文档内容
拔高点突破 01 新情景、新定义下的数列问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：牛顿数列问题........................................................................................................................3
题型二：高考真题下的数列新定义....................................................................................................4
题型三：数列定义新概念....................................................................................................................6
题型四：数列定义新运算....................................................................................................................7
题型五：数列定义新情景....................................................................................................................9
题型六：差分数列、对称数列..........................................................................................................10
题型七：非典型新定义数列..............................................................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................131、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和
加以简单运用的能力，考查了学生探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂
和理解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的
能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、
套路总结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题．
2、解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问
题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的
要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决．
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢．题型一：牛顿数列问题
【典例1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪
提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数 的一个零点，
任意选取 作为r的初始近似值，在点 作曲线 的切线 ，设与 轴x交点的横坐标为 ，
并称 为r的1次近似值；在点 作曲线 的切线 ，设与 轴x交点的横坐标为 ，称
为r的2次近似值.一般地，在点 作曲线 的切线 ，记 与x轴交点的横坐标
为 ，并称 为r的 次近似值.设 的零点为r，取 ，则r的1次近似值为
；若 为r的n次近似值，设 ， ，数列 的前n项积为 .若任意 ， 恒成
立，则整数 的最大值为 .
【典例1-2】记 上的可导函数 的导函数为 ，满足 的数列 称为函
数 的“牛顿数列”.已知数列 为函数 的牛顿数列，且数列 满足
.
(1)证明数列 是等比数列并求 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求t的取值范围.
【变式1-1】英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列，如果 ，数列
为牛顿数列，设 且 ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函
数 ，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列，若函数 ，数列 为牛
顿数列且 ，则 的值是（ ）
A．8 B．2 C． D．
题型二：高考真题下的数列新定义
【典例2-1】（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
【典例2-2】（2024·全国·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中
删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
【变式2-1】（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且
的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
【变式2-2】（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
【变式2-3】（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为
数列：
① ，且 ；
② ；③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
题型三：数列定义新概念
【典例3-1】（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则
称数列 具有“性质1”.已知项数为 的数列 的所有项的和为 ，且数列 具有“性质1”.
(1)若 ，且 ，写出所有可能的 的值；
(2)若 ，证明：“ ”是“ ”的充要条件；
(3)若 ，证明： 或 .
【典例3-2】对任意正整数 ，定义 的丰度指数 ，其中 为 的所有正因数的和．
(1)求 的值：
(2)若 ，求数列 的前 项和
(3)对互不相等的质数 ，证明： ，并求 的值．
【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列 ，定义 ，满足
，记 ，称 为由数列 生成的“ 函
数”．(1)试写出“ 函数” ，并求 的值；
(2)若“ 函数” ，求n的最大值；
(3)记函数 ，其导函数为 ，证明：“ 函数”
．
【变式3-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成
新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 经过第一次“和扩充”后得
到数列 ；第二次“和扩充”后得到数列 ．设数列 经过 次“和扩充”后得
到的数列的项数为 ，所有项的和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求不等式 的解集；
(3)是否存在数列 ，使得数列 为等比数列？请说明理由．
题型四：数列定义新运算
【典例4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）记集合 无穷数列 中存在有限项不为零， ，
对任意 ，设 ．定义运算 若 ，则
，且 ．
(1)设 ，用 表示 ；
(2)若 ，证明： ：
(3)若数列 满足 ，数列 满足 ，设
，证明： ．【典例4-2】（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一
般地，对无穷数列 ， ，定义无穷数列 ，记作 ，称为 与
的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上
元素的和，易知有交换律 ．
(1)若 ， ， ，求 ， ， ， ；
(2)对 ，定义 如下：①当 时， ；②当 时， 为满足通项
的数列 ，即将 的每一项向后平移 项，前 项都取为0．试找到数列 ，使
得 ；
(3)若 ， ，证明：当 时， ．
【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）记集合 无穷数列 中存在有限项不为零， ，对任
意 ，设变换 ， ．定义运算 ：若 ，则
， ．
(1)若 ，用 表示 ；
(2)证明： ；
(3)若 ， ， ，证明： ．【变式4-2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上
述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又
称“角谷猜想”）.如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需
经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足：
（ 为正整数）， 当 时， （ ）
A．170 B．168 C．130 D．172
题型五：数列定义新情景
【典例5-1】（多选题）（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列 满足：
，且 ，则称 具有性质 .则（ ）
A．存在具有性质 的
B．存在具有性质 的
C．若 具有性质 ，则 中至少有两项相同
D．存在正整数 ，使得对任意具有性质 的 ，有 中任意两项均不相同
【典例5-2】（2024·河南·二模）已知无穷数列 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
，若对于集合 中的元素 ，数列 中存在不相同的项 ，使
得 ，则称数列 具有性质 ，记集合 数列 具有性质 .
(1)若数列 的通项公式为 ，判断数列 是否具有性质 ，若具有，写出集合 与
集合 ；
(2)已知数列 具有性质 且集合 中的最小元素为 .集合 中的最小元素为 ，当 时，证明：
.【变式5-1】（2024·北京东城·二模）已知 为有穷整数数列，若 满足：
，其中 ， 是两个给定的不同非零整数，且 ，则称 具有性质
.
(1)若 ， ，那么是否存在具有性质 的 ？若存在，写出一个这样的 ；若不存在，请说明理
由；
(2)若 ， ，且 具有性质 ，求证： 中必有两项相同；
(3)若 ，求证：存在正整数 ，使得对任意具有性质 的 ，都有 中任意两项均不相同.
【变式5-2】（2024·北京朝阳·一模）若有穷自然数数列 ： 满足如下两个性质，则称
为 数列：
① ，其中， 表示 ，这 个数
中最大的数；
② ，其中， 表示 ，这 个
数中最小的数.
(1)判断 ：2，4，6，7，10是否为 数列，说明理由；
(2)若 ： 是 数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
(3)证明：对任意 数列 ： ，存在实数 ，使得 .（ 表示不超
过 的最大整数）
题型六：差分数列、对称数列
【典例6-1】（多选题）如果项数有限的数列 满足 ，则称其为“对称数列”，设
是项数为 的“对称数列”，其中 ， ， ， 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 所有项的和为
C．当 时， 所有项的和最大 D． 所有项的和不可能为【典例6-2】若项数为 的数列 满足： 我们称其为 项的“对称数列”．例如：
数列 为 项的“对称数列”；数列 为 项的“对称数列”．设数列 为 项的“对称数
列”，其中 是公差为 的等差数列，数列 的最大项等于 ，记数列 的前 项和为
，若 ，则 ．
【变式6-1】（2024·四川南充·三模）对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分，其中
，规定 为数列 的k阶差分，其中 ．若
，则 （ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【变式6-2】（2024·四川南充·三模）对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分，其中
，规定 为数列 的阶 差分，其中 .若
，则 （ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
题型七：非典型新定义数列
【典例7-1】（2024·黑龙江·模拟预测）已知n行n列 的数表 中，满足：
， .若数表 满足当 时，总有 ，则称此数表 为典型数表，
此时记 .
(1)若数表 ， ，请直接写出M，N是否是典型数表；
(2)当 时，是否存在典型数表A使得 ，若存在，请写出一个数表A；若不存在，请说明理由；
(3)若数表A为典型数表，求 的最小值（直接写出结果，不需要证明）.【典例7-2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）设数阵 ，其中 .设
，其中 ， 且 .定义变换 为“对于数阵的每一列，
若其中有t或 ，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有 ，则这一列中每个数都乘以
”（ ）， 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，…，
以此类推，最后将 经过 变换得到 .记数阵 中四个数的和为 .
(1)若 ， ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵 ，证明： 的所有可能取值的和不大于 .
【变式7-1】已知无穷数列 ，给出以下定义：对于任意的 ，都有 ，则称数列
为“ 数列”；特别地，对于任意的 ，都有 ，则称数列 为“严格 数列”.
(1)已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ， ，试判断数列 ，数列
是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)证明：数列 为“ 数列”的充要条件是“对于任意的 ， ， ，当 时，有
”；
(3)已知数列 为“严格 数列”，且对任意的 ， ， ， .求数列 的最小项
的最大值.
【变式7-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是斐波那契数列，其数值为：
.这一数列以如下递推的方法定义： .数列 对于确定的正
整数 ，若存在正整数 使得 成立，则称数列 为“ 阶可分拆数列”.(1)已知数列 满足 .判断是否对 ，总存在确定的正整数 ，使得数列
为“ 阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列 的前 项和为 ，
（i）若数列 为“ 阶可分拆数列”，求出符合条件的实数 的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列 满足 ， ，其前 项和为 .证明：当 且 时，
成立.
1．（2024·浙江绍兴·三模）设 ，已知 ，若
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·上海·模拟预测）已知数列 不是常数列，前 项和为 ，且 ．若对任意正整数 ，存
在正整数 ，使得 ，则称 是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列 是“可
控数列”；②存在等比数列 是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
3．数列 的前n项和为 ，若数列 与函数 满足：① 的定义域为 ；②数列 与函数
均单调增；③存在正整数 ，使 成立，则称数列 与函数 具有“单调偶遇关系”.
给出下列两个命题：（ ）
①与数列 具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列 具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
4．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格
的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数 ，使得对一切
正整数 ，都有 ，则称 为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷
大）的数列称为收敛数列，如数列 ，显然对一切正整数 都有 ，而 的极限为 ，即数列
既有界也收敛.如数列 ，显然对一切正整数 都有 ，但不存在极限，即数列 有界但不收
敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）在数列 中，若对 ，都有 （ 为常
数），则称数列 为“等差比数列”， 为公差比，设数列 的前 项和是 ，则下列说法一定正确
的是（ ）
A．等差数列 是等差比数列
B．若等比数列 是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列 是等差比数列，则数列 是等比数列
D．若数列 是等比数列，则数列 等差比数列
6．（多选题）（2024·山东烟台·一模）给定数列 ，定义差分运算：
.若数列 满足 ，数列 的首项为1，且
，则（ ）
A．存在 ，使得 恒成立
B．存在 ，使得 恒成立
C．对任意 ，总存在 ，使得
D．对任意 ，总存在 ，使得7．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果
是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图 .对任意正整数 ，按照上
述规则实施第 次运算的结果为 ，（ ）
A．当 时，则
B．当 时，数列 单调递减
C．若 ，且 均不为1，则
D．当 时，从 中任取两个数至少一个为奇数的概率为
8．（2024·高三·河北保定·期中）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛
顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列 如果函数
，数列 为牛顿数列，设 ，且 ， 则
9．（2024·江西九江·模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数
列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数 ，若数列 满足 ，则称数列
为牛顿数列，若函数 ， ，且 ，则 .
10．给定函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为函数 的牛顿数列.已知
为 的牛顿数列，且 ，数列 的前 项和为 .则
.
11．将正整数 分解为两个正整数 、 的积，即 ，当 、 两数差的绝对值最小时，我们称其
为最优分解.如 ，其中 即为20的最优分解，当 、 是 的最优分解时，定义
，则数列 的前2024项的和为 .
12．（2024·高三·甘肃兰州·开学考试）已知数表 ，， ，其中 分别
表示 ， ， 中第 行第 列的数．若 ，则称 是
， 的生成数表．若数表 ， ，且 是
的生成数表，则 ．
13． ， ，… 是一个1，2，3，…，10的排列，要求 和 一定有一个大于 （ ），
则满足的排列的总数为 ．
14．（2024·北京通州·三模）若数列 、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使
得 ，则称数列 为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列结论中正
确的是 ．
①存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
②存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
③存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
④存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
15．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列 ，从数列 中选取第 项､第 项､ ､第 项
，顺次排列构成数列 ，其中 ，则称新数列 为 的一个子列，称
各项之和为 的一个子列和．规定：数列 的任意一项都是 的子列．则数列 的
所有子列和的和为 ．
16．（2024·高三·山东日照·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将
该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出
6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示为数
列 满足： （m为正整数）， .问：当 时，试确定使得
需要 步“雹程”；若 ，则 所有可能的取值所构成的集合为 .
17．（2024·高三·北京朝阳·期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作
《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数 ，取一正数 作为的第一个近似值，定义 ，则 是 的一列近似值.当 时，
给出下列四个结论：① ；② ；③ ， ；④ ， .其
中所有正确结论的序号是 .
18．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列 ，称 为数列 的一阶差分数列，其中
.对正整数 ，称 为数列 的 阶差分数列，其中
已知数列 的首项 ，且 为 的二阶差分数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的一阶差分数列，对 ，是否都有 成立？并说明理
由；（其中 为组合数）
(3)对于（2）中的数列 ，令 ，其中 .证明： .
19．（2024·贵州·三模）差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密
码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列 ，规定
为数列 的一阶差分数列，其中 ；规定 为 的二阶差分数列，其中
.如果 的一阶差分数列满足 ，则称 是“绝对差异数
列”；如果 的二阶差分数列满足 ，则称 是“累差不变数列”.
(1)设数列 ，判断数列 是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
(2)设数列 的通项公式 ，分别判断 是否为等差数列，请说明理由；
(3)设各项均为正数的数列 为“累差不变数列”，其前 项和为 ，且对 ，都有 ，
对满足 的任意正整数 都有 ，且不等式 恒成立，求实数 的最大
值.20．（2024·安徽黄山·一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是
描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数
列，其中 ，规定 为数列 的二阶差分数列，其中 ．
(1)数列 的通项公式为 ，试判断数列 是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列 是以1为公差的等差数列，且 ，对于任意的 ，都存在 ，使得 ，
求 的值；
(3)各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 为常数列，对满足 ， 的任意正整数
都有 ，且不等式 恒成立，求实数 的最大值．
