北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
专题六 数列
6.1 数列的概念及表示
考点 数列的概念及表示
1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a,a,…,a ,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称
1 2 12
a,a,a 为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称a,a,a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦
i j k i j k
与原位小三和弦的个数之和为( )
A.5 B.8 C.10 D.15
答案 C 根据已知条件可知原位大三和弦有a,a,a;a,a,a;a,a,a ;a,a,a ;a,a,a ,共5个.原位小三和弦有
1 5 8 2 6 9 3 7 10 4 8 11 5 9 12
a,a,a;a,a,a;a,a,a ;a,a,a ;a,a,a ,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的
1 4 8 2 5 9 3 6 10 4 7 11 5 8 12
个数之和为10,故选C.
1
2.(2023北京,10,4分,难)已知数列{a }满足a = (a -6)3+6(n=1,2,3,…),则 ( )
n n+1 n
4
A.当a =3时,{a }为递减数列,且存在常数M≤0,使得a >M恒成立
1 n n
B.当a =5时,{a }为递增数列,且存在常数M≤6,使得a <M恒成立
1 n n
C.当a =7时,{a }为递减数列,且存在常数M>6,使得a >M恒成立
1 n n
D.当a =9时,{a }为递增数列,且存在常数M>0,使得a <M恒成立
1 n n
答案 B 令b =a -6,
n n
1 1
由a = (a -6)3+6,得b = b3.
n+1 4 n n+1 4 n
1 1 1 1
当a =5时,b =-1,则b = b3=− ,b = b3=− ,……
1 1 2 4 1 4 3 4 2 256
n→+∞时,b →0,且b <0,则a →6,且a <6,即6-a >0恒成立.故{a }为递增数列,且存在
n n n n n n
M=6,使得a <6恒成立,B正确.
n
同理,当a =3时,b =-3,n→+∞时,b →-∞,即a →-∞,故不存在M,使得a >M恒成立,A错
1 1 n n n
误.
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当a =7时,b =1,n→+∞时,b →0,且b >0,则a →6,且a >6,故{a }为递减数列,但不存在
1 1 n n n n n
M>6,使得a >M恒成立,C错误.
n
当a =9时,b =3,n→+∞时,b →+∞,即a →+∞,故不存在M,使得a <M恒成立,D错误.
1 1 n n n
3.(2016浙江,理13,文13,6分)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若S
2
=4,a
n+1
=2S
n
+1,n∈N*,则a
1
= ,S
5
=
.
答案 1;121
解析 解法一:∵a =2S+1,∴a=2S+1,即S-a=2a+1,又∵S=4,∴4-a=2a+1,解得a=1.又a =S -S,
n+1 n 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n+1 n+1 n
∴S -S=2S+1,即S =3S+1,由S=4,可求出S=13,S=40,S=121.
n+1 n n n+1 n 2 3 4 5
解法二:由a =2S+1,得a=2S+1,即S-a=2a+1,又S=4,∴4-a=2a+1,解得a=1.又a =S -S,∴S -S=2S+1,
n+1 n 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n+1 n+1 n n+1 n n
即S
n+1
=3S
n
+1,则S
n+1
+1=3(
S +
1),又S
1
+1=3,∴{
S +
1}是首项为3,公比为3的等比数列,
2 n 2 2 2 n 2 2
1 3 3n-1 35-1
∴S+ = ×3n-1,即S= ,∴S= =121.
n 2 2 n 2 5 2
评析 本题考查了数列的前n项和S 与a 的关系,利用a =S -S 得出S =3S+1是解题的关键.
n n n+1 n+1 n n+1 n
4.(2015课标Ⅱ理,16,5分)设S 是数列{a}的前n项和,且a=-1,a =SS ,则S= .
n n 1 n+1 n n+1 n
1
答案 -
n
解析 ∵a =S -S,∴S -S=S S,又由a=-1,知S≠0,∴ 1 - 1 =1,∴{1 }是等差数列,且公差为-1,而 1 =
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n 1 n
S S S S
n n+1 n 1
1 1 1
=-1,∴ =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S=- .
a S n n
1 n
1
5.(2014课标Ⅱ文,16,5分)数列{a}满足a = ,a=2,则a= .
n n+1 1−a 8 1
n
1
答案
2
1 1
解析 由a = ,得a=1- ,
n+1 1−a n a
n n+1
1 1
∵a=2,∴a=1- = ,
8 7
2 2
1 1
a=1- =-1,a=1- =2,…,
6 a 5 a
7 6
∴{a}是以3为周期的数列,
n
1
∴a=a= .
1 7
2
2 1
6.(2013课标Ⅰ理,14,5分)若数列{a}的前n项和S= a+ ,则{a}的通项公式是a= .
n n n n n
3 3
答案 (-2)n-1
2 1 2 1 2 1
解析 由S= a+ 得:当n≥2时,S = a + ,∴当n≥2时,a=-2a ,又n=1时,S=a= a+ ,a=1,∴a=(-2)n-1.
n n n-1 n-1 n n-1 1 1 1 1 n
3 3 3 3 3 3
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7.（2023全国甲理，17）已知数列 中， ，设 为 前n项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）因为 ，当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得， ，
，即 ， ．
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