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第 04 讲 数列求和
(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ，
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
由于 ，故原式
.
2．（2022·海南华侨中学高二期中）数列 的前2022项和等于（ ）
A． B．2022 C． D．2019
【答案】B
解：设数列 的前 项和为 ，
当 为奇数时 ，
当 为偶数时 ，
所以
.
故选：B
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列 满足 ，且 ，
，则 （ ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
∵ ，即 ，则∴数列 是以首项 ，公差 的等差数列
则 ，即
∴
则
故选：B．
4．（2022·江苏常州·高二期中）已知数列 满足 ，则数列 的最小值
是
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】B
因为数列 中， ，所以 ， ，
， ，上式相加，可得
，所以 ，所以
，当且仅当 ，即 时，等式相等，故选B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
因为函数 满足 ，
①，
②，
由① ②可得 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，其前20项和为 .
故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）数列 的前10项和为( )
A． B． C． D．
【答案】C
∴其前10项和为：
．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 的前n项和为 ，则此数列奇数项的前m项
和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当 时， ，因为当n=1时， 不满足，所以数列 从第
二项开始成等比数列，又 ，
则数列 的奇数项构成的数列的前m项和 .
故选:B.
8．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知数列 满足 ， ，用 表示不超过 的最大整
数，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
由 ， 可得 ， ， ， ，则数列 是递增数列， ，则 ，则 .
故选：B.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）公差为d的等差数列 满足 ， ，则下面结
论正确的有（ ）
A．d＝2 B．
C． D． 的前n项和为
【答案】ABD
由题意得，
，即 ，
解得 ，所以 ，故A、B正确；
得 ，
故 ，故C错误；
所以数列 的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD.
10．（2022·广东·执信中学高二期中）已知数列 满足 ，对任意 且 恒有
成立，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等差数列
C． 为递减数列 D．
【答案】BCD
因为 ，故可得 ，则 ，
故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ，；
对 ：因为 不是常数，故数列 不是等差数列，故 错误；
对 ：由上述推导可知，数列 是等差数列，故 正确；
对 ：因为 ，对任意的 ，都有 ，
即 ，故数列 是递减数列，故 正确；
对 ： ，
故 ，
则 ，
，
故可得 ，故 正确.
故选： .
三、填空题
11．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的
，总有 ， ， 成等差数列，又记 ，数列 的前 项和 ______．
【答案】
由对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列可得：
，
当 时可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由数列 的各项均为正数，
所以 ，
又 时 ，所以 ，
所以 ，
，.
故答案为： .
12．（2022·浙江·模拟预测）在数列 中， 为 的前n项和，则
的值为___________.
【答案】2
解：因为 ，
所以 .
故答案为：2.
四、解答题
13．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））已知数列 的前n项和为 ， ，
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)由 得：
即 ，
所以数列 为等差数列，
由 得 ，
设公差为d， ，得 ，
所以 ，
故数列 的通项公式为 ．
(2) ，
所以 ．
14．（2022·四川·威远中学校高一阶段练习（文））已知数列 满足 ， ，
令(1)求证： 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明： ，
，①
②
①-②得，
经检验，当 时上式也成立，
即 .
所以
即 ，且 .
所以 是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)由（1）得 ， .
所以 ，
两式相减，得
，
B 能力提升
1．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列 满足 ，则数
列 的前2022项的和为___________.
【答案】
由题意可知，满足 ，
当 时， ，
，以上各式累加得，.
，
当 时， 也满足上式，∴ ，则 .
∴数列 的前n项和为 ，
∴ .
故答案为： .
2．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））设函数 ， ，
．则数列 的前n项和 ______．
【答案】
由题设， ，
所以 ，
即 且n ≥ 2，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为： .
3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））设数列 的前n项和为 ，已知
，则 _________.
【答案】960
由 ，
当n为奇数时，有 ；当n为偶数时， ，
∴数列 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则，
故答案为：960.
4．（2022·全国·高二课时练习）数列 满足 ，则该数列从第5项到第15项的和为
______．
【答案】1504
设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
，
故 ，
，
数列 从第5项到第15项的和：
，
故答案为：1504．
5．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）等比数列 中，首项 ，前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)设数列 公比为 ，由 ， ，
可得 ，化简得 ，
即 ，所以 ．
(2)由（1）得 ，所以
所以
..
6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）已知数列{an}的前n项和为 ， ，
数列{bn}满足b＝1，点P（bn，bn ）在直线x﹣y+2＝0上．
1 +1
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和Tn；
(3)若 ，求对所有的正整数n都有 成立的k的取值范围．
【答案】(1) ，bn＝2n﹣1 (2) (3)
(1)因为 ①，
当n＝1时，解得 ．
当n≥2时， ②，
①﹣②得 ，
整理得 ，即 ，
所以数列{an}是以 为首项，2为公比的等比数列；
所以 ．
数列{bn}满足b＝1，点P（bn，bn ）在直线x﹣y+2＝0上．
1 +1
所以bn ﹣bn＝2（常数），
+1
所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝2n﹣1 ．
(2)由（1）得
则 ①，
②，①﹣②得 ，
整理得 ．
(3)由（1）得 ，
所以 ，
所以数列 为单调递减数列，
所以 ，即 的最大值为1，
因为对所有的正整数n都有 都成立，
所以 ，可得 ，
所以 恒成立，只需满足 即可，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故k＜2，则k的取值范围为 ．
C 综合素养
1．（2022·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方
形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，
记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 恒成立，则
n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为 ，第2代“勾股树”中，正方形的个数为 ，
…，以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以数列 为递增数列，
又 ， ，
所以n的最小值为9．
故选：C．
2．(多选）（2022·安徽·六安一中高二期中）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中
提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．
从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为 ，如： 的前n项和记
为 ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为 ， 的
前n项和记为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 的前n项和为
C． D．
【答案】ABD
从第一行开始，每一行的数依次对应 的二项式系数，所以 ，
为等比数列， ，所以 ，故A正确；
，
所以 的前n项和为
，故B正确；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3……构成一个等差数列，项数之和为， 的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在 中去掉， 取的
就是第12行的第2项， ，故C错误；
，这11行中共去掉了22个1，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了
一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足
，若存在 使不等式 成立，则
的取值范围是______.
【答案】
因为 ，
所以 ，
由 ，
，
所以 ，所以 ，
所以由 ，得 ，
，
，
所以 ，
令 ，（ ）则当 ， 递减，当 时， 递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为：
4．（2022·辽宁·高二阶段练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其
中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段 ，取 的中点 ，以 为边作等边三角形（如图
①），该等边三角形的面积为 ，在图①中取 的中点 ，以 为边作等边三角形（如图②），图②
中所有的等边三角形的面积之和为 ，以此类推，则 ___________； ___________.
【答案】 ； ．
依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为 ，首项为 ，所以
，即 ；
，而 ，设
，
，作差得：
，所以 ，所以
．故答案为： ； ．
