文档内容
重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类
目录
1、三角形的面积处理方法
（1） 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2） 水平宽·铅锤高 或（3）在平面直角坐标系 中，已知 的顶点分别为 ， ， ，三角
形的面积为 ．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般
处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求
最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法
计算面积，尽可能降低计算量．
题型一：三角形的面积问题之 底·高
例1．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆 的左焦点为 ，且过
点 .
(1)求C的方程；
(2)不过原点O的直线 与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求 的斜率；
（ii）求 的面积的取值范围.【解析】（1）由题知，
椭圆C的右焦点为 ，且过点 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以C的方程为 .
（2）（ⅰ）由题知，直线l的斜率存在，且不为0.
设 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 ， ，
且 ，即 .
因为直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
所以 ，即 ，
所以 ，且 .
因为 ，所以 ，所以 .
（ii）由（ⅰ）知 ， ，
所以 ，且 .
设点O到直线PQ的距离为d，所以 .
因为 ，所以 ， ，所以
，
又 ，且 .所以
即 的面积的取值范围 .
例2．（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在直线
上运动，过点 与 垂直的直线和 的中垂线相交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设点 是轨迹 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 的面积的最
小值.
【解析】（1）设点 为轨迹上任意一点 ，由题意知， ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点 ，以 为准线的抛物线 ，
设其方程 为 ，所以 ，即 ，故抛物线方程为 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 .
（2）设 ， ， ，且 ，
所以直线 的方程为 ．
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 内切于 PRN ，所以直线 与圆 相切，
△
则圆心 到直线 的距离为 ，即 ，
则 ①，
因为 ，所以化简①得， ②，
圆 内切于△PRN ，所以直线 与圆 相切，
同理可得 ③，由②③可知， 为方程 的两根，所以 ，
又 ， ， ，
所以 ，
故 的面积为 ，
等号当且仅当 ，即 等号成立，
此时点 的坐标为 )或 .
故当 的坐标为 或 时， 的面积取最小值 .
例3．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结
合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一
点 满足 .
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的垂
线，交 于 两点，求 面积的最小值.
【解析】（1）
，由 得
．
所以曲线 的方程是 ；
（2）设 ，直线 方程是 ，则直线 方程为 ，即 ,直线 与已知圆相切，所以 ，则 ，
由 得， ，
由题意 （∵ ），
， ，∴ 或 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
∴ ，
由 或 得 ，设 ，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
∴ 时， ，
∴ ，即 时， ．
变式1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线 实轴的一个端点是 ，虚轴的一
个端点是 ，直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 .
(1)求双曲线的方程；(2)若直线 与曲线 有两个不同的交点 是坐标原点，求 的面积最小值.
【解析】（1）设点 ，点 ，则直线 的方程为 ，
与渐近线 联立，得 ，解之得 ，
即直线 与双曲线的一条渐近线交点为 ，
又直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 ，
所以 ，即 ，因此双曲线方程为 .
（2）
设 ，把 代入 ，
得 ，
则 ， ，
，
点 到直线 的距离 ，所以 的面积为，
令 ，所以 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，由 ，得 ，由 ，
得 ，由 ，得 ，
即当 时，等号成立，
此时满足 ，所以 面积的最小值为 .
变式2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过
点 ，且左焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满
足 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）令椭圆 的半焦距为c，依题意， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设点 的坐标分别为 ，显然 均不为零，依题意，令 ，有 且 ，
又 四点共线，从而 ，
即 ， ，
于是 ，从而 ①， ②，
又点 在椭圆 上，即 ③， ④，
①+② 并结合③，④得 ，即动点 总在定直线 上，因此直线 方程为
，
由 消去y得 ， ，
设 ，则 ，
于是 ，设 ，
则点 到直线 的距离 ，其中锐角 由 确定，
因此 ，当且仅当 时
取等号，
所以 的面积最大值为 .
题型二：三角形的面积问题之分割法
例4．（2023·全国·高三专题练习）设动点M与定点 的距离和M到定直线l： 的距离的
比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ，化简得 ， ，
当 时， ，轨迹为一条直线；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上：当 时，轨迹方程为 ，轨迹为一条直线，
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）当 时， ，
当直线 斜率不存在时，又与 相切，故此时直线 ，此时 三点共线，不合要求，舍去，
设直线 ，联立 得 ，
由 得 ，显然 ，
联立 得， ，
由 ，结合 ，解得 ，
设 ，
则 ，
设直线 与 轴交于点 ，则 ，
则，
将 代入得 ，
因为 ，令 ，则 ，
，
设 ，则设 ，则
， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 最大值为 .
例5．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点
在 轴上，离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，点 ，求三角形 面积的最大值．
【解析】（1） ，
设椭圆的标准方程为 ，即 ，
过点 ，椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在，且不过点 ，
设直线 的方程为 ， ，
由 消去 整理得 ，
， ，
，
，
，
，
将 ， 代入整理得 ，
，
又因为 ，
解得： ，
三角形 的面积 ，
令 ，
导函数 ，
当 ， ，
当 ， ，
增区间为 ，减区间为 ，
当 时，三角形 的面积取得最大值，最大值为18．
例6．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到渐
近线的距离为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点 为双曲线右支上一动点，过点 与双曲线相切的直线 ，直线 与双曲线的渐近线分别交于M，N
两点，求 的面积的最小值．【解析】（1）由已知得渐近线方程为 ，右焦点 ，
∴ ，
又∵ ，所以 ，解得 ，
又因为离心率 ，解得 ， ，
∴双曲线的标准方程为 ；
（2）解法1： 的渐近线方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，此时 ，直线 方程为 ，代入渐近线方程，
得到 ，故 ，又 ，
故 的面积 ；
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，直线与双曲线联立得
，
因为相切，所以 ，解得 ，
另设 ， ，
联立 ，
∴ ， ，
，
，在 中， ， ，
∴ ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
综上所述， ，其最小值为 ；
解法2：由条件知，若直线 的斜率存在，则斜率不为零，
故可设 ，直线与双曲线联立得，
，
因为相切，所以 ，即 ，
又因为直线 与双曲线的渐近线交于两点，设为 ， ，
联立 ，
由于 ，所以 ，
则 ,
由直线 的方程得，直线与 轴的交点坐标为 ，
∴
，
∵ ，
∴ 即 ，且 ，
∴ 时， 的最小值为 ，
综上所述， ，其最小值为 .变式3．（2023·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆 的右焦点 作两条相互
垂直的弦 ， . ， 的中点分别为 ， .
(1)证明：直线 过定点；
(2)若 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值.
【解析】（1）由题可知 .
若直线 ， 有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，其中点分别为直线与 轴的交点、原点，过此两
点的直线 方程为 .
若直线 ， 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
由题，可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
联立 ，消元 ，整理得 ，
因为直线 所过定点 在椭圆内部，则该直线与椭圆必然有两交点，
设 ， ，则 ， ，
从而 ， ，即 ；
用 替换 点坐标中 得 .
若 ，解得 ，此时 ，
当 时，则 ，
则直线 的方程为 ，
整理得 ，即直线 过定点 ，
而直线 的斜率不存在时也过定点 ，直线 也满足过定点 ，
综上，直线 过定点 .（2）因为 ， 的斜率均存在，则 ，由（1）可得
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号.
从而 在 上单调递增，
当 ，即 时取得最小值 .
所以 ，即当 时， 取得最大值为 .
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，若点 为
双曲线 在第一象限上的一点，且满足 ，过点 分别作双曲线 两条渐近线的平行线 、
与渐近线的交点分别是 和 .（1）求四边形 的面积；
（2）若对于更一般的双曲线 ，点 为双曲线 上任意一点，过点 分别作双
曲线 两条渐近线的平行线 、 与渐近线的交点分别是 和 .请问四边形 的面积为定值吗？
若是定值，求出该定值（用 、 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线 ，由双曲线的定义可得 ，
又因为 ， ， ，
因为 ，所以， ， 轴，
点 的横坐标为 ，所以， ， ，可得 ，即点 ，
过点 且与渐近线 平行的直线的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
且 ，因此，四边形 的面积为 ；
（2）四边形 的面积为定值 ，理由如下：
设点 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
则直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
点 到直线 的距离为
，且 ，
因此， （定值）.
例8．（2023·浙江·高三竞赛）已知直线 与椭圆 ： 交于 、 两点，直线 不经
过原点 .
（1）求 面积的最大值；
（2）设 为线段 的中点，延长 交椭圆 于点 ，若四边形 为平行四边形，求四边形
的面积.
【解析】解法一 当直线 的斜率不存在时，由对称性，设直线 方程为 ，则
，
，
当且仅当 时取等号.
设直线 ： ， ， ，联立方程 ，消去 得：
，
判别式 ，则 ，于是
.原点 到 的距离 ，所以
，
当且仅当 时取等号.
（2）不妨设 ，根据垂径定理得： ，则 的方程为 .
将 的方程代入椭圆方程，消去 得 .注意 、 在直线 的两侧，所以
， .
又点 在直线 上，所以 ，化简得： ，则
.
解法二 （1）设 ，则 ， .
设原点 到直线 的距离为 ，则
.
（2）要四边形 为平行四边形，则四边形 为菱形，由（1）知
.
解法三 （1）设 ， ，则
，
当且仅当 ， 时取等号.
（2） ，则 ，即 ，移项整理得 ，则 ，
故 .
例9．（2023·全国·高三专题练习） 分别是椭圆于 的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求 的取值范围；
(2)设 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四
边形AEBF面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知 ， ，
， ，设 ，
， ，
由椭圆的性质可知，
，
，故 ，即 .
(2)设 ， ，联立 消去 整理可得 ，
， ，
， ，
直线 的方程为： ，
根据点到直线的距离公式可知，点 ， 到直线 的距离分别为
，
，
，
，四边形 的面积为
，当且仅当 即 时，上式取等号，
所以 的最大值为 .
变式4．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，
过 的直线交 于 ， 两点（其中点 在第一象限），过点 作 的切线交 轴于点 ，直线 交 于
另一点 ，直线 交 轴于点 .
(1)求证： ；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，当点 的横坐标大于2时，求 的最小值
及此时点 的坐标.
【解析】（1）设点 ，则 .因为点 在第一象限，
可设函数 ，则 ，所以 ，
所以直线 方程为 ，令 ，则 ，即点 .
设直线 ，与 联立得 ，所以 ，同理 .
因为 ， ，所以 ，则 ，
设直线 ，与 联立得 ，
又因为直线 与抛物线交于 两点，所以 .
因为点 ，所以 ，代入抛物线 ，又因为 在第四象限，可知 .
因为 ， ，
所以 ，
即 ，原命题得证.
（2）由（1）知 ，所以 ，得 ，即 .
所以 ，
另由（1）知 ， ， ，
所以 ，即 ；
， ，
设函数 ， ，
则 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值为 ，此时点 的坐标为 .变式5．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆 ： 的一个顶
点为 ，离心率为 ， 为椭圆 的右焦点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若满足 ，求 的值；
(3)过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，过点 ， 分别作直线 ： 的垂线（点 ， 在直线
的两侧）．垂足分别为 ， ，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存
在常数 ，使得 ， ， 总成等比数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ，
所以有 ， ，则 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ，
过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，
所以设直线方程为 ， ， ，
则 ，则 ，
， ， ，
， ，
因为满足 ，所以 ，
即 ，
即 ，
则有 ，
整理得 ，
解得 （舍）， .
（3）由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，
设直线BC的方程为 ， ， ，不妨设 ，
则 ， ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以
，
，
要使 ， ， 总成等比数列，则应有 解得 ，所以存在 ，使得 ， ， 总成等比数列.
变式6．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆 ，点 ，圆周上任
一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的动直线 与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为 .过点 作 于点 ，过点
作 于点 .记 的面积分别为 ， ， .问是否存在实数 ，使得
成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）圆 的圆心 ，半径 ，
因为线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，所以 ，又 ，
所以 ，
所以点Q的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
这里 ， ，所以 ， ，则 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
设 ， ，则 ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
恒成立，
， ，
所以，
，
同理得 ，
所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以存在实数 ，使得 成立.
变式7．（2023·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ，经过
轴正半轴上点 的直线 交 于不同的两点 和 .
(1)若 ，求 点的坐标；(2)若 ，求证：原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
(3)若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问： 的面积是否存在最小值？若存
在，求出最小值，并求出 点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在 中，设
， ，则 的面积为
【解析】（1）设 ，因为 ，又 ，得到 ，
将 代入 ，得到 ，
所以 点的坐标为 或 .
（2）设 ，直线 ，
由 ，消 得到 ，由韦达定理知， ，所以 ，
又 ，由 ，
故 为钝角，原点 总在以线段 为直径的圆的内部.
（3）设 ，由 ，得到 ，
又 ，得到 或 ，即 或 （舍），
故 ，所以直线 的斜率 ，
由题可设 的方程为 ，由 ，消 得到 ，
由题知， ，得到 ，代入 ，得到 ，所以 ，
设 ，则 ， ，即 ，
所以 ，
故 的面积为 ，
当且仅当 时取等号，
由 ，得 ，所以最小值为2， 点的坐标为 .变式8．（2023·四川眉山·高三校考阶段练习）在 中，已知点 ， ， 边上的中
线长与 边上的中线长之和为6；记 的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ： ， ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ， ，直
线 ， 与曲线 的另一个交点分别是点 ， ，求 面积的最大值.
【解析】（1）设 的中点为 ， 的中点为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 点的轨迹是以 为焦点，长轴长 ，的椭圆.
所以 ，所以 ， ，
所以曲线 的方程为 .
（2）设直线 为 （不妨设 ），设 ， ，
所以 ，
，
，解得 （ 舍去），则 ，
由于 是单位圆的直径，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
同理可求得 ，则 ，由上述分析可知 ，而 ，
所以
，
所以 ，
令 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，
函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 .
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
例10．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，
当直线 与 轴垂直时， （其中 为坐标原点）.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 在第一象限，直线 的倾斜角为锐角，过点 作 的切线与 轴交于点 ，连接 交 于另一点
为 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 面积之比的最大值.【解析】（1）将 代入 ，则 ，
由 ，故 为等腰直角三角形，故 ，即 ，
所以 ，故准线方程为 .
（2）设 ，直线 ，联立抛物线得 ，
所以 ，则 ，故 ，
由 ，则 ，故 ，直线 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 ，联立抛物线得 ，
所以 ，则 ，故 ，
综上，直线 ，令 ，则 ，故 ，
由直线 的倾斜角为锐角，故 ，则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
则 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 与 面积之比的最大值 .
例11．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆，且过 两点．
(1)求椭圆E的方程和离心率e；
(2)若经过 有两条直线 ，它们的斜率互为倒数， 与椭圆E交于A，B两点， 与椭圆E交于C，D
两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究： 与 的面积之比是否为定值？
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
则 的方程 ；
（2）
由已知可得直线 的斜率存在，且不为 ，也不为 ，
设直线 ，（ 且 ），联立 可得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ， ，
则 ， .
所以 ， ，
所以 ，
因为两直线斜率互为倒数，则 ，用 代换 点坐标中的 得 .
所以 ，
所以直线 即
所以 恒过定点 ，
设点 、 到直线 的距离分别是 ， ，
则 .
与 的面积之比是定值，定值为4.
例12．（2023·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点
为 ，已知 ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
【解析】（1）如图，
由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .
变式9．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点 ，关于原点 对称的动点 ， 到定直
线 的距离分别为 ， ，且 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程，并说明曲线 是什么曲线？
(2)已知点 ， 是直线 与曲线 的两个交点， ， 在 轴上的射影分别为 ， （
， 不同于原点 ），且直线 与直线 相交于点 ，求 与 面积的比值.
【解析】（1）设 ， .
由 有 ， ，
两边平方得 ，
化简得 ，
即曲线 的方程为 或 .
曲线 是以点 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆与 轴组成的曲线.
（2）设直线 与椭圆相交于 ， 两点，则 ， .令 ，将 代入 并整理得 ，， ，
.
直线 的方程为： .
设 ，则 ，
同理直线 与直线 相交于点 ， .
，其中 .
从而 ， 与 重合.
因为 ，所以 .
又 ， ，则 .
所以 与 面积的比值为1.
变式10．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： 上一点 到焦点F
的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一交点分别为
为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
【解析】（1）依题意得 ，解得 ，所以抛物线方程为 .
（2）抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 .
，由 ，而 ，
故解得 .同理可求得 .
，
同理 ，
所以
，
故当 时， 取得最小值为 .变式11．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点
分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得 ，即 ①．
当点 为 的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值，
所以 ，即 ②．
联立①②，得 ．
故 的方程为 ．
（2）
与 的面积之比为定值．由（1）可得 ，
由题意设直线 ．
联立 得 ，
则 ，
，
所以 ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
同理可得 ．
故 与 的面积之比为
，
即 与 的面积之比为定值 ．
变式12．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右
顶点和上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.
【解析】（1）∵ 、 是椭圆 ，的两个顶点，且 ，直线 的斜率为 ，由 ， ，得 ，
又 ，
解得 ， ，
∴椭圆的方程为 ；
（2）
设直线 的方程为 ，则 ， ，
联立方程 消去 ，
整理得 ， ，得
设 ， ，∴ ， .
（i） ， ，
∴ ，
∴ 的面积与 的面积之比为1；
（ii）证明：
综上， .
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型例13．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且
经过点 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)直线 与椭圆 交于点 为 的右焦点，直线 分别交 于另一点 、 ，
记 与 的面积分别为 ，求 的范围．
【解析】（1）由离心率为 ，且 经过点 可得 ，又 ，
解得 ，所以椭圆 ；
（2）设 ，则 ， ，
令 ， ，
可得 ，
代入 ，得 ，
又 ，得 ，
设 ， ，
可得 ，
代入 ，得 ，
又 ，得 ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ．
例14．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动
点，且直线 与 的斜率之积等于 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线 和 分别与直线 交于点M，N,问：是否存在点P使得 与 的面积相等？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为点B与点 关于原点O对称，所以点B的坐标为 .
设点P的坐标为 ，则由直线 与 的斜率之积等于 ，得 ，
化简得 ，故动点P的轨迹方程为 .
（2）若存在点P使得 与 的面积相等，
设点P的坐标为 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 .
作直线 ，作 于 ， 于 ，则 ，
所以 ，同理 ，所以可得 ，
整理得 ，解得 ；
因为 ，所以 .
故存在点P使得 与 的面积相等，此时点P的坐标为 .例15．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线的方程为 ，F
是抛物线的焦点，椭圆的方程为 ，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长
， 分别与椭圆交于P，Q两点．
(1)求 的值；
(2)若 恒成立，求椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，若 的最小值为1，求抛物线的方程（其中 ， 分别是 和
的面积）．
【解析】（1）设直线OM的斜率为 ，直线ON的斜率为 ，
由题可知，直线MN的斜率不为0，设 ，
设直线 ，
则由 ，可得 ，
易知 ，且 ，
则 ；（2）设 ，
由题可知， ，其中 ，
联立方程 ，同理 ，
因为：
．
因为 为定值，所以上式与 无关，
所以当 ，即 时，此时 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ．
（3）因为 ，
由（2）可知，当 时，
，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
此时抛物线方程为 .
变式13．（2023·四川·校联考一模）已知点 在椭圆 上，点
在椭圆C内．设点以 为 的短轴的上、下端点，直线 分别与椭圆C相交于点 ，且
的斜率之积为 ．(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）设 ，依题意知 ， ，
则 ，整理有： ．
因为椭圆C过点 ，所以 ，所以椭圆的方程为 ．
（2）由椭圆 ，可得 ， ，
可得 ，代入椭圆 ，整理得 ，
解得 ，则 ，所以 ，
又由 ，代入椭圆 ，整理有 ，
解得 ，则 ，所以 ，
所以 ，
，
于是
，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 的范围为 ．变式14．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 在椭圆C： 上，
点 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点
E，F，且EA，EB的斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
【解析】（1）设 ，依题意 ， ，
可得 ，整理可得 ，
又椭圆C过点 ，所以 ，故椭圆C的方程为 ；
（2）依题意，可知AM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
又BM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
所以 ，
，则
,
由于 ，所以 ，解得 .
变式15．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点
为 ，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
【解析】（1）因为 的周长为 ，即
所以 ，可得 ，
由椭圆的离心率 ，可得 ，从而 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：设 ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立方程 ，整理得 ，则 ，
同理可得， ．
因为 ，
所以
所以 是定值．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
例16．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，且E的渐近线方程为 ．
(1)求E的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积
的最小值．
【解析】（1）由题意，得 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
故 的方程为 ．
（2）根据题意，直线 ， 的斜率都存在且不为0，
设直线 ， ，其中 ，
因为 ， 均与 的右支有两个交点，所以 ， ，所以 ，将 的方程与 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
用 替换 ，可得 ，
所以 ．
令 ，所以 ，
则 ，
当 ，即 时，等号成立，
故四边形 面积的最小值为 ．
例17．（2023·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ，
，M为椭圆E的上顶点， ，点 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面
积的最小值.
【解析】（1）设 ，由 ，有 .又由 ，有 （O为坐标原点），可得 ， ，
可得椭圆E的方程为 ，
代入点N的坐标，有 ，解得 ， ，
故椭圆E的标准方程为 ；
（2）①当直线AB的斜率不存在或为0时， 为长轴长或 ，
不妨设 ， ，
故 ；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB： ， ， ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，而 ，
综上：四边形ACBD的面积的最小值为 .
例18．（2023·江西·高三统考阶段练习）已知直线 与抛物线 交于 两点，
.
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
【解析】（1）设 ，
由 ，可得 ，
易得 ，所以 ，
则 ，
即 ，因为 ，所以 .
（2）由题意可得抛物线 的焦点为 ，直线 的方程为 .
联立 ，化简可得 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 .
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
例19．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆 过 和
两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分别
交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）依题意将 和 两点代入椭圆 可得
，解得 ；
所以椭圆方程为
（2）（i）易知 ，由椭圆对称性可知，不妨设 ， ；
根据题意可知直线 斜率均存在，且 ；
所以直线 的方程为 ， 的方程为 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
则 ， ；
所以 ；
即可知 为钝角，
所以点B在以 为直径的圆内；
（ii）易知四边形 的面积为 ，
设 ，则 ，当且仅当 时等号成立；
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，
由对称性可知，即当点 的坐标为 或 时，
四边形 的面积最大，最大值为6.
例20．（2023·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知椭圆C： 经过点 ，O为
坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
【解析】（1）由题意可设：直线l ， ，则 ，可得：直线l的斜率 ，直线OM的斜率 ，
因为A，B两点在椭圆C上，则 ，
两式相减得整理得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
又因为点 在椭圆C上，则 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为 的中点，可得 ，
则 ，可得直线l的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
可得点 到直线l的距离 ，
由（1）可知：椭圆C的标准方程为 ，即 ，
联立方程 ，消去y得 ，
可得 ，且 ，
则 ，所以四边形OAPB的面积 .
例21．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 .已知椭圆 的
一个焦点坐标为 ，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求“共轭点对” 中点 所在直线 的方程；
(3)设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ，（2）中的直线 与椭圆 交于两点 ，且 点
的纵坐标大于0，设四点 在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形 的面积小于 .
【解析】（1）依题意，椭圆 的另一焦点为 ，
因此 ，
于是 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设“共轭点对” 中点B的坐标为 ，由（1）知，点 在椭圆C： 上，
依题意，直线l的方程为 ，整理得 ，
所以直线 的方程为 .
（3）由（2）知，直线 ： ，由 ，解得 或 ，则 ，
，设点 ， ，则 ，两式相减得 ，
又 ，于是 ，则 ，有 ，线段PQ被直线l平分，
设点 到直线 的距离为d，则四边形 的面积 ，
而 ，则有 ，
设过点P且与直线l平行的直线 的方程为 ，则当 与C相切时，d取得最大值，
由 消去y得 ，
令 ，解得 ，
当 时，此时方程为 ，即 ，解得 ，
则此时点P或点Q必有一个和点 重合，不符合条件 ，从而直线 与C不可能相切，
即d小于平行直线 和 （或 ）的距离 ，
所以 .
变式16．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆 ： （ ）左、右
焦点分别为 ， ，且 为抛物线 的焦点， 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ， 为椭圆 上不同两点，且都在 轴上方，满足 .
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（ⅱ）若直线 与抛物线 无交点，求四边形 面积的取值范围.【解析】（1）依题意得 ，则 ， ，而 ，
于是 ，
从而 . 又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）如图，设 直线交椭圆于另一点 ， 直线交椭圆于另一点 ，
由 ，故 ，由椭圆对称性， ，且四边形 为平行四边形.
（ⅰ）由题意直线 的斜率不为0，设直线 ： ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
由 （*）带入上式，解得： ，
故 ，由于 ， ，所以 ，
所以 ，故 的斜率为1.
（ⅱ）由 ，消去 整理得 ，由 得 .
所以 ，
与 间的距离 （即点 到 的距离），
故 ，
令 ，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
则 ，
所以四边形 的面积的取值范围为 .变式17．（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆 的离心率 ，
且经过点 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线 与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形 为平行四边形.试
探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形 的面积；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）由已知可得： ， ，
可得： ， ，椭圆E的方程为 .
（2）四边形OAMB的面积为定值 ，理由如下：
将 代入 可得： ，
设 ， 则 ， ，
且 ，
由于四边形OAMB为平行四边形，则 ，
则点 ，代入椭圆E的方程，化简可得： ，
此时 恒成立，
由于点O到直线AB的距离为 ，
而 ，又由 ，可得 ，
从而 ，
又 .
所以四边形OAMB的面积为定值 .
变式18．（2023·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆 ：
（ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，当 ， 斜率均存在时，
，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于 ， 两
点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
【解析】（1）设 ，因为 ，
，代入椭圆 得： ，
点 的轨迹方程 为： .
（2）设 ，由（1）则 ，
①当直线 不与坐标轴重合时，由 ，知 为 中点，
，
直线 ： ，
代入椭圆 ： 的方程得：
即： ，设 ， ，
由根与系数关系，
，
设 表示点 到直线 的距离， 表示点 到直线 的距离，
；
它法：利用比例关系转化： ，酌情给分.
②当直线 与坐标轴重合时，
不妨取 ， ， ，
或 ， ， ，
综上所述：四边形 的面积是 .
变式19．（2023·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线 ： 与圆 ：
相交于 ， ， ， 四个点．(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)四边形 的对角线交点是否可能为 ，若可能，求出此时 的值，若不可能，请说明理由；
(3)当四边形 的面积最大时，求圆 的半径 的值．
【解析】（1）将 代入 ，并化简得 ，解得 或 ，
代入抛物线方程可得
， ， ，
；
（2）联立抛物线与圆的方程有 ，可得 ．
不妨设 与 的四个交点的坐标为 ， ， ， ．
直线 的方程为 ，
由对称性，对角线交点肯定在 轴上，令 ，
解得交点坐标为 ．若交点为 点，则 ，则 ，不可能．
（3）联立抛物线与圆的方程有 ，可得 ．
由于四边形 为等腰梯形，因而其面积
则 ，
设 ，则 ，
将 ， 代入上式，并令 ，
得
求导数，
令 ，解得： ， （舍去）．当 时， ；此时 单调递增，
当 时， ；当 时， ．此时 单调递减，
故当且仅当 时， 取得最大值，即此时四边形 的面积最大，
此时 ．
变式20．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆 ： （ ）与椭圆 ： （
）的离心率相同，且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在
椭圆 上，试探究梯形 的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知， ，且 ，
解得 ， ．
（2）梯形 的面积是定值，该定值为 ．
理由如下：
由（1）知 ： ， ： ,
设 ， ， ，则 ，
因为 ， ，所以A，B分别为PD，PC的中点，则 ， ，则 ，
作差可得， ．
因为 ，即 ，所以 ．
同理可得， ，所以C，D都在直线 上，
即直线CD的方程为 ．
联立 ，可得 ， ，
则 ，
即 ．
又因为点P到直线CD的距离 ，
所以 的面积为 ．
又因为 ∽ ， ，所以 ，
所以梯形ABCD的面积为 ．
变式21．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， ， ，
为线段 上异于 的一动点，点 满足 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 是曲线 上两点，且在 轴上方，满足 ，求四边形 面积的最大值.
【解析】（1） ， ， ，
，
点轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，设椭圆方程为 ，则 ， ， ，
点 的轨迹 的方程为： .
（2）连接 ，延长交椭圆 于点 ，连接 ，
由椭圆对称性可知： ，又 ， 四边形 为平行四边形，
， ， 且 三点共线
四边形 的面积 ，
设直线 ， ，
由 得： ，
， ，
，
又 ， 点 到直线 的距离即为点 到直线 的距离，
点 到直线 的距离 ， ，
设 ，则 ， ， ，
又 ， 当 ，即 时，四边形 面积取得最大值，最大值为 .
变式22．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知 为坐标原点， ， 是椭
圆 的两个焦点，斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点坐标为 ，直线 过原点
且与 交于 ， 两点，椭圆 过 的切线为 ， 的中点为 .(1)求椭圆 的方程.
(2)过 作直线 的平行线 与椭圆 交于 ， 两点，在直线 上取一点 使 ，求证：四边形
是平行四边形.
(3)判断四边形 的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题知，设椭圆方程为 ，
设 ： ， ，则 ，
联立 得 ，
因为线段 的中点坐标为 ，
所以 ，
，
所以 ，再代入 得 ，
又 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，
则 ，因 的中点为 ，所以 ，
根据已知，过 点的切线方程斜率为 ，
又 ，知 ，
所以 ： ，
即 ， ，联立 得 ，
所以 ，
，
可得 ，
即 是 的中点，
又 ，知 是 的中点，
所以四边形 是平行四边形.
（3）由（2）知， ， ，
，
： ，即 ，
设点 到直线 的距离为 ，
所以
，
，
所以 ，所以四边形 的面积为 .
即四边形 的面积是定值，且为 .
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 与圆 ： 相交于
四个点．
(1)当 时，求四边形 面积；
(2)当四边形 的面积最大时，求圆 的半径 的值．
【解析】（1）将 代入 ，并化简得 ，解得 或 ，代入抛物线方
程可得 .
故 ；
（2）不妨设 与 的四个交点的坐标为 ．
则直线 的方程分别为 ， ，两方程相加可得
，故 ，解得点 的坐标为 ．
联立抛物线与圆的方程有 ，即 ，可得 .设 ，则 ，由（1）知 由于四边形 为等腰梯形，因而其面积
则 将 代入上式，并令 ，得
．
求导数， 令 ，解得： （舍去）．
当 时， ；当 时， ；当 时， .
故当且仅当 时，此时 ．
变式24．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线
的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点 ，点 恰好在
上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范围.
【解析】（1）由题知 过点 ，则 ，解得 ，
.
（2）设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
，
则 ，而 ，则 ，
故以 为切点的切线为 ，即 ，
同理以 为切点的切线为 ，则 ，
由 ，故两式作差得： ，所以 ，
两式求和得： ，
所以点 由 在椭圆上 ，即 .
点 到直线 的距离 ，
所以 ， ，
，
而 、 在 上递增且恒正，
则 在 上递增， .
变式25．（2023·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在两个定点 ，使得
（定值），其中 分别是直线 的斜率， 分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）由题意得，
解得 ，
则椭圆 的标准方程为 .
（2）①设 ，
把 与椭圆 的标准方程联立，
消去 ，可得 ，
注意到 为方程 的两根，
故有恒等式 ，
则 ，
同理，把 与椭圆 的标准方程联立，
消去 ，可得 ，
注意到 为方程 的两根，
故有恒等式 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
若 为定值，则必有 ，计算可得 或 ，
故 ．
②不妨设点 ，点 ，点 ，点 到直线 的距离分别是 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
四边形 面积
（当 时取等号），
所以四边形 面积的最大值是 ．
