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专题六 数列 １ ３７
微专题一 数列中的奇偶项问题
学生用书P252
类型一：数列中连续两项和或积的问题（ａ
ｎ＋
ａ
ｎ ＋１＝
ｆ
（
ｎ
）
或ａ
ｎ
又ａ
２ ｋ＝３
ａ
２ ｋ －１
，ａ
２ ｋ ＋１＝
ａ
２ ｋ＋２
，ｋ
∈
Ｎ ，
·ａ ｆ ｎ 型） 所以ａ ａ ，所以ｃ ｃ ，即ｃ ｃ ，所以ｃ
ｎ ＋１＝ （ ） ２ ｋ ＋１＝３ ２ ｋ －１＋２ ｋ ＋１＝３ ｋ＋２ ｎ ＋１＝３ ｎ＋２ ｎ ＋１＋
1.ａ ａ ｆ ｎ 型：由ａ ａ ｆ ｎ 得ａ ａ ｆ ｎ 从 （ｃ ），
ｎ＋ ｎ ＋１＝ （ ） ｎ＋ ｎ ＋１＝ （ ）， ｎ ＋１＋ ｎ ＋２＝ （ ＋１）， １＝３ ｎ＋１
而ａ ａ ｆ ｎ ｆ ｎ 特别地 当ｆ ｎ ａｎ ｂ ａ 时 又ｃ ，所以数列｛ｃ ｝是以 为首项， 为公比的等比
ｎ ＋２－ ｎ＝ （ ＋１）－（ ）， ， （ ）＝ ＋ （ ≠０） ， １＋１＝２ ｎ＋１ ２ ３
ａ ａ ａ 则 ａ 的偶数项与奇数项分别构成一个公差为ａ 数列，
ｎ ＋２－ ｎ＝ ， ｛ ｎ｝
的等差数列． 所以ｃ ｎ＋１＝２ · ３ ｎ －１，所以ｃ ｎ＝２ · ３ ｎ －１ －１ ，
2.ａ ｎ· ａ ｎ ＋１＝ ｆ （ ｎ ） 型：由ａ ｎ· ａ ｎ ＋１＝ ｆ （ ｎ ）， 得ａ ｎ ＋１· ａ ｎ ＋２＝ ｆ （ ｎ ＋１）， 则ａ ２ ｎ －１＝２ · ３ ｎ －１ －１ ，故ａ ２ ｎ＝３ ａ ２ ｎ －１＝２ · ３ ｎ －３ ．
从而 ａ ａ ｎ ＋ ｎ ２ ＝ ｆ （ ｆ （ ｎ ＋ ｎ ） １） ， 特别地 ， 当ｆ （ ｎ ）＝ ａｑｎ 时 ， ａ ａ ｎ ＋ ｎ ２ ＝ ｑ ， 则 ｛ ａ ｎ｝ 的 所以ａ ｎ＝ { ２ · · ３ ｎ ｎ ２ － ２ １ －１ ， ， ｎ ｎ 为 为 偶 奇 数 数 ． ，
偶数项与奇数项分别构成一个公比为ｑ的等比数列 其中ａ ２ ３ －３
， ≠ （ ）当ｎ为偶数时，
ｑ ． ２
０， ≠０，１ Ｓ （ａ ａ … ａ ） （ａ ａ … ａ ）
例1 求数 已 列 知数 ａ 列 的 ｛ ａ 通 ｎ｝ 项 满 公 足 式 ａ １＝３， ａ ｎ ａ ｎ ＋１＝９×２ ２ ｎ －１ ， ｎ ∈ Ｎ ． ＝ ｎ ４ ＝ （ａ １ １ ＋ ＋ ａ ３ ３ ＋ ＋ … ＋ ＋ ａ ｎ － ｎ １ －１ ） ＝ ＋ ４ （ｃ ２ １ ＋ ＋ ｃ ４ ２ ＋ ＋ … ＋ ＋ ｃ ｎ ｎ ２ ）
（１） ｛ ｎ｝ ； [ （ ｎ ２） ｎ ] ｎ
（２） 证明 ： 数列 ｛ ａ ｎ｝ 中的任意三项均不能构成等差数列． ＝４× ２ １－３ － ＝４ · ３ ２ －２ ｎ －４ ；
解析 （ １ ）由 ａ ｎ ａ ｎ ＋１＝９×２ ２ ｎ －１，得 ａ ｎ ＋１ ａ ｎ ＋２＝９×２ ２ ｎ ＋１，两式相除， 当ｎ为奇 １ 数 －３ 时， ２
ａ
得 由 所以 ａ ａ ｎ １ ＋ ｎ 数 ａ ２ ２ ＝ 列 ＝ ４ ９ ， ｛ × ａ ２ １，ａ ｝ １ 是 ＝３ 首 ，得 项为 ａ ２＝６ ， ， 公比为 的等比数列，则 ａ Ｓ 综 ｎ 上 ＝ Ｓ ， ｎ Ｓ ＋１ ｎ － ＝ ａ { ｎ ＋ ４ １ · · ＝４ ３ · ｎ＋ ２ ｎ ２ １ － ３ ２ ｎ＋ ２ ｎ １ ｎ － － ２ ４ （ ， ， ｎ ｎ ｎ ＋ 为 为 １ ） 奇 偶 － 数 ４ 数 － ． ， （ ２ · ３ ｎ＋ ２ １ －３ ） ＝２ · ３ ｎ＋ ２ １ －２ ｎ －３ ．
２ ｎ －１ ３ ４ ２ ｎ －１＝ ２ ３ －２ －３
３×２ ２ ｎ －２ ＝３×２ （ ２ ｎ －１ ） －１； 类型三：递推式中含有 （－１） ｎ型
数列｛ａ ２ ｎ ｝是首项为 ６ ，公比为 ４ 的等比数列，则 ａ ２ ｎ＝６×２ ２ ｎ －２ 对ｎ分奇 、 偶进行讨论 ， 转化为相邻两项和或差求解．当项
＝３×２ ２ ｎ －１． 数不确定时 ， 要分奇数和偶数讨论求解．
综上，数列｛ａ ｎ ｝的通项公式为 ａ ｎ＝３×２ ｎ －１． 例3 已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的各项均为正数 ， 记Ｓ ｎ 为 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项
（
２
）证明：假设数列｛ａ
ｎ
｝中存在三项ａ
ｍ
，ａ
ｋ
，ａ
ｐ
（其中ｍ
＜
ｋ
＜
ｐ）成 和
，
且
２
Ｓ
ｎ＝
ａ２ｎ＋ ａ
ｎ
．
等差数列，则 ａ ａ ａ ． 求数列 ａ 的通项公式
２ ｋ＝ ｍ＋ ｐ （１） ｛ ｎ｝ ；
由（ １ ）得ａ ｋ＝３×２ ｋ －１，ａ ｍ＝３×２ ｍ －１，ａ ｐ＝３×２ ｐ －１，所以 ２×３×２ ｋ －１ ＝３× （２） 记ｃ ｎ＝（－１） ｎａ ｎ ａ ｎ ＋１， 求数列 ｛ ｃ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
ｍ －１ ｐ －１，即 ｋ ｍ －１ ｐ －１，两边同时除以 ｍ －１，得 ｋ － ｍ ＋１ 解析 （ ）当ｎ 时， Ｓ ａ ａ２ ａ ，解得ａ 或ａ
２ ＋３×２ ２ ＝２ ＋２ ２ ２ ＝１＋ １ ＝１ ２ １＝２ １＝ １＋ １ １＝１ １＝０
ｐ － ｍ，（ ） （舍去），
２ ∗
而（
∗
）式等号的左边为偶数，右边为奇数， 当ｎ
≥２
时，由
２
Ｓ
ｎ＝
ａ２ｎ＋ ａ
ｎ
得
２
Ｓ
ｎ －１＝
ａ２ｎ
－１＋
ａ
ｎ －１
，
∴
（
∗
）式不成立，即假设不成立． 两式相减得
２
ａ
ｎ＝
ａ２ｎ＋ ａ
ｎ－
ａ２ｎ
－１－
ａ
ｎ －１
，ｎ
≥２
，
所以数列｛ａ ｝中的任意三项均不能构成等差数列． 所以（ａ ａ ）（ａ ａ ） （ａ ａ ） ，
ｎ ｎ＋ ｎ －１ ｎ－ ｎ －１ － ｎ＋ ｎ －１ ＝０
{ｆ ｎ ｎ为奇数 即（ａ ａ ）（ａ ａ ） ，
类型二：ａ ｎ＝ ｇ （ ｎ ）， ｎ为偶数 又｛ａ ｎ ｝ ＋ 各 ｎ － 项 １ 均为 ｎ－ 正 ｎ 数 －１－ ， １ 所以 ＝０ ａ ａ ，ｎ ，
（ ）， ｎ ｎ－ ｎ －１＝１ ≥２
此类问题的常用解法 所以｛ａ ｝是公差为 的等差数列，所以ａ ｎ．
： ｎ １ ｎ＝
1.按奇偶项分为两个数列分别求解 但要注意原数列项数分奇 （ ）由（ ）知ｃ （ ）ｎｎ（ｎ ），
， ２ １ ｎ＝ －１ ＋１
数和偶数讨论． 当ｎ为偶数时，Ｔ （ ） （ ） … ［ （ｎ ）
ｎ＝ －１ ×２＋２×３＋ －３ ×４＋４×５＋ ＋ － －１
{ｆ ｎ ｎ为奇数 ｎ］ ｎ （ｎ ）
2.利用ａ （ ）， ，转化为数列 ａ 的奇数项和偶数项 × ＋ × ＋１
ｎ＝ ｇ ｎ ｎ为偶数 ｛ ｎ｝ （ ） （ ） … ｎ［ （ｎ ） ｎ ］
（ ）， ＝２× －１＋３ ＋４× －３＋５ ＋ ＋ － －１ ＋ ＋１
求解． ｎ
（ ｎ）
{ ａ ｎ为奇数 ２＋ ｎ（ｎ ）
例2 已知数列 ａ 满足ａ ａ ａ ａ ３ ｎ， ， 数 （ … ｎ） ２ ＋２ ；
｛ ｎ｝ １＋ ３＝２ ２， ｎ ＋１＝ ａ ｎ＋２， ｎ为偶数 ， ＝２× ２＋４＋ ＋ ＝２× ２ ＝ ２
列 ｛ ｃ
求
ｎ｝
数
满
列
足ｃ
ｃ
ｎ＝
和
ａ ２ ｎ －１
ａ
．
的通项公式
当ｎ（ｎ ≥３ ）为奇数时，Ｔ ｎ＝ Ｔ ｎ －１－ ｎ（ｎ ＋１ ） ＝ （ｎ －１ ）
２
（ｎ ＋１ ） － ｎ（ｎ ＋
（１）
求数列
｛
ａ
ｎ｝
的
｛
前
ｎ
ｎ
｝
项和Ｓ ．
；
）
（ｎ
＋１
）２
，
（２） ｛ ｎ｝ ｎ １ ＝－
{ ａ ，ｎ为奇数， ２
解析 （ ）由ａ ３ ｎ 得ａ ａ ，ａ ａ ａ 经检验，ｎ 也满足上式．
１ ｎ ＋１＝ ａ ，ｎ为偶数 ２＝３ １ ３＝ ２＋２＝３ １ ＝１
ｎ＋２ ìｎ（ｎ ）
． ï ï ＋２ ，ｎ为偶数，
＋２
因 得 为 ｃ １＝ ａ １ ａ ＋ １ ａ ＝ ３ １ ＝ ， ２ ｃ ｎ ａ ＋ ２ １ ， ＝ 所 ａ ２ 以 ｎ ＋１ ， ａ １＋３ ａ １＋２＝６ ａ １ ，解得ａ １＝１ ，由ｃ ｎ＝ ａ ２ ｎ －１ ， 综上，Ｔ ｎ＝ î í ï ï － （ｎ ２ ＋ ２ １ ）２ ，ｎ为奇数．
１ ３８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
学生用书P85
１．（ ２０２４ 安徽皖北协作区联考， １３ ）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足 （－１） ｎ ＋１ （２） 由 （１） 可知ｂ ｎ ＋１－３＝２（ ｂ ｎ－３）， 又 ∵ ｂ １－３＝ ｃ １＋ ｃ ２－３＝２≠０，
·
ａ
ｎ ＋２＋（－１）
ｎａ
ｎ＝３（－１）
ｎ
＋１（
ｎ
∈
Ｎ
），
若ａ
１＝
ａ
２＝１，
则
｛
ａ
ｎ｝ ∴
数列
｛
ｂ
ｎ－３｝
是以
２
为首项
，２
为公比的等比数列
，
的前 ２０ 项和Ｓ ２０＝ －２５０ ． ∴ ｂ ｎ－３＝２×２ ｎ －１ ＝２ ｎ ， （９ 分 ）
２．（ 福建厦门毕业班第四次质量检测， ）设 Ｓ 为数列 ｔ ｎ ｎ 分
２０２４ １５ ｎ ∴ ｎ＝（２ －１）×２ ， （１０ ）
ａ 的前ｎ项和 已知ａ Ｓ 且 {Ｓ ｎ } 为等差数列． ∴ Ｑ ｎ＝１×２＋３×２ ２ ＋５×２ ３ ＋…＋（２ ｎ －１）×２ ｎ ，
｛ ｎ｝ ， １＝１， ４＝１０， ｎ ∴２ Ｑ ｎ＝１×２ ２ ＋３×２ ３ ＋５×２ ４ ＋…＋（２ ｎ －１）×２ ｎ ＋１ ， （１１ 分 ）
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； 两式相减 ， 可得 － Ｑ ｎ＝１×２＋２（２ ２ ＋２ ３ ＋…＋２ ｎ ）－（２ ｎ －１）×２ ｎ ＋１
{ａ ｎ为奇数 ｎ
ｎ， ， ８（１－２ －１ ） ｎ ｎ ＋１ ｎ ＋２ ｎ ｎ ＋１
若ｂ 求 ｂ 的前 ｎ项和Ｔ ． ＝２＋ －（２ －１）×２ ＝２＋２ －８－（２ －１）×２
（２） ｎ＝ １ ｎ为偶数 ｛ ｎ｝ ２ ２ ｎ １－２
ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋２
， ，
＝（３－２
ｎ
）×２
ｎ ＋１
－６， （１４
分
）
解析 设等差数列 {Ｓ ｎ } 的公差为ｄ ∴ Ｑ ｎ＝（２ ｎ －３）×２ ｎ ＋１ ＋６ ． （１５ 分 ）
（１） ｎ ， ４．（ 山东青岛二中二模， ）欧拉函数φ ｎ ｎ Ｎ 的函
２０２４ １６ （ ）（ ∈ ）
因为ａ Ｓ 数值等于所有不超过正整数ｎ且与ｎ互素的正整数的个数
１＝ １＝１， ，
Ｓ Ｓ 例如 φ φ φ 数列 ａ 满足ａ φ ｎ
所以 ４ １ ｄ 即１０ ｄ ｄ １ ： （１）＝１， （４）＝２， （８）＝ ４， ｛ ｎ｝ ｎ＝ （２ ）
－ ＝３ ， －１＝３ ， ＝ ， ｎ Ｎ ．
４ １ ４ ２ （ ∈ ）
Ｓ 求ａ ａ ａ 并求数列 ａ 的通项公式
所以 ｎ １ ｎ （１） １， ２， ３， ｛ ｎ｝ ；
ｎ ＝１＋ （ －１）， ａ
２ 记ｂ ｎ ｌｏｇ２ ２ ｎ 求数列 ｂ 的前ｎ和Ｓ ．
ｎ ｎ （２） ｎ＝（－１） ａ ， ｛ ｎ｝ ｎ
即Ｓ （ ＋１） ２ ｎ
ｎ＝ ， 解析 由题意可知 ａ φ ａ φ ａ
２ （１） １＝ （２）＝ １， ２＝ （４）＝ ２， ３＝
ｎ ｎ ｎ ｎ φ 分
当ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ （ ＋１） （ －１） ｎ （８）＝４， （４ ）
≥２ ， ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ － ＝ ， 由题意可知 正偶数与 ｎ 不互素 所有正奇数与 ｎ 互素 比
２ ２ ， ２ ， ２ ，
当ｎ
＝１
时
，
ａ
１＝１
满足上式
，
所以ａ
ｎ＝
ｎ
，
ｎ
∈
Ｎ ．
２
ｎ 小的正奇数有
２
ｎ －１个
，
{ｎ
，
ｎ为奇数
，
所以ａ
ｎ＝
φ
（２
ｎ
）＝２
ｎ －１．
（６
分
）
（２） 由 （１） 知ｂ ｎ＝ １ ｎ为偶数 （２） 由 （１） 知ａ ｎ＝ φ （２ ｎ ）＝２ ｎ －１ ， 所以ａ ２ ｎ＝ φ （２ ２ ｎ ）＝２ ２ ｎ －１ ，
则Ｔ ２ ｎ＝（ ｂ １＋ ｂ ３＋ ｂ ５＋ ｎ … （ ｎ ＋ ＋ ｂ ２ ２ ｎ ） －１ ， ）＋（ ｂ ２＋ ｂ ４ ， ＋ ｂ ６＋…＋ ｂ ２ ｎ） 所以ｂ ｎ＝（－１） ｎ ｌｏｇ ａ ２ ２ ａ ｎ ２ ｎ ＝（－１） ｎ ｌｏｇ ２ ２ ２ ２ ｎ － ２ １ ｎ －１ ＝（－１） ｎ （２ ｎ －１） ４ ２ ｎ ＝
é ù ( )ｎ
ê ú
ｎ ê １ １ １ １ ú ｎ １ 分
＝（１＋３＋５＋…＋２ －１）＋ ë ＋ ＋ ＋…＋ ｎ ｎ û （４ －２） － ， （８ ）
２×４ ４×６ ６×８ ２ ×（２ ＋２） ４
( ) ( ) ( )ｎ
ｎ ｎ æ ö 所以Ｓ １ １ １ ２ ｎ １ －１ ｎ
（１＋２ －１） １ ç １ １ １ １ １ １ ÷ ｎ＝２× － ＋６× － ＋…＋（４ －６）× － ＋（４
＝ ＋ è － ＋ － ＋…＋ ｎ－ ｎ ø ４ ４ ４
２ ２ ２ ４ ４ ６ ２ ２ ＋２ ( )ｎ
１
ｎ２ １ １ ． －２）× － ，①
＝ ＋ － ｎ ４
４ ４ ＋４ ( ) ( ) ２ ( ) ３ ( )ｎ
１ Ｓ １ １ ｎ １
所以数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前
２
ｎ项和为Ｔ
２ ｎ＝
ｎ２
＋ ４
１
－ ４ ｎ
１
＋４
． －
４
ｎ
(
＝２×
)
－
ｎ ＋ ４ １
＋６× －
４
＋…＋（４ －６）× －
４
＋
３．（ 山东齐鲁名校联考七， ）已知等差数列 ａ 的前ｎ项 ｎ １ 分
２０２４ １７ ｛ ｎ｝ （４ －２）× － ，② （１０ ）
４
{ 和
２
ｃ 为
ｎ，
ｎ Ｓ 是 ｎ， 偶 Ｓ ６ 数 －
，
Ｓ ３
ｂ
＝ ２
ｃ
７， 数
ｃ
列
．
｛ ｃ ｎ｝ 满足 ｃ １ ＝ ａ ２ ＝ ３， ｃ ｎ ＋１ ＝ ①－② 得 ５
４
Ｓ ｎ＝２× ( －
４
１ ) １ ＋４ [( －
４
１ ) ２ ＋…＋ ( －
４
１ )ｎ] －（４ ｎ －
ｃ ｎ－１， ｎ是奇数 ， ｎ＝ ２ ｎ＋ ２ ｎ －１ １ [ ( １ )ｎ －１ ]
求 ａ 的通项公式 并证明 ｂ ｂ ( )ｎ ＋１ １－ －
（１） ｛ ｎ｝ ， ： ｎ ＋１＝２ ｎ－３； ２） × － １ ＝ － １ ＋ ４ × １６ ( ４ ) － （４ ｎ － ２）
（２） 设ｔ ｎ＝ ａ ｎ（ ｂ ｎ－３）， 求数列 ｛ ｔ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｑ ｎ ． ４ ２ １－ － １
解析 设 ａ 的公差为ｄ． ４
（１） ｛ ｎ｝ ( )ｎ
＋１
ａ 是等差数列 Ｓ Ｓ ａ ａ ａ １
∵ ｛ ｎ｝ ， ６－ ３＝２７，∴ ４＋ ５＋ ６＝２７， × －
即 ａ ａ ４
３ ５＝２７， ５＝９， [ ( )ｎ －１ ] ( )ｎ ＋１
ａ ａ １ １ １ ｎ １
又ａ ｄ ５－ ２ 分 ＝－ ２ ＋ ５ １－ － ４ －（４ －２）× － ４
２＝３，∴ ＝
５－２
＝２， （２ ）
ｎ
３ ２０ ＋６ 分
∴ ａ ｎ＝ ａ ２＋（ ｎ －２） ｄ ＝３＋（ ｎ －２）·２＝２ ｎ －１ ． （３ 分 ） ＝－ １０ － ５×（－４） ｎ ＋１， （１３ ）
由 ｛ ｃ ｎ｝ 的递推关系可得ｃ ２ ｎ＝ ｃ ２ ｎ －１－１， ｃ ２ ｎ ＋１＝２ ｃ ２ ｎ， ｃ ２ ｎ ＋２＝ ｃ ２ ｎ ＋１－１， 所以Ｓ ６ ２０ ｎ ＋６ ． 分
分 ｎ＝－ ＋ ｎ （１５ ）
（４ ） ２５ ２５×（－４）
ｂ ｃ ｃ ｃ ． ５．（ 河北石家庄二模， ）已知数列 ａ 满足 ａ ａ
∴ ｎ＝ ２ ｎ＋ ２ ｎ －１＝２ ２ ｎ＋１ ２０２４ １７ ｛ ｎ｝ １＝７， ｎ ＋１
ｂ ｃ ｃ ｃ ｃ {ａ ｎ为奇数
∵ ｎ ＋１＝ ２ ｎ ＋２＋ ２ ｎ ＋１＝４ ２ ｎ－１＝２（２ ２ ｎ＋１）－３， ｎ－３， ，
ｂ ｂ ． 分 ＝ ａ ｎ为偶数．
∴ ｎ ＋１＝２ ｎ－３ （７ ） ２ ｎ，
专题六 数列 １ ３９
写出ａ ａ ａ 所以数列 ａ 是首项为 公比为 的等比数列． 分
（１） ２， ３， ４； ｛ ２ ｎ －１－６｝ １， ２ （７ ）
（２） 证明 ： 数列 ｛ ａ ２ ｎ －１－６｝ 为等比数列 ； （３） 由 （２） 可知ａ ２ ｎ －１－６＝１·２ ｎ －１ ， 即ａ ２ ｎ －１＝２ ｎ －１ ＋６，
若ｂ ａ 求数列 ｎ ｂ 的前ｎ项和Ｓ ． 因为 ｎ为偶数 ｎ 为奇数
（３） ｎ＝ ２ ｎ， ｛ ·（ ｎ－３）｝ ｎ ２ ，２ －１ ，
解析 （１） 因为ａ １＝７， 所以ａ ２＝ ａ １－３＝４， （１ 分 ） 所以ｂ ｎ＝ ａ ２ ｎ＝ ａ ２ ｎ －１－３＝２ ｎ －１ ＋３， （９ 分 ）
ａ ３＝２ ａ ２＝８， （２ 分 ） 所以ｎ ·（ ｂ ｎ－３）＝ ｎ ·（２ ｎ －１ ＋３－３）＝ ｎ ·２ ｎ －１ ， （１０ 分 ）
ａ ４＝ ａ ３－３＝５ ． （３ 分 ） 则Ｓ ｎ＝１·２ ０ ＋２·２ １ ＋３·２ ２ ＋…＋ ｎ ·２ ｎ －１ ，①
（２） 证明 ： 因为ａ ｎ ＋１＝ { ２ ａ ａ ｎ－ ｎ， ３ ｎ ， ｎ 为 为 偶 奇 数 数 ， ， ２ ① Ｓ ｎ － ＝ ② １ 得 · － ２ Ｓ １ ＋ ｎ＝ ２· １＋ ２ ２ ２ １ ＋ ＋ ３ ２ · ２ ＋ ２ … ３ ＋ ＋ … ２ ｎ ＋ － ｎ １ － · ｎ ２ ２ · ｎ ，② ２ ｎ
所以ａ ２ ｎ ＋１－６＝２ ａ ２ ｎ－６＝２（ ａ ２ ｎ －１－３）－６＝２（ ａ ２ ｎ －１－６）， （５ 分 ） １－２ ｎ ｎ ｎ． 分
即 ａ ２ ｎ ＋１－６ 且ａ ＝ １－２ － ·２ （１４ ）
ａ ２ ｎ －１－６ ＝２， １－６＝１， 所以Ｓ ｎ＝（ ｎ －１）２ ｎ ＋１ ． （１５ 分 ）
