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３ ０２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
命题点 9 计数原理、概率与统计
M"A
计数原理作为高考的常考内容，可单独考查，也会与古典概型结合考查．概率与统计是高考考查的热点，各种题型均有涉及，
通常以实际生活为背景命题．主要考查古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望、独立性
检验等问题，同时注重概率与统计、概率与其他知识（如数列和函数）结合的综合问题．
命题方向：
．二项式定理的应用，考查特定项的系数、系数和的性质等．
１
．统计数据的分析，多以统计图表形式提供数据，并对数据的数字特征进行分析；统计数据的数字特征与回归分析，独立性
２
检验等的综合．
．计数原理、概率与统计等知识相结合，考查随机变量的分布列和均值、独立事件的概率、条件概率、二项分布和正态分布等．
３
．统计与概率和函数、数列、不等式等内容结合，这有可能成为新的命题热点．
４
预测探究
识透高频考点 设事件Ａ 甲工厂提高了生产该零件的质量指标 事件Ｂ
＝“ ”， ＝
该大型企业把零件交给甲工厂生产 已知 Ｐ Ｂ 证
１．（ 重庆八中 月模拟， ）已知盘子Ａ中有 颗糖 盘子Ｂ “ ”， ０＜ （ ）＜１，
２０２４ ５ ７ ３ ，
明 Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ ．
中有 颗糖 小琨每次随机从其中一个盘子中选择吃一颗糖 ： （ ｜ ）＞ （ ｜ ）
４ ， ，
直到 颗糖全部吃完为止 则盘子Ａ中的糖先吃完的概率为 基础知识运用 离散型随机变量的分布列和数学期望；条件概
７ ，
Ｃ 率公式
（ ）
解析 设甲工厂试生产的这批零件有ｍ件 乙工厂试
７ ９ ２１ ４３ （１） ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 生产的这批零件有ｎ件
１４ １６ ３２ ６４ ，
２．（多选）（ 广东佛山质检（二）， ）在一个有限样本空间 事件Ｍ 混合放在一起零件来自甲工厂 事件Ｎ 混合放
２０２４ １１ ＝“ ”， ＝“
在一起零件来自乙工厂 事件Ｃ 混合放在一起的某一零
中 假设Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ １ 且Ａ与Ｂ相互独立 Ａ与Ｃ ”， ＝“
， （ ）＝ （ ）＝ （ ）＝ ， ，
３ 件是合格品
”，
互斥 则 ＢＣＤ
， （ ） ｍ ｎ
则Ｐ Ｍ Ｐ Ｎ
（ ）＝ｍ ｎ， （ ）＝ｍ ｎ，
Ｐ Ａ Ｂ ２ ＋ ＋
Ａ． （ ∪ ）＝
３ ｍ
Ｂ． Ｐ （ Ｃ ｜ Ａ ）＝２ Ｐ （ Ａ ｜ Ｃ ） Ｐ （ Ｃ ）＝ Ｐ （ Ｃ ｜ Ｍ ） Ｐ （ Ｍ ）＋ Ｐ （ Ｃ ｜ Ｎ ） Ｐ （ Ｎ ）＝ ９４ ％ ×ｍ ＋ ｎ＋９８ ％ ×
Ｐ Ｃ ＡＢ
Ｃ． （ ｜ ）＝１ ｎ
％ 计算得 ｍ ｎ．
ｍ ｎ＝９７ ， ３ ＝
若Ｐ Ｃ Ｂ Ｐ Ｃ Ｂ １ 则Ｂ与Ｃ互斥 ＋
Ｄ． （ ｜ ）＋ （ ｜ ）＝ ，
２ ｍ
( ) ４ 所以Ｐ （ Ｍ ）＝ｍ ｎ＝ １ ．
３．（ 山东省实验中学模拟， ）已知 ａｘ １ 的展 ＋ ４
２０２４ １２ （ －２） １＋ ｘ
( )
Ｘ的可能取值为 Ｘ Ｂ １
开式中常数项为 则实数ａ的值为 ． ０，１，２，３， ～ ３， ，
－２， ０ ４
４．（ 广东深圳二模， ）某大型企业准备把某一型号的零件 ( ) ( )
２０２４ １７ ０ ３
Ｐ Ｘ ０ １ ３ ２７
交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产 质检人员抽样 （ ＝０）＝Ｃ３ ＝ ，
， ４ ４ ６４
发现 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 ％ 乙工厂试 ( ) １ ( ) ２
： ９４ ； Ｐ Ｘ １ １ ３ ２７
生产的另一批零件的合格品率为 ％ 若将这两批零件混合 （ ＝１）＝Ｃ３ ＝ ，
４ ４ ６４
９８ ；
( ) ( )
放在一起 则合格品率为 ％． ２ １
， ９７ Ｐ Ｘ ２ １ ３ ９
（ ＝２）＝Ｃ３ ＝ ，
从混合放在一起的零件中随机抽取 个 用频率估计概 ４ ４ ６４
（１） ３ ， ( ) ( )
率 ， 记这 ３ 个零件中来自甲工厂的个数为Ｘ ， 求Ｘ的分布列和 Ｐ （ Ｘ ＝３）＝Ｃ ３ ３ １ ３ ３ ０ ＝ １ ．
数学期望 ４ ４ ６４
； 所以Ｘ的分布列为
为了争取获得该零件的生产订单 甲工厂提高了生产该零
（２） ，
件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下 该大型 Ｘ
０ １ ２ ３
，
企业把零件交给甲工厂生产的概率 大于在甲工厂不提高质
， Ｐ ２７ ２７ ９ １
量指标的条件下 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率． ６４ ６４ ６４ ６４
，
命题点9 计数原理、概率与统计 ３ ０３
从这 名学生中随机抽取 人进行座谈．求这 名同学中经常
数学期望Ｅ Ｘ １ ３ ． ５ ２ ２
（ ）＝３× ＝
４ ４
整理错题且数学成绩优秀的人数Ｘ的分布列和数学期望．
证明 因为在甲工厂提高质量指标的条件下 该大型企业
（２） ： ， 附 χ ２ ｎ （ ａｄ － ｂｃ ） ２ ．
把零件交给甲工厂生产的概率 大于在甲工厂不提高质量指 ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
， （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
标的条件下 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率 所以
， ， α ． ． ． ． ． ．
０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ 即 （ ） （ ）． ｘ ． ． ． ． ． ．
（ ｜ ）＞ （ ｜ ）， Ｐ （ Ａ ） ＞ Ｐ Ａ α ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
（ ）
综合知识考查 统计图表；独立性检验；分布列和数学期望
因为Ｐ Ａ Ｐ Ａ
（ ）＞０， （ ）＞０，
解析 由题意可得 ． ． ． ｍ ．
所以Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ ． （１） （０００２５＋０００５＋００１７ ５＋ ＋００１）×
（ ） （ ）＞ （ ） （ ）
解得ｍ ．
因为Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ ２０＝１， ＝００１５，
（ ）＝１－ （ ）， （ ）＝ （ ）－ （ ），
因为 ． ． ． ． ． ．
所以Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ （０００２５＋０ ００５＋０ ０１７ ５）×２０＝０ ５，（０ ００２ ５＋０００５＋
（ ）（１－ （ ））＞（ （ ）－ （ ）） （ ），
． ． ． 所以学生期中考试数学成绩的上四
即Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ００１７５＋００１５）×２０＝０８，
（ ）＞ （ ） （ ），
分位数在区间 内 所以学生期中考试数学成绩的上
所以Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ ［１１０，１３０） ，
（ ）－ （ ） （ ）＞ （ ） （ ）－ （ ） （ ），
． ．
即Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ ＡＢ ． 四分位数为 ０７５－０５ ３８０分．
（ ）（１－ （ ））＞ （ ）（ （ ）－ （ ）） １１０＋２０× ． ＝
又因为 Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ ０３ ３
１－ （ ）＝ （ ）， （ ）－ （ ）＝ （ ）， 数学成绩优秀的有 ％ 人 不优秀的有
所以Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ ． （２） １００×５０ ＝５０ ， １００×
（ ） （ ）＞ （ ） （ ） ％ 人 经常整理错题的有 ％ ％ 人 不
Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ ５０ ＝５０ ， １００×（４０ ＋２０ ）＝６０ ，
因为 Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ 所以 （ ） （ ）． 经常整理错题的有 人 经常整理错题且成绩优秀
０＜ （ ）＜１，０＜ （ ）＜１， Ｐ （ Ｂ ） ＞ Ｐ Ｂ １００－６０＝４０ ，
（ ） 的有 ％ 人 则 列联表为
即得证Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ ． ５０×７０ ＝３５ ， ２×２
（ ｜ ）＞ （ ｜ ）
整理错题情况 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
５．（ 湖南长沙长郡中学适应性测试（四）， ）为了研究学生
２０２４ １６ 经常整理
每天整理数学错题情况 某课题组在某市中学生中随机抽取 ３５ ２５ ６０
， 不经常整理
了 名学生 调查他们期中考试的数学成绩和平时整理数 １５ ２５ ４０
１００ ， 合计
学错题情况 并绘制了两个统计图 图 为学生期中考试数学 ５０ ５０ １００
， ， １ 零假设为Ｈ 数学成绩优秀与经常整理数学错题无关
成绩的频率分布直方图 图 为学生一个星期内整理数学错 ０： ，
， ２
题天数的扇形图．若本次数学成绩在 １１０ 分及以上视为优秀 ， χ ２ ＝ １００×（３５×２５－１５×２５） ２ ＝ ２５ ＞３ ． ８４１＝ ｘ ０ ． ０５，
５０×５０×６０×４０ ６
将一个星期内有 天及以上整理数学错题视为 经常整理
４ “ ”， 根据小概率值α ． 的独立性检验 我们推断Ｈ 不成立 即
少于 天视为 不经常整理 ．已知数学成绩优秀的学生中 经 ＝００５ ， ０ ，
４ “ ” ， 认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联 此推断犯错
，
常整理错题的学生占 ％．
７０ 误的概率不大于 ． ．
００５
整理错题情况 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 由分层随机抽样知 随机抽取的 名学生中经常整理错题
（３） ， ５
经常整理 的有 人 不经常整理错题的有 人 则Ｘ的可能取值为
３ ， ２ ， ０，１，
经常整理错题的 名学生中 恰抽到ｋ人记为事件Ａ ｋ
不经常整理 ２， ３ ， ｋ（ ＝
ｋ ｋ
合计 则Ｐ Ａ Ｃ３·Ｃ ２ ２ － ｋ
０，１，２）， （ ｋ）＝ ２ （ ＝０，１，２），
Ｃ５
M( 参与座谈的 名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好
3C ２
抽到ｍ人记为事件Ｂ ｍ
N ｍ（ ＝０，１，２），
( )
则Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ ５ Ｐ Ｂ Ａ ５ ２ ２５
（ ０｜ ０）＝ １， （ ０｜ １）＝ ， （ ０｜ ２）＝ ＝ ，
１２ １２ １４４
Ｐ Ｂ Ａ ７ Ｐ Ｂ Ａ １ ５ ７ ３５
0 （ １｜ １）＝ ， （ １｜ ２）＝Ｃ２× × ＝ ，
4 １２ １２ １２ ７２
( )
２
图 图 Ｐ Ｂ Ａ ７ ４９
１ ２ （ ２｜ ２）＝ ＝ ，
１２ １４４
求图 中 ｍ 的值以及学生期中考试数学成绩的上四分
（１） １ Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ
位数
（ ＝０）＝ （ ０）· （ ０｜ ０）＋ （ １）· （ ０｜ １）＋ （ ２）·
； ２ １ １ ２
根据图 图 中的数据 补全上方 列联表 并根据小 Ｐ Ｂ Ａ Ｃ２ Ｃ３Ｃ２ ５ Ｃ３ ２５ １９３
（２） １、 ２ ， ２×２ ， （ ０｜ ２）＝ ２ ×１＋ ２ × ＋ ２ × ＝ ，
概率值α ． 的独立性检验 分析数学成绩优秀与经常整理
Ｃ５ Ｃ５ １２ Ｃ５ １４４ ４８０
＝００５ ， １ １ ２
数学错题是否有关 Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｃ３Ｃ２ ７ Ｃ３
？ （ ＝１）＝ （ １） （ １｜ １）＋ （ ２） （ １｜ ２）＝ ２ × ＋ ２ ×
Ｃ５ １２ Ｃ５
用频率估计概率 在全市中学生中按 经常整理错题 与
（３） ， “ ”
３５ ２３８
不经常整理错题 进行分层随机抽样 随机抽取 名学生 再 ＝ ，
“ ” ， ５ ， ７２ ４８０
３ ０４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
２ Ｐ ＡＢ ％
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｃ３ ４９ ４９ 故Ｐ ＡＢ ％．Ｐ Ｂ Ａ （ ） ３０ ３ ．
（ ＝２）＝ （ ２） · （ ２｜ ２）＝ Ｃ ２ ５ × １４４ ＝ ４８０ ， （ ）＝３０ （ ｜ ）＝ Ｐ （ Ａ ） ＝ ８０ ％＝ ８
故Ｘ的分布列如下 记Ａ 表示事件 经过ｎ次传球后 球在乙的手中
： （３） ｎ “ ， ”，
Ｘ ０ １ ２ 设ｎ次传球后球在乙手中的概率为ｐ ｎ， ｎ ∈ Ｎ ，
Ｐ １９３ ２３８ ４９ 则有ｐ １＝ １ ， Ａ ｎ ＋１＝ Ａ ｎ Ａ ｎ ＋１＋ Ａ ｎ Ａ ｎ ＋１，
４８０ ４８０ ４８０ ２
所以ｐ Ｐ Ａ Ａ Ａ Ａ
ｎ ＋１＝ （ ｎ ｎ ＋１＋ ｎ ｎ ＋１）
所以Ｅ Ｘ １９３ ２３８ ４９ ． ．
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝０７ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ａ
４８０ ４８０ ４８０ ＝ （ ｎ ｎ ＋１）＋ （ ｎ ｎ ＋１）
Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ａ
悟透新型考法 ＝ （ ｎ） （ ｎ ＋１｜ ｎ）＋ （ ｎ） （ ｎ ＋１｜ ｎ）
（ 河北邯郸三模， ） 年教育部印发的 进一步加强中 ｐ １ ｐ
２０２４ １７ ２０２１ 《 ＝（１－ ｎ）· ＋ ｎ·０
２
小学生体质健康管理工作的通知 中提出 中小学校要保障学
》 ，
１ ｐ
生每天校内 校外各 小时体育活动时间 每天统一安排 分 ＝ （１－ ｎ），
、 １ ， ３０ ２
钟的大课间体育活动．一学校某体育项目测试有 ％的人满分
而该校有 ％的学生每天运动时间超过两个小时
４０
这些人体育
， 即ｐ
ｎ ＋１＝－
２
１ ｐ
ｎ＋
２
１
，
ｎ
∈
Ｎ
，
２０ ，
( )
项目测试满分率为 ％． 所以ｐ １ １ ｐ １ 且ｐ １ １
５０ ｎ ＋１－ ＝－ ｎ－ ， １－ ＝ ，
从该校随机抽取三人 三人中体育项目测试相互独立 求三 ３ ２ ３ ３ ６
（１） ， ， { }
人中满分人数的分布列和期望 ； 所以 ｐ ｎ－ １ 是以 １ 为首项 ，－ １ 为公比的等比数列 ，
３ ６ ２
现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名 ( )ｎ
（２） 所以ｐ １ １ １ －１
学生 求他体育项目测试满分的概率 ｎ－ ＝ × － ，
， ； ３ ６ ２
体育测试前甲 乙 丙三人传球做热身训练 每次传球 传球 ( )ｎ －１ [ ( )ｎ]
（３） 、 、 ， ， 所以ｐ １ １ １ １ １ ．
ｎ＝ × － ＋ ＝ １－ －
者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人 第 次由甲将 ６ ２ ３ ３ ２
， １ [ ( )ｎ]
球传出 求第ｎ次传球后球在乙手中的概率． 即ｎ次传球后球在乙手中的概率是 １ １ ．
， １－ －
创新考法 概率与数列相结合 ３ ２
参透创新情境
解析 从该校随机抽取三人 每个人满分的概率为 ％．
（１） ， ４０
设抽取的三人中满分人数为Ｘ 则Ｘ ． （ 湖北武汉武昌 月质检， ）利用方程的方法可以将无限
， ＝０，１，２，３ ２０２４ ５ １９
( )
则Ｐ Ｘ ２ ３ ２７ 循环小数化为分数 例如将 ．·· 化为分数的方法如下 设 ．
（ ＝０）＝ １－ ＝ ， ， ０ ３ １ ： ０
５ １２５
( ) ·· ｘ 则 ．·· ｘ 即 ｘ ｘ 解得 ．·· ３１．这是
Ｐ （ Ｘ ＝１）＝Ｃ １ ３ ２ ３ ２ ＝ ５４ ， ３ １ ＝ ， ３１ ３ １ ＝１００ ， ３１＋ ＝１００ ， ０ ３ １ ＝ ９９
５ ５ １２５ 一种利用方程求解具有无限过程问题的方法 该方法在高中阶
( ) ，
２
Ｐ Ｘ ２ ２ ３ ３６ 段计算无限概率 无限期望问题时都有妙用．
（ ＝２）＝Ｃ３ ＝ ， 、
５ ５ １２５
( ) 已知甲 乙两人进行乒乓球比赛 每局比赛甲获胜的概率为 ２
Ｐ （ Ｘ ＝３）＝Ｃ ３ ３ ２ ３ ＝ ８ ， 、 ， ３ ，
５ １２５
则Ｘ的分布列为 乙获胜的概率为 １ 每局比赛的结果互不影响．规定 净胜ｍ局
， ：
３
Ｘ 指的是一方比另一方多胜ｍ局．
０ １ ２ ３
如果约定先获得净胜两局者获胜 求恰好 局结束比赛的
Ｐ ２７ ５４ ３６ ８ （１） ， ４
１２５ １２５ １２５ １２５ 概率．
( ) 如果约定先获得净胜三局者获胜 那么在比赛过程中 甲可
因为Ｘ Ｂ ２ （２） ， ，
～ ３， ，
５ 能净胜ｉ ｉ 局 设甲在净胜ｉ局时 继续比
（ ＝－３，－２，－１，０，１，２，３） ， ，
赛甲获胜的概率为Ｐ 比赛结束 甲 乙有一方先净胜三局 时
所以数学期望Ｅ Ｘ ２ ６ ． ｉ， （ 、 ）
（ ）＝３× ＝
５ ５ 需进行的局数为Ｘ 期望为Ｅ Ｘ ．
ｉ， （ ｉ）
用Ａ表示事件 抽到每天运动时间超过两个小时的学生
（２） “ ”， 求甲获胜的概率Ｐ
则Ｐ Ａ ％ Ｐ Ａ ％ ％．
（ｉ） ０；
（ ）＝２０ ， （ ）＝１－２０ ＝８０ 求Ｅ Ｘ ．
（ｉｉ） （ ０）
用Ｂ表示事件 抽到体育项目测试满分的学生
“ ”， 创新情境 利用无限过程的方程求解思想，解决题设问题
则Ｐ Ｂ ％ Ｐ Ｂ Ａ ％．
（ ）＝４０ ， （ ｜ ）＝５０ 解析 若 局结束比赛时甲获胜 则在前 局甲 乙各胜
（１） ４ ， ２ 、
又Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ ％ ％ ％ ( )
（ ）＝ （ ） （ ｜ ）＝２０ ×５０ ＝１０ ， ２
一局 并且第 局甲胜．概率为 １ ２ １ ２ １６
Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ ％ Ｐ ＡＢ ％ ， ３，４ Ｃ２× × × ＝ ；
（ ）＝ （ ）＋ （ ）＝１０ ＋ （ ）＝４０ ， ３ ３ ３ ８１
命题点9 计数原理、概率与统计 ３ ０５
若 局结束比赛时乙获胜 则在前 局甲 乙各胜一局 并且第 在甲净胜 局的前提下 继续比赛一局
４ ， ２ 、 ， （ｉｉ） －２ ， ：
( ) ２ 若甲赢 则甲的状态变为净胜 局 继续比赛至结束 还需要Ｅ
局乙胜．概率为 １ ２ １ １ ４ ． ， －１ ， ，
３，４ Ｃ２×
３
×
３
×
３
＝
８１ Ｘ 局 共进行了Ｅ Ｘ 局
（ －１） ， （ －１）＋１ ；
所以恰好 局结束比赛的概率为１６ ４ ２０． 若甲输 则甲的状态变为净胜 局 比赛结束 共进行了 局
４ ＋ ＝ ， －３ ， ， １ ，
８１ ８１ ８１
在甲净胜 局的前提下 继续比赛一局 所以Ｅ Ｘ ２ Ｅ Ｘ １
（２）（ｉ） －２ ， ： （ －２）＝ ［ （ －１）＋１］＋ ×１，
３ ３
若甲赢 则甲的状态变为净胜 局 继续比赛获胜的概率
， －１ ，
同理Ｅ Ｘ ２ Ｅ Ｘ １ Ｅ Ｘ
为Ｐ （ －１）＝ ［ （ ０）＋１］＋ ×［ （ －２）＋１］，
－１； ３ ３
若甲输 则甲的状态变为净胜 局 比赛结束．
， －３ ， Ｅ Ｘ ２ Ｅ Ｘ １ Ｅ Ｘ
（ ０）＝ ［ （ １）＋１］＋ ×［ （ －１）＋１］，
３ ３
根据全概率公式 得Ｐ ２ Ｐ ．
， －２＝ －１
３ Ｅ Ｘ ２ Ｅ Ｘ １ Ｅ Ｘ
（ １）＝ ［ （ ２）＋１］＋ ×［ （ ０）＋１］，
３ ３
同理Ｐ ２ Ｐ １ Ｐ Ｐ ２ Ｐ １ Ｐ Ｐ ２ Ｐ １ Ｐ Ｐ
－１＝ ０＋ －２， ０＝ １＋ －１， １＝ ２＋ ０， ２＝
３ ３ ３ ３ ３ ３ Ｅ Ｘ ２ １ Ｅ Ｘ
（ ２）＝ ×１＋ ×［ （ １）＋１］，
３ ３
２ １ Ｐ
＋ １， 联立解得Ｅ Ｘ ．
３ ３ （ ０）＝７
联立解得Ｐ ８ 即甲获胜的概率为 ８ ．
０＝ ，
９ ９
