文档内容
第 05 讲 数列求和
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：数列求和常用方法.............................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：通项分析法............................................................................................................................8
题型二：公式法....................................................................................................................................9
题型三：错位相减法..........................................................................................................................10
题型四：分组求和法..........................................................................................................................12
题型五：裂项相消法之等差型..........................................................................................................13
题型六：裂项相消法之根式型..........................................................................................................15
题型七：裂项相消法之指数型..........................................................................................................17
题型八：裂项相消法之三角型..........................................................................................................19
题型九：倒序相加法..........................................................................................................................20
题型十：分段数列求和......................................................................................................................21
题型十一：并项求和法之a +(−1) na =kn+b型...........................................................................23
n+1 n
题型十二：并项求和法之a =(−1) nf(n)型......................................................................................23
n
题型十三：先放缩后裂项求和..........................................................................................................24
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................26
05课本典例·高考素材........................................................................................................................27
06易错分析·答题模板........................................................................................................................29
易错点：用错位相减法求和时项数处理不恰当出错......................................................................29
答题模板：错位相减法求前n项和..................................................................................................29考点要求 考题统计 考情分析
高考对数列求和的考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度均
（1）公式法
变化不大．数列的求和主要考查等
（2）奇偶讨论、并项分类 2023年甲卷（理）第17题，12分
差、等比数列的前 项和公式及非等
（3）倒序相加法 2023年II卷第18题，12分
差、等比数列的求和方法，其综合性
（4）裂项相消法 2023年I卷第20题，12分
较强．数列求和问题以解答题的形式
（5）错位相减法
为主，偶尔出现在选择填空题当中，
常结合函数、不等式综合考查．
复习目标：
（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知识点1：数列求和常用方法
一．公式法
（1）等差数列 的前n项和 ，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列 的前n项和 ，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
① ；
② ；
③ ；
④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和
时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n
项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那
么求这个数列的前 项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那
么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法求解．
【诊断自测】已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，数列 的前 项和为 ，定义 为不超过 的最大整数，例如 ，
，求数列 的前 项和 ．
（说明： ）
解题方法总结
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ，设 ，易得 ，
于是
（7）积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4） ，
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
题型一：通项分析法
【典例1-1】观察如下规律： ，该组数据的前 项和为
.
【典例1-2】求和 ．
【方法技巧】
先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前 项和问题应该强化的意识．【变式1-1】数列9，99，999， 的前 项和为
A． B． C． D．
【变式1-2】求数列1， ， ， ， ， 的前 项之和．
【变式1-3】（2024·上海徐汇·模拟预测）如图，在杨辉三角中，斜线 上方，从1开始箭头所示的数
组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 项和为 ，则 等于 ．
题型二：公式法
【典例2-1】（2024·湖北黄冈·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 对一切正整
数 恒成立.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【典例2-2】（2024·高三·四川·学业考试）已知等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求 的前 项和 .
【方法技巧】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式
求解．【变式2-1】已知等差数列 的前四项和为10，且 成等比数列
(1)求通项公式
(2)设 ，求数列 的前 项和
【变式2-2】已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ，若
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设由 ， 的公共项构成的新数列记为 ，求数列 的前5项之和 ．
题型三：错位相减法
【典例3-1】设 为数列 的前 项和，且 .
(1) 为何值时， 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【典例3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【方法技巧】
错位相减法求数列 的前n项和的适用条件若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{a·b}的前n项和 ．
n n
【变式3-1】（2024·青海海南·二模）已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 是等比数列，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【变式3-2】已知在等差数列 中，公差大于0， ，且 ， ， 成等比数列，数列
的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式3-3】（2024·浙江·三模）已知等比数列 和等差数列 ，满足 ， ，
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
【变式3-4】（2024·河北衡水·三模）已知数列 满足： ．
(1)请写出 的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．题型四：分组求和法
【典例4-1】已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
【典例4-2】在等比数列{ }中， ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前n项和Sn．
【方法技巧】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列
或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
【变式4-1】在递增的等比数列 中， ， ，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【变式4-2】等比数列 的公比为2，且 成等差数列.(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式4-3】已知等差数列 满足 （ ），数列 是公比为3的等比数列，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 和 中的项由小到大组成新的数列 ，记数列 的前n项和为 ，求 ．
题型五：裂项相消法之等差型
【典例5-1】已知公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【方法技巧】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【典例5-2】已知数列 ，其中数列 是等差数列，且满足 ， ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
【变式5-1】已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式5-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 （ ）中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列的 前 项和为 ，证明 .
【变式5-3】（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 是与 的等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【变式5-4】设数列 为等差数列，前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，证明： ．
题型六：裂项相消法之根式型
【典例6-1】已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【典例6-2】已知数列 的前 项和为 ，且 ．（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【变式6-1】已知数列 ， ， ， 为其前n项和，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【变式6-2】已知数列 的前n项和为 ，
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．题型七：裂项相消法之指数型
【典例7-1】已知等比数列{ }的各项均为正数， ， ， 成等差数列， ，数列{ }的
前n项和 ，且 .
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)设 ，记数列{ }的前n项和为 .求证： .
【典例7-2】（2024·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个
等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列 是一个二阶
等比数列， ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）【变式7-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记 为数列 的前n项和， 是首项与公差
均为1的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2024项的和 ．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 是正项等差数列 的前 项和，满足 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【变式7-3】（2024·云南昆明·三模）正项数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，
，
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【变式7-4】（2024·福建泉州·二模）已知数列 和 的各项均为正，且 ， 是公比3
的等比数列．数列 的前n项和 满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．题型八：裂项相消法之三角型
【典例8-1】数列 各项均为正数， 的前n项和记作 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和．
【典例8-2】已知数列 中， ，设 为 前n项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4） ，
则
【变式8-1】已知在数列 中， .(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2024项和 .
【变式8-2】（2024·高三·江西·开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设
且 ．若 ，则称a与b关于模m同余，记作 （“|”为整除符号）．
(1)解同余方程： ；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 ，数列 的前n项和为 ，求 ；
②若 ，求数列 的前n项和 ．
【变式8-3】已知数列 的前n项和为 ， ， ，
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前1012项和 ．
题型九：倒序相加法
【典例9-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数 满足 为 的导函数，
.若 ，则数列 的前2023项和为 .
【典例9-2】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，
此方法也称为高斯算法．现有函数 ，则
的值为 .
【方法技巧】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和
时可用倒序相加法（等差数列前 项和公式的推导即用此方法）．
【变式9-1】在数列 中， ，则 … 的值是 .
【变式9-2】已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数列 的前
2022项和为 .
【变式9-3】若函数 ，且数列 满足： ，则数列
的通项公式为 ；以 ， ， 为三角形三边的长，作一系列三角形，若这一系列
三角形所有内角的最大值为 ，则 .
题型十：分段数列求和
【典例10-1】在数列 中， ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ．
【典例10-2】已知数列 的前 项和 满足 ，则 .
【方法技巧】
（1）分奇偶各自新数列求和
（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
【变式10-1】（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ，
.(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式10-2】已知数列 是公差不为0的等差数列，其前n项和为 ， ， ， ， 成等比
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前100项和 ．
【变式10-3】（2024·陕西安康·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式10-4】（2024·山东·二模）已知 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .题型十一：并项求和法之a +(−1) na =kn+b型
n+1 n
【典例11-1】数列 满足 ，前12项的和为298，则 ．
【典例11-2】已知数列 的前 项和为 ， .当 时， ，则 .
【方法技巧】
四四并项求和.
【变式11-1】（2024·浙江·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则数列
的前2020项的和为 ．
【变式11-2】已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为 .
【变式11-3】数列 满足 ，前8项的和为106，则
【变式11-4】数列 满足 ，前16项和为540，则 ．
【变式11-5】已知数列 中， 为前 项和，且 ， ，则
题型十二：并项求和法之a =(−1) nf(n)型
n
【典例12-1】已知数列 的通项公式为 ， 的前 项和为 ，则
.
【典例12-2】（2024·云南保山·二模）数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，
则 ．
【方法技巧】
两两并项求和.
【变式12-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项
和，对任意 ，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.【变式12-2】在数列 中， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【变式12-3】已知等差数列 中的前n项和为 ，且 成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为递增数列，记 ，求数列 的前40项的和 .
【变式12-4】数列 通项为 ， 为其前 项的和，则 .
题型十三：先放缩后裂项求和
【典例13-1】设数列 前 项和为 ，且满足 ， ， ，数列
满足 ．
(1)求 、 的通项公式；
(2)记 ，求证： ．
【典例13-2】记 为数列 的前 项和，已知 是首项为3，公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， .【方法技巧】
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．
【变式13-1】（2024·河南·模拟预测）若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【变式13-2】（2024·天津河北·二模）已知 是等差数列，其前 项和为 是等比数列，已知
， 是 和 的等比中项.
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，求证： .
【变式13-3】如图，已知点列 在曲线 上，点列 在x轴上， ， ，
为等腰直角三角形．
(1)求 ， ， ；（直接写出结果）
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ，证明： ．【变式13-4】（2024·山东烟台·三模）在数列 中，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前n项和，证明： .
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和
为 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年全国新高考I卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格
的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种
规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；
如果对折 次，那么 .
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.4．（2024年天津高考数学真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若
．
(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
1．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
2．有理数都能表示成 ，且 ，m与n互质）的形式，进而有理数集 且 ，
m与n互质}．任何有理数 都可以化为有限小数或无限循环小数．反之，任一有限小数也可以化为 的
形式，从而是有理数；那么无限循环小数是否为有理数？
思考下列问题：
（1） 是有理数吗？请说明理由．
（2） 是有理数吗？请说明理由．3．已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求满足条件的最大整数n．
4．求和：
（1）（ ；
（2） ．
5．求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
6．在数列 中，已知 ， ．
(1)求证： 是等比数列．
(2)求数列 的前n项和 ．
7．若数列 的首项 ，且满足 ，求数列 的通项公式及前10项的和．易错点：用错位相减法求和时项数处理不恰当出错
易错分析：在利用错位相减法去求和时，对相减后的项处理不恰当，容易导致漏掉项或者添加项出错.
答题模板：错位相减法求前n项和
1、模板解决思路
错位相减法求前n项和是一种巧妙的方法，特别适用于等比数列。其核心思路在于，首先将原数列的
每一项都乘以公比，形成错位后的新数列。然后，将原数列与新数列进行相减，从而消去大部分项，简化
求和过程。最后，通过简单的代数运算即可求出前n项和。
2、模板解决步骤
第一步：写出等比数列的前n项和公式，明确首项、公比和项数。
第二步：将数列的每一项都乘以公比，形成错位后的新数列。
第三步：将原数列与新数列进行相减，消去大部分项，得到简化的表达式。
第四步：对简化后的表达式进行代数运算，求出前n项和。
【易错题1】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【易错题2】已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 .求数列 的前n项和 ；
