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第六章 平面向量及其应用
6.1.2 向量的几何表示
一、基础巩固
1．对于单位向量 、 ，下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解： 都是单位向量，方向不一定相同，故A错误；两个向量夹角不确定，故B错误；只有两个向
量同向时，C才正确；
∵ ，故 一定成立，故D正确．
2．已知 ，则 的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，
，
∴（ ）2 • 2| |2 2＝4，所以可得： ，
配方可得 ，
所以 ，
又
则 [0，2]．
3．在平行四边形 中，若 ，则必有（ ）
A． B． 或
C． 是矩形 D． 是菱形
【答案】C
【详解】
由题,因为 ,则 ,即平行四边形 的对角线相等,则平行四边形
是矩形,
4．已知 ， ，则与 平行的单位向量为( )
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【详解】
解：∵ ， ，，
，
则与 平行的单位向量为 ，
化简得， 或 ．
5．下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【详解】
对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误；
对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当 时可能 ，所以B错误；
对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当 时 和 不一定平行，所以C错误；
对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若 ，则 成立，所以D正确.
综上可知，D为正确选项，
6．若 ， ，则与向量 同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由已知得 ，则 ，∴与向量 同向的单位向量是： .
7．若 为任一非零向量， 为模为1的向量，给出下列各式：
① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
【答案】B
【详解】
① 的大小不能确定，故不能比较 的大小；故①错误;
② 为任一非零向量，向量 的模为 ，两个向量的方向不一定，故不能得结论 ；故②错误;
③因为 为任一非零向量，所以 ；故③正确;
④向量的模是一个非负实数，因为向量 的模为 ，所以④错误.
8．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 则 或
C．若 为平行向量,则 同向 D．若 为单位向量,则
【答案】D
【详解】
对于A，若 ，则 ，所以A错误；
对于B，设 ，则 ，此时 ，所以B错误；
对于C，若 为平行向量,则 同向或反向，所以C错误；
对于D，若 为单位向量,则 ，所以D正确；
9．如图所示，在正六边形 中，若 ，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【详解】
由题,可知 ,
所以 ,
10．（多选）设 为非零向量，下列有关向量 的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】
表示与向量 同方向的单位向量，所以 正确， 正确，所以AB正确，当 不是单位向量
时， 不正确，
，所以D正确.
11．（多选）关于平面向量 ，下列说法中不正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．C．若 ，且 ，则 D．
【答案】ACD
【详解】
解：对于 ，若 ，因为 与任意向量平行，所以 不一定与 平行，故 错；
对于 ，向量数量积满足分配律，故 对；
对于 ，向量数量积不满足消去率，故 错；
对于 ， 是以 为方向的向量， 是以 为方向的相量，故 错．
12．（多选）已知单位向量 、 ，则下面正确的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】
因为向量 、 为两个单位向量，
所以 ，当 与 的夹角不为 时，不能得到 ， ，故选项A、C错误；
因为向量 、 为两个单位向量，所以 ，所以 ， 都成立，故选项B、D正确.
二、拓展提升
13．已知向量 ，点A的坐标为 ，向量 与 平行，且 ，求点B的坐标.
【答案】 或
【详解】
设 ,则 ,
因为向量 与 平行,
所以 ,即 ,①因为 ,所以 ,②
联立①②解得 或 .
所以点B的坐标为 或 .
14．如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴 ， 分别是 轴， 轴正方向同向的单位向
量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标，假设
.
（1）计算 的大小；
（2）设向量 ，若 与 共线，求实数 的值；
（3）是否存在实数 ，使得 与向量 垂直，若存在求出 的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【详解】
（1） ，
所以；
（2） 若 与 共线，则存在实数 使得
即 ，由平面向量基本定理得：
，解得
所以实数 的值
（3）假设存在实数 ，使得 与向量 垂直，则有：
即
，得
所以，存在实数 ， 使得 与向量 垂直.
15．已知向量 ，向量 分别为与向量 同向的单位向量.
（Ⅰ）求向量 与 的夹角 ；
（Ⅱ）求向量 的坐标.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）运用向量的数量积求解即可．（Ⅱ）先根据单位向量的概念求得 ，再求 的坐标．
试题解析：
（Ⅰ）因为向量 ，所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
即向量 与 的夹角为 ．
（Ⅱ）由题意得
，
，
所以 ．
即向量 的坐标为 ．
