北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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命题点 4 三角函数与解三角形
预测说明
三角函数与解三角形在高考中各种题型都会涉及,大部分是考查基础知识和基本方
法,主要考查运算求解、逻辑推理能力.
命题方向:
1.三角函数的图象与性质:常以两种形式出现:一是围绕三角函数的求值、单调性、
奇偶性、周期性、对称性等展开,以填空题、选择题的形式为主,考查数形结合思想与推
理、运算能力.二是三角函数图象的变换问题,主要针对三角函数图象的平移、伸缩、对
称、翻折等变换进行研究,考查化归与转化思想.
2.三角恒等变换与解三角形:(1)利用同角三角函数基本关系及三角函数公式化简、
求值(角)(给角求值、给值求值、给值求角);(2)解三角形(求边、角、最值、面积、证明
问题等).以三角恒等变换为工具,利用正余弦定理、向量等知识进行求解,主要考查逻辑
推理、直观想象等素养.
预测探究
识透高频考点
(π 2π) ( π) 3 ( π)
1.(2024浙江绍兴4月适应性考试,6)已知x∈ , ,sin x− = ,则tan 2x+ =
6 3 6 5 6
( B )
24 7 7 24
A.- B.- C. D.
7 24 24 7
π π
2.(多选)(2024安徽皖江名校联盟模拟,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ω>0,-2<φ<2 的部
分图象如图,则 ( BD )
A.A=√3
( π)
B.函数f x+ 的图象关于y轴对称
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( π) ( π)
C.函数f x+ 在 0, 上单调递减
3 4
D.函数f(x)在(0,2π)上有4个极值点
3.(多选)(2024江苏南京师大附中模拟,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若⃗AB·
⃗AC=2,a=2,则(BCD)
A.bccos A=2a
B.b2+c2=8
π
C.角A的最大值为
3
D.△ABC面积的最大值为√3
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考六,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
√3
a=bcos C- csin B.
3
(1)求角B;
(2)过B作BD⊥BA,交线段AC于D,且AD=2DC,求角C.
回归教材 向量法解三角形(可参考人教A版教材必修第二册P63“数学探究:用向量法
研究三角形的性质”)
√3
解析 (1)由正弦定理及题意得sin A=cos Csin B- sin Csin B.
3
√3
∵A=π-(B+C),∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=cos Csin B- sin Csin B,
3
√3
∴cos Bsin C=- sin Csin B,
3
2π
又B,C∈(0,π),∴sin C≠0,∴tan B=-√3,∴B= .
3
2 1
(2)∵D在AC边上,且AD=2DC,∴⃗BD= ⃗BC+ ⃗BA.
3 3
∵BD⊥BA,∴⃗BD·⃗BA=0,即 (1 ⃗BA+ 2 ⃗BC ) ·⃗BA=0,⃗BA2+2⃗BC·⃗BA=0,
3 3
2π 1
∴c2+2accos B=0,由(1)知cos B=cos =- ,
3 2
2 π
∴c2=ac,c=a.∴A=C,又B= π,∴C= .
3 6
悟透新型考法北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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1.(多选)(2024浙江嘉兴二模,10)已知角α的顶点与原点重合,它的始边与x轴的非负半轴
a+b
重合,终边过点A(a,b)(ab≠0,a≠b),定义:Ti(α)= .对于函数f(x)=Ti(x),则 ( AB )
a−b
(π )
A.函数f(x)的图象关于点 ,0 对称
4
(π π)
B.函数f(x)在区间 , 上单调递增
4 2
π
C.将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到一个偶函数的图象
4
1
D.方程f(x)= 在区间[0,π]上有两个不同的实数解
2
2.(2024河北唐山二模,17)(1)证明:sin 3x=3sin x-4sin3x;
( 1 1)
(2)若sin 10°∈ , ,n∈N*,利用(1)结合自己所学知识,求n.
n+1 n
新型考法 以三角函数为载体,考查零点存在定理及导数的应用
解析 (1)证明:sin 3x=sin(2x+x)=sin 2xcos x+cos 2xsin x=2sin xcos x·cos x+(1-2sin2x)sin x
=2sin x(1-sin2x)+sin x-2sin3x
=3sin x-4sin3x.
1
(2)由(1)可知,sin 30°=3sin 10°-4sin310°= ,
2
1
即sin 10°是方程4x3-3x+ =0的一个实根.
2
1 1 1
令f(x)=4x3-3x+ ,则f '(x)=12x2-3=3(2x+1)(2x-1),显然0<sin 10°<sin 30°= ,当0<x< 时,
2 2 2
1 ( 1) (1) (1) 3 (1) (1) 3 1
f '(x)<0,所以f(x)=4x3-3x+ 在 0, 上单调递减,又f =4× >0, f =4× -3× +
2 2 6 6 5 5 5
1
=
2
17 (1 1)
- <0,所以sin 10°∈ , ,
250 6 5
即n=5.
2π
3.(2024湖南娄底一模,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=13,A=
3
,b>c,△ABC的内切圆圆I的面积为3π.
(1)求b、c的值及cos∠ABC;北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(2)若点D在AC上,且B,I,D三点共线,试讨论在BC边上是否存在点M,使得⃗BI·⃗BM=⃗CI·
⃗CM?若存在,求出点M的位置,并求出△DBM的面积;若不存在,请说明理由.
新型考法 三角形内切圆在解三角形中的应用
解析 (1)由△ABC内切圆圆I的面积为3π,可得圆I的半径为r=√3,
1 1 2π
则S = ×√3(13+b+c)= bcsin ,
△ABC 2 2 3
∴bc=26+2(b+c),
1 2π
∴b+c= bc-13,由余弦定理得b2+c2-2bccos =169,
2 3
得(b+c)2-bc=169,
1
将b+c= bc-13代入整理得(bc)2-56bc=0,
2
解得bc=56,∴b+c=15,∵b>c,∴b=8,c=7.
132+72−82 11
∴由余弦定理的推论得cos∠ABC= = .
2×13×7 13
(2)记圆I与BC边切于点E,根据切线长定理可求得BE=6,CE=7,
若⃗BI·⃗BM=⃗CI·⃗CM,则|BE|·|BM|=|CE|·|CM|,
即6|BM|=7(13-|BM|),解得|BM|=7,
∴在BC边上存在点M,
使得⃗BI·⃗BM=⃗CI·⃗CM.
依题意可知I为△ABC的内心,则BD平分∠ABC,
记∠ABD=∠DBC=θ,
11
由(1)知cos∠ABC=cos 2θ= ,
13
√1+cos2θ 2√39
故cos θ= = ,
2 13
√1−cos2θ √13
sin θ= = ,
2 13
2π π
在△ABD中,∠ADB=π- -θ= -θ,
3 3
BD c
AB
由正弦定理得, 2π = = (π ),
sin sin∠ADB sin −θ
3 3
(π ) √3 1 5√13
又sin −θ = cos θ- sin θ= ,c=7,
3 2 2 26北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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7√39 1 1 7√39
∴BD= ,(提示:还可利用角平分线定理求BD)S = ×|BM|×|BD|×sin θ= ×7×
5 △DBM 2 2 5
√13 49√3
× = .
13 10
49√3
故BC边上存在点M,使得⃗BI·⃗BM=⃗CI·⃗CM,此时BM=7,S = .
△DBM
10
参透创新情境
(2024湖南长沙一中适应性演练(一),16)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该
问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利
数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,
最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos 2B+cos 2C-cos 2A=1.
(1)求A;
(2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求⃗PA·⃗PB+⃗PB·⃗PC+⃗PC·⃗PA.
新定义理解 通过对“费马点”的理解和应用,综合考查解三角形与平面向量等知识
解析 (1)由已知△ABC中,cos 2B+cos 2C-cos 2A=1,
即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,sin2A=sin2B+sin2C,
由正弦定理可得a2=b2+c2,
π
故△ABC为直角三角形,且A= .
2
π
(2)由(1)知A= ,所以△ABC的三个角都小于120°,
2
则由费马点定义可知,
∠APB=∠BPC=∠APC=120°,
1 √3 1 √3 1 √3 1
设|⃗PA|=x,|⃗PB|=y,|⃗PC|=z,由S +S +S =S 得 xy· + yz· + xz· = bc=1,
△APB △BPC △APC △ABC 2 2 2 2 2 2 2
4√3
整理得xy+yz+xz= ,
3
( 1) ( 1) ( 1) 1 4√3 2√3
则⃗PA·⃗PB+⃗PB·⃗PC+⃗PC·⃗PA=xy· − +yz· − +xz· − =- × =- .
2 2 2 2 3 3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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