得ｔ ． ＝è ，－ ø
（－１）×（－４）＝１０， ２ ＋１０＝０， ＝－５ ２ ２
评析 本题主要考查向量的数量积运算，向量的模以及两向 把ａ ｂ ｃ的坐标代入ｃ ｔａ ｔ ｂ 得ｔ ．
、 、 ＝ ＋（１－） ， ＝２
量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的运算求解能力以
及方程思想的应用．
１６．（２０１６北京文，９，５分）已知向量ａ ｂ 则
＝（１， ３）， ＝（ ３，１），
ａ与ｂ夹角的大小为 ． 评析 本题考查了向量的运算，利用三点共线的条件得到ｃ
答案 π 的坐标是解题关键．
６ ２２．（２０１２课标，理１３，文１３，５分）已知向量ａ ｂ夹角为 ° 且
， ４５ ，
ａ ｂ
解析 ａ ｂ · １× ３＋ ３×１ ３ ａ ａ ｂ 则 ｂ ．
∵ ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ａ ｂ ＝ ＝ ， ｜ ｜＝１，｜２ － ｜＝ １０， ｜ ｜＝
｜ ｜·｜ ｜ ２×２ ２ 答案
３ ２
ａ与ｂ夹角的大小为π． 解析 ａ ｂ 两边平方得
∴ ｜２ － ｜＝ １０
６
１７．（２０１５浙江，１３，４分）已知ｅ ｅ 是平面单位向量 且ｅ ｅ ４｜ ａ ｜ ２ －４｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ｃｏｓ４５ ° ＋｜ ｂ ｜ ２ ＝１０ ．
１， ２ ， １· ２
ａ ｂ ２ ｂ ．
１ ．若平面向量ｂ满足ｂ ｅ ｂ ｅ 则 ｂ ． ∵ ｜ ｜＝１，∴ ｜ ｜ －２ ２｜ ｜－６＝０
＝ · １＝ · ２＝１， ｜ ｜＝ ｂ 或 ｂ 舍去 ．
２ ∴ ｜ ｜＝３ ２ ｜ ｜＝－ ２（ ）
评析 本题考查了向量的基本运算，考查了方程的思想．通过
答案 ２
３ “平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键．
３
解析 令ｅ 与ｅ 的夹角为θ ｅ ｅ ｅ ｅ θ ２３．（２０１２安徽文，１１，５分）设向量ａ ｍ ｂ ｍ ｃ
１ ２ ，∴ １· ２＝｜ １｜·｜ ２｜ｃｏｓ ＝ ＝（１，２ ）， ＝（ ＋１，１），
ｍ 若 ａ ｃ ｂ 则 ａ ．
θ １ 又 ° θ ° θ °．因为ｂ ｅ ｅ 所 ＝（２， ）， （ ＋ ）⊥ ， ｜ ｜＝
ｃｏｓ ＝
２
， ０ ≤ ≤１８０ ，∴ ＝６０ ·（ １－ ２）＝０，
答案
２
以ｂ与ｅ ｅ 的夹角均为 ° 从而 ｂ １ ２ ． 解析 ａ ｃ ｍ
１、 ２ ３０ ， ｜ ｜＝ °＝ ３ ＋ ＝（３，３ ），
ｃｏｓ３０ ３ ａ ｃ ｂ
１８．（２０１４课标Ⅰ理，１５，５分）已知Ａ Ｂ Ｃ为圆Ｏ上的三点 若 ∵ （ ＋ ）⊥ ，
， ， ， ａ ｃ ｂ
∴ （ ＋ ）· ＝０，
Ａ→Ｏ １ →ＡＢ →ＡＣ 则→ＡＢ与→ＡＣ的夹角为 ． ｍ ｍ
＝ （ ＋ ）， ∴３ ＋３＋３ ＝０，
２
答案 ° ｍ １
９０ ∴ ＝－ ，
２
解析 由Ａ→Ｏ １ →ＡＢ →ＡＣ 可知Ｏ为ＢＣ的中点 即ＢＣ为 ａ
＝ （ ＋ ） ， ∴ ＝（１，－１），
圆Ｏ的直径 又因 ２ 为直径所对的圆周角为直角 所以 ＢＡＣ ∴ ｜ ａ ｜＝ １ ２ ＋（－１） ２ ＝ ２ ．
， ， ∠ ＝ 评析 本题主要考查向量的基本运算，考查了向量垂直的充
° 所以→ＡＢ与→ＡＣ的夹角为 °．
９０ ， ９０ 要条件．
１９．（２０１４湖北文，１２，５分）若向量Ｏ→Ａ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ２４．（２０１１课标，文１３，５分）已知ａ与ｂ为两个不共线的单位向
＝（１，－３），｜ ｜＝｜ ｜，
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 则 →ＡＢ ． 量 ｋ为实数 若向量ａ ｂ与向量ｋａ ｂ垂直 则ｋ ．
· ＝０， ｜ ｜＝ ， ， ＋ － ， ＝
答案
答案
１
２ ５ 解析 由题意知 ａ ｂ ａ ｂ 且 ａ ｂ ．
解析
｜
→ＡＢ
｜＝｜
Ｏ→Ｂ
－
Ｏ→Ａ
｜＝
Ｏ→Ａ２
＋
Ｏ→Ｂ２
－２
Ｏ→Ｂ
·
Ｏ→Ａ
， 由ａ ｂ 与向量ｋａ ｂ
｜
垂
｜＝
直
１，
得
｜ ｜
ａ
＝１
ｂ
，〈 ，
ｋ
〉
ａ
≠
ｂ
０ 〈 ， 〉≠π
＋ － ， （ ＋ ）·（ － ）＝０，
∵ ｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ Ｏ→Ｂ ｜＝ １ ２ ＋（－３） ２ ＝ １０， Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｂ ＝０， 即ｋ ｜ ａ ｜ ２ ＋（ ｋ －１）｜ ａ ｜｜ ｂ ｜·ｃｏｓ〈 ａ ， ｂ 〉－｜ ｂ ｜ ２ ＝０，
→ＡＢ 故答案为 ． ｋ ａ ｂ ．又 ａ ｂ
∴ ｜ ｜＝ ２０＝２ ５， ２ ５ （ －１）（１＋ｃｏｓ〈 ， 〉）＝０ １＋ｃｏｓ〈 ， 〉≠０，
２０．（２０１４湖北理，１１，５分）设向量ａ ｂ ．若 ａ ｋ ｋ ．
＝（３，３）， ＝（１，－１） （ ∴ －１＝０， ＝１
λｂ ａ λｂ 则实数λ ． 评析 本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识，考查学
＋ ）⊥（ － ）， ＝
答案 生的运算求解能力，属中等难度试题．
±３
解析
｜
ａ
｜＝３ ２，｜
ｂ
｜＝ ２，
ａ
·
ｂ
＝３×１＋３×（－１）＝０
．因为
（
ａ ２５．（２０１５福建理，９，５分）已知→ＡＢ
⊥
→ＡＣ
，｜
→ＡＢ
｜＝
１
ｔ ，｜
→ＡＣ
｜＝
ｔ．若
λｂ ａ λｂ 所以 ａ λｂ ａ λｂ ａ ２ λ２ ｂ ２
＋ ）⊥（ － ）， （ ＋ ）·（ － ）＝ ｜ ｜ － ｜ ｜ ＝１８－
２
λ２
＝０
．故λ
＝±３
．
点Ｐ是 ＡＢＣ所在平面内的一点 且→ＡＰ
→ＡＢ
４
→ＡＣ
则Ｐ→Ｂ
２１．（２０１３课标Ⅰ，理１３，文３，５分）已知两个单位向量ａ ｂ的 △ ， ＝ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ，
， ｜ ｜ ｜ ｜
专题七 平面向量 ４１５
Ｐ→Ｃ的最大值等于
· （ ） ２．
－
Ａ．１３ Ｂ．１５ Ｃ．１９ Ｄ．２１ １０
答案 Ａ 以Ａ为原点 ＡＢ所在直线为ｘ轴 ＡＣ所在直线 ２８．（２０１９北京文，９，５分）已知向量ａ ｂ ｍ 且ａ
， ， ＝（－４，３）， ＝（６， ），
( ) ｂ 则ｍ ．
为ｙ轴建立平面直角坐标系 则Ｂ １ ｔ Ｃ ｔ Ｐ ⊥ ， ＝
， ｔ ，０ （ ＞０）， （０， ）， 答案
８
( ) ( ) 解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运
Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ １ ｔ ｔ １
（１，４）， · ＝ ｔ －１，－４ ·（－１， －４）＝ １７－ ４ ＋ ｔ ≤ 算 考查了方程的思想方法．
，
( ) ａ ｂ ａ ｂ ｍ ｍ
当且仅当ｔ １ 时 取 故Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ的最大 ∵ ⊥ ，∴ · ＝（－４，３）·（６， ）＝－２４＋３ ＝０，
１７－２×２＝１３ ＝ ， “＝” ， · ｍ ．
２ ∴ ＝８
值为 故选 ． 易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆．
１３， Ａ
２６．（２０１９浙江，１７，６分）已知正方形ＡＢＣＤ的边长为
１
．当每个 ２９．（２０１７北京文，１２，５分）已知点Ｐ在圆ｘ２
＋
ｙ２
＝１
上
，
点Ａ的
λ ｉ（ ｉ ＝１，２，３，４，５，６） 取遍 ±１ 时 ，｜ λ １ →ＡＢ ＋ λ ２ Ｂ→Ｃ ＋ λ ３ Ｃ→Ｄ ＋ λ ４ Ｄ→Ａ 坐标为 （－２，０）， Ｏ为原点 ， 则Ａ→Ｏ · →ＡＰ的最大值为 ．
λ →ＡＣ λ Ｂ→Ｄ 的最小值是 最大值是 ． 答案
＋ ５ ＋ ６ ｜ ， ６
答案 解析 解法一 Ａ→Ｏ →ＡＰ表示→ＡＰ在Ａ→Ｏ方向上的投影与 Ａ→Ｏ
０；２ ５ ： · ｜ ｜
解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算 在向量
， 的乘积 当Ｐ在Ｂ点时 Ａ→Ｏ →ＡＰ有最大值 此时Ａ→Ｏ →ＡＰ
的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理 ， ， · ， · ＝２×３
．
能力 数学运算及数据分析的核心素养．
＝６
，
如图 建立平面直角坐标系 则 Ａ Ｂ Ｃ
， ， （０，０）， （１，０）， （１，１），
Ｄ
（０，１），
解法二 设Ｐ ｘ ｙ 则Ａ→Ｏ →ＡＰ ｘ ｙ ｘ 由
： （ ， ）， · ＝（２，０）·（ ＋２， ）＝２ ＋４，
题意知 ｘ ｘ 时 Ａ→Ｏ →ＡＰ取最大值 Ａ→Ｏ →ＡＰ的
－１≤ ≤１，∴ ＝１ ， · ６，∴ ·
→ＡＢ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ Ｄ→Ａ →ＡＣ 最大值为 ．
∴ ＝（１，０）， ＝（０，１）， ＝（－１，０）， ＝（０，－１）， ＝ ６
（１，１），
Ｂ→Ｄ
＝（－１，１），
３０．（２０１３北京文，１４，５分）已知点Ａ
（１，－１），
Ｂ
（３，０），
Ｃ
（２，１）
．
故
｜
λ
１
→ＡＢ
＋
λ
２
Ｂ→Ｃ
＋
λ
３
Ｃ→Ｄ
＋
λ
４
Ｄ→Ａ
＋
λ
５
→ＡＣ
＋
λ
６
Ｂ→Ｄ
｜
若平面区域Ｄ由所有满足→ＡＰ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
（１≤
λ
≤２，０≤
μ
≤
λ λ λ λ λ λ λ λ 的点Ｐ组成 则Ｄ的面积为 ．
＝｜（ １－ ３＋ ５－ ６， ２－ ４＋ ５＋ ６）｜ １） ，
答案
λ λ λ λ ２ λ λ λ λ ２． ３
＝ （ １－ ３＋ ５－ ６） ＋（ ２－ ４＋ ５＋ ６） （∗）
显然 式中第一个括号中的λ λ 与第二个括号中的λ 解析 →ＡＢ →ＡＣ ．
（∗） １， ３ ２， ＝（２，１）， ＝（１，２）
λ
４
的取值互不影响
，∴
只需讨论λ
５
与λ
６
的取值情况即可
，
设Ｐ
（
ｘ
，
ｙ
），
由→ＡＰ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
，
当λ ５ 与λ ６ 同号时 ， 不妨取λ ５＝１， λ ６＝１， ì ïλ ２ ｘ － ｙ －３
则 （∗） 式即为 （ λ １－ λ ３） ２ ＋（ λ ２－ λ ４＋２） ２ ， 得 {ｘ －１＝２ λ ＋ μ ，故有í ï ＝ ３ ，
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ｙ λ μ ï ｘ ｙ
∵ 时 １， ２， ３ 式 ， 取 ４∈ 最 ｛ 小 －１ 值 ，１｝， 当 ∴ λ １＝ λ ３， ２－ 如 ４＝ λ －２（ ２＝ λ －１， ４＝ ＋１＝ ＋２ ， î ïμ ＝ － ＋２ ＋３．
１） ，（∗） ０， ｜ １－ ３｜＝２（ １＝１， ３＝－１），
又λ μ 故有
３
λ λ λ λ 时 式取最大值 ∈［１，２］， ∈［０，１］，
当 ２－ λ ４ 与 ＝２（ λ ２ 异 ＝１ 号 ， 时 ４＝－ 不 １） 妨取 ，（ λ ∗） λ ２ 则 ５， 式即 ì ï ２ ｘ － ｙ －３
５ ６ ， ５ ＝１， ６ ＝－１， （∗） ï１≤ ≤２， { ｘ ｙ
为 λ λ ２ λ λ ２． í ３ 即 ３≤２ － －３≤６，
（ １－ ３＋２） ＋（ ２－ ４） ï
ï ２
ｙ
－
ｘ
＋３ ０≤２
ｙ
－
ｘ
＋３≤３
．
同理可得最小值仍为 最大值仍为 î０≤ ≤１，
０， ２ ５， ３
综上 最小值为 最大值为 ． 则平面区域Ｄ如图中阴影部分所示．
， ０， ２ ５
解题关键 本题未知量比较多 所以给学生的第一感觉是
，
难 而实际上注意到图形为规则的正方形 λ ｉ
， ， ｉ（ ＝１，２，３，４，５，
的取值只有两种可能 或 这就给建系及讨论λ 的值
６） （１ －１）， ｉ
创造了条件 也是求解本题的突破口．
，
２７．（２０１９课标Ⅲ文，１３，５分）已知向量ａ ｂ
＝（２，２）， ＝（－８，６），
则 ａ ｂ ．
ｃｏｓ〈 ， 〉＝
答案 ２
－
１０ 易知其面积为 ．
解析 本题考查平面向量夹角的计算 通过向量的坐标运 ３
，
评析 本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识；同
算考查学生的运算求解能力 体现运算法则与运算方法的素
，
时又考查了转化及数形结合思想，综合能力要求较高．
养要素．
ａ ｂ
由题意知 ａ ｂ · ２×（－８）＋２×６
ｃｏｓ〈 ， 〉 ＝ ａ ｂ ＝ ＝
｜ ｜·｜ ｜ ２ ２ ＋２ ２ × （－８） ２ ＋６ ２
４１６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
时间： 分钟 分值： 分
８０ ９０
一、单项选择题
（
每题
５
分
，
共
３５
分
）
的动点 则Ｅ→Ｆ Ｂ→Ｆ的最小值是
， · （ ）
１．（２０２１届广东茂名五校联盟第一次联考，３）已知向量 ａ
｜ ｜＝４，
ｂ ａ与ｂ的夹角为 ° 则 ａ ｂ
｜ ｜＝８， ６０ ， ｜２ ＋ ｜＝ （ ）
Ａ．５ ３ Ｂ．８ ３ Ｃ．８ ２ Ｄ．６ ３
答案 Ｂ
２．（２０２１届海南一模，５）在 ＡＢＣ 中 ＣＡ ＣＢ Ｅ Ｆ 分
Ｒｔ△ ， ＝３， ＝６， 、 ９ ４
别是斜边ＡＢ上的两个三等分点
，
则Ｃ→Ｅ
·
Ｃ→Ｆ
＝ （ ）
Ａ．０ Ｂ．－
５
Ｃ．－
５
Ｄ．１
答案 Ｂ
Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０
答案 Ｄ 二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２０ ）
３．（２０２１届河南郑州二调，８）如图
，
在梯形 ＡＢＣＤ 中
，
ＡＢ
∥
ＣＤ
，
８．（２０２１届百师联盟高三一轮复习联考（二），１１）设ａ ｂ是两
，
ＡＢ ＡＤ ＣＤ Ａ→Ｍ Ｍ→Ｄ →ＡＣ Ｂ→Ｍ 则→ＡＢ Ａ→Ｄ 个非零向量 则下列描述正确的是
＝４， ＝３， ＝２， ＝２ ， · ＝－３， · ＝ ， （ ）
若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ ｂ
（ ） Ａ． ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜， ⊥
若 ａ ｂ ａ ｂ 则存在实数λ 使得ｂ λａ
Ｂ． ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜， ， ＝
若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ ｂ
Ｃ． ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜， ⊥
若存在实数λ 使得ｂ λａ 则 ａ ｂ ａ ｂ
Ｄ． ， ＝ ， ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜
答案 ＢＣ
９．（２０２１届山东新泰第一中学第二次月考，１０）设向量ａ ｂ满足
，
ａ ｂ 且 ｂ ａ 则以下结论正确的是
１ １ ３ ３ ｜ ｜＝｜ ｜＝１， ｜ －２ ｜＝ ５， （ ）
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ａ ｂ ａ ｂ
２ ２ ２ ２ Ａ． ⊥ Ｂ．｜ ＋ ｜＝２
答案 Ｃ ａ ｂ ａ ｂ °
Ｃ．｜ － ｜＝ ２ Ｄ．〈 ， 〉＝６０
４．（２０２１届山东青岛期初调研检测，３）已知平面内三点Ａ 答案 ＡＣ
（２，１），
Ｂ
（６，４），
Ｃ
（１，１６），
则向量→ＡＢ在→ＢＣ的方向上的投影为
（ ）
１０．（２０２０山东德州一中开学考，１２）已知 ｅ
１，
ｅ
２
是两个单位向
１６ ３３ １６ ３３ 量 λ Ｒ时 ｅ λｅ 的最小值为 ３ 则下列结论正确的是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， ∈ ，｜ １＋ ２｜ ，
５ ５ １３ １３ ２
答案 Ｃ
（ ）
５．（２０２１届山东高三开学质量检测，６）已知 ＡＢＣ 中 ＡＢ
△ ， ＝４， ｅ ｅ 的夹角是π ｅ ｅ 的夹角是π或２π
ＡＣ ＢＣ 动点Ｐ自点Ｃ出发沿线段ＣＢ运动 到达点Ｂ Ａ． １， ２ Ｂ． １， ２
＝４ ３， ＝８， ， ３ ３ ３
时停止 动点Ｑ自点Ｂ出发沿线段ＢＣ运动 到达点Ｃ时停止
， ， ， ｅ ｅ 或 ｅ ｅ 或 ３
且动点Ｑ的速度是动点Ｐ的速度的 倍．若二者同时出发 且 Ｃ．｜ １＋ ２｜＝１ ３ Ｄ．｜ １＋ ２｜＝１
２ ， ２
答案 ＢＣ
一个点停止运动时 另一个点也停止 则该过程中→ＡＰ Ａ→Ｑ的最
， ， · １１．（２０２０百师联盟期中联考）已知向量 ａ α α ｂ
大值是 ＝（ｓｉｎ ，ｃｏｓ ）， ＝
（ ） 则下列命题正确的是
（１，２）， （ ）
７ ４９
Ａ． Ｂ．４ Ｃ． Ｄ．２３ 若ａ ｂ 则 α １
２ ２ Ａ． ∥ ， ｔａｎ ＝
答案 Ｃ ２
６．（２０２１届百师联盟高三一轮复习联考（二），８）如图 在 ＡＢＣ 若ａ ｂ 则 α １
， △ Ｂ． ⊥ ， ｔａｎ ＝
中 ＡＢ ＡＣ ＢＡＣ ° Ｄ为边ＢＣ的中点 且Ａ→Ｍ ２
， ＝４， ＝２ ２，∠ ＝１３５ ， ， ＝
若ｆ α ａ ｂ取得最大值 则 α １
Ｍ→Ｄ 则向量Ｂ→Ｍ的模为 Ｃ． （ ）＝ · ， ｔａｎ ＝
， （ ） ２
ａ ｂ 的最大值为
Ｄ．｜ － ｜ ５＋１
答案 ＡＣＤ
三、填空题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２５ ）
１２．（２０２１届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，１３）已
２６ ５ ２ æ ö
Ａ． Ｂ． 知平面向量ａ ｂ ç １ ３÷ 则ａ与ａ ｂ的夹角为
２ ２ ＝（１，０）， ＝è－ ， ø， ＋
２ ２
２６或 ５ ２６或５ ２ ．
Ｃ． Ｄ．
２ ２ ２ ２
答案 Ｂ 答案 π
３
７．（２０２０浙江杭州二中开学考，８）如图 已知等腰梯形 ＡＢＣＤ
， １３．（２０２１ 届江苏扬州期中检测，１４）在 ＡＢＣ中 ＢＡＣ π
中 ＡＢ ＤＣ ＡＤ ＢＣ Ｅ是ＤＣ的中点 Ｆ是线段ＢＣ上 △ ，∠ ＝ ，
， ＝２ ＝４， ＝ ＝ ５， ， ３
专题七 平面向量 ４１７
答案
ＡＢ
＝２，
ＡＣ
＝３，
Ｂ→Ｄ
＝２
Ｄ→Ｃ
，
则Ａ→Ｄ
·
Ｂ→Ｃ
＝
． －１
１６．（２０２１届广东湛江一中测试，１４）已知向量 ａ ｂ
答案 １１ ＝（１，２）， ＝
．若ｋａ ｂ与 ａ ｂ的夹角是钝角 则实数ｋ的取值
３ （－３，２） ＋２ ２ －４ ，
１４．（２０２１ 届湖南、河北新高考联考 １０ 月质量检测，１３）在 范围是 ．
ＡＢＣ中 →ＡＢ Ｃ→Ｂ 则 ＢＡＣ 的大小为 答案 ｋ ５０且ｋ
△ ， ＝（０，２）， ＝（ ３，１）， ∠ ＜ ≠－１
． ３
四、解答题 共 分
答案 π （ １０ ）
１７．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，１７）已知 ａ
３ ＝（１，
１５．（２０２１届河南郑州二调，１５）已知 Ｐ 是边长为 的正方形 ｂ ｃ ．
２ ２）， ＝（－１，３）， ＝（３，－２）
ＡＢＣＤ所在平面内一点 ， 则Ｐ→Ｃ ·（ Ｐ→Ｂ ＋ Ｐ→Ｄ ） 的最小值为 （１） 求向量ａ与ａ ＋２ ｂ所成角的余弦值 ；
． （２）
若
（
ａ
＋２
ｂ
）∥（
ｂ
＋
ｋｃ
），
求实数ｋ的值．
４１８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１８北京朝阳二模，５）如图 角α β均以Ｏｘ为始边 终边与
， ， ， ∴ ｜ →ＡＢ ｜ ２ ＋｜ →ＡＣ ｜ ２ ≥２｜ →ＡＢ ｜·｜ →ＡＣ ｜＝４，
单位圆Ｏ分别交于点Ａ Ｂ 则Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ
， ， · ＝ （ ） →ＡＧ２ ４ ２ ２ ．
∴ ≥ ＋ ＝
９ ９ ３
→ＡＧ ６ →ＡＧ 的最小值是 ６．故选
∴ ｜ ｜≥ ，∴ ｜ ｜ Ｃ．
３ ３
５．（２０１８河南郑州二模，７）已知平面向量ａ ｂ ｃ满足 ａ ｂ
， ， ｜ ｜＝｜ ｜＝
ｃ 若ａ ｂ １ 则 ａ ｂ ｂ ｃ 的最小值为
｜ ｜＝１， · ＝ ， （ ＋ ）·（２ － ） （ ）
２
Ａ．－２ Ｂ．３－ ３ Ｃ．－１ Ｄ．０
α β α β
Ａ．ｓｉｎ（ － ） Ｂ．ｓｉｎ（ ＋ ）
Ｃ．ｃｏｓ（ α － β ） Ｄ．ｃｏｓ（ α ＋ β ） 答案 Ｂ 由 ｜ ａ ｜＝｜ ｂ ｜＝１， ａ · ｂ ＝ １ ， 可得 〈 ａ ， ｂ 〉＝ π ， 令Ｏ→Ａ
２ ３
答案 Ｃ 解法一 ： Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｂ ＝｜ Ｏ→Ａ ｜·｜ Ｏ→Ｂ ｜ｃｏｓ〈 Ｏ→Ａ ， Ｏ→Ｂ 〉＝１× ａ Ｏ→Ｂ ｂ 以Ｏ→Ａ的方向为ｘ轴的正方向建立如图所示的平面
β α β α α β ．故选 ． ＝ ， ＝ ，
１×ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ（ － ） Ｃ æ ö
解法二 由三角函数的定义得Ａ α α Ｂ β β 直角坐标系 则ａ Ｏ→Ａ ｂ Ｏ→Ｂ ç １ ３÷ 设ｃ Ｏ→Ｃ
： （ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）， （ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）， ， ＝ ＝（１，０）， ＝ ＝è ， ø， ＝ ＝
２ ２
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ α α β β α β α θ θ θ 则 ａ ｂ ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ
∴ · ＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）·（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ · （ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）（０≤ ＜２π）， （ ＋ ）·（２ － ）＝２ · － · ＋
２． ｓ （ ｉｎ ２０ β １ ＝ ８ ｃｏｓ 豫 （ α 南 － β ） 九 ． 校 第 六 次 质 量 考 评， ４） 若 向 量 ａ ＝ ２ ｂ２ － ｂ · ｃ ＝３－ æ è ç ｃｏｓ θ ＋ １ ｃｏｓ θ ＋ ３ ｓｉｎ θ ö ø ÷ ＝３－ ３ｓｉｎ ( θ ＋ π ) ， 则
( ) ２ ２ ３
． ° １ 向量ｂ ． ° 则ａ ｂ ａ ｂ ｂ ｃ 的最小值为 故选
ｔａｎ６７５ ， ． ° ， ＝（１，ｓｉｎ２２５ ）， · ＝ （ ＋ ）·（２ － ） ３－ ３， Ｂ．
ｃｏｓ１５７５
（ ）
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ． ２ Ｄ．－ ２
． °
答案 Ａ 由题意知ａ ｂ ． ° ｓｉｎ２２５ ． °
· ＝ｔａｎ６７５ ＋ ． °＝ｔａｎ６７５ ＋
ｃｏｓ１５７５
． °
ｓｉｎ２２５ ． ° ． ° ． ° １
． °＝ｔａｎ６７５ －ｔａｎ２２５ ＝ｔａｎ６７５ － ． °
－ｃｏｓ ２ ２２ ． ５ ° ２ ． ° ( ｔａｎ ) ６７５ 思路分析 根据已知条件建立合适的平面直角坐标系 ， 利用
＝ ｔａ ｔ ｎ ａｎ ６７ ６７ ５ ． ５ － ° １ ＝２× ｔａ ２ ｎ ｔａｎ ６７ ６７ ５ ． ５ － ° １ ＝２× － ｔａｎ １ １３５ ° ＝２， 故选 Ａ． 单位向量设出ｃ ＝（ｃｏｓ θ ，ｓｉｎ θ ）（０≤ θ ＜２π）， 将 （ ａ ＋ ｂ ）·（２ ｂ －
３．（２０１８广西联考，７）已知 ＡＢＣ外接圆的半径为 圆心为Ｏ ｃ 用θ表示 即转化成关于θ的三角函数式 从而求其最小值．
△ １， ， ） ， ，
方法总结 对于平面向量问题 常用的求解方法为基底法和
且→ＡＢ →ＡＣ Ａ→Ｏ →ＡＢ Ｏ→Ａ 则→ＣＡ Ｃ→Ｂ的值是 ，
＋ ＝２ ，｜ ｜＝ ３｜ ｜， · （ ） 坐标法．前者需要选择合适的基底 利用线性运算进行表示和
，
３ 求解 后者需要建立适当的平面直角坐标系 利用坐标进行
Ａ．３ Ｂ． ３ Ｃ． Ｄ．１ ； ，
２ 运算．
答案 Ｄ →ＡＢ →ＡＣ Ａ→Ｏ Ｏ 为 ＢＣ 的中点 又 Ｏ 为
∵ ＋ ＝２ ，∴ ， ∵ ６．（２０１７ 甘肃天水一中第三次诊断考试）已知函数 ｆ ｘ
ＡＢＣ外接圆的圆心 ＢＣ为圆Ｏ的直径 ＡＢＣ 为直角 （ ）＝
△ ，∴ ，∴ △ Ａ ｘ φ 的部分图象如图所示 点Ｂ Ｃ是该图象与ｘ轴的
ｓｉｎ（π ＋ ） ， ，
三角形
，∠
ＢＡＣ
＝
π
，∴
→ＣＡ
·
Ｃ→Ｂ
＝
→ＣＡ
·（
→ＡＢ
－
→ＡＣ
）＝
→ＣＡ
·
→ＡＢ
＋ 交点 过点Ｃ的直线与该图象交于Ｄ Ｅ两点 则 Ｂ→Ｄ Ｂ→Ｅ
２ ， ， ， （ ＋ ）·
→ＣＡ ２ →ＣＡ ２ Ｂ→Ｃ ２ →ＡＢ ２ 又易知 Ｂ→Ｃ →ＡＢ Ｂ→Ｅ Ｃ→Ｅ 的值为
｜ ｜ ＝｜ ｜ ＝ ｜ ｜ －｜ ｜ ， ｜ ｜ ＝２，｜ ｜ ＝ ３， （ － ） （ ）
→ＣＡ Ｃ→Ｂ ．
∴ · ＝４－３＝１
４．（２０１８安徽安庆一模，９）已知点Ｇ是 ＡＢＣ内一点 满足→ＧＡ
△ ， ＋
Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０ 若 ＢＡＣ π →ＡＢ →ＡＣ 则 →ＡＧ 的最小值是
＋ ＝ ， ∠ ＝ ， · ＝１， ｜ ｜
３
（ ）
３ ２ ６ ６
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １
３ ２ ３ ２ Ａ．－１ Ｂ．－
２
答案 Ｃ 点Ｇ是 ＡＢＣ内一点 满足→ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０
∵ △ ， ＋ ＋ ＝ ，
１
Ｇ是 ＡＢＣ的重心
Ｃ． Ｄ．２
∴ △ ， ２
Ｔ
→ＡＧ １ →ＡＢ →ＡＣ 答案 Ｄ 由题图知最小正周期Ｔ ２π ＢＣ 易
∴ ＝ （ ＋ ）， ＝ ＝２，∴ ＝ ＝１，
３ π ２
∴ →ＡＧ２ ＝ １ （ →ＡＢ２ ＋ →ＡＣ２ ＋２ →ＡＢ · →ＡＣ ）＝ １ （｜ →ＡＢ ｜ ２ ＋｜ →ＡＣ ｜ ２ ）＋ ２ ，
知Ｃ点是线段ＤＥ的中点
，∴
结合向量的平行四边形法则
，
可
９ ９ ９ 得Ｂ→Ｄ Ｂ→Ｅ Ｂ→Ｃ 又 Ｂ→Ｅ Ｃ→Ｅ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ Ｂ→Ｅ Ｂ→Ｅ Ｃ→Ｅ
＋ ＝２ ， ∵ － ＝ ，∴ （ ＋ ）·（ － ）＝
→ＡＢ →ＡＣ １ →ＡＢ →ＡＣ →ＡＢ →ＡＣ
∵ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜＝１，∴ ｜ ｜·｜ ｜＝２， Ｂ→Ｃ ２ ２ ．选
２ ２ ｜ ｜ ＝２×１ ＝２ Ｄ．
专题七 平面向量 ４１９
７．（２０１８湖北武汉调研，６）设Ａ Ｂ Ｃ是半径为 的圆Ｏ上的三 值的和为
、 、 １ （ ）
点 且Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 则 Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ 的最大值是
， ⊥ ， （ － ）·（ － ） （ ） Ａ．０ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ． ７
答案 Ｄ ａ ａ ｂ ａ ａ ｂ 即ａ２ ａ ｂ
Ａ．１＋ ２ Ｂ．１－ ２ Ｃ． ２－１ Ｄ．１ ∵ ⊥（ －２ ），∴ ·（ －２ ）＝ ０， ＝２ · ，
答案 Ａ 解法一 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 又 ａ ｂ ａ ｂ １ ａ与ｂ的夹角为 °．
：∵ ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜＝１，∴ ｜ ＋ ｜ ｜ ｜＝｜ ｜＝１，∴ · ＝ ，∴ ６０
２
＝
Ｏ→Ａ２
＋２
Ｏ→Ａ
·
Ｏ→Ｂ
＋
Ｏ→Ｂ２
＝ ２
．设
（
Ｏ→Ａ
＋
Ｏ→Ｂ
）
与Ｏ→Ｃ的夹角为θ
， 设Ｏ→Ａ ａ Ｏ→Ｂ ｂ Ｏ→Ｃ ｃ 以Ｏ为坐标原点 Ｏ→Ｂ的方向为ｘ轴正
＝ ， ＝ ， ＝ ， ，
则 Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ２ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 方向建立如图所示的平面直角坐标系
（ － ）·（ － ）＝ －（ ＋ ）· ＋ · ＝１－ ，
θ 又 θ θ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ
２ｃｏｓ ， ∵ ∈［０，π］，∴ ｃｏｓ ∈［－１，１］，∴ （ － ）·
Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ θ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ
（ － ）＝１－ ２ｃｏｓ ∈［１－ ２，１＋ ２］，∴ （ － ）·（ －
Ｏ→Ｂ 的最大值为 故选 ．
） ２＋１， Ａ
解法二 以Ｏ为原点 ＯＡ所在直线为ｘ轴 ＯＢ所在直线为ｙ轴
： ， ，
建立平面直角坐标系 取Ｏ→Ａ的方向为ｘ轴正方向 Ｏ→Ｂ的方向
（ ， æ ö
为ｙ轴正方向 ）， 则Ａ （１，０）， Ｂ （０，１） ．设Ｃ （ｃｏｓ θ ，ｓｉｎ θ ）（ θ ∈ 则ａ ＝è ç １ ， ３ ø ÷ ， ｂ ＝（１，０） ．
Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ θ θ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ θ θ ２ ２
［０，２π）），∴ － ＝（ｃｏｓ －１，ｓｉｎ ）， － ＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ － 设ｃ ｘ ｙ 则ｃ ａ ｘ ｙ ｃ ｂ ｘ ｙ ．
Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ θ θ θ θ ＝（ ， ）， －２ ＝（ －１， － ３）， － ＝（ －１， ）
１），∴ （ － ）·（ － ）＝ｃｏｓ （ｃｏ ( ｓ －１） ) ＋ｓｉｎ （ｓｉｎ －１） 又 ∵ （ ｃ －２ ａ ）·（ ｃ － ｂ ）＝０，∴ （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ （ ｙ － ３）＝０，
＝ｃｏｓ ２θ ＋ｓｉｎ ２θ －（ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ）＝１－ ２ｓｉｎ θ ＋ π ４ ，∵ θ ∈［０，２π）， 即 ｘ ２ æ çｙ ３ ö ÷ ２ ３
( ) （ －１） ＋è － ø ＝ ，
θ π Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ 的最大值为 ２ ４
∴ ｓｉｎ ＋ ∈［－１，１］，∴ （ － ）·（ － ） æ ö
４ 点Ｃ的轨迹是以点Ｍç ３÷为圆心 ３为半径的圆．
故选 ． ∴ è１， ø ，
２＋１， Ａ ２ ２
８．（２０１８河南六市联考，８）在
△
ＡＢＣ中
，∠
Ｃ
＝９０
°
，
ＡＢ
＝２
ＢＣ
＝４，
又
｜
ｃ
｜＝
ｘ２
＋
ｙ２表示圆Ｍ上的点与原点Ｏ
（０，０）
之间的距离
，
Ｍ Ｎ是边ＡＢ上的两个动点 且 ＭＮ 则Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ的取值范
， ， ｜ ｜＝１， · 所以 ｃ ＯＭ ３ ｃ ＯＭ ３
围为 ｜ ｜ｍａｘ＝｜ ｜＋ ，｜ ｜ｍｉｎ＝｜ ｜－ ，
（ ） ２ ２
[ ]
１１ æ ö２
Ａ． ，９ Ｂ．［５，９］ ｃ ｃ ＯＭ ２ ç ３÷ 故选 ．
４ ∴ ｜ ｜ｍａｘ＋｜ ｜ｍｉｎ＝２｜ ｜＝２× １ ＋è ø ＝ ７， Ｄ
[ ] [ ] ２
１５ １１ 名师点拨 解决一些向量问题时 可通过建立平面直角坐标
Ｃ． ，９ Ｄ． ，５ ，
４ ４ 系将问题坐标化 然后利用平面向量的坐标运算求解有关问
答案 Ａ 以Ｃ为原点 ＣＡ ＣＢ所在直线分别为ｘ轴 ｙ轴建 ，
， ， ， 题 这样可以避免繁杂的逻辑推理 同时加强了数形结合思想
立坐标系如图所示 ， ，
： 在解题中的应用．
１０．（２０１８湖南湘潭、益阳两市联考，１４）已知非零向量ａ ｂ满足
，
ａ ｂ ａ ｂ ｔ ａ 若ａ ｂ与ａ ｂ的夹角为π 则ｔ的值
· ＝０，｜ ＋ ｜＝ ｜ ｜， ＋ － ，
３
为 ．
答案 ２ ３
３
解析 因为ａ ｂ 所以 ａ ｂ ２ ａ ｂ ２ 即 ａ ｂ ａ
ＡＢ ＢＣ ＢＡＣ ° ＡＣ · ＝０， （ ＋ ） ＝（ － ） ， ｜ ＋ ｜＝｜ －
∵ ＝２ ＝４，∴ ∠ ＝３０ ， ＝２ ３， ｂ ．又 ａ ｂ ｔ ａ 所以 ａ ｂ ａ ｂ ｔ ａ ．因为ａ ｂ与ａ ｂ
æ ａ ａ ö æ ａ ａ ö ｜ ｜ ＋ ｜＝ ｜ ｜， ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝ ｜ ｜ ＋ －
设ＡＮ ＝ ａ ， 则Ｎ è ç ２ ３－ ３ ， ø ÷ ， Ｍ è ç ２ ３－ ３（ ＋１） ， ＋１ ø ÷ ， 的夹角为π 所以（ ａ ＋ ｂ ）·（ ａ － ｂ ） π 整理得｜ ａ ｜ ２ －｜ ｂ ｜ ２
æ ２ ａ ２ ö æ ａö ２ ａ ２ ａ ３ ， ｜ ａ ＋ ｂ ｜·｜ ａ － ｂ ｜ ＝ｃｏｓ ３ ， ｔ２ ｜ ａ ｜ ２
Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ ç ３（ ＋１）÷ ç ３ ÷ ＋１ ａ２
∴ · ＝è２ ３－ ø·è２ ３－ ø＋ · ＝ － １ 即 ｔ２ ａ ２ ｂ ２．又 ａ ｂ ｔ ａ 平方可得 ａ ２
２ ２ ２ ２ ＝ ， （２－ ）｜ ｜ ＝２｜ ｜ ｜ ＋ ｜＝ ｜ ｜， ｜ ｜ ＋｜
ａ ． ２
５ ＋９ ｔ２ ａ ２
Ｍ Ｎ在ＡＢ上 ｂ ２ ｔ２ ａ ２ 所以 ａ ２ （２－ ）｜ ｜ ｔ２ ａ ２ 解得ｔ２ ４ ．因为
∵ ， ， ｜ ＝ ｜ ｜ ， ｜ ｜ ＋ ＝ ｜ ｜ ， ＝
２ ３
ａ ．
∴０≤ ≤３
当ａ 时 Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ取得最大值 ｔ ＞０， 所以ｔ ＝ ２ ３．
∴ ＝０ ， · ９， ３
当ａ ５ 时 Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ取得最小值１１． １１．（２０１８河南安阳二模，１５）已知在 △ ＯＡＢ中 ， ＯＡ ＝ ＯＢ ＝２， ＡＢ
＝ ， ·
２ ４ 动点Ｐ位于线段ＡＢ上 则当→ＰＡ Ｐ→Ｏ取最小值时 向
[ ] ＝２ ３， ， · ，
∴ Ｃ→Ｍ · Ｃ→Ｎ的取值范围为 １１ ，９ ．故选 Ａ． 量→ＰＡ与Ｐ→Ｏ的夹角的余弦值为 ．
４
思路分析 建立直角坐标系 ， 设ＡＮ ＝ ａ ， 用ａ表示出Ｃ→Ｍ ， Ｃ→Ｎ ， 得 答案 － ２１
出Ｃ→Ｍ Ｃ→Ｎ关于ａ的表达式 从而得出范围． ７
９．（２０１７ · 湖北黄冈二模，１０）已 ， 知平面向量ａ ｂ ｃ满足 ａ ｂ 解析 易知 ∠ ＡＯＢ ＝１２０ ° ， 记Ｏ→Ａ ＝ ａ ， Ｏ→Ｂ ＝ ｂ ， 则ａ · ｂ ＝－２， 设
， ， ｜ ｜＝｜ ｜
ａ ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ 则 ｃ 的最大值与最小 →ＰＡ λ→ＢＡ λａ λｂ λ 则Ｐ→Ｏ →ＰＡ Ａ→Ｏ λ ａ λｂ
＝１， ⊥（ －２ ），（ －２ ）·（ － ）＝ ０， ｜ ｜ ＝ ＝ － （０≤ ≤１）， ＝ ＋ ＝（ －１） － ，
４２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１２．（２０１８福建泉州４月联考，１６）在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ
则→ＰＡ Ｐ→Ｏ λａ λｂ λ ａ λｂ λ２ λ 当λ １ ， ＝２， ＝
· ＝（ － ）·［（ －１） － ］＝１２ －６ ， ＝ 边ＤＣ上的动点Ｐ 包含点Ｄ Ｃ 与ＣＢ延长线上的动点Ｑ
４ １， （ ， ）
时 →ＰＡ Ｐ→Ｏ取最小值 ３ 此时 →ＰＡ １ →ＢＡ ３ Ｐ→Ｏ （ 包含点 Ｂ ） 满足 ｜ Ｄ→Ｐ ｜ ＝ ｜ Ｂ→Ｑ ｜， 则 →ＰＡ · Ｐ→Ｑ 的最小值为
， · － ， ，｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ， ＝
４ ４ ２ ．
３ ａ １ ｂ １ ａ ｂ Ｐ→Ｏ １ ａ ｂ ７ 所以向量 答案 ３
－ － ＝－ （３ ＋ ），｜ ｜ ＝ ｜３ ＋ ｜ ＝ ，
４ ４ ４ ４ ２ ４
解析 以Ａ为坐标原点 分别以ＡＢ ＡＤ所在直线为ｘ轴 ｙ
３ ， ， ，
→ＰＡ与Ｐ→Ｏ的夹角的余弦值为 →ＰＡ · Ｐ→Ｏ － ４ ２１． 轴建立如图所示的平面直角坐标系 ， 设Ｐ （ ｘ ，１）， Ｑ （２， ｙ ）， 由
＝ ＝－
｜ →ＰＡ ｜｜ Ｐ→Ｏ ｜ ３ ７ ７ 题意知 ０≤ ｘ ≤２， ｙ ≤０ ．
×
２ ２
思路分析 根据题意选择合适的基底 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 令 Ｏ→Ａ
（｛ ， ｝）， ＝
ａ Ｏ→Ｂ ｂ 引进参数将→ＰＡ与Ｐ→Ｏ均用ａ和ｂ表示 然后求出
， ＝ ， ，
→ＰＡ Ｐ→Ｏ的最小值 最后利用向量的夹角公式求得→ＰＡ与Ｐ→Ｏ
· ，
夹角的余弦值．
一题多解 取线段ＡＢ的中点Ｃ 连接ＯＣ 以线段ＡＢ的中点
， ， Ｄ→Ｐ Ｂ→Ｑ ｘ ｙ ｘ ｙ．
Ｃ为原点 以→ＡＢ的方向为ｘ轴正方向 Ｃ→Ｏ的方向为ｙ轴正方 ∵ ｜ ｜＝｜ ｜，∴ ｜ ｜＝｜ ｜，∴ ＝－
， ， →ＰＡ ｘ Ｐ→Ｑ ｘ ｙ →ＰＡ Ｐ→Ｑ ｘ ｘ ｙ
向建立直角坐标系 则 Ｏ Ａ Ｂ 设 Ｐ ∵ ＝（－ ，－１）， ＝（２－ ( ， －１） ) ，∴ · ＝－ （２－ ）－（ －
， （０，１）， （－ ３，０）， （ ３，０）， ２
ｘ２ ｘ ｙ ｘ２ ｘ ｘ １ ３ 当ｘ １ 时 →ＰＡ
ｘ ｘ ． １）＝ －２ － ＋１＝ － ＋１＝ － ＋ ，∴ ＝ ， ·
（ ，０）（－ ３≤ ≤ ３） ２ ４ ２
则→ＰＡ
·
Ｐ→Ｏ
＝（－ ３－
ｘ
，０）·（－
ｘ
，１）＝
ｘ２
＋ ３
ｘ
， Ｐ→Ｑ取得最小值 ３ ．
４
当ｘ ３时 →ＰＡ Ｐ→Ｏ取最小值 ３ ． 思路分析 建立平面直角坐标系 将原问题转化为向量的坐
＝－ ， · － ，
２ ４
标运算问题 进而利用函数的知识求最值．
æ ö æ ö ，
此时→ＰＡ ç ３ ÷ Ｐ→Ｏ ç ３ ÷ 所以向量→ＰＡ与Ｐ→Ｏ的夹 方法点拨 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来 从
＝è－ ，０ø， ＝è ，１ø，
，
２ ２ 而可以利用代数的有关知识 函数思想 基本不等式等 解决
（ 、 ）
→ＰＡ Ｐ→Ｏ －
３ 向量的有关最值问题．
角的余弦值为 · ４ ２１．
＝ ＝－
｜ →ＰＡ ｜｜ Ｐ→Ｏ ｜ ３ ７ ７
×
２ ２
