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重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类
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1、三角形的面积处理方法
（1） 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2） 水平宽·铅锤高 或（3）在平面直角坐标系 中，已知 的顶点分别为 ， ， ，三角
形的面积为 ．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般
处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求
最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法
计算面积，尽可能降低计算量．
题型一：三角形的面积问题之 底·高
例1．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆 的左焦点为 ，且过
点 .
(1)求C的方程；
(2)不过原点O的直线 与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求 的斜率；
（ii）求 的面积的取值范围.例2．（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在直
线 上运动，过点 与 垂直的直线和 的中垂线相交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设点 是轨迹 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 的面积的最
小值.
例3．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结
合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一
点 满足 .
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的
垂线，交 于 两点，求 面积的最小值.
变式1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线 实轴的一个端点是 ，虚轴的一
个端点是 ，直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与曲线 有两个不同的交点 是坐标原点，求 的面积最小值.变式2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过
点 ，且左焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满
足 ，求 面积的最大值.
题型二：三角形的面积问题之分割法
例4．（2023·全国·高三专题练习）设动点M与定点 的距离和M到定直线l： 的距离的
比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
例5．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点
在 轴上，离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，点 ，求三角形 面积的最大值．
例6．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到渐
近线的距离为 ．
(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 为双曲线右支上一动点，过点 与双曲线相切的直线 ，直线 与双曲线的渐近线分别交于M，N
两点，求 的面积的最小值．
变式3．（2023·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆 的右焦点 作两条相互
垂直的弦 ， . ， 的中点分别为 ， .
(1)证明：直线 过定点；
(2)若 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值.
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，若点 为
双曲线 在第一象限上的一点，且满足 ，过点 分别作双曲线 两条渐近线的平行线 、
与渐近线的交点分别是 和 .
（1）求四边形 的面积；
（2）若对于更一般的双曲线 ，点 为双曲线 上任意一点，过点 分别作双
曲线 两条渐近线的平行线 、 与渐近线的交点分别是 和 .请问四边形 的面积为定值吗？
若是定值，求出该定值（用 、 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.例8．（2023·浙江·高三竞赛）已知直线 与椭圆 ： 交于 、 两点，直线 不经
过原点 .
（1）求 面积的最大值；
（2）设 为线段 的中点，延长 交椭圆 于点 ，若四边形 为平行四边形，求四边形
的面积.
例9．（2023·全国·高三专题练习） 分别是椭圆于 的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求 的取值范围；
(2)设 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四
边形AEBF面积的最大值.
变式4．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，
过 的直线交 于 ， 两点（其中点 在第一象限），过点 作 的切线交 轴于点 ，直线 交 于
另一点 ，直线 交 轴于点 .
(1)求证： ；(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，当点 的横坐标大于2时，求 的最小值
及此时点 的坐标.
变式5．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆 ： 的一个
顶点为 ，离心率为 ， 为椭圆 的右焦点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若满足 ，求 的值；
(3)过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，过点 ， 分别作直线 ： 的垂线（点 ， 在直线
的两侧）．垂足分别为 ， ，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存
在常数 ，使得 ， ， 总成等比数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
变式6．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆 ，点 ，圆周上任
一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的动直线 与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为 .过点 作 于点 ，过点
作 于点 .记 的面积分别为 ， ， .问是否存在实数 ，使得
成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
变式7．（2023·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ，经过
轴正半轴上点 的直线 交 于不同的两点 和 .(1)若 ，求 点的坐标；
(2)若 ，求证：原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
(3)若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问： 的面积是否存在最小值？若存
在，求出最小值，并求出 点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在 中，设
， ，则 的面积为
变式8．（2023·四川眉山·高三校考阶段练习）在 中，已知点 ， ， 边上的
中线长与 边上的中线长之和为6；记 的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ： ， ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ， ，直
线 ， 与曲线 的另一个交点分别是点 ， ，求 面积的最大值.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
例10．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两
点，当直线 与 轴垂直时， （其中 为坐标原点）.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 在第一象限，直线 的倾斜角为锐角，过点 作 的切线与 轴交于点 ，连接 交 于另一点
为 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 面积之比的最大值.例11．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆
，且过 两点．
(1)求椭圆E的方程和离心率e；
(2)若经过 有两条直线 ，它们的斜率互为倒数， 与椭圆E交于A，B两点， 与椭圆E交于C，
D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究： 与 的面积之比是否为定值？
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
例12．（2023·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦
点为 ，已知 ．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
变式9．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点 ，关于原点 对称的动点 ， 到定直
线 的距离分别为 ， ，且 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程，并说明曲线 是什么曲线？
(2)已知点 ， 是直线 与曲线 的两个交点， ， 在 轴上的射影分别为 ， （
， 不同于原点 ），且直线 与直线 相交于点 ，求 与 面积的比值.变式10．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： 上一点 到焦点
F的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一交点分别为
为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
变式11．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点
分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
变式12．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右
顶点和上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
例13．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)直线 与椭圆 交于点 为 的右焦点，直线 分别交 于另一点 、 ，
记 与 的面积分别为 ，求 的范围．
例14．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动
点，且直线 与 的斜率之积等于 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线 和 分别与直线 交于点M，N,问：是否存在点P使得 与 的面积相等？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
例15．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线的方程为 ，
F是抛物线的焦点，椭圆的方程为 ，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延
长 ， 分别与椭圆交于P，Q两点．(1)求 的值；
(2)若 恒成立，求椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，若 的最小值为1，求抛物线的方程（其中 ， 分别是 和
的面积）．
变式13．（2023·四川·校联考一模）已知点 在椭圆 上，点
在椭圆C内．设点以 为 的短轴的上、下端点，直线 分别与椭圆C相交于点 ，且
的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求 的取值范围．
变式14．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 在椭圆C： 上，
点 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于
点E，F，且EA，EB的斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
变式15．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点
为 ，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
例16．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，且E的渐近线方程为 ．
(1)求E的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积
的最小值．
例17．（2023·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ，
，M为椭圆E的上顶点， ，点 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的
面积的最小值.例18．（2023·江西·高三统考阶段练习）已知直线 与抛物线 交于 两点，
.
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
例19．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆 过 和
两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分别
交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
例20．（2023·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知椭圆C： 经过点 ，O为
坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为 .(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
例21．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 .已知椭圆 的
一个焦点坐标为 ，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求“共轭点对” 中点 所在直线 的方程；
(3)设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ，（2）中的直线 与椭圆 交于两点 ，且 点
的纵坐标大于0，设四点 在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形 的面积小于 .
变式16．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆 ： （ ）左、右
焦点分别为 ， ，且 为抛物线 的焦点， 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ， 为椭圆 上不同两点，且都在 轴上方，满足 .
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（ⅱ）若直线 与抛物线 无交点，求四边形 面积的取值范围.
变式17．（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆 的离心率 ，
且经过点 .
(1)求椭圆E的方程；(2)设直线 与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形 为平行四边形.
试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形 的面积；若不是定值，请说明理
由.
变式18．（2023·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆 ：
（ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，当 ， 斜率均存在时，
，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于 ， 两
点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
变式19．（2023·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线 ： 与圆 ：
相交于 ， ， ， 四个点．
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)四边形 的对角线交点是否可能为 ，若可能，求出此时 的值，若不可能，请说明理由；
(3)当四边形 的面积最大时，求圆 的半径 的值．变式20．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆 ： （ ）与椭圆 ： （
）的离心率相同，且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线BC与直线AD相交于点P．且点P
在椭圆 上，试探究梯形 的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
变式21．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， ， ，
为线段 上异于 的一动点，点 满足 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 是曲线 上两点，且在 轴上方，满足 ，求四边形 面积的最大值.
变式22．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知 为坐标原点， ， 是椭
圆 的两个焦点，斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点坐标为 ，直线 过原点
且与 交于 ， 两点，椭圆 过 的切线为 ， 的中点为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)过 作直线 的平行线 与椭圆 交于 ， 两点，在直线 上取一点 使 ，求证：四边形
是平行四边形.
(3)判断四边形 的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 与圆 ： 相交于
四个点．(1)当 时，求四边形 面积；
(2)当四边形 的面积最大时，求圆 的半径 的值．
变式24．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线
的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点 ，点 恰好在
上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范围.
变式25．（2023·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在两个定点 ，使得
（定值），其中 分别是直线 的斜率， 分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
