文档文本内容
微专题 解决专题考点综合问题
学生用书P55
突破专题专项备考难点
微专题 巧构造妙转化，破解数列与不等式的综合问题
高考数列与不等式相结合题目 常与函数 不等式性质 数 {ａ }
ꎬ 、 、 证明 数列 ｎ 是等比数列 并求数列 ａ 的通项公式
列求和等知识相结合 综合考查对知识的综合应用能力. (１) : ｎ ꎬ { ｎ} ꎻ
ꎬ
考查方式主要有三种 一是判断数列问题中的一些不等关 ａ
: 设ｂ ｎ 若数列 ｂ 的前ｎ项和是Ｔ 求证 Ｔ .
系 二是以数列为载体 考查不等式的恒成立问题 三是考查与 (２) ｎ＝ ｎ ａ ꎬ { ｎ} ｎꎬ : ｎ<２
ꎻ ꎬ ꎻ ４ － ｎ
数列问题有关的不等式的证明. ａ ａ ａ
解析 由题设得 ｎ ＋１ １ ｎ 又 １
例1 已知正项数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且ａ Ｓ ａ ａ (１) ｎ ＝ ｎ ꎬ ＝２ꎬ
{ ｎ} ｎꎬ １＝２ꎬ４ ｎ＝ ｎ ｎ ＋１ ＋１ ２ １
(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
所以数列
{ａ
ｎ
}
是首项为 公比为 １ 的等比数列 所以
ａ
ｎ
求数列 ａ 的通项公式 ｎ ２ꎬ ꎬ ｎ ＝２×
(１) { ｎ} ꎻ ２
(２) 设数列
{
ａ １ ２ｎ
}
的前ｎ项和为Ｔ ｎꎬ 求证 :
４
ｎ
ｎ
＋４
< Ｔ ｎ<
２
１ .
(
２
１
)ｎ －１
＝２ ２－ ｎ ꎬ ａ ｎ＝ ｎ ２ ２－ ｎ ＝ ４
２
ｎ
ｎ .
解析
(１)∵ ４
Ｓ
ｎ＝
ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ∴ ４
ａ
１＝
ａ
１
ａ
２ꎬ
又ａ
１＝２ꎬ ４
ｎ
∴ 知 ａ ａ ａ ａ ２ ｎ ＝ ≠ ４ ０ .当 ꎬ∴ ａ ｎ ａ ≥ 是 ｎ ＋ ２ １ 首 － 时 ａ 项 ｎ ꎬ －１ ４ 为 ＝ Ｓ ｎ ４ －１ .当 ＝ 公 ａ ｎ 差 ｎ － ＝ １ 为 ａ ２ ｎ ｋ ꎬ ＋ 得 １ 的 ꎬ ４ ｋ 等 ａ ∈ ｎ 差 ＝ Ｎ ａ 数 ｎ 时 ａ 列 ｎ ＋ ꎬ １ ａ － ２ ａ ｋ ＋ ｎ ２ ａ － － １ ａ ａ ｎ ２ . ｋ 由 ＝４ 题 ꎬ ｋ 意 即 (２) 证明 : 由 (１) 知ｂ ｎ＝ ４ ｎ ａ － ｎ ａ ｎ ＝ ４ ｎ ２ － ｎ ４ ｎ ｎ ＝ ２ ｎ １ －１ .
２ꎬ ４ꎬꎬ ２ ｋ ４ꎬ ４ ꎬ∴ ２ ｋ＝４＋( － ２
１)× ａ ４＝４ 是 ｋ ＝ 首 ２ 项 ×２ 为 ｋ ꎻ 当 公 ｎ ＝ 差 ２ 为 ｋ ꎬ ｋ ∈ 的 Ｎ 等 差 时 数 ꎬ ａ 列 ２ ｋ ＋１－ ａ ２ ｋ －１＝４ꎬ 即ａ １ꎬ ａ ３ꎬ 因为对任意ｎ ∈ Ｎ ꎬ２ ｎ －１≥２ ｎ －１恒成立 ꎬ 所以ｂ ｎ≤ １ ｎ －１ .
∴ 综 ꎬ ａ 上 ２ ｋ 可 ２ － ｋ １ －１ ＝ 知 ２ ꎬ ＋ ａ ( ｎ ｋ ＝ － ２ １ ｎ ) ꎬ ２ × ｎ ꎬ ４ ∈ ＝ Ｎ ４ ｋ － . ２＝ ４ ２(２ ｋ －１) . ꎬ 所以Ｔ ｎ≤１＋ ２ １ ＋ ２ １ ２ ＋ ２ １ ３ ＋＋ ２ ｎ １ －１ ＝２ æ è ç １－ ２ １ ｎ ö ø ÷ <２ . ２
( ) 【方法总结】 数列与不等式的综合问题 如果是证明
证明 １ １ １ １ １ １ Ｔ １ １ (１) ꎬ
(２) :∵ ａ ( ２ｎ ＝ ４ ｎ２> ４ ｎ ( ｎ ＋１) ＝ ４ ｎ －ｎ ＋１ ) ꎬ∴ ( ｎ＝ａ２ １ ＋ａ ) ２ ２ 题 放 ꎬ 缩 要 法 灵 等 活选 如 择 果 不 是 等 解 式 不 的 等 证 式 明 往 方 往 法 采 ꎬ 如 用 比 因 较 式 法 分 、 解 综 法 合 或 法 数 、 分 轴 析 穿 法 根 、
ꎻ ꎬ
１ １ １ １ １ １ １ １ １
＋＋ａ２ｎ >
４
１－
２
＋
２
－
３
＋＋ ｎ －ｎ
＋１
＝
４
１－ｎ
＋１
法等.
如用放缩法证明与数列求和有关的不等式 一般有两种方
ｎ
. (２) ꎬ
＝ ｎ 法 一种是求和后再放缩 一种是放缩后再求和.放缩时 一要
４ ＋４ : ꎻ ꎬ
注意放缩的尺度 二要注意从哪一项开始放缩.
又 １ １ １ １ ꎬ
∵ ａ２ｎ ＝
４
ｎ２<
４
ｎ２
－１
＝
(２
ｎ
－１)(２
ｎ
＋１) (３)
常见的放缩技巧
:
( ) ( ( )
＝ ２
１
２ ｎ
１
－１ － ２ ｎ
１
＋１ ꎬ∴
Ｔ
ｎ＝ａ
１
２ １ ＋ａ
１
２ ２ ＋＋ａ
１
２ｎ < ２
１
１－ ３
１
＋ ３
１
－ ５
１
①ｋ
１
２<ｋ２
１
－１ ＝ ２
１
ｋ －
１
１ －ｋ ＋
１
１ (
ｋ
≥２ꎬ
ｋ
∈
Ｎ
)
.
) ( ) ｎ
＋＋
２
ｎ
１
－１
－
２
ｎ
１
＋１
＝
２
１
１－
２
ｎ
１
＋１
<
２
１ .即得
４
ｎ
＋４
<
Ｔ
ｎ<
２
１ .
②
１
ｋ －ｋ
＋
１
１
<ｋ
１
２<ｋ
－
１
１
－
１
ｋ (
ｋ
≥２ꎬ
ｋ
∈
Ｎ
)
.
ｎ
例2 在数列
{
ａ
ｎ}
中
ꎬ
ａ
１＝２ꎬ
ａ
ｎ ＋１＝
＋
ｎ
１
ａ
ｎ(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
③２(
ｎ
＋１－
ｎ
)<
１
ｎ<２(
ｎ
－
ｎ
－１)(
ｎ
≥１ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
)
.
２
第
七
章
数
列
１ ３１
微专题应用创新
微专题 巧构造妙转化，破解数列与不等式的综合问题
学生用书P209
１.(多选)(２０２２江苏七市三调ꎬ１２)已知各项都是正数的数列 把 杨辉三角 中第三斜列的各数取出 按原来的顺序排列
(１) “ ” ꎬ
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且Ｓ
ａ
ｎ １ 则
得一数列
{
ａ
ｎ}:１ꎬ３ꎬ６ꎬ１０ꎬ１５ꎬꎬ
写出ａ
ｎ
与ａ
ｎ －１(
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｎ
≥
{ ｎ} ｎꎬ ｎ＝ ＋ ａ ꎬ ( ) 的递推关系 并求出数列 ａ 的通项公式
２ ２ ｎ ２) ꎬ { ｎ} ꎻ
Ａ.{
Ｓ２ｎ} 是等差数列
Ｂ.
Ｓ
ｎ＋
Ｓ
ｎ ＋２<２
Ｓ
ｎ ＋１ (２) 已知数列 { ｂ ｎ} 满足 ｂ １＋ １ ｂ ２＋ １ ｂ ３＋＋ ｎ １ ｂ ｎ＝２ ａ ｎ( ｎ ∈
ａ ａ Ｓ １ ｎ ２ ３
Ｃ.
答
ｎ ＋１
案
> ｎ
ＡＢＤ
Ｄ. ｎ－Ｓ
ｎ
≥ｌｎ
Ｎ
)ꎬ
设数列
{
ｃ
ｎ}
满足ｃ
ｎ＝ｂ
２
ｎ
ｎ
ｂ
＋
ｎ
１
ꎬ
数列
{
ｃ
ｎ}
的前ｎ项和为Ｔ
ｎꎬ
＋１
２.(２０２２广东深圳二调ꎬ１７)已知数列 ａ 的前ｎ项和Ｓ ａ ｎ
{ ｎ} ｎ＝２ ｎ 若Ｔ ｎ<ｎ λ ( ｎ ∈ Ｎ ) 恒成立 ꎬ 试求实数λ的取值范围.
－３
. ＋１
(１) 求数列 { ａ ｎ} 的通项公式 ꎻ 解析 ( １ )由题意可知ａ １＝１ ꎬｎ ≥２ 时ꎬａ ｎ－ ａ ｎ －１＝ ｎꎬ
所以ａ (ａ ａ ) (ａ ａ ) (ａ ａ ) ａ ｎ (ｎ )
若 １ １ １ １３ 求满足条件的最大正整数ｎ. ｎ＝ ｎ－ ｎ －１ ＋ ｎ －１－ ｎ －２ ＋ ＋ ２－ １ ＋ １＝ ＋ －１ ＋
(２) ａ ＋ａ ＋＋ａ < ꎬ ｎ(ｎ ) ｎ(ｎ )
解析 １ ( １ ) ２ 因为Ｓ ｎ ｎ ＝２ ２ ａ ０ ｎ－３ ꎬ所以ａ ｎ ＋１＝ Ｓ ｎ ＋１－ Ｓ ｎ＝ ( ２ ａ ｎ ＋１－３ ) － ＋２＋１＝ ２ ＋１ ꎬ故ａ ｎ＝ ２ ＋１ .
(
又
２ ａ
ａ
ｎ－３
Ｓ
)ꎬ整
ａ
理得
ꎬ
ａ
所
ｎ ＋１
以
＝２
ａ
ａ ｎ ꎬｎ
.
∈ Ｎ ꎬ ( ２ )数列{ｂ ｎ }满足ｂ １＋
２
１ ｂ ２＋
３
１ ｂ ３＋ ＋ ｎ １ ｂ ｎ＝ ｎ２ ＋ ｎꎬ ①
１＝ １＝２ １－３ １＝３
所以数列{ａ
ｎ
}是首项为
３
ꎬ公比为
２
的等比数列ꎬ 当ｎ
≥２
时ꎬｂ
１＋
１ ｂ
２＋
１ ｂ
３＋
＋ｎ
１ ｂ
ｎ －１＝
(ｎ
－１
)２
＋
(ｎ
－１
)ꎬ
②
所以ａ
ｎ＝３×２
ｎ －１ꎬｎ
∈
Ｎ . ２ ３ －１
( )由( )知数列
{
１
}
是首项为 １ ꎬ公比为 １ 的等比数列ꎬ所 ①－②
得 １
ｎ
ｂ
ｎ＝２
ｎꎬ故ｂ
ｎ＝２
ｎ２(ｎ
≥２
)ꎬ又ｎ
＝１
时亦成立ꎬ所以
２ １ ａ
ｎ
æ ö
３
æ ö
２ ｂ
ｎ＝２
ｎ２(ｎ
∈
Ｎ ).
以 １ １ １ ２ ç １ ÷ꎬ令 ２ ç １ ÷ １３. ｎ ｎ é ù
ａ ＋ａ ＋ ＋ａ ＝ è１－ ｎø è１－ ｎø< 数列{ｃ }满足ｃ ２ ＋１ ２ ＋１ １ êê １ １ úúꎬ
整理
１
ꎬ得
２
２
ｎ
<４０
ꎬ又
ｎ
ｎ
３
∈
Ｎ ꎬ
２
所以ｎ
＝
３
１
ꎬ
２
ꎬ
３
２
ꎬ
４
ꎬ
５
ꎬ
２０ ｎ ｎ＝ｂ
ｎ
ｂ
ｎ ＋
é
１
＝
４
ｎ２(ｎ
＋１
)２ ＝
４
ëｎ２ －(ｎ
＋１
)２
ù
û
所以满足条件的最大正整数ｎ . 则 Ｔ １ êê １ １ １ １ １ úú
＝５ ｎ ＝ ë１－ ２ ＋ ２ － ２ ＋ ＋ｎ２ －(ｎ )２ û ＝
３.(２０２２辽宁东北育才学校模拟(六)ꎬ１９)我国南宋时期的数 ４ ２ ２ ３ ＋１
é ù ｎ
学家杨辉
ꎬ
在他
１２６１
年所著的
«
详解九章算法
»
一书中
ꎬ
用如 １
ë
êê
１－(ｎ
１
)２ û
úúꎬ由Ｔ
ｎ<ｎ
λ(ｎ
∈
Ｎ )恒成立ꎬ
图的三角形解释二项和的乘方规律 此图称为 杨辉三角 .在 ４ ＋１ ＋１
ꎬ “ ” é ù ｎ ｎ ｎ
此图中 从第三行开始 首尾两数为 其他各数均为它肩上两 得 １ êê １ úú λꎬ整理得 λ ＋２ꎬ因为 ｙ ＋２
ꎬ ꎬ １ꎬ ë１－(ｎ )２ û<ｎ > ｎ ＝ ｎ ＝
数之和. ４ ＋１ ＋１ ４ ＋４ ４ ＋４
( ) ( ｎ )
１
１＋ｎ
１ 在ｎ
∈
Ｎ 上单调递减ꎬ故当ｎ
＝１
时ꎬ
ｎ
＋２
＝
４ ＋１ ４ ＋４ ｍａｘ
( )
３ ꎬ即λ ３ ꎬ所以实数λ的取值范围为 ３ ꎬ .
> ＋∞
８ ８ ８
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ３２
