文档内容
第 05 讲 数列求和
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：数列求和常用方法.............................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：通项分析法............................................................................................................................9
题型二：公式法..................................................................................................................................11
题型三：错位相减法..........................................................................................................................13
题型四：分组求和法..........................................................................................................................18
题型五：裂项相消法之等差型..........................................................................................................20
题型六：裂项相消法之根式型..........................................................................................................25
题型七：裂项相消法之指数型..........................................................................................................27
题型八：裂项相消法之三角型..........................................................................................................32
题型九：倒序相加法..........................................................................................................................36
题型十：分段数列求和......................................................................................................................38
题型十一：并项求和法之a +(−1) na =kn+b型...........................................................................42
n+1 n
题型十二：并项求和法之a =(−1) nf(n)型......................................................................................45
n
题型十三：先放缩后裂项求和..........................................................................................................48
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................53
05课本典例·高考素材........................................................................................................................57
06易错分析·答题模板........................................................................................................................60
易错点：用错位相减法求和时项数处理不恰当出错......................................................................60
答题模板：错位相减法求前n项和..................................................................................................61考点要求 考题统计 考情分析
高考对数列求和的考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度均
（1）公式法
变化不大．数列的求和主要考查等
（2）奇偶讨论、并项分类 2023年甲卷（理）第17题，12分
差、等比数列的前 项和公式及非等
（3）倒序相加法 2023年II卷第18题，12分
差、等比数列的求和方法，其综合性
（4）裂项相消法 2023年I卷第20题，12分
较强．数列求和问题以解答题的形式
（5）错位相减法
为主，偶尔出现在选择填空题当中，
常结合函数、不等式综合考查．
复习目标：
（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知识点1：数列求和常用方法
一．公式法
（1）等差数列 的前n项和 ，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列 的前n项和 ，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
① ；
② ；
③ ；
④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和
时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n
项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那
么求这个数列的前 项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那
么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法求解．
【诊断自测】已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，数列 的前 项和为 ，定义 为不超过 的最大整数，例如 ，
，求数列 的前 项和 ．
（说明： ）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，解得： ，
.
（2）由（1）得： ，
，
；
则当 时， ；当 时， ；
当 时，
；
综上所述： .
解题方法总结
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ，设 ，易得 ，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4） ，则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
；（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
题型一：通项分析法
【典例1-1】观察如下规律： ，该组数据的前 项和为
.
【答案】45
【解析】设数列 是等差数列，且 ，
则题中数列的和可以看成 ，
又因为题中数列的项数等于数列 的前 项和，
所以 ，
故题中数列的前 项的和为 .
故答案为： .
【典例1-2】求和 ．
【解析】∵，
∴ ．
【方法技巧】
先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前 项和问题应该强化的意识．
【变式1-1】数列9，99，999， 的前 项和为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 数列通项 ，
．
故选： ．
【变式1-2】求数列1， ， ， ， ， 的前 项之和．
【解析】由于 ，
所以前 项之和
．
【变式1-3】（2024·上海徐汇·模拟预测）如图，在杨辉三角中，斜线 上方，从1开始箭头所示的数
组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 项和为 ，则 等于 ．【答案】283
【解析】 ， ， ，…， ，
而 ， ， ，…， ，
前19项的和
．
故答案为：283．
题型二：公式法
【典例2-1】（2024·湖北黄冈·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 对一切正整
数 恒成立.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， 与 两式相减得 .
∵数列是等比数列，∴公比 ， .
又 ，∴ ，
∴
（2）∵由 得 ，
∴
【典例2-2】（2024·高三·四川·学业考试）已知等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式 ；(2)设 ，求 的前 项和 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ,
所以 ，即 ；
（2）由（1）可知， ，
所以 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 的前 项和 .
【方法技巧】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式
求解．
【变式2-1】已知等差数列 的前四项和为10，且 成等比数列
(1)求通项公式
(2)设 ，求数列 的前 项和
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，
又 成等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，得 或 ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ，得 ， ， .
综上所述： 或 .
（2）若 ，则 ， ；
若 ，则 ， .【变式2-2】已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ，若
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设由 ， 的公共项构成的新数列记为 ，求数列 的前5项之和 ．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
因为
则 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ．
（2）设数列 的第 项与数列 的第 项相等，
则 ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，则 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，当 时，
当 时， ，则 ，当 时，
当 时， ，则 ，
故 的前5项之和 ．题型三：错位相减法
【典例3-1】设 为数列 的前 项和，且 .
(1) 为何值时， 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， ，即 ，所以 ，
当 时， ①， ②，
① ②得： ，即 ，所以 ，
所以，当 时， 是等比数列，首项为6，公比为3.
（2）由第（1）问得， ，所以 ，
所以 ，
，
故
所以 .
【典例3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设 的公差为 ，则 ， ，
解得 ， .
故 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，①
则 ，②① ②，得
，
所以 .
【方法技巧】
错位相减法求数列 的前n项和的适用条件
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{a·b}的前n项和 ．
n n
【变式3-1】（2024·青海海南·二模）已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 是等比数列，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）
由 是等比数列，设公比为 ，则由 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故由 得 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ，当 时， .
当 时， .经检验 不适合 ，
所以 ，所以 ，
则数列 的前 项和 ，
，
两式相减可得 ，
所以 .
【变式3-2】已知在等差数列 中，公差大于0， ，且 ， ， 成等比数列，数列
的前 项和为 .(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 .
因为 ， ， 成等比数列，得 ，又因为 ，
则 ，解得 （舍去）或 ，
则数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，①
则 ，②
- 得
① ②
，
所以 .
【变式3-3】（2024·浙江·三模）已知等比数列 和等差数列 ，满足 ， ，
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
【解析】（1）等比数列 满足 ， ，所以 单调递增，
设 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，依题意可得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ， ．
（2）由（1）可得 ，
所以所以 ，
故 ，
又 ， ，
即 ，
所以
．
【变式3-4】（2024·河北衡水·三模）已知数列 满足： ．
(1)请写出 的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 ，可得 ，
， ，
因此猜想 是以1为首项， 为公比的等比数列；
下面证明：
因为 ，即 ，
又因为 ，故 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知，当 时， ，
累加得 ，所以 ，
当 时， 满足题意，所以 对 成立；
故 ，可得
其中 ，
设 ，则 ，
两式相减得 ，即 ，
综上可得，数列 的前 项和 ．
题型四：分组求和法
【典例4-1】已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
【解析】（1）当 时， ，整理得 ，又 ，
得
则数列 是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则
（2）当 时，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，则
【典例4-2】在等比数列{ }中， ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前n项和Sn．
【解析】（1）由题设 ， ，则 的公比 ，
所以 .
（2）由（1）知： ，
所以 .
【方法技巧】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列
或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
【变式4-1】在递增的等比数列 中， ， ，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）由 ，等比数列 是递增数列，得 ，因此数列 的公比 ，则 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）得， ，
.
【变式4-2】等比数列 的公比为2，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）已知等比数列 的公比为2，且 成等差数列，
， ， 解得 ，
；
（2） ，
.
；
综上，
【变式4-3】已知等差数列 满足 （ ），数列 是公比为3的等比数列，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 和 中的项由小到大组成新的数列 ，记数列 的前n项和为 ，求 ．
【解析】（1） ，①， （ ），②，
得： ，
∵ 为等差数列，∴ ， ，
，即 ，
∴ ，
因为数列 是公比为3的等比数列， ，
即 ，解得： ，
所以 ；（2）由（1）可知， ， ，
且数列 和 中的项由小到大组成新的数列 ，
其中 ， ，此时 ，
所以数列 中数列 有 项，数列 有 项，
，
．
题型五：裂项相消法之等差型
【典例5-1】已知公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由 ，有 ，①
又由 ，有 ，②
① ②得 ，
整理为 ，解得 或 ，
由 ，可得 ，
可得数列 的通项公式为 ；
（2）由 ，
有 ，
所以
．
【方法技巧】
（1）（2）
（3）
（4）
（5）
【典例5-2】已知数列 ，其中数列 是等差数列，且满足 ， ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
又数列 是等差数列，所以 的公差 ，
故数列 的通项公式 ，
所以 ，
即 的通项公式 ．
（2）由（1）知 ，
则 ．
【变式5-1】已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，有 ，
当 时，有 ，两式相减得 ，
当 时，由 ，得 ，
检验：当 时也满足 ，
所以
（2）由（1）知， ，
所以
，
所以 .
【变式5-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 （ ）中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列的 前 项和为 ，证明 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为 ；
（2）∵ ，∴ ，
（方法一）
，
∴
化简得： ，.
∴
（方法二）
，
∴
.
【变式5-3】（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 是
与 的等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）由题意，得 ，
即 ，即 ①，
所以 ②，
- ，得 ，
①即 ② .
又 ，所以 .
由 是 与 的等差中项，得当 时，
，解得 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故 .
（2）由（1）得 ，则
，所以
，
所以 ，
所以 .
【变式5-4】设数列 为等差数列，前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1） ，
由 ，
所以 ，
所以 ．
（2）
所以
题型六：裂项相消法之根式型
【典例6-1】已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．【解析】（1）由 得：
即 ，
所以数列 为等差数列，
由 得 ，
设公差为d， ，得 ，
所以 ，
故数列 的通项公式为 ．
（2） ，
所以 ．
【典例6-2】已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时，由 ，得：
由 ，
，
由上面两式相减，得：
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，得：
（2）
【方法技巧】（1）
（2）
（3）
【变式6-1】已知数列 ， ， ， 为其前n项和，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题可知 数列是 等差数列，
所以 ，
，
又因为 ，所以 ；
（2） ．
所以 ；
【变式6-2】已知数列 的前n项和为 ，
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由当 时， ，
当 时， 满足上式，所以 ，
（2）
，故 ．
题型七：裂项相消法之指数型
【典例7-1】已知等比数列{ }的各项均为正数， ， ， 成等差数列， ，数列{ }的
前n项和 ，且 .
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)设 ，记数列{ }的前n项和为 .求证： .
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ， ， ， 成等差数列，
，即 ，化为： ，解得 ．
， ，即 ，解得 ，
．
数列 的前 项和 ，且 ，
时， ，化为： ，
， 数列 是每项都为1的常数列，
，化为 ．
（2）证明： ，
数列 的前 项和为 ，
．
【典例7-2】（2024·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个
等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列 是一个二阶
等比数列， ， ， .(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设 ，由题意得数列 是等比数列， ， ，
则 ，即 ，
由累乘法得： ，
于是 ，故 .
（2）由（1）得
，
令 ，则 ，
∴
.
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【变式7-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记 为数列 的前n项和， 是首项与公差
均为1的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2024项的和 ．【解析】（1）由 是首项与公差均为1的等差数列得
则 ，当 时， ，
两式相减得， ，
当 时， ，也满足上式，故数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
所以数列 的前2024项的和为：
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 是正项等差数列 的前 项和，满足 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ．
因为 ．所以令 ，得 ．
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，即 ，
所以 ，所以公差 ，则 ．
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以
．
【变式7-3】（2024·云南昆明·三模）正项数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，
，
(1)求数列 的通项公式；(2)已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，即 ， ，
所以 ，同理 ．
当 时， ，化简得：
，因为 ，所以 ，
即 ，故 ，又 ，所以 ．
同理， 或 ，
因为 是等比数列，所以 ，即 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以当 为奇数时，
，
，
同理当 为偶数时， ．
所以 .
【变式7-4】（2024·福建泉州·二模）已知数列 和 的各项均为正，且 ， 是公比3
的等比数列．数列 的前n项和 满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题设，当 时 或 （舍），
由 ，知 ，
两式相减得 ，
（舍）或 ，即 ，∴数列 是首项为2，公差为2的等差数列， ．
又 ．
（2）
则
当n为偶数时， ；
当n为奇数时， ．
所以 .
题型八：裂项相消法之三角型
【典例8-1】数列 各项均为正数， 的前n项和记作 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和．
【解析】（1）当 时，有 相减得 ，即 ，
各项均为正数，
所以 ，
又当 时， ，
解得 或 (舍)，
所以对任意正整数n，均有 ，
故 是以首项为1，公差以1的等差数列，所以 ．
（2）由于 ，
故 ，
由（1）得 ，
记 前n项和为 ，则
，
所以 .
【典例8-2】已知数列 中， ，设 为 前n项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和
【解析】（1）数列 中， ， 为 前n项和，
当 时， ， ，
当 时， ①，
②，
由②- 得： ， ，
即 ① ，
当 时， ，递推可得： ， ， ， ，
由累乘法可得： ，
，又因为 ，所以 ，即 ，经检验，当 时 符合上式，
所以 ；
（2）由（1）可知 ， ，所以：，
所以
；
所以数列 的前n项和 .
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4） ，
则
【变式8-1】已知在数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2024项和 .
【解析】（1）因为 ，可得 ，所以，当 时， ，
即 ，又因为 ，则 ；
当 时， 成立，所以 .
（2）由（1）知， ，
所以
，
因为 ，
于是 ，
，
所以 ，所以数列 的前 项的和为 .
【变式8-2】（2024·高三·江西·开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设
且 ．若 ，则称a与b关于模m同余，记作 （“|”为整除符号）．
(1)解同余方程： ；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 ，数列 的前n项和为 ，求 ；
②若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意 （mod3），所以 或 （ ），
即 或 （ ）．
（2）由（1）可得 为 ，所以 ．
①因为 （ ），所以 ．
则 ．
② （ ）．
因为 ，所以
．
【变式8-3】已知数列 的前n项和为 ， ， ，
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前1012项和 ．
【解析】（1）当 时，因为 ，所以 ，
即 ．又 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
，
而 所以
．
题型九：倒序相加法
【典例9-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数 满足 为 的导函数，
.若 ，则数列 的前2023项和为 .
【答案】
【解析】由题意知 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，，
将 两式相加可得： .
故答案为： .
【典例9-2】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对 的
求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，
此方法也称为高斯算法．现有函数 ，则
的值为 .
【答案】1009
【解析】由函数 ，得 ，
令 ，
则 ，
两式相加得 ，解得 ，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
【方法技巧】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和
时可用倒序相加法（等差数列前 项和公式的推导即用此方法）．
【变式9-1】在数列 中， ，则 … 的值是 .
【答案】1005
【解析】由 得 ，
所以 ，
所以 , 相加可得 ,
故答案为：1005
【变式9-2】已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数列 的前2022项和为 .
【答案】2022
【解析】由于函数 为奇函数，则 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
因此数列 的前2022项和为 ，
故答案为：2022
【变式9-3】若函数 ，且数列 满足： ，则数列
的通项公式为 ；以 ， ， 为三角形三边的长，作一系列三角形，若这一系列
三角形所有内角的最大值为 ，则 .
【答案】
【解析】由 ，可得
，
又因为 ，
所以根据倒序相加法计算，
可得 ，
所以 ；
因为三角形以 ， ， 为三边长，又 ，所以以 为长度的边所对的角 是三
个内角中最大的，
所以 的最大值就是这一系列三角形所有内角的最大值，
根据余弦定理 ，
故 是递增数列，所以当 时， 取最小值， 取最大值，
所以这一系列三角形所有内角的最大值为 ，因为 ，所以 .
故答案为： ； ．
题型十：分段数列求和
【典例10-1】在数列 中， ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴数列 是等差数列，设其公差为d．
∵ ，∴ ，
∴
（2）设数列 的前n项和为 ，则由（1）可得，
由（1）知 ，令 ，得 ，
∴当 时， ，
则
；
当 时， ，则 ，
∴
【典例10-2】已知数列 的前 项和 满足 ，则 .
【答案】961
【解析】因为 ，故当 时， ，
因为 ，即 ，
故等比数列 的公比为 ，所以 ；
由 ，故答案为：961.
【方法技巧】
（1）分奇偶各自新数列求和
（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
【变式10-1】（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ；
（2）由（1）可得 ，
所以
.
【变式10-2】已知数列 是公差不为0的等差数列，其前n项和为 ， ， ， ， 成等比
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前100项和 ．
【解析】（1）设数列 的首项为 ，公差为 ，
根据题意得 即解得 或 ．
又因 ，所以 ．
所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ．
即数列 的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
奇数项是以 为首项，16为公比的等比数列．
数列 的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，
数列 的前100项和 ．
，
．
所以 ．
【变式10-3】（2024·陕西安康·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 ，可得 ，所以 ，
又由 ，所以 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
又当 时， 满足上式，
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）可知当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，
所以
【变式10-4】（2024·山东·二模）已知 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设 的公差为 ，由题意知 ，即 ，
即有 ，因为 ，可得 ， ，
所以 ；
（2）设数列 的前 项中的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
则
，
，
所以 ．题型十一：并项求和法之a +(−1) na =kn+b型
n+1 n
【典例11-1】数列 满足 ，前12项的和为298，则 ．
【答案】4
【解析】当 为偶数时， ，
所以 ， ， ，
所以 ；
当 为奇数时， ，即
所以 ， ， ， ，
，
所以
，所以 .
故答案为： .
【典例11-2】已知数列 的前 项和为 ， .当 时， ，则 .
【答案】1 010
【解析】由 ， ，得 ，
两式作差可得 ， ，
即 （ ），
所以 .
故答案为：1010.
【方法技巧】
四四并项求和.
【变式11-1】（2024·浙江·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则数列
的前2020项的和为 ．
【答案】2020
【解析】在 中，分别令 ，得 ， ，两式相加，得
．
在 中，分别令 ，得 ， ，两式相加，得 ，所以.
……
依此类推，可得 ， ， ，
所以数列 的前2020项，有505组 ，故和为 ．
故答案为：2020.
【变式11-2】已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为 .
【答案】
【解析】当 为奇数时，
令 ，此数列前 项的和
故答案为：
【变式11-3】数列 满足 ，前8项的和为106，则
【答案】8
【解析】 ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，解得 .
故答案为： .
【变式11-4】数列 满足 ，前16项和为540，则 ．
【答案】-2
【解析】因为数列 满足 ，
当 为奇数时， ，
所以 ， ， ， ，则 ，
当 为偶数时， ，
所以 ， ， ， ， ， ， ，
故 ， ， ， ， ， ， ，
因为前16项和为540，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【变式11-5】已知数列 中， 为前 项和，且 ， ，则
【答案】3025
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ， ，即数列 为周期数列，周期为 ，
因为 ，所以 ，
所以
故答案为：
题型十二：并项求和法之a =(−1) nf(n)型
n
【典例12-1】已知数列 的通项公式为 ， 的前 项和为 ，则
.
【答案】
【解析】当 时，则 ，
当 时，则 ，
当 时， .
，
，因此， .
故答案为 .【典例12-2】（2024·云南保山·二模）数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，
则 ．
【答案】
【解析】 ,
,
,
,
∴
故答案为
【方法技巧】
两两并项求和.
【变式12-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项
和，对任意 ，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
【解析】（1）由 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
记 ，则 ，【变式12-2】在数列 中， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，
是公比为2的等比数列.
，
.
（2） ，
所以 .
当n为偶数，
.
当n为奇数
综上： .
【变式12-3】已知等差数列 中的前n项和为 ，且 成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为递增数列，记 ，求数列 的前40项的和 .
【解析】（1）设公差为 ，则 ，即
解得 或 ，所以 或 ；
（2）因为数列 为递增数列， ， ， ，所以
；
所以 .
【变式12-4】数列 通项为 ， 为其前 项的和，则 .
【答案】
【解析】当 时， ；
同理可得：当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
∴ ，
，
∴
.
故答案为： .
题型十三：先放缩后裂项求和
【典例13-1】设数列 前 项和为 ，且满足 ， ， ，数列
满足 ．
(1)求 、 的通项公式；(2)记 ，求证： ．
【解析】（1）对任意的 ， ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差得 ，所以， ，
所以， ，所以， ，
令 ，则 ，故数列 为常数列，且 ，
所以， ，
也满足 ，故对任意的 ， .
故 ，所以， .
（2）因为 ，解得 ，
所以， ，
当 时， 成立；
当 时，
，
此时 ，
综上所述，对任意的 ， .
【典例13-2】记 为数列 的前 项和，已知 是首项为3，公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， .
【解析】（1）∵ 是首项为3，公差为1的等差数列，∴ ，
. 当 时， ， .
∴ ∴又 不满足 ，
∴ 的通项公式 .
（2）当 时， ，
，
∴ ，
.
∴
【方法技巧】
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．
【变式13-1】（2024·河南·模拟预测）若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）因为 ， ，
所以
，
故 ；
（2）证明：当n＝1时， ；
当 时， ，
则 ，
故 ；
综上， .
【变式13-2】（2024·天津河北·二模）已知 是等差数列，其前 项和为 是等比数列，已知
， 是 和 的等比中项.(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，求证： .
【解析】（1）由题意 ，
，
又 是 和 的等比中项，得 ，
又 ，解得 ，
；
（2） ，
设 ，
则 ，
将以上两式相减得
，
；
（3）
，
，.
结论得证.
【变式13-3】如图，已知点列 在曲线 上，点列 在x轴上， ， ，
为等腰直角三角形．
(1)求 ， ， ；（直接写出结果）
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ，证明： ．
【解析】（1）由 为等腰直角三角形，所以直线 的直线斜率为1，
故直线 的方程为 ，与抛物线方程联立可得 ，可解得 或 ，
从而可得 ，可得 的横坐标为1，因为 ，解得 ，
由 ，所以 ，可得 ，
可得 ，解得 ；
（2）由题意可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
（3）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 .
【变式13-4】（2024·山东烟台·三模）在数列 中，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前n项和，证明： .
【解析】（1）由 可得 ，则 ，即 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列.
故 ，则 ， .
（2） .
易得 ，故 .
又 ，
故
.综上有 ，即得证.
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和
为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当 时 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
，
由累乘法可得 ，且 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：所以 ，即 ．
故选：A．
2．（2021年全国新高考I卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格
的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种
规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；
如果对折 次，那么 .
【答案】 5
【解析】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着
三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的
图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .故答案为： ； .
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
【解析】（1）因为 ,故 ，
所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和
.
4．（2024年天津高考数学真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若
．
(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），所以 .
（2）（i）由（1）可知 ，且 ，
当 时，则 ，即
可知 ，
，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ；
（ii）由（1）可知： ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
且 ，符合上式，综上所述： .
1．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意知： ，即： 化简得 .
所以数列 的通项公式 .
（2）因为
所以
化简得： .
2．有理数都能表示成 ，且 ，m与n互质）的形式，进而有理数集 且 ，
m与n互质}．任何有理数 都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为 的
形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？
思考下列问题：
（1） 是有理数吗？请说明理由．
（2） 是有理数吗？请说明理由．
【解析】无限循环小数也可以化成 ，且 ，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，
（1）由 ，
，可以化为 的形式，故 是有理数；
（2）由 ，
，可以化为 的形式，故 是有理数.
3．已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求满足条件的最大整数n．【解析】（1）由题意，数列 满足 ，可得 ，
可得 ，即 ，
又由 ，所以 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）可得 ，所以
设数列 的前 项和为 ，
则
，
若 ，即 ，
因为函数 为单调递增函数，
所以满足 的最大整数 的值为 .
4．求和：
（1）（ ；
（2） ．
【解析】（1）
=
=
（2）当 时：
当 时：记化简得：
综上所述：
5．求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
【解析】设该数列为 ，其前n项和为
因为
所以该数列的一个通项公式为 ，
6．在数列 中，已知 ， ．
(1)求证： 是等比数列．
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由 ，得 ，
即 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.（2）由（1）得 .
所以
.
7．若数列 的首项 ，且满足 ，求数列 的通项公式及前10项的和．
【解析】 ， ，
是首项为 ，公比为2的等比数列，
，即 ，
.
易错点：用错位相减法求和时项数处理不恰当出错
易错分析：在利用错位相减法去求和时，对相减后的项处理不恰当，容易导致漏掉项或者添加项出错.
答题模板：错位相减法求前n项和
1、模板解决思路
错位相减法求前n项和是一种巧妙的方法，特别适用于等比数列。其核心思路在于，首先将原数列的
每一项都乘以公比，形成错位后的新数列。然后，将原数列与新数列进行相减，从而消去大部分项，简化
求和过程。最后，通过简单的代数运算即可求出前n项和。
2、模板解决步骤
第一步：写出等比数列的前n项和公式，明确首项、公比和项数。
第二步：将数列的每一项都乘以公比，形成错位后的新数列。
第三步：将原数列与新数列进行相减，消去大部分项，得到简化的表达式。
第四步：对简化后的表达式进行代数运算，求出前n项和。
【易错题1】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由题意，得 ，
当 时，由 ，得 .
又 ，化简，得 .
又 ，所以数列 从第2项起，是以2为公比的等比数列，
所以 .
综上， .
（2）由（1）得 ，
所以当 时， ①
②
- ，得 ，
① ②
所以 .
当 时， 也满足上式.
综上， .
【易错题2】已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 .求数列 的前n项和 ；
【解析】（1）因为 ①，
当 时， ，当 时， ②，
得 ，即 ；因为 符合，所以 ；
（2）由（1）知 ，所以， ，所以 ，两式相减得，
，
所以 ；
