2_6.2　平面向量的数量积及其应用_2024版教学资源包_2024版.新高考版数学.5·3A版_17_专题六62平面向量的数量积及其应用_4_PDF教参电子书

6.2 平面向量的数量积及其应用
基础篇
考点 平面向量的数量积 如图 在平面内任取一点Ｏ 作Ｏ→Ｍ ａ Ｏ→Ｎ
２) ２ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＝
1. 两个向量的夹角 ｂ.过点 Ｍ 作直线 ＯＮ 的垂线 垂足为 Ｍ 则
ꎬ １ꎬ
Ｏ→Ｍ 就是向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影向量.
１
4.
向量数量积的性质
设 ａ ｂ 是非零向量 它们的夹角是 θ ｅ 是与 ｂ
ꎬ ꎬ ꎬ
方向相同的单位向量 则
ꎬ
ｅ ａ ａ ｅ ａ θ.
１) 􀅰 ＝ 􀅰 ＝ ｜ ｜ｃｏｓ
2.
平面向量的数量积 ａ ｂ ａ ｂ .
２) ⊥ ⇔ 􀅰 ＝０
当 ａ 与 ｂ 同向时 ａ ｂ ａ ｂ
３) ꎬ 􀅰 ＝ ｜ ｜ ｜ ｜ꎻ
当 ａ 与 ｂ 反向时 ａ ｂ ａ ｂ .
ꎬ 􀅰 ＝－｜ ｜ ｜ ｜
特别地 ａ ａ ａ ２.
ꎬ 􀅰 ＝ ｜ ｜
ａ ｂ
θ 􀅰 .
４)ｃｏｓ ＝ ａ ｂ
｜ ｜ ｜ ｜
3. ａ ｂ ａ ｂ .
投影向量
５)｜ 􀅰 ｜≤｜ ｜􀅰｜ ｜
5.
已知非零向量 ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则
如图 设 ａ ｂ 是两个非零向量 Ａ→Ｂ ａ Ｃ→Ｄ ＝( １ꎬ １)ꎬ ＝( ２ꎬ ２)ꎬ
１) １ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＝
证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件
１) ꎬ :
ｂ 考虑如下的变换 过Ａ→Ｂ的起点 Ａ 和终点
ꎬ : ａ ｂ ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ .
⊥ ⇔ 􀅰 ＝０⇔ １ ２ ＋ １ ２ ＝０
Ｂ 分别作Ｃ→Ｄ所在直线的垂线 垂足分别为 求夹角问题 利用夹角公式
ꎬ ꎬ
２) ꎬ :
Ａ Ｂ 得到Ａ Ｂ→ 称上述变换为向量 ａ 向向 ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ
１ꎬ １ꎬ １ １ꎬ ａ ｂ 􀅰 １ ２ ＋ １ ２ .
ｃｏｓ‹ ꎬ ›＝ ａ ｂ ＝
量 ｂ 投影 Ａ Ｂ→叫做向量 ａ 在向量 ｂ 上的投 ｜ ｜ ｜ ｜
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ꎬ １ １ １ ＋ １􀅰 ２ ＋ ２
影向量. 求向量的模 ａ ａ ａ ｘ２ ｙ２ 或 ＡＢ
３) :｜ ｜ ＝ 􀅰 ＝ １ ＋ １ ｜ ｜ ＝
Ａ→Ｂ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ 其中 Ａ ｘ
｜ ｜ ＝ ( ２ － １) ＋( ２ － １) ( ( １ꎬ
ｙ Ｂ ｘ ｙ .
１)ꎬ ( ２ꎬ ２))
图 图
１ ２
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２７４
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
综合篇
考法 一 求平面向量模的方法 解向量所在三角形 转化为求三角形的边长
４) ꎬ ꎻ
通过解方程 组 求解.
1. 求向量模的方法 ５) ( )
2.
求向量模的最值（范围）的方法
ａ ａ ａ
１)｜ ｜ ＝ 􀅰 ꎻ 代数法 把所求的模表示成某个变量的函
１) ꎬ
ａ ｂ ａ ａ ｂ ｂ
２)｜ ± ｜ ＝
２
±２ 􀅰 ＋
２
ꎻ
数 再用求最值的方法求解.
ꎬ
若 ａ ｘ ｙ 则 ａ ｘ２ ｙ２ 几何法 数形结合法 弄清所求的模表示的
３) ＝( ꎬ )ꎬ ｜ ｜ ＝ ＋ ꎻ ２) ( )ꎬ
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋几何意义 结合动点表示的图形求解.
ꎬ
考法 二 求平面向量夹角的方法
利用 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 求模的取
３) ｜ ｜ ｜－｜ ｜ ｜≤｜ ± ｜≤｜ ｜＋｜ ｜
1.
值范围. 定义法：当非零向量 ａ ｂ 是非坐标形式时 需
ꎬ ꎬ
例1 ( 广东湛江模考ꎬ )已知单位向量 求出ａ ｂ 及 ａ ｂ 或得出它们之间的关系.
２０２２ ４ 􀅰 ｜ ｜ꎬ｜ ｜
2.
坐标法：若已知非零向量 ａ ｘ ｙ 与 ｂ
ａꎬｂ 的夹角为３ ꎬ若向量 ｍ ａꎬｎ ａ λｂ 且 ＝( １ꎬ １) ＝
π ＝２ ＝４ － ｘ ｙ 则可直接利用公式 ａ ｂ
４ ( ２ꎬ ２)ꎬ ｃｏｓ‹ ꎬ › ＝
ｍ ｎꎬ则 ｎ ( ) ｘ ｘ ｙ ｙ
⊥ ｜ ｜ ＝ １ ２ ＋ １ ２ 求解 注意 ａ ｂ .
ꎬ ‹ ꎬ ›∈[０ꎬπ]
Ａ.２ Ｂ.４ Ｃ.８ Ｄ.１６
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
１ ＋ １􀅰 ２ ＋ ２
解析 因为 ｍ ｎꎬ所以 ａ􀅰( ａ λｂ) ꎬ即 3.
转化成解三角形问题 利用正弦 余弦定理
⊥ ２ ４ － ＝ ０
ꎬ 、
æ ö
求解.
ａ ２ λａ􀅰ｂ ꎬ故 λ􀅰çç ２ ÷÷ ꎬ
８ －２ ＝０ ４－ è－ ２ ø ＝０ 例4 ( 河北邯郸三模ꎬ )若向量 ａꎬｂ 满
２０２２ １３
解得 λ ꎬ故 ｎ ａ ｂꎬ
＝－４ ２ ＝４ ＋４ ２ 足 ａ ｂ ꎬ ａ ｂ ａ ꎬ则向量 ａꎬｂ 的夹
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ｜ ＋２ ｜ ＝ ３ ｜ ｜
故 ｎ ２ ( ａ ｂ)２ ａ ２ ａ􀅰ｂ ｂ ２ 角为 .
｜ ｜ ＝ ４ ＋４ ２ ＝１６ ＋３２ ２ ＋３２
ꎬ故 ｎ .故选
＝１６ ｜ ｜ ＝４ Ｂ. 解析 由 ａ ｂ ａ 得 ａ ｂ ２
｜ ＋２ ｜ ＝ ３ ｜ ｜ ｜ ＋２ ｜ ＝
答案
Ｂ ａ ２ꎬ又 ａ ｂ ꎬ ａ ２ ａ 􀅰 ｂ ‹ａꎬ
例2 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分)设 ａꎬｂ 为单 ３ ｜ ｜ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ∴ ｜ ｜ ＋４｜ ｜ ｜ ｜ｃｏｓ
２０２０ Ⅰ １４ ５ ｂ› ｂ ２ ａ ２ ａ ２ ‹ａꎬｂ› ａ ２ꎬ
＋４｜ ｜ ＝５｜ ｜ ＋４｜ ｜ ｃｏｓ ＝ ３｜ ｜
位向量ꎬ且 ａ ｂ ꎬ则 ａ ｂ .
｜ ＋ ｜ ＝１ ｜ － ｜ ＝
‹ａꎬｂ› １ꎬ又‹ａꎬｂ› [ ꎬ ]ꎬ ‹ａꎬｂ›
解析 由 ａ ｂ ꎬ得 ａ ｂ ２ ꎬ即 ａ ２ ｂ ２ ∴ ｃｏｓ ＝－ ∈ ０ π ∴
｜ ＋ ｜ ＝１ ｜ ＋ ｜ ＝１ ＋ ＋ ２
ａ􀅰ｂ ꎬ而 ａ ｂ ꎬ故 ａ􀅰ｂ １ꎬ ａ ｂ
２π.
２ ＝１ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝１ ＝－ ｜ － ｜ ＝
２
３
ａ ｂ
２
ａ
２
ｂ
２
ａ􀅰ｂ .
＝ ｜ － ｜ ＝ ＋ －２ ＝ １＋１＋１ ＝ ３ 答案 ２π
答案 ３
３
例3 ( 山东滨州二模ꎬ )已知平面向量
２０２１ １４ 考法 三 平面向量数量积的综合应用
ａꎬｂꎬｄ 是单位向量ꎬ且 ａ􀅰ｂ ꎬ则 ｄ ａ ｂ 的
＝０ ｜ － － ｜ 1. 用向量法解决平面几何问题的基本步骤
最大值为 .
建立平面几何与向量的联系 用向量表示
解析 因为 ａ􀅰ｂ ꎬ所 １) ꎬ
＝０ 问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转
以 ａ ｂꎬ建系如图所示ꎬ可 ꎬ
⊥ 化为向量问题 通过向量运算 研究几何元
设ａ ( ꎬ )ꎬｂ ( ꎬ )ꎬｄ ꎻ２) ꎬ
＝ １ ０ ＝ ０ １ ＝ 素之间的关系 如距离 夹角等问题 把运
(ｘꎬｙ)ꎬ因为 ｄ ꎬ所以 ｄ ꎬ 、 ꎻ３)
｜ ｜ ＝１ 算结果转化成几何关系.
的终点为单位圆上任意
2.
三角形的四心与向量之间的关系
一点ꎬ
在 ＡＢＣ 中 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别为 ａ ｂ ｃ.
又 ｄ ａ ｂ (ｘ ꎬｙ )ꎬ所以 ｄ ａ ｂ △ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
－ － ＝ －１ －１ ｜ － － ｜ ＝
æ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ö
间
(
的
ｘ －
距
１ )
离
２ ＋
ꎬ
(
由
ｙ －
图
１ )
可
２ꎬ
得
表
ꎬ
示
当
点
(ｘ
(
ꎬ
ｘ
ｙ
ꎬ
)
ｙ
位
)与
于
点
图
Ａ
中
( １
Ｂ
ꎬ １
点
) １) 在Ａ→Ｉ ＝ λ è ç ç Ａ→Ｂ ＋ Ａ→Ｃ ø ÷ ÷的条件下 ꎬ 存在 λ 使得
｜ ｜ ｜ ｜ 专
题
时ꎬ点Ｂ 与点Ａ 间的距离最大ꎬ且为 ꎬ所以 Ｉ 为 ＡＢＣ 的内心 ａ Ｐ→Ａ ｂ Ｐ→Ｂ ｃ Ｐ→Ｃ ０ Ｐ 六
２＋１ △ ꎻ ＋ ＋ ＝ ⇔
ｄ ａ ｂ 的最大值为 . 为 ＡＢＣ 的内心. 平
｜ － － ｜ ２＋１ △ 面
向
答案 Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ 为 ＡＢＣ 的外心. 量
２＋１ ２)｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜⇔ △
２７５
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋Ｇ→Ａ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０ Ｇ 为 ＡＢＣ 的重心.
３) ＋ ＋ ＝ ⇔ △
Ｅ→Ｃꎬ Ａ→Ｂ􀅰Ａ→Ｃ ３Ａ→Ｃ２ １Ａ→Ｂ２ Ａ→Ｂ􀅰Ａ→Ｃꎬ Ａ→Ｂ２
∴ ＝ － ＋ ∴ ＝
２ ２
Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ→Ｃ Ｐ→Ａ Ｐ 为 ＡＢＣ 的
４) 􀅰 ＝ 􀅰 ＝ 􀅰 ⇔ △ ＡＢ
垂心.
Ａ→Ｃ２ꎬ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ꎬ .
３ ∴ ｜ ｜ ＝ ３｜ ｜ ∴ ＡＣ＝ ３
例5 在 ＡＢＣ 中ꎬ 向 量 Ａ→Ｂ 与 Ａ→Ｃ 满 足 解法二:由于题目中对 ＢＡＣ 没有限制ꎬ所以
△
∠
æ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ö Ｂ→Ａ Ｂ→Ｃ 不妨设 ＢＡＣ °ꎬＡＢ ｃꎬＡＣ ｂꎬ建立如图所
ç ç ÷ ÷􀅰Ｂ→Ｃ ꎬ且 􀅰 ２ꎬ ∠ ＝９０ ＝ ＝
è Ａ→Ｂ ＋ Ａ→Ｃ ø ＝ ０ Ｂ→Ａ Ｂ→Ｃ ＝ 示的平面直角坐标系.
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ２
则 ＡＢＣ 为 ( ) æ ｃ ö æ ｂ ｃ ö
△ 则 Ｅç ꎬ ÷ꎬＤç ꎬ ÷ꎬＣ(ｂꎬ
等边三角形 直角三角形 è０ ø è ø
３ ２ ２
Ａ. Ｂ.
等腰非等边三角形 等腰直角三角形 æ ｃ ö
)ꎬＥ→Ｃ çｂꎬ ÷.易得 ｌ :ｙ
Ｃ. Ｄ. ０ ＝è － ø ＡＤ ＝
æ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ö Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ３
解析 ç ç ÷ ÷􀅰Ｂ→Ｃ ꎬ ꎬ ｃ ｘ ｙ
∵ è Ａ→Ｂ ＋ Ａ→Ｃ ø ＝０ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ｂ ｘꎬｌ ＥＣ : ｂ ＋ ｃ ＝１ ꎬ
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
分别为Ａ→ＢꎬＡ→Ｃ方向上的单位向量ꎬ Ａ 的平 ３
∴ ∠
ì ï ｃ
分线与 ＢＣ 垂直ꎬ则 ＡＢ ＡＣ.由Ｂ→Ａ􀅰Ｂ→Ｃ Ｂ→Ａ ï ｙ ｘꎬ ì ï ｂ
＝ ＝ ｜ ｜ ï ï ＝ ｂ ï ï ｘ ＝ ꎬ
Ｂ→Ａ Ｂ→Ｃ 联立得íｘ ｙ 解得í ４
􀅰 Ｂ→Ｃ 􀅰 Ｂꎬ可得 Ｂ 􀅰 ï ꎬ ï ｃ
｜ ｜ ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ ＝ ïｂ ＋ ｃ ＝１ ïｙ ꎬ
Ｂ→Ａ Ｂ→Ｃ ï
｜ ｜ ｜ ｜ ïï î ＝
î ４
３
２ꎬ则 Ｂ πꎬ Ｂ Ｃ πꎬ Ａ π. æ ｂ ｃ ö æ ｂ ｃ ö
∠ ＝ ∴ ∠ ＝∠ ＝ ∠ ＝ 则 Ｏç ꎬ ÷ꎬＡ→Ｏ ç ꎬ ÷.由Ａ→Ｂ􀅰Ａ→Ｃ Ａ→Ｏ􀅰
２ ４ ４ ２ è ø ＝è ø ＝６
ＡＢＣ 为等腰直角三角形. ４ ４ ４ ４
∴ △ æ ｂ ｃ ö æ ｃ ö
答案 Ｅ→Ｃ得 ç ꎬ ÷􀅰çｂꎬ ÷ ꎬ ｃ２ ｂ２ꎬ ｃ
Ｄ ６è ø è － ø ＝０ ∴ ＝３ ∴ ＝
４ ４ ３
例6 ( 江苏ꎬ ꎬ 分)如
２０１９ １２ ５ ＡＢ
ｂꎬ .
图ꎬ在 ＡＢＣ 中ꎬＤ 是 ＢＣ 的中 ３ ∴ ＡＣ＝ ３
△
点ꎬＥ 在边 ＡＢ 上ꎬＢＥ ＥＡꎬＡＤ
答案
＝２
３
ＡＢ
与 ＣＥ 交于点 Ｏ.若Ａ→Ｂ􀅰Ａ→Ｃ Ａ→Ｏ􀅰Ｅ→Ｃꎬ则
＝ ６ ＡＣ
的值是 .
解析 解法一:过 Ｄ 作 ＤＦ ＥＣꎬ交 ＡＢ 于 Ｆ.
∥
Ｄ 为 ＢＣ 的中点ꎬ Ｆ 为 ＢＥ
∵ ∴
的中点ꎬ又 ＢＥ ＥＡꎬ ＥＦ
＝ ２ ∴ ＝
5 ＥＡꎬ又 ＤＦ ＥＯꎬ ＡＯ １ ＡＤꎬ
∥ ∴ ＝
年
２
高
考
3
Ａ→Ｏ １Ａ→Ｄ １(Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ).
∴ ＝ ＝ ＋
年
２ ４
模
æ ö
拟
Ａ→Ｏ 􀅰 Ｅ→Ｃ １ (Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ) 􀅰 çＡ→Ｃ １Ａ→Ｂ÷
A ∴ ＝ ＋ è － ø ＝
４ ３
版
æ ö
高 １çＡ→Ｃ２ ２Ａ→Ｂ􀅰 Ａ→Ｃ １Ａ→Ｂ２ ÷. Ａ→Ｂ􀅰Ａ→Ｃ Ａ→Ｏ􀅰
考 è ＋ － ø ∵ ＝６
数 ４ ３ ３
学
２７６
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋