北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
6.2 平面向量的数量积及其应用
基础篇 固本夯基
考点一 平面向量的数量积
1.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 C
2. (2022届山东日照开学校际联考,2)如图,AB是单位圆O的直径,C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,则
⃗AC·⃗AD=( )
√3 3
A.1 B. C. D.√3
2 2
答案 C
3.(2022届江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC的外心为O,2⃗AO=⃗AB+⃗AC,|⃗AO|=|⃗AB|=2,则⃗AO·
⃗AC的值是( )
3
A.√3 B. C.2√3 D.6
2
答案 D
4.(多选)(2020山东省实验中学诊断二,11)关于平面向量a,b,c,下列说法中不正确的是( )
A.若a∥b且b∥c,则a∥c
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案 ACD
5.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,13)设向量a,b均为单位向量,且a⊥b,则(a+2b)·(3a-5b)= .
答案 -7
6.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB是圆x2+y2=1的直径,则⃗PA·⃗PB= .
答案 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
9
答案 -
2
8.(2020湖南永州祁阳二模,8)已知平面向量a,b,e,|e|=1,a·e=1,b·e=-2,且|2a+b|=2,则a·b的最大值是 .
3
答案 -
2
考点二 平面向量数量积的应用
1.(2021石家庄一模,2)设向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m=( )
3 3
A.-3 B. C.-2 D.-
2 2
答案 A
2.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
答案 D
3.(2022届百师联盟9月一轮复习联考一,11)已知在△ABC中,AB=AC=2,BC=3,点E是边BC上的动点,则当
⃗EA·⃗EB取得最小值时,|⃗EA|=( )
√37 √37 √10 √14
A. B. C. D.
4 2 2 2
答案 A
4.(多选)(2022届辽宁六校期初联考,11)给出下列命题,其中正确的有( )
A.非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
B.若(⃗AB+⃗AC)·⃗BC=0,则△ABC为等腰三角形
C.等边△ABC的边长为2,则⃗AB·⃗BC=2
D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a⊥(a+b),则k=0
答案 AB
5.(多选)(2022届河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则( )
1 3π
A.若tan θ= ,则a∥b B.若θ= ,则a⊥b
2 4
1
C.存在θ,使2a=b D.若a∥b,则tan θ=
2
答案 ABD
6.(多选)(2022届辽宁名校联盟9月联考,9)已知向量a=(2,0),b=(1,1),则( )
A.|a|=|b|北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
π
B.a与b的夹角为
4
C.(a-b)⊥b
D.和b同向的单位向量是(1 1)
,
2 2
答案 BC
7.(多选)(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,10)已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角
为θ,则( )
A.|a|=|b| B.a⊥c C.b∥c D.θ=135°
答案 BD
8.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
10
答案 -
3
9.(2020课标Ⅱ理,13,5分)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .
√2
答案
2
10.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m= .
答案 5
综合篇 知能转换
考法一 求平面向量模的方法
2π
1.(2022届福建南平10月联考,6)已知单位向量e,e 的夹角为 ,则|e-λe|的最小值为( )
1 2 1 2
3
√2 1 √3 3
A. B. C. D.
2 2 2 4
答案 C
2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,5)已知向量a,b满足|a|=2√2,|b|=1,|a-b|=√6,则|a+2b|=( )
A.2√3 B.3√2 C.4√2 D.3√3
答案 B
3.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P(cos α,sin α),P(cos β,-sin
1 2
β),P(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.| |=| |
⃗OP ⃗OP
1 2
B.| |=| |
⃗AP ⃗AP
1 2
C. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
3 1 2
D. · = ·
⃗OA ⃗OP ⃗OP ⃗OP
1 2 3
答案 AC
4.(2022届四省八校期中,14)已知向量a=(x,1),b=(1,-2),若a∥b,则|a-2b|= .
5√5
答案
2
5.(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,15)已知非零向量a,b满足|a|=√7+1,|b|=√7-1,且|a-b|=4,则|
a+b|= .
答案 4
6.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= .
答案 3√2
7.(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
答案 √3
8.(2021河北衡水中学联考二,13)若向量a,b满足a=(cos θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 .
答案 [0,4]
考法二 求平面向量夹角的方法
1.(2022届山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=√2,|b|=4,当b⊥(4a-b)时,向量a与b的夹角为( )
π π 2π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 4
答案 B
2√3
2.(2020山东全真模拟,4)已知扇形AOB,∠AOB=θ,扇形半径为√3,C是弧AB上一点,若⃗OC= ⃗OA+
3
√3
⃗OB,则θ=( )
3
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 D
3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,14)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=√2,且(2b-a)⊥a,则cos<a,b>= .
√2
答案
2
4.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= .
2
答案
3
应用篇 知行合一
应用 向量在平面几何中的应用
1.(多选)(2022届广东深圳六校联考二,9)已知平面向量⃗AB=(-1,k),⃗AC=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的
可能取值是( )
A.-2 B.2 C.5 D.7
答案 BD
2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边
CD上的动点,则⃗AE·⃗BE的最小值为( )
21 3 25
A. B. C. D.3
16 2 16
答案 A
4.(2021山东烟台一模,6)平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,∠BAD=60°,Q为CD的中点,点P在对角线BD上,
且⃗BP=λ⃗BD,若⃗AP⊥⃗BQ,则λ=( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 3 4
答案 A
3
5. (2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且⃗AD=λ⃗BC,⃗AD·⃗AB=- ,则实数λ
2
的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且|⃗MN|=1,则⃗DM·⃗DN的最小值为 .
1 13
答案 ;
6 2
1
6.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足⃗AP= (⃗AB+⃗AC),则|⃗PD|= ;⃗PB·
2
⃗PD= .
答案 √5;-1
18
答案 或0
5
8.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且
AE=BE,则⃗BD·⃗AE= .
答案 -1
9.(2022届江苏如皋11月期中,19)
如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,sin 2C=sin B,且D为BC的中点,点E满足
1 2
⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC.
3 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)求a的值;
(2)求cos∠DAE的值.
b 1
解析 (1)由sin 2C=sin B,得2sin Ccos C=sin B,由正弦定理,得2ccos C=b.又b=2,c=4,所以cos C= = .
2c 4
a2+b2−c2 1
在△ABC中,根据余弦定理的推论得cos C= = ,解得a=4(舍负).
2ab 4
1
(2)由(1)知,a=c=4,所以∠BAC=C,cos∠BAC=cos C= .记⃗AB=a,⃗AC=b,则|a|=4,|b|=2.
4
因为 =1a+2b, =1a+1b,所以 · =(1 2 )·(1 1 )=1a2+1a·b+1b2
⃗AE ⃗AD ⃗AE ⃗AD a+ b a+ b
3 3 2 2 3 3 2 2 6 2 3
1 1 1 1
= ×42+ ×4×2× + ×22=5,
6 2 4 3
| ⃗AE |=√ (1 a+ 2 b ) 2 =√1 a2+ 4 a·b+ 4 b2 =√1 ×42+ 4 ×4×2× 1 + 4 ×22 =2√10,
3 3 9 9 9 9 9 4 9 3
| ⃗AD |=√ (1 a+ 1 b ) 2 =√1 a2+ 1 a·b+ 1 b2 =√1 ×42+ 1 ×4×2× 1 + 1 ×22 = √6 ,
2 2 4 2 4 4 2 4 4
5
⃗AE·⃗AD √15
故cos∠DAE= =2√10 = .
|⃗AE||⃗AD| ×√6 4
3
创新篇 守正出奇
创新 利用解析几何思维解决向量问题
1.(2022届湖北金太阳11月联考,8 设问创新)已知四边形ABCD是半径为√2的圆O的内接正方形,P是圆
O上的任意一点,则⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2+⃗PD2 的值为( )
A.8 B.16 C.32 D.与P的位置有关
答案 B
