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微专题 解决专题考点综合问题
学生用书P47
突破专题专项备考难点
微专题 构图建系，速解平面向量综合问题(与平面几何结合求参数、最值等)
平面几何经常涉及距离
、
夹角问题
ꎬ
而平面向量的运算
ꎬ
特 解法二
:
令Ｄ→Ｅ
＝
λＤ→Ｃ
(０≤
λ
≤１)ꎬ
由已知可得ＤＣ
＝ ３ꎬ∵
→ＡＥ
＝
别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此 我们可以
ꎬ Ａ→Ｄ λＤ→Ｃ Ｂ→Ｅ →ＢＡ →ＡＥ →ＢＡ Ａ→Ｄ λ Ｄ→Ｃ →ＡＥ Ｂ→Ｅ Ａ→Ｄ
用向量方法解答部分几何问题. ＋ ꎬ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ꎬ∴ ＝( ＋
用向量方法解决平面几何问题可分三步 λＤ→Ｃ )( →ＢＡ ＋ Ａ→Ｄ ＋ λＤ→Ｃ )＝ Ａ→Ｄ →ＢＡ ＋｜ Ａ→Ｄ ｜ ２ ＋ λＤ→Ｃ →ＢＡ ＋ λ２
:
３
－
Ｄ→Ｃ ２ λ２ ３ λ ３ .当λ ２ １ 时 →ＡＥ Ｂ→Ｅ取得最小值
｜ ｜ ＝３ － ＋ ＝－ ＝ ꎬ
２ ２ ２×３ ４
２１.故选 .
Ａ
１６
建系如图 设Ｐ ｘ ｙ 则→ＰＡ ｘ ｙ Ｐ→Ｂ ｘ ｙ Ｐ→Ｃ
(２) ꎬ ( ꎬ )ꎬ ＝(－ ꎬ－ )ꎬ ＝(４－ ꎬ－ )ꎬ
ｘ ｙ
＝(－ ꎬ３－ )ꎬ
( )
→ＰＡ ｍＰ→Ｂ ３ ｍ Ｐ→Ｃ
例1 (２０１８天津理ꎬ８ꎬ５分)如图 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ∵ ＝ ＋ － ꎬ
(１) ꎬ ꎬ ２
ＡＢ ＢＣ ＡＤ ＣＤ ＢＡＤ ° ＡＢ ＡＤ .若点Ｅ为边ＣＤ上
⊥ ꎬ ⊥ ꎬ∠ ＝１２０ ꎬ ＝ ＝１
的动点 则→ＡＥ Ｂ→Ｅ的最小值为
ꎬ ( )
ì ( )
ï ｘ ｍ ｘ ３ ｍ ｘ
ï－ ＝ (４－ )＋ － (－ )ꎬ
í ２
∴ ï ( )
ï ｙ ｍ ｙ ３ ｍ ｙ
î－ ＝ (－ )＋ － (３－ )ꎬ
２
{ｘ ｍ
解得 ＝８ ꎬ
２１ ３ ２５
Ａ. １６ Ｂ. ２ Ｃ. １６ Ｄ.３ ｙ ＝９－６ ｍ ꎬ
(２) (２０２０江苏ꎬ１３ꎬ５分)在 △ ＡＢＣ中 ꎬ ＡＢ ＝４ꎬ ＡＣ ＝３ꎬ∠ ＢＡＣ ＝ 又ＡＰ ＝９ꎬ∴ (８ ｍ ) ２ ＋(９－６ ｍ ) ２ ＝８１ꎬ
° Ｄ在边ＢＣ上 延长 ＡＤ 到 Ｐ 使得 ＡＰ 若→ＰＡ ｍＰ→Ｂ ｍ 或ｍ ２７
９０ ꎬ ꎬ ꎬ ＝９ꎬ ＝ ＋ ∴ ＝０ ＝ ꎬ
( ) ２５
３ ｍ Ｐ→Ｃ ｍ为常数 则ＣＤ的长度是 . ( )
－ ( )ꎬ Ｐ 或Ｐ ２１６ ６３
２ ∴ (０ꎬ９) ꎬ ꎬ
２５ ２５
直线ＰＡ的方程为ｘ 或ｙ ７ ｘ
∴ ＝０ ＝ ꎬ
２４
当直线ＰＡ的方程为ｙ ７ ｘ时
解析 解法一 如图 以Ｄ为原点 ＤＡ所在直线为ｘ轴 ＝ ꎬ
(１) : ꎬ ꎬ ꎬ ２４
ＤＣ所在直线为 ｙ 轴 建立平面直角坐标系 则 Ａ ｘ ｙ
ꎬ ꎬ (１ꎬ０)ꎬ 又直线ＢＣ的方程为
æ ö
＋ ＝１ꎬ
４ ３
Ｂç ３ ３÷ Ｃ 令 Ｅ ｔ ｔ →ＡＥ Ｂ→Ｅ
è ꎬ øꎬ (０ꎬ ３)ꎬ (０ꎬ )ꎬ ∈[０ꎬ ３]ꎬ∴ ＝ ì ïｙ ７ ｘ ì ïｘ ７２
２ ２ ï ＝ ꎬ ï ＝ ꎬ
æ ö 故由í ２４ 解得í ２５
ｔ ç ３ ｔ ３÷ ｔ２ ３ｔ ３ ｔ 当 ｔ ïｘ ｙ ï
(－１ꎬ)è－ ꎬ－ ø＝ － ＋ ꎬ∵ ∈[０ꎬ ３]ꎬ∴ ＝ ï ïｙ ２１
２ ２ ２ ２ î ＋ ＝１ꎬ î ＝ ꎬ
４ ３ ２５
( )
３ 即Ｄ ７２ ２１
－
ꎬ ꎬ
２ ３时 →ＡＥ Ｂ→Ｅ取得最小值 为 ３ ３ ３ ３ ２１.故 ２５ ２５
－ ＝ ꎬ ꎬ － × ＋ ＝ 第
２×１ ４ １６ ２ ４ ２ １６ ( ) ( )
２ ２ 六
选 . ＣＤ ７２ ２１ １８.
Ａ ∴ ＝ ＋ －３ ＝ 章
２５ ２５ ５
当直线ＰＡ的方程为ｘ 时 ＣＤ .
＝０ ꎬ ＝０ 平
面
综上 ＣＤ １８或 . 向
ꎬ ＝ ０
５ 量
及
答案 Ａ １８或 其
(１) (２) ０
５ 应
例2 (２０１８浙江ꎬ９ꎬ４分)已知ａ ｂ ｅ是平面向量 ｅ是单位向 用
ꎬ ꎬ ꎬ
１ ０９
量.若非零向量ａ与ｅ的夹角为π 向量ｂ满足ｂ２ ｅ ｂ π 且在第一象限内的射线上.设Ｂ ｘ ｙ 由ｂ２ ｅ ｂ
ꎬ －４ ＋３＝ ꎬ ( ꎬ )ꎬ －４ ＋３＝０ꎬ
３ ３
则 ａ ｂ 的最小值是 得ｘ２ ｙ２ ｘ 即 ｘ ２ ｙ２ 即点Ｂ在圆 ｘ ２ ｙ２
０ꎬ ｜ － ｜ ( ) ＋ －４ ＋３＝０ꎬ ( －２) ＋ ＝１ꎬ ( －２) ＋ ＝
上运动.而→ＢＡ ａ ｂ ａ ｂ 的最小值即为点Ｂ到射线ＯＡ的
Ａ. ３－１ Ｂ. ３＋１ Ｃ.２ Ｄ.２－ ３ １ ＝ － ꎬ∴ ｜ － ｜
解析 设Ｏ→Ａ ａ Ｏ→Ｂ ｂ Ｏ→Ｅ ｅ 以Ｏ为原点 Ｏ→Ｅ的方向为ｘ 距离的最小值 即为圆心 到射线ｙ ｘ ｘ 的距离减
＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ꎬ ꎬ (２ꎬ０) ＝ ３ ( ≥０)
轴正方向建立平面直角坐标系 则Ｅ .不妨设Ａ点在第一 去圆的半径 ａ ｂ .选 .
ꎬ (１ꎬ０) ꎬ∴ ｜ － ｜ｍｉｎ＝ ３－１ Ａ
答案 Ａ
象限 ａ与ｅ的夹角为π 点Ａ在从原点出发 倾斜角为
ꎬ∵ ꎬ∴ ꎬ
３
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ １０
微专题应用创新
微专题 构图建系，速破平面向量综合问题（与平面几何结合求参数、最值等）
学生用书P193
１.(２０２２辽宁东北育才学校模拟(六)ꎬ４)如图 已知两个单位
ꎬ
向量Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 且它们的夹角为π 点Ｃ在以Ｏ为圆心 为半
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ１
３
径的ＡＢ
第
六
章
平
面
向
量
及
其
应
用
１ １１
(
２.(２０２２福建厦门质检四ꎬ７)已知ｅ ｅ 为单位向量 满足 ｅ
１ꎬ ２ ꎬ ｜ １－
ｅ ｅ ａ 则 ａ ｅ 的最小值为
２｜＝｜２ １－ ｜＝１ꎬ ｜ － ２｜ ( )
Ａ. ３－１ Ｂ. ３ Ｃ. ７－１ Ｄ. ７
上运动 则→ＣＡ Ｃ→Ｂ的最小值为 答案 Ａ
ꎬ ( )
３.(２０２２长沙长郡中学一模ꎬ１５)在边长为 的正方形 ＡＢＣＤ
３
中 以点Ａ为圆心作单位圆 分别交ＡＢ ＡＤ于Ｅ Ｆ两点 点Ｐ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
是劣弧ＥＦ
３ ３ ３ ３ Ａ. － ３ Ｂ.０ Ｃ. － Ｄ.－ ２ ２ ２ ２
答案 Ａ
(
上一点 则Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｄ的取值范围为 .
ꎬ
答案 [ ꎬ ]
１－３ ２ －２
４.(２０２２山东菏泽二模ꎬ１５)已知半径为 的圆Ｏ上有三个动
１
点Ａ Ｂ Ｃ 且 ＡＢ 则→ＡＣ Ｂ→Ｃ的最小值为 . ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜＝ ２ꎬ
答案
１－ ２
