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专题六 数列 １ ２５
6.4 数列求和
学生用书P247
题型 一 错位相减法求和 ｂ æ ö
则Ｔ ｎ ４ ４ ４ ç １ ÷．
ｎ＋ ＝ － ｎ＝ è１－ ｎø
如果数列 ａ 是等差数列 ｂ 是等比数列 求数列 ａ ３ ９ ９×４ ９ ４
｛ ｎ｝ ，｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ·
ｂ 的前ｎ项和时 常采用错位相减法． 因为函数ｙ １ 在［ ， ）上单调递增（结合函数的单调性
ｎ｝ ， ＝１－ ｘ １ ＋∞
利用错位相减法求和的基本流程 ４
： 进行分析），
4 BeC BeC B eC BeC
O O O O O ｂ æ ö ( )
所以Ｔ ｎ ４ ç １ ÷ ４ １ １ ．
! R4 BeC BeC B eC BeC ｎ＋ ＝ è１－ ｎø≥ × １－ ＝
O O O O O ３ ９ ４ ９ ４ ３
名师点拨 利用错位相减法求和时应注意以下两点
J, R 4 O B eC B eC B O eC O B O eC O （ １ ）在写出“Ｓ ｎ ”与“ｑＳ ｎ ”的表达式时应将两式“错项对齐”，
B eC B eC B O eC O B O eC O 以便于下一步准确地写出“Ｓ ｎ－ ｑＳ ｎ ”的表达式．
B eC E C C C O B O eC O （ ）应用等比数列求和公式时必须注意公比ｑ是否等于 ，如
２ １
! 4 B e C E C C C O B O e C O 果ｑ ＝１ ，应用公式Ｓ ｎ＝ ｎａ １ ．
O R
题型 二 裂项相消法求和
其中ｄ为等差数列 ａ 的公差 ｑ为等比数列 ｂ 的公比 且ｑ
｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝ ，
1.裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后 某些项可
． ，
≠１
以相互抵消从而求和的方法 分式型数列的求和多用此法．
例1 （ ２０２４ 辽宁部分学校开学摸底考试）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ，
2.常用拆项公式
ｎ项和为Ｓ 且 Ｓ ａ ．
ｎ， ３ ｎ＋ ｎ＝１
（１）
求
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式
；
数列（ｎ
∈
Ｎ ） 裂项方法（ｎ
∈
Ｎ ）
ｂ { }
若 ｂ ｎ ａ 设数列 ｂ 的前 ｎ 项和为 Ｔ 证明 Ｔ ｎ １ ｋ 为 非 ( )
（２） ｎ＝ · ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ， ： ｎ＋ ｎ ｎ ｋ （ １ １ １ １
３ （ ＋ ） ｎ ｎ ｋ ＝ ｋ ｎ －ｎ ｋ
零常数 （ ＋ ） ＋
１ ． ）
≥
３ { } ( )
１ １ １ １ １
解析 （
１
）
３
Ｓ
ｎ＋
ａ
ｎ＝１
，当ｎ
＝１
时，
３
Ｓ
１＋
ａ
１＝１
，解得ａ
１＝
１ ；
４
ｎ２
－１ ４
ｎ２
－１
＝
２ ２
ｎ
－１
－
２
ｎ
＋１
４
é
当ｎ 时， Ｓ ａ ， ê
≥２ ３ ｎ －１＋ ｎ －１＝１ { } ｎ ｎ １ ｎ ＝ １ ë ê ｎ ｎ １ －
两式相减得 ａ ａ ａ ， （ ＋１）（ ＋２） ２ （ ＋１）
３ ｎ＋ ｎ－ ｎ －１＝０
ｎ ｎ
１
ｎ ù
即 ａ ｎ １ ， （ ＋１）（ ＋２） １ ú ú
ａ ＝ ｎ ｎ û
ｎ －１ ４ （ ＋１）（ ＋２）
{ }
所以｛ａ ｎ ｝是以 １ 为首项，１ 为公比的等比数列， １ ｋ 为
４ ４ ｎ ｎ ｋ （ １ １ ｎ ｋ ｎ
＋ ＋ ｎ ｎ ｋ＝ ｋ （ ＋ － ）
故ａ １ ． 非零常数 ＋ ＋
ｎ＝ ｎ ）
４ { ( )}
ｎ １ ａ ( )
（ ２ ）证明：由（ １ ）得ｂ ｎ＝ ｎ ． ｌｏｇａ １＋ ｎ （ ＞ ｌｏｇａ １＋ ｎ １ ＝ｌｏｇａ（ ｎ ＋１）－ｌｏｇａ ｎ
４ 且ａ
ｎ ０， ≠１）
则Ｔ １ ２ ３ … ，
ｎ＝ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ＋ ｎ ① ｎ
４ ４ ４ ４ ２
１ Ｔ １ ２ ３ … ｎ ． （提醒：乘公比） { ２ ｎ } （２ ｎ －１）（２ ｎ ＋１ －１） ＝
４ ｎ＝ ４ ２ ＋ ４ ３ ＋ ４ ４ ＋ ＋ ４ ｎ ＋１ ② （２ ｎ －１）（２ ｎ ＋１ －１） １ １
æ ö ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＋１ －１
１ ç １ ÷
ｎ è１－ ｎø ｎ
得 ３ Ｔ １ １ １ … １ ４ ４ １ 例2 （ 广东执信、深外、育才等学校联考， ）已知正项数
①－② ｎ＝ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ＋ ｎ－ ｎ ＋１ ＝ － ｎ ＋１ ＝ ２０２４ １７
４ ４ ４ ４ ４ ４ １－
４
１ ４ ３ 列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 且ａ １＝１， ｎＳ ｎ ＋１＝（ ｎ ＋２） Ｓ ｎ ．
３ ｎ ＋４（易错警示：相减后一定要正确分析新数列的项数）． （１） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
－ ３×４ ｎ ＋１ 设ｂ ａｎ 若数列 ｃ 满足ｃ ｂ ｎ 求 ｃ 的
所以Ｔ ４ ３ ｎ ＋４． （２） ｎ＝２ ， ｛ ｎ｝ ｎ＝ （ ｂ ｎ－１）（ ｂ ｎ ＋１－１） ， ｛ ｎ｝
ｎ＝ － ｎ 前ｎ项和．
９ ９×４
１ ２６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
解析 （
１
） 因为 ｎＳ
ｎ ＋１ ＝
（ｎ
＋ ２
） Ｓ
ｎ
，且 ｎ
∈
Ｎ ，所以 例3 （
２０２０
课标
Ⅰ
文，
１６
，
５
分）数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
ｎ ＋２＋（－１）
ｎａ
ｎ＝
Ｓ ｎ ＋１ Ｓ ｎ ， ３ ｎ －１， 前 １６ 项和为 ５４０， 则ａ １＝ ７ ．
可 （ｎ 知 ＋１ 数 ）（ 列 ｎ { ＋２ ｎ ） （ ＝ ｎ Ｓ ＋ ｎ ｎ １ （ ） ｎ } ＋ 为 １ ） 常数列，且 １ Ｓ × １ ２ ＝ ａ ２ １ ＝ ２ １ ， ∴ ∴ ａ 前 解 ２＋ 析 １ ａ ６ ４ 项 ＝ 令 ５ 的 ，ａ ｎ 所 ６ ＝ ＋ 有 ２ ａ ｋ ８ 偶 （ ＝ ｋ １ 数 ∈ ７ ， 项 Ｎ ａ 和 １０ ） ＋ ， Ｓ ａ 则 １ 偶 ２＝ ＝ 有 ２ ５ ９ ＋ ａ ， ２ １ ｋ ａ ７ ＋２ １ ＋ ４ ＋ ＋ ２ ａ ９ ａ ２ １ ＋ ｋ ６ ＝ ４ ＝ １ ６ ４ ｋ ＝ １ － ９ ， １ ２ （ ， ｋ ∈ Ｎ ），
则 ｎ（ｎ Ｓ ｎ ）＝ １ ，即Ｓ ｎ＝ ｎ（ｎ ＋１ ） ， ∴ 前 １６ 项的所有奇数项和Ｓ 奇＝５４０－９２＝４４８ ，
＋１ ２
ｎ（
２
ｎ ） ｎ（ｎ ）
令 ｎ
＝ ２
ｋ
－１
（ｋ
∈
Ｎ ），则有 ａ
２ ｋ ＋１－
ａ
２ ｋ －１ ＝ ６
ｋ
－４
（ｋ
∈
Ｎ ）．
当ｎ 时，ａ Ｓ Ｓ ＋１ －１ ｎ， ａ ａ （ａ ａ ） （ａ ａ ） （ａ ａ ） … （ａ ａ ）
≥２ ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ － ＝ ∴ ２ ｋ ＋１－ １＝ ３－ １ ＋ ５－ ３ ＋ ７－ ５ ＋ ＋ ２ ｋ ＋１－ ２ ｋ －１ ＝２＋
２ ２ ｋ（ ｋ ）
且ａ
１＝１
也符合上式，所以ａ
ｎ＝
ｎ，ｎ
∈
Ｎ ．
８＋１４＋
…
＋６
ｋ
－４＝
２＋６ －４
＝
ｋ（
３
ｋ
－１
）（ｋ
∈
Ｎ ），
２
ｂ
（ ２ ） 由 （ １ ） 可 得 ｂ ｎ ＝ ２ ｎ， 则 ｃ ｎ ＝ （ｂ ）（ ｎ ｂ ） ＝ ∴ ａ ２ ｋ ＋１＝ ｋ（ ３ ｋ －１ ） ＋ ａ １ （ｋ ∈ Ｎ ），
ｎ－１ ｎ ＋１－１ ａ ａ ，ａ ａ ，ａ ａ ，ａ ａ ，ａ ａ ，ａ
ｎ ∴ ３＝２＋ １ ５＝１０＋ １ ７＝２４＋ １ ９＝４４＋ １ １１＝７０＋ １ １３＝
２ １ １ （利用指数式的运算特征进行拆 ａ ，ａ ａ ，
（ ｎ ）（ ｎ ＋１ ）＝ ｎ － ｎ ＋１ １０２＋ １ １５＝１４０＋ １
２ －１ ２ －１ ２ －１ ２ －１ 前 项的所有奇数项和Ｓ ａ ａ … ａ ａ
项）， ∴ １６ 奇＝ １＋ ３＋ ＋ １５＝８ １＋２＋１０＋２４＋
ａ ． ａ ．
设｛ｃ ｝的前ｎ项和为Ｔ ， ４４＋７０＋１０２＋１４０＝８ １＋３９２＝４４８∴ １＝７
ｎ ｎ 例4 （ 广东六校摸底考试， ）已知正项数列 ａ 满足
２０２４ １８ ｛ ｎ｝
则Ｔ ｃ ｃ … ｃ １ １ １ １ … １ １
ｎ＝ １＋ ２＋ ＋ ｎ＝ ２－１ － ２ ２ －１ ＋ ２ ２ －１ － ２ ３ －１ ＋ ＋ ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＋１ －１ ＝ ａ １００＝ １ ， 且ａ２ｎ ＋１＋２ ａ２ｎ ＋１ ａ ｎ＝ ａ２ｎ－２ ａ ｎ ＋１ ａ２ｎ ．
２０１
１－ ｎ ＋ １ １ ，所以｛ｃ ｎ ｝的前ｎ项和为 １－ ｎ ＋ １ １ ． （１） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
２ －１ ２ －１ ( )
方法总结 裂项相消法求和的基本步骤 设ｂ ｎ １ ｎ 求数列 ｂ 的前 ｎ项和Ｔ ．
（２） ｎ＝（－１） ａ ｎ ＋２ ， ｛ ｎ｝ ２ ２ ｎ
>+EM EMM+
=M
解析 （
１
）由ａ２ｎ
＋１＋２
ａ２ｎ
＋１
ａ
ｎ＝
ａ２ｎ－２ ａ
ｎ ＋１
ａ２ｎ ，
2 =M + M,
得ａ２ｎ
＋１－
ａ２ｎ＋２ ａ２ｎ
＋１
ａ
ｎ＋２
ａ
ｎ ＋１
ａ２ｎ＝ （ａ
ｎ ＋１＋
ａ
ｎ
）（ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＋２
ａ
ｎ ＋１
ａ
ｎ
）
＝０
．
因为ａ ，所以ａ ａ ，
K "+M,"U
ｎ＞０ ｎ ＋１＋ ｎ＞０
"M
+ KM, +OM 故ａ ａ ａ ａ ，则 １ １ ，
ｎ ＋１－ ｎ＋２ ｎ ＋１ ｎ＝０ ａ
ｎ
－ａ
ｎ
＝２
＋１
{ }
故 １ 是公差为 的等差数列，
题型 三 分组、并项求和 ａ ｎ ２
1.分组转化法求和应从通项入手 若无通项 则先求通项 然后 则 １ １ （ｎ ），由ａ １ ，得ａ １ ，
通过对通项变形 转化为等差数 ， 列或等比数 ， 列或可求前 ， ｎ项 ａ ｎ ＝ａ １ ＋２ －１ １００＝ ２０１ １＝ ３
，
故 １ ｎ ，于是ａ １ ．
和的数列求和． ａ ＝２ ＋１ ｎ＝ ｎ
ｎ ２ ＋１
分组转化法求和的常见类型 （ ）依题意，得ｂ （ ）ｎ（ ｎ ｎ）
： ２ ｎ＝ －１ ２ ＋１＋２ ＝
B O C O dD O [C O ] [D O ]0 （ ）ｎ（ ｎ ） （ ）ｎ，
! 0! －１ ２ ＋１ ＋ －２
[B O ] 3
故Ｔ
２ ｎ＝
ｂ
１＋
ｂ
２＋
…
＋
ｂ
２ ｎ＝
［
－３＋
（
－２
）］
＋
［
５＋
（
－２
）２］
＋
…
＋
［
４
ｎ
＋１＋
+
B
O
C
D
O
O
O
! （
－２
）２ ｎ］
O ［ … （ ｎ ）］ ［（ ） （ ）２ （ ）３ … （ ）２ ｎ］
＝ －３＋５－７＋ ＋ ４ ＋１ ＋ －２ ＋ －２ ＋ －２ ＋ ＋ －２
[C] [D]00!
O O ｛（ ） （ ） … ［ ｎ （ ｎ ）］｝ ［（ ）１ （ ）２
＝ －３＋５ ＋ －７＋９ ＋ ＋ －４ ＋１＋ ４ ＋１ ＋ －２ ＋ －２
2.并项求和：一个数列的前ｎ项和中 可以两两结合求解 则称 （ ）３ … （ ）２ ｎ］，（分组法求和）
， ， ＋ －２ ＋ ＋ －２
之为并项法求和 ， 形如ａ ｎ＝（－１） ｎｆ （ ｎ ） 的数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 即Ｔ ｎ －２ ［ １－ （ －２ ）２ ｎ］ ｎ ２ ２ ２ ｎ ＋１ ．
可采用并项法求解． ２ ｎ＝２ ＋ （ ） ＝２ － ＋
１－ －２ ３ ３
当ｎ 时 Ｓ ａ
学生用书P77 ≥２ ，４ ｎ －１＝３ ｎ －１＋４②，
由 得 ａ ａ ａ
（ 全国甲理， ， 分，易）记Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 ①－② ，４ ｎ＝３ ｎ－３ ｎ －１，
２０２４ １８ １２ ｎ ｛ ｎ｝ ， ａ ａ
已知 Ｓ ａ ．
∴ ｎ＝－３ ｎ －１，
４ ｎ＝３ ｎ＋４ ∴ 数列 ｛ ａ ｎ｝ 是首项为 ４， 公比为 －３ 的等比数列．
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； ∴ ａ ｎ＝４×（－３） ｎ －１．
（２） 设ｂ ｎ＝（－１） ｎ －１ｎａ ｎ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ． （２） 由 （１） 得ｂ ｎ＝（－１） ｎ －１ｎａ ｎ＝４ ｎ ·３ ｎ －１ ，
解析 （１）∵４ Ｓ ｎ＝３ ａ ｎ＋４①， ∴ Ｔ ｎ＝４×３ ０ ＋４×２×３ １ ＋４×３×３ ２ ＋…＋４（ ｎ －１）·３ ｎ －２ ＋４ ｎ ·３ ｎ －１ ③，
∴ 当ｎ ＝１ 时 ，４ Ｓ １＝４ ａ １＝３ ａ １＋４， 得ａ １＝４， ３ Ｔ ｎ＝４×３ １ ＋４×２×３ ２ ＋４×３×３ ３ ＋…＋４（ ｎ －１）·３ ｎ －１ ＋４ ｎ ·３ ｎ ④，
专题六 数列 １ ２７
③－④ 得 －２ Ｔ ｎ＝４＋４×３ １ ＋４×３ ２ ＋…＋４×３ ｎ －１ －４ ｎ ×３ ｎ ， 则Ｓ ２０＝ ａ １＋ ａ ２＋…＋ ａ ２０
Ｔ ３（１－３
ｎ －１
） ｎ ｎ ＝（
ａ
１＋
ａ
３＋…＋
ａ
１９）＋（
ａ
２＋
ａ
４＋…＋
ａ
２０）
∴ －２ ｎ＝４＋４· －４ ·３ ， ａ ａ ａ ａ ａ ａ
１－３ ＝［（ ２－１）＋（ ４－１）＋…＋（ ２０－１）］＋（ ２＋ ４＋…＋ ２０）
∴ －２ Ｔ ｎ＝４＋（２－４ ｎ ）·３ ｎ －６＝－２＋（２－４ ｎ ）３ ｎ ， ＝２（ ａ ２＋ ａ ４＋…＋ ａ ２０）－１０
Ｔ ｎ ｎ． ( )
∴ ｎ＝１＋（２ －１）３ ｂ ｂ ｂ ９×１０
考点 数列求和 学生用书P77 ＝２（ １＋ ２＋…＋ １０）－１０＝２× １０×２＋ ×３ －１０＝３００，
２
即 ａ 的前 项和为 ．
１．（多选）（ 新高考 ， ， 分，难）设正整数ｎ ａ ０ ａ ｛ ｎ｝ ２０ ３００
２０２１ Ⅱ１２ ５ ＝ ０·２ ＋ １·
４．（ 新高考 ， ， 分，中）已知公比大于 的等比数列
２ １ ＋…＋ ａ ｋ －１·２ ｋ －１ ＋ ａ ｋ·２ ｋ ， 其中ａ ｉ∈｛０，１｝， 记ω （ ｎ ）＝ ａ ０＋ ａ １＋… ２
ａ
０２０
满足ａ
Ⅰ
ａ
１８ １
ａ
２
．
１
＋
ａ
ｋ，
则
（
ＡＣＤ
）
｛ ｎ｝ ２＋ ４＝２０， ３＝８
求 ａ 的通项公式
ω ｎ ω ｎ （１） ｛ ｎ｝ ；
Ａ． （２ ）＝ （ ）
ω ｎ ω ｎ （２）
记ｂ
ｍ
为
｛
ａ
ｎ｝
在区间
（０，
ｍ
］（
ｍ
∈
Ｎ
）
中的项的个数
，
求数
Ｂ． （２ ＋３）＝ （ ）＋１
列 ｂ 的前 项和Ｓ ．
Ｃ． ω （８ ｎ ＋５）＝ ω （４ ｎ ＋３） ｛ ｍ｝ １００ １００
解析 已知数列 ａ 是公比大于 的等比数列 设公
ω ｎ ｎ （１） ｛ ｎ｝ １ ，
２． Ｄ （ ２ ． ０２ （ １ ２ 新 －１ 高 ） 考 ＝ Ⅰ ， １６ ， ５ 分，难）某校学生在研究民间剪纸艺术 比为ｑ ｑ 依题意有 {ａ １ ｑ ＋ ａ １ ｑ３ ＝２０，解得ａ ｑ 或ａ
时 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 （ ＞１）， ａ ｑ２ １＝２， ＝２ １
， ２０ １ ＝８，
的长方形纸 对折 次共可以得到
ｄｍ×１２ ｄｍ ， １ １０ ｄｍ×１２ ｄｍ， ｑ １ 舍 （注意：不要忽略公比大于 这一条件）
＝３２， ＝ （ ） １ ，
两种规格的图形 它们的面积之和Ｓ ２ ２
２０ ｄｍ×６ ｄｍ ， １＝２４０ ｄｍ ， 所以ａ ｎ 所以数列 ａ 的通项公式为ａ ｎ．
对折 次共可以得到 ｎ＝２ ， ｛ ｎ｝ ｎ＝２
２ ５ ｄｍ×１２ ｄｍ，１０ ｄｍ×６ ｄｍ，２０ ｄｍ×３ ｄｍ
三
对折
种规
４ 次
格
共
的
可
图
以
形
得
， 它
到
们
不
的
同
面
规
积
格
之
图
和
形
Ｓ
的
２＝
种
１８
数
０
为
ｄｍ
５
２ ，
；
以
如
此
果
类
对
推
折
．则
ｎ
（
所
２
以
） 由
ｂ
于
１ 对
２
应
１ ＝
的
２，
区
２ ２
间
＝
为
４，２
（
３
０
＝
，１
８
］
，
，
２
则
４ ＝
ｂ
１
１
６
＝
，２
０
５
；
＝３２，２ ６ ＝６４，２ ７ ＝１２８，
次 ， 那么 ∑ｋ＝ ｎ
１
Ｓ ｋ＝ ２４０× æ è ç ３－ ｎ
２
＋ ｎ ３ ö ø ÷ ｄｍ ２． ｂ 个 ２，
１
ｂ
；
３ 对应的区间分别为 （０，２］，（０，３］， 则 ｂ ２＝ ｂ ３＝１， 即有 ２
３．（ 新高考 ， ， 分，易）已知数列 ａ 满足ａ ａ ｂ ｂ ｂ ｂ 对应的区间分别为
２０２１ Ⅰ １７ １０ ｛ ｎ｝ １＝１， ｎ ＋１ ４， ５， ６， ７ （０，４］，（０，５］，（０，６］，（０，７］，
{ａ ｎ为奇数 则ｂ ｂ ｂ ｂ 即有 ２ 个
ｎ＋１， ， ４＝ ５＝ ６＝ ７＝２， ２ ２；
＝ ａ ｎ为偶数． ｂ ｂ ｂ 对应的区间分别为 则
ｎ＋２， ８， ９，…， １５ （０，８］，（０，９］，…，（０，１５］，
记ｂ ａ 写出ｂ ｂ 并求数列 ｂ 的通项公式 ｂ ｂ ｂ 即有 ３ 个
（１） ｎ＝ ２ ｎ， １， ２， ｛ ｎ｝ ； ８＝ ９＝…＝ １５＝３， ２ ３；
求 ａ 的前 项和． ｂ ｂ ｂ 对应的区间分别为
（２） ｛ ｎ｝ ２０ １６， １７，…， ３１ （０，１６］，（０，１７］，…，
解析 由题设可得 ａ ａ ａ ａ ｋ 则ｂ ｂ ｂ 即有 ４ 个
（１） ２ ｋ ＋２ ＝ ２ ｋ ＋１＋１， ２ ｋ ＋１ ＝ ２ ｋ＋２（ ∈ （０，３１］， １６＝ １７＝…＝ ３１＝４， ２ ４；
Ｎ
），
故ａ
２ ｋ ＋２＝
ａ
２ ｋ＋３，
即ｂ
ｎ ＋１＝
ｂ
ｎ＋３，
ｂ
３２，
ｂ
３３，…，
ｂ
６３
对应的区间分别为
（０，３２］，（０，３３］，…，
即ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ＝３， ｂ １＝ ａ ２＝ ａ １＋１＝２， ｂ ２＝ ｂ １＋３＝５， （０，６３］， 则ｂ ３２＝ ｂ ３３＝…＝ ｂ ６３＝５， 即有 ２ ５ 个 ５；
所以 ｂ 是首项为 公差为 的等差数列 ｂ ｂ ｂ 对应的区间分别为
｛ ｎ｝ ２， ３ ， ６４， ６５，…， １００ （０，６４］，（０，６５］，…，
故ｂ ｎ ｎ ． 则ｂ ｂ ｂ 即有 个 ．
ｎ＝２＋（ －１）×３＝３ －１ （０，１００］， ６４＝ ６５＝…＝ １００＝６， ３７ ６
（２） 当ｎ为奇数时 ， ａ ｎ＝ ａ ｎ ＋１－１ ． 所以Ｓ １００＝１×２＋２×２ ２ ＋３×２ ３ ＋４×２ ４ ＋５×２ ５ ＋６×３７＝４８０ ．
设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ
｛ ｎ｝ ｎ，
学生用书P78 所以ａ
ｎ＝
ｎ
＋
１
，
ｎ
∈
Ｎ ．
１．（ 浙江杭州二模， ）设数列 ａ ｂ 满足ａ ｂ ａ ２
２０２４ ５ ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ １＝ １＝１， ｎ＋
ｂ ｎ ＋１＝２ ｎ ， ａ ｎ ＋１＋ ｂ ｎ＝２ ｎ．设Ｓ ｎ 为数列 ｛ ａ ｎ＋ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项的和 ， 则 （２） 由 （１） 知ａ ｎ＝ ｎ ＋
２
１ ，
Ｓ Ａ
７＝ （ ） 所以 １ １ １ １ ２ ２
ａ ａ ＝( )( ) ＝ － ＝ ｎ － ｎ ，
Ａ．１１０ Ｂ．１２０ Ｃ．２８８ Ｄ．３０６ ｎ ｎ ＋１ ｎ １ ｎ ３ ｎ １ ｎ ３ ２ ＋１ ２ ＋３
２．（ 浙江金丽衢十二校第二次联考， ）已知等差数列 ａ ＋ ＋ ＋ ＋
２０２４ １５ ｛ ｎ｝ ２ ２ ２ ２
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
且
２
Ｓ
ｎ＝２
ａ
ｎ＋
ｎ２
－１
．
所以Ｔ ｎ＝ａ １ ａ ＋ａ １ ａ ＋…＋ａ ａ １ ＝ ２ － ２ ＋ ２ － ２ ＋…＋ ｎ ２ －
（１） 求ａ ｎ； １ ２ ２ ３ ｎ ｎ ＋１ ３ ５ ５ ７ ２ ＋１
{ }
２ ２ ２ ．
（２） 求数列 ａ ｎ ａ １ ｎ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ． ２ ｎ ＋３ ＝ ３ － ２ ｎ ＋３
＋１ ３．（ 江苏南通、徐州大联考， ）已知正项数列 ａ 的前 ｎ
解析 （１） 因为 ２ Ｓ ｎ＝２ ａ ｎ＋ ｎ２ －１，① ２０２４ １５ ｛ ｎ｝
所以当ｎ ≥２ 时 ，２ Ｓ ｎ －１＝２ ａ ｎ －１＋（ ｎ －１） ２ －１，②
项和
求
为
数
Ｓ
列
ｎ，
且
ａ
４
Ｓ
的
ｎ＝
通
（
ａ
项
ｎ＋
公
１）
式
２．
（１） ｛ ｎ｝ ；
得 ａ ａ ａ ｎ 整理得ａ ｎ １ ｎ
①－② ２ ｎ＝２ ｎ－２ ｎ －１＋２ －１， ｎ －１＝ － ２ ， ≥２， （２） 若ｂ ｎ＝ ａ ｎ· ａ ２ ｎ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
１ ２８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
解析 （１） 因为 ４ Ｓ ｎ＝（ ａ ｎ＋１） ２ ， 当ｎ ＝１ 时 ，２ Ｓ １＝２ ａ １＝ ａ １＋ ａ２ １， 可得ａ １＝１ ． （２ 分 ）
所以当ｎ ≥２ 时 ，４ Ｓ ｎ －１＝（ ａ ｎ －１＋１） ２ ， 当ｎ ≥２ 时 ，２（ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１）＝２ ａ ｎ＝ ａ ｎ＋ ａ２ｎ－ ａ ｎ －１－ ａ２ｎ －１， （４ 分 ）
所以 ４ ａ ｎ＝（ ａ ｎ＋１） ２ －（ ａ ｎ －１＋１） ２ ＝ ａ２ｎ－ ａ２ｎ －１＋２ ａ ｎ－２ ａ ｎ －１， 则ａ ｎ＋ ａ ｎ －１＝ ａ２ｎ－ ａ２ｎ －１＝（ ａ ｎ＋ ａ ｎ －１）（ ａ ｎ－ ａ ｎ －１），
整理 得 ａ ａ ａ ａ ａ ａ 由ａ ａ 得ａ ａ 分
， ２ ｎ＋２ ｎ －１＝（ ｎ－ ｎ －１）（ ｎ＋ ｎ －１）， ｎ＋ ｎ －１＞０， ｎ－ ｎ －１＝１， （６ ）
因为ａ 所以 ａ 是首项为 公差为 的等差数列 故ａ ｎ． 分
ｎ＞０， ｛ ｎ｝ １， １ ， ｎ＝ （７ ）
所以ａ ａ ( )
ｎ－ ｎ －１＝２， 原式等价于 １ ｎ ４ ｋ
所以数列 ａ 是公差为 的等差数列． （２） ＋ ｎ ≤ ，
｛ ｎ｝ ２ ２
( )
当ｎ ＝１ 时 ，４ Ｓ １＝４ ａ １＝（ ａ １＋１） ２ ， 因为 １ ｎ
＋ ｎ
４
≥２，
当且仅当ｎ
＝２
时
“＝”
成立
，
解得ａ ２
１＝１，
所以ｂ ｂ 分
所以数列
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式为ａ
ｎ＝２
ｎ
－１
． １＝０， ２＝１， （９ ）
ｋ ｋ
（２） 由 （１） 得ｂ ｎ＝ ａ ｎ· ａ ２ ｎ＝（２ ｎ －１）（２ ｎ ＋１ －１）＝（２ ｎ －１）２ ｎ ＋１ －（２ ｎ 当ｋ ≥３ 时 ， 因为２ －１ ＋ ｋ ２ ＝ ｋ － １ ＋ ｋ ２ ＜ ｋ ， ２ ＋ ２ ｋ＝ ｋ ＋ １ ｋ
２ ２ －１ ２ ２ －１ ２ ２
－１）， ｋ
ｎ ｎ ＞ ，
记Ａ ｎ＝∑ｉ＝
１
（２ ｉ －１）２ ｉ ＋１ ， Ｂ ｎ＝∑ｉ＝
１
（２ ｉ －１）， 所以能使 ｎ
＋ ｎ
２
≤
ｋ成立的ｎ的最大值为
２
ｋ
－１，
ｎ ２
则Ｂ
ｎ＝∑ｉ＝ （２
ｉ
－１）＝
ｎ２
，
所以ｂ
ｋ＝２
ｋ
－１（
ｋ
≥３）， （１３
分
）
１
ｎ ｎ 所以 ｂ 的前 项和为 （５＋９９）×４８
因为Ａ ｎ＝∑ｉ＝
１
（２ ｉ －１）２ ｉ ＋１ ，２ Ａ ｎ＝∑ｉ＝
１
（２ ｉ －１）２ ｉ ＋２ ， ｛ ｋ
．
｝ ５０ ０＋１＋５＋７＋…＋９９＝０＋１＋ ２
分
所以 － Ａ ｎ＝２ ２ ＋２（２ ３ ＋２ ４ ＋…＋２ ｎ ＋１ ）－（２ ｎ －１）２ ｎ ＋２ ３．（ ＝２４９７ 山东聊城二模， ）已知数列 ａ ｂ 满足ａ （１５ ｂ ）
ｎ ｎ ＋２ ２０２４ １７ ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ２ ｎ －１＝ ２ ｎ －１
＝－（２ －３）２ －１２， ｍ ａ ｍｂ ｍ 为常数 若 ａ 为等差数列 且 ｂ ｂ
所以Ａ ｎ＝（２ ｎ －３）２ ｎ ＋２ ＋１２， ＋１２ ｂ ， ｂ ２ ｎ＝ ａ ２ ｎ， ｂ ． ， ｛ ｎ｝ ， ４－ ２＝
所以Ｔ ｎ＝ Ａ ｎ－ Ｂ ｎ＝（２ ｎ －３）２ ｎ ＋２ ＋１２－ ｎ２． ２（ ３ 求 － ｍ １） 的 ＝２ 值 （ 及 １＋ ａ １）＝ 的 ８ 通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ；
学生用书P78 （２） 求 ｛ ｂ ｎ｝ 的前 ２ ｎ项和Ｓ ２ ｎ ．
１．（ ２０２４ 广东汕头一模， １５ ）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 和 ｛ ｂ ｎ｝， 其中ｂ ｎ＝２ ａｎ ， 解析 （１） 由题意知ｂ ４－ ｂ ２＝８， ｂ ３－ ｂ １＝４， ａ １＋ ｂ １＝４， （１ 分 ）
ìａ ｂ ｍ
ｎ
∈
Ｎ
，
数列
｛
ａ
ｎ＋
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ
． ï １＝ １＋１２ ，
ïａ ｍｂ
（１） 若ａ ｎ＝２ ｎ ， 求Ｓ ｎ； ï ２＝ ２，
（２） 若Ｓ ｎ＝３ ｎ ， 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 和 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式． 因为ａ ２ ｎ －１＝ ｂ ２ ｎ －１＋１２ ｍ ， ａ ２ ｎ＝ ｍｂ ２ ｎ， 所以í ï ａ ３＝ ｂ ３＋１２ ｍ ，
解析 （１） 当ａ ｎ＝２ ｎ时 ，｛ ａ ｎ｝ 是首项为 ２， 公差为 ２ 的等差 ï ï ａ ４＝ ｍｂ ４，
数列． 分 îａ ｂ ａ ｍ
（１ ） １＋ １＝２ １－１２ ，
又ｂ ｎ＝２ ２ ｎ ＝４ ｎ ， 所以 ｛ ｂ ｎ｝ 是首项为 ４， 公比为 ４ 的等比数列 ， （２ 分 ）
分 设等差数列 ａ 的公差为ｄ
（２ ） ｛ ｎ｝ ，
从而Ｓ ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ 分 ìｄ
ｎ＝（ １＋ ２＋…＋ ｎ）＋（ １＋ ２＋…＋ ｎ） （３ ） ï ＝２，
ｎ （２＋２ ｎ ） ４×（１－４ ｎ ） ì ï ï ａ ３－ ａ １＝ ｂ ３－ ｂ １＝４＝２ ｄ ， ï ïｍ １
＝ ＋ 则íａ ａ ｍ ｂ ｂ ｍ ｄ 解得í ＝ ， 分
＝ ４ ｎ ＋１ ＋
２
ｎ２ ＋ ｎ － ４
１
．
－４
（６ 分 ） î
ïï
ａ
４
１
－
＋ ｂ １
２
＝
＝
２ ａ
（
１－
４
１
－
２ ｍ
２）
＝
＝
４
８
，
＝２ ，
î
ï
ï ï ｂ ａ １＝－
２
． １，
（５ ）
３ ３ １＝５
（２） 当ｎ ≥２ 时 ， ａ ｎ＋ ｂ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝３， （７ 分 ） 所以ａ ｎ＝５＋（ ｎ －１）×２＝２ ｎ ＋３，
当ｎ 时 ａ ｂ Ｓ 满足上式 分
＝１ ， １＋ １＝ １＝３， ， （８ ） 所以ｍ的值为 １ ａ 的通项公式为ａ ｎ ． 分
故ａ
ｎ＋
ｂ
ｎ＝３（
ｎ
∈
Ｎ
），
即ａ
ｎ＋２
ａｎ
＝３， （９
分
） ２
，｛ ｎ｝ ｎ＝２ ＋３ （７ ）
令ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 在Ｒ上单调递增 且ｆ 分 由 知 ａ ｎ ｂ ａ ｂ ａ 分
（ ）＝ ＋２ ， （ ） ， （１）＝３， （１１ ） （２） （１） ， ｎ＝２ ＋３， ２ ｎ －１＝ ２ ｎ －１－６， ２ ｎ＝２ ２ ｎ， （８ ）
从而ａ 分 所以Ｓ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ
ｎ＝１， （１２ ） ２ ｎ＝（ １＋ ３＋ ５＋…＋ ２ ｎ －１）＋（ ２＋ ４＋ ６＋…＋ ２ ｎ）
则ｂ ａ ． 分 ａ ａ ａ ａ ｎ ａ ａ ａ ａ
ｎ＝３－ ｎ＝２ （１３ ） ＝（ １＋ ３＋ ５＋…＋ ２ ｎ －１－６ ）＋２（ ２＋ ４＋ ６＋…＋ ２ ｎ）
２．（ 山东日照一模， ）已知各项均为正数的数列 ａ 的前 ｎ ａ ａ ｎ ａ ａ ｎ ｎ
２０２４ １６ ｛ ｎ｝ （ １＋ ２ ｎ －１） ｎ （ ２＋ ２ ｎ） （５＋４ ＋１） ｎ ｎ ｎ
ｎ项和为Ｓ
ｎ，
且ａ
ｎ，
Ｓ
ｎ，
ａ２ｎ 为等差数列． ＝
２
－６ ＋２×
２
＝
２
－６ ＋ （７＋４ ＋
（１） 求ａ １ 及 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； ３）＝６ ｎ２ ＋７ ｎ．
{ } 所以
｛
ｂ
ｎ｝
的前
２
ｎ项和Ｓ
２ ｎ＝６
ｎ２
＋７
ｎ．
（１５
分
）
（２）
记集合 ａ
ｎ
ａ
ｎ＋ａ
４
ｎ ≤２
ｋ
，
ｋ
∈
Ｎ 的元素个数为ｂ
ｋ，
求数
学生用书P79
列 ｛ ｂ ｋ｝ 的前 ５０ 项和． 新定义理解 （ ２０２４ 湖南长沙雅礼中学一模， １９ ）约数 ， 又称因
解析 （１） 因为ａ ｎ， Ｓ ｎ， ａ２ｎ 为等差数列 ， 数．它的定义如下 ： 若整数ａ除以整数ｍ （ ｍ ≠０） 除得的商正好
所以
２
Ｓ
ｎ＝
ａ
ｎ＋
ａ２ｎ， 且ａ
ｎ＞０，
是整数而没有余数
，
我们就称ａ为ｍ的倍数
，
ｍ为ａ的约数．设
专题六 数列 １ ２９
正整数ａ共有ｋ个正约数 即为 ａ ａ ａ ａ ａ ａ 因此可知ａ 是完全平方数．
， １， ２，…， ｋ －１， ｋ（ １＜ ２＜…＜ ３
ａ ． 由于ａ 是整数ａ的最小非 因子 ａ 是ａ的因子 且ａ ａ 所
ｋ） ２ １ ， ３ ， ３＞ ２，
（１） 当ｋ ＝４ 时 ， 若正整数ａ的ｋ个正约数构成等比数列 ， 请写出 以ａ ３＝ ａ２ ２， 所以ａ ２－ ａ １， ａ ３－ ａ ２，…， ａ ｋ－ ａ ｋ －１ 为ａ ２－ ａ １， ａ２ ２－ ａ ２，…， ａ ２ ｋ －１
一个ａ的值 ； － ａ ２ ｋ －２ ， 所以ａ ＝ ａ ２ ｋ －１ （ ｋ ≥４） ．
（２） 当ｋ ≥４ 时 ， 若ａ ２－ ａ １， ａ ３－ ａ ２，…， ａ ｋ－ ａ ｋ －１ 构成等比数列 ， 求正 （３） 证明 ： 由题意知ａ １ ａ ｋ＝ ａ ， ａ ２ ａ ｋ －１＝ ａ ，…， ａ ｉ ａ ｋ ＋１－ ｉ＝ ａ ，…，（１≤ ｉ
整数ａ
（
结果用ａ
２
表示
）； ｋ 所以Ａ
ａ２ ａ２ ａ２
（３）
记Ａ
＝
ａ
１
ａ
２＋
ａ
２
ａ
３＋…＋
ａ
ｋ －１
ａ
ｋ，
求证
：
Ａ
＜
ａ２． ≤ ） ＝ａ
ｋ －１
ａ
ｋ
＋ａ
ｋ －２
ａ
ｋ －１
＋…＋ａ
１
ａ
２
，
解析 当ｋ 时 正整数ａ的 个正约数构成等比数列 ａ ａ ａ ａ
（１） ＝４ ， ４ ， 因为 １ ２－ １ １ １ １ ｋ－ ｋ －１ １ １
比如 １，２，４，８ 为 ８ 的所有正约数 ， 即ａ ＝８ ． ａ １ ａ ２ ≤ａ １ ａ ２ ＝ａ １ －ａ ２ ，…，ａ ｋ －１ ａ ｋ ≤ａ ｋ －１ ａ ｋ ＝ａ ｋ －１ －ａ ｋ ，
ａ ａ ａ２ ａ２ ａ２ æ
（２）
由题意可知ａ
１＝１，
ａ
ｋ＝
ａ
，
ａ
ｋ －１＝ａ ，
ａ
ｋ －２＝ａ ，
所以 Ａ
＝ａ ａ ＋ａ ａ ＋…＋ａ ａ ＝
ａ２
è
ç
ａ
１
ａ ＋ａ
１
ａ ＋…＋
２ ３ ｋ －１ ｋ ｋ －２ ｋ －１ １ ２ ｋ －１ ｋ ｋ －２ ｋ －１
ａ ö ( ) ( )
ａ
ａ ａ ａ ａ ａ ａ －ａ １ ÷ ａ２ １ １ １ １ １ １ ａ２ １ １
因为ｋ ３－ ２ ｋ－ ｋ －１ 所以 ３－ ２ ２ 化简可得 ａ ａ ø≤ ａ －ａ ＋ａ －ａ ＋…＋ａ ｋ －ａ ｋ ＝ ａ －ａ ｋ ，
≥４，ａ ａ ＝ａ ａ ， ａ ａ ＝ ａ ａ ， １ ２ １ ２ ２ ３ －１ １
２－ １ ｋ －１－ ｋ －２ ２－ １
ａ －ａ 因为ａ ａ ａ 所以 １ １
æａ ａ ö２
２ ３ １＝１， ｋ＝ ， ａ
１
－ａ
ｋ
＜１，
ａ ａ ２ ａ ２ａ 所以ａ ç ３－ ２÷ ( )
（ ３－ ２） ＝（ ２－１） ３， ３＝èａ ø ， 所以Ａ ａ２ １ １ ａ２ 即Ａ ａ２．
２－１ ≤ ａ －ａ ＜ ， ＜
ｋ
ａ ａ １
因为ａ Ｎ 所以 ３－ ２ Ｎ
３∈ ， ａ ∈ ，
２－１
