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命题点6 数列 ２ ９３
命题点 6 数列
M"A
数列问题特别突出对数学思维能力的考查，问题的设计始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用
等．既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前ｎ项和公式等内容进行
大量技能训练，培养逻辑思维、运算求解能力．从近几年的高考题可以看出，数列部分以考查基础知识为主，同时锻炼运算求解能
力、逻辑思维能力等．重点考查对数列基础知识的掌握程度及灵活运用，同时也要重视对通性通法的培养．
命题方向：
．对基础知识的考查，主要包括：对数列的概念及表示方法的理解和应用；等差数列和等比数列的性质、通项公式、递推公式、前
１
ｎ项和公式中基本量的运算或者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰当变
形与转化求解数列的问题；利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题等．
．对综合能力的考查，如：通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前ｎ项和；数列与不等
２
式、函数等的综合问题．在最新的考卷结构中，新定义的数列题也会以压轴的身份出现在最后一题的位置，此类问题突显了数列
表示数字规律的特点，对学生的逻辑思维能力要求极高，应予以重视．
预测探究
识透高频考点 证明 由 得 ａ ２ ｎ ｎ ａｎ ２ ＋１ ｎ ＋１
（２） ： （１） ２ ＝２ ，２ ＝２ ，
１．（ ２０２４ 浙江绍兴二模， ３ ）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 所以ｄ ２ ｎ ＋１ －２ ｎ ２ ｎ
ｎ＝ ｎ ＝ｎ ，
Ｓ Ｓ ＋１ ＋１
且 ５ ２ 则ａ ａ Ｄ
５
－
２
＝６， ７－ ４＝ （ ）
所以Ｔ １ １ １ １ ２ ３ ４
ｎ
＋１
Ａ．９ Ｂ．１０ ｎ＝ｄ １ ＋ｄ ２ ＋ｄ ３ ＋…＋ｄ ｎ ＝ ２ １ ＋ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋…＋ ２ ｎ ，
ｎ
１ Ｔ ２ ３ ４ ＋１
２． Ｃ （ ．１１ 福建百强校 月模拟， ）设 Ｄ．１ Ｓ ２ 为数列 ａ 的前 ｎ 项 ２ ｎ＝ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋ ２ ４ ＋…＋ ２ ｎ ＋１，
２０２４ ５ ５ ｎ ｛ ｎ｝
ｎ
ａ ａ 两式相减得 １ Ｔ ２ １ １ １ ＋１
和 ， 若Ｓ ｎ＝２ ａ ｎ－１， 则 ａ ６＋ ａ ９ ＝ （ Ｄ ） ２ ｎ＝ ２ １ ＋ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋…＋ ２ ｎ－ ２ ｎ ＋１
３＋ ６ é ( )ｎ －１ù
ê １ ú
１ １－ ｎ ｎ
Ａ．４ Ｂ． １ ê ２ ú ＋１ ３ ＋３
４ ＝１＋ ２ ê ú－ ｎ ＋１ ＝ － ｎ ＋１，
２ ê １ ú ２ ２ ２
１ ë １－ û
Ｃ． Ｄ．８ ２
８ ｎ
３．（ ２０２４ 广东广州二模， １６ ）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项和为 所以Ｔ ｎ＝３－ ＋ ｎ ３ ＜３ ．
{ Ｓ } ２
Ｓ ａ ａ 且 ｎ 为等差数列． ４．（ 河南名校联考， ）在等差数列 ａ 中 已知ａ ａ
ｎ， ２ ｎ ＋１＝２ ｎ＋２， ｎ ２０２４ １９ ｛ ｎ｝ ， ３＝７， ４，
＋１ ａ ａ 成等差数列．
求 ａ 的通项公式 ５，４ ２
（１） ｛ ｎ｝ ； 求数列 ａ 的通项公式
（２） 在 ２ ａ ２ ｎ 与 ２ ａｎ ２ ＋１之间插入ｎ个数 ， 使这ｎ ＋２ 个数组成一个公差 （１） 数列 ｛ ａｎ ｎ 是 ｝ 不是等比数 ； 列 若是 求其前 ｎ 项和 若不
{ } （２） ｛２ ｝ ？ ， ，
为ｄ ｄ 的等差数列 记数列 １ 的前 ｎ 项和为 Ｔ 求 是 请说明理由
ｎ（ ｎ＞０） ， ｄ ｎ， ， ；
ｎ
ｎ ａ ( )
证
：
Ｔ
ｎ＜３
．
（３）
设
ｌｏｇｑ
ｄ
ｎ＝
（ －
ｎ
１） ｎ
０＜
ｑ
＜
１
，
且
∀
ｋ
∈
Ｎ
，∃
ｎ
∈
Ｎ
，
ｄ
ｋ－
综合知识运用 等差数列；错位相减法求和 ３ －２ ２
ｄ ｄ ｄ 求ｑ的所有取值．
解析 设等差数列 ａ 的公差为ｄ 则ａ ａ ｎ ｄ． ｎ＝ ｋ ＋１＋ ｋ ＋２，
（１） ｛ ｎ｝ ， ｎ＝ １＋（ －１） 综合能力考查 数列的综合问题
在ａ ａ 中 令ｎ 得ａ ａ
２ ｎ ＋１＝２ ｎ＋２ ， ＝１， ３＝２ １＋２， 解析 设等差数列 ａ 的首项为ａ 公差为ｄ
所以ａ ｄ ａ 即ａ ｄ ． （１） ｛ ｎ｝ １， ，
１＋２ ＝２ １＋２， １＝２ －２① 因为ａ ａ ａ ａ 成等差数列
{ Ｓ } Ｓ Ｓ Ｓ ３＝７， ４， ５，４ ２ ，
因为 ｎ 为等差数列 则 １ ３ ２ {ａ ｄ
ｎ ＋１ ， ２ ＋ ４ ＝２× ３ ， 所以 １＋２ ＝７，
ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ ．
化简得 ａ １ ３ ａ １＋３ ｄ ２ ａ １＋ ｄ ． ２（ １＋４ ）＝（ １＋３ ）＋４（ １＋ ）
＋ ＝２× ② 解得ａ ｄ
２ ４ ３ １＝１， ＝３，
联立 解得ａ ｄ 所以ａ ｎ． 所以ａ ｎ ．
①②， １＝ ＝２， ｎ＝２ ｎ＝３ －２
２ ９４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
（２） 因为 ２ ａ １＝２ １ ＝２， ２ ａ ａ ｎ＋ ｎ １ ＝２ ａｎ＋１－ ａｎ ＝２ ３ ＝８，
２
所以 ａｎ 是首项为 公比为 的等比数列
｛２ ｝ ２， ８ ，
ｎ ｎ
所以数列 ａｎ 的前ｎ项和为２（１－８ ） ２（８ －１）．
｛２ ｝ ＝
１－８ ７
ｎ ａ ( )
因为 ｄ （ －１） ｎ ｑ １
（３） ｌｏｇｑ ｎ＝ ｎ ０＜ ＜ ，
３ －２ ２
所以ｄ ｎ＝ ｑ （ｎ－ ３ｎ １ －２ ）ａｎ ＝ ｑｎ －１ ，
因为
∀
ｋ
∈
Ｎ
，∃
ｎ
∈
Ｎ
，
ｄ
ｋ－
ｄ
ｎ＝
ｄ
ｋ ＋１＋
ｄ
ｋ ＋２，
所以ｄ ｄ ｄ ｑ ｑ２ ｑｍ ｍ ｎ ｍ Ｎ
１－ ２－ ３＝１－ － ＝ （ ＝ －１， ∈ ），
当ｍ 时 ｑ无解
＝０ ， ；
当ｍ 时 得ｑ
＝１ ， ＝ ２－１；
当ｍ ｍ Ｎ 时 ｑ ｑ２ ｑｍ 即ｑｍ ｑ２ ｑ
≥２（ ∈ ） ，１－ － ＝ ， ＋ ＋ ＝１（∗），
令ｆ ｑ ｑｍ ｑ２ ｑ 则ｆ ｑ 是关于ｑ的单调递增函数
（ ）＝ ＋ ＋ ， （ ） ，
( )ｍ ( )
因为 ｑ １ 所以 ｆ ｑ ｑｍ ｑ２ ｑ １ １ ２ １
０＜ ＜ ， （ ）＝ ＋ ＋ ＜ ＋ ＋ ≤
２ ２ ２ ２
( ) ( )
２ ２
１ １ １ 所以 无解
＋ ＋ ＝１， （∗） ，
２ ２ ２
所以ｑ的取值为 进一步得 当ｑ 时 对任意的正
２－１， ， ＝ ２－１ ，
整数ｋ
，
ｄ
ｋ－
ｄ
ｋ ＋１－
ｄ
ｋ ＋２＝
ｄ
ｋ（１－
ｑ
－
ｑ２
）＝
ｄ
ｋ
ｑ
＝
ｄ
ｋ ＋１，
满足
：∀
ｋ
∈
Ｎ
，∃
ｋ
＋１∈
Ｎ
，
ｄ
ｋ－
ｄ
ｋ ＋１＝
ｄ
ｋ ＋１＋
ｄ
ｋ ＋２，
所以ｑ的所有取值为 ．
２－１
参透创新情境
１．（多选）（ 江苏南京宁海中学 月模拟， ）定义 Ｈ
２０２４ ４ １１ ｎ ＝
ａ
１＋２
ａ
２＋…＋２
ｎ －１ａ
ｎ为数列 ａ 的 优值 已知某数列 ａ 的
ｎ ｛ ｎ｝ “ ”， ｛ ｎ｝
优值 Ｈ ｎ 前ｎ项和为Ｓ 下列关于数列 ａ 的描述正确
“ ” ｎ＝２ ， ｎ， ｛ ｎ｝
的有 ＡＢＣ
（ ）
数列 ａ 为等差数列 数列 ａ 为递增数列
Ａ． ｛ ｎ｝ Ｂ． ｛ ｎ｝
Ｓ
２０２２ ２０２５ Ｓ Ｓ Ｓ 成等差数列 Ｃ． ＝ Ｄ． ２， ４， ６
２０２２ ２
２．（ 广东深圳二调， ）无穷数列ａ ａ ａ 的定义如
２０２４ １９ １， ２，…， ｎ，…
下 如果ｎ是偶数 就对ｎ尽可能多次地除以 直到得出一个
： ， ２，
奇数 这个奇数就是ａ 如果ｎ是奇数 就对 ｎ 尽可能多次
， ｎ； ， ３ ＋１
地除以 直到得出一个奇数 这个奇数就是ａ ．
２， ， ｎ
写出这个数列的前 项
（１） ７ ；
如果ａ ｍ且ａ ｎ 求ｍ ｎ的值
（２） ｎ＝ ｍ＝ ， ， ；
（３） 记 ａ ｎ ＝ ｆ （ ｎ ）， ｎ ∈ Ｎ ， 求一个正整数 ｎ ， 满足 ｎ ＜ ｆ （ ｎ ）＜
ｆ ｆ ｎ ｆ ｆ ｆ
（ （ ））＜…＜（ （… }
ｎ ｍ ３ ＋１．又ｍ为奇数 ， ａ ｍ＝ ｎ ， 所以存在ｋ ∈ Ｎ ， 使得ｎ ＝ ３ ＋ ｋ １为
２ ２
奇数．
ｎ ｎ
所以 ｋｎ ｍ ３（３ ＋１） ９ ＋５．
２ ＝３ ＋１＝ ＋１＝
２ ２
ｎ
而 ｎ ９ ＋５ ｎ 所以 ｎ ｋｎ ｎ 即 ｋ ｋ Ｎ 无解．所
４ ＜ ＜６ ， ４ ＜２ ＜６ ， ４＜２ ＜６， ∈ ，
２
以ｍ ｎ ． ＝ ＝１
ｎ
显然ｎ不能为偶数 否则ｆ ｎ ｎ 不满足ｎ ｆ ｎ 所
（３） ， （ ）≤ ＜ ， ＜ （ ），
２
以ｎ为正奇数．又ｆ ａ 所以ｎ
（１）＝ １＝１， ≥３，
设ｎ
＝４
ｋ
＋１
或ｎ
＝４
ｋ
－１，
ｋ
∈
Ｎ ．
ｋ
当ｎ ｋ 时 ｆ ｎ ３（４ ＋１）＋１ ｋ ｋ ｎ 不满足ｎ
＝４ ＋１ ， （ ）＝ ＝３ ＋１＜４ ＋１＝ ，
４
ｆ ｎ
＜（ ）；
ｋ 当ｎ ｋ 时 ｆ ｎ ３（４ －１）＋１ ｋ ｋ ｎ 即 ｎ
＝４ －１ ， （ ）＝ ＝６ －１＞４ －１＝ ， ＜
２
ｆ ｎ ．
（ ）
所以
，
当ｎ
＝２
２０２５ｋ
－１，
ｋ
∈
Ｎ 时
，
２０２５ｋ
ｎ ｆ ｎ ３（２ －１）＋１ ２０２４ ｋ ｆ ｆ ｎ
＜ （ ） ＝ ＝ ３ × ２ － １ ＜ （ （ ）） ＝
２
２０２４ｋ
３（３×２ －１）＋１ ２ ２０２３ｋ ｆ ｆ ｆ
＝３ ×２ －１＜…＜ （ （…
２
ｎ ．
（ ）…）） 个ｆ
２０２４
创新情境 数列中的新定义问题
解析 根据题意 ａ ａ ａ
（１） ， １＝（３×１＋１）÷２÷２＝１， ２＝２÷２＝１， ３
ａ ａ ４ ａ
＝（３×３＋１）÷２＝５， ４＝４÷２÷２＝１， ５＝（３×５＋１）÷２ ＝１， ６＝６÷
ａ ．
２＝３， ７＝（３×７＋１）÷２＝１１
由已知 ｍ ｎ均为奇数 不妨设ｎ ｍ．
（２） ， ， ， ≤
当ｎ 时 因为ａ 所以ｍ 故ｍ ｎ
＝１ ， １＝１， ＝１， ＝ ＝１；
ｎ
当ｎ 时 因为３ ＋１ ｎ ｍ 而 ｎ 为奇数 ａ ｍ 所以 ｍ
＞１ ， ＜ ≤ ， ， ｎ＝ ， ＝
４
}
ｎ
（ ）…））＝
个ｆ
２０２３
２０２２ ３ｋ
３（３ ×２ －１）＋１ ２０２３ ２ｋ ｆ ｆ ｆ ＝ ３ × ２ － １ ＜ （ （…
２
} ｎ （ ） …）） ＝
个ｆ
２０２４
２０２３ ２ｋ
３（３ ×２ －１）＋１ ２０２４ ｋ
＝３ ×２ －１，
２
即ｎ ｆ ｎ ｆ ｆ ｎ ｆ ｆ ｆ
＜（ ）＜（ （ ））＜…＜（ （… }
ｎ ．
（ ）…））
个ｆ
２０２４
可取ｋ 则ｎ ２０２５ 即满足要求的一个正整数ｎ的值可
＝１， ＝２ －１，
以是 ２０２５ ．
２ －１
３．（ 吉林长春东北师大附中第五次模拟， ）对于数列
２０２４ １９
ａ 称 ａ 为数列 ａ 的一阶差分数列 其中 ａ ａ ｛ ｎ｝， ｛Δ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ， Δ ｎ＝ ｎ ＋１－
ａ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ
）
．对正整数ｋ
（
ｋ
≥２），
称
｛Δ
ｋａ
ｎ｝
为数列
｛
ａ
ｎ｝
的ｋ阶
差分数列
，
其中
Δ
ｋａ
ｎ＝Δ（Δ
ｋ －１ａ
ｎ）＝Δ
ｋ －１ａ
ｎ ＋１－Δ
ｋ －１ａ
ｎ
．已知数列
ａ 的首项ａ 且 ａ ａ ｎ 为 ａ 的二阶差分数列．
｛ ｎ｝ １＝１， ｛Δ ｎ ＋１－ ｎ－２ ｝ ｛ ｎ｝
求数列 ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ；
（２）
设ｂ
ｎ＝
１
（
ｎ２
－
ｎ
＋２），｛
ｘ
ｎ｝
为数列
｛
ｂ
ｎ｝
的一阶差分数列
，
２
ｎ
∀ ｎ ∈ Ｎ ， 是否都有 ∑ｉ＝ ｘ ｉＣ ｉ ｎ＝ ａ ｎ 成立 ？ 并说明理由 ；（ 其中 Ｃ ｉ ｎ
１
为组合数 ）
ｔｘｎ ｔ－ ｘｎ
对于 中的数列 ｘ 令ｙ ＋ 其中 １ ｔ ．证明
（３） （２） ｛ ｎ｝， ｎ＝ ， ＜ ＜２ ：
２ ２
ｎ
∑ｉ＝
ｙ
ｉ＜２
ｎ
－２
－ ｎ ２．
１
创新情境 数列中的新定义问题
解析 因为 ａ ａ ｎ 为 ａ 的二阶差分数列 所
（１） ｛Δ ｎ ＋１－ ｎ－２ ｝ ｛ ｎ｝ ，
以
Δ
ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ－２
ｎ
＝Δ
２ａ
ｎ，
将
Δ
２ａ
ｎ＝Δ
ａ
ｎ ＋１－Δ
ａ
ｎ
代入得
Δ
ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ－２
ｎ
＝Δ
ａ
ｎ ＋１－Δ
ａ
ｎ，
整理得
命题点6 数列 ２ ９５
Δ ａ ｎ－ ａ ｎ＝２ ｎ ， 即ａ ｎ ＋１－２ ａ ｎ＝２ ｎ ， 所以 ２
ａ
ｎ ｎ ＋ ＋ １ １ － ２
ａ
ｎ ｎ ＝ ２ １ ．又ａ １＝１， 故数 （３） 证明 ： 由 （２） 知ｘ ｎ＝ ｎ ， 则ｙ ｎ＝
ｔｎ
＋ ２
ｔ－ ｎ
，
列 {ａ ｎ ｎ } 是首项为 １ ， 公差为 １ 的等差数列 ， 因此 ， ａ ｎ ｎ ＝ １ ＋（ ｎ 因为 １ ２ ＜ ｔ ＜２， 所以 （２ ｔ ） ｎ ＞１， ｔｎ ＜２ ｎ ，
２ ２ ２ ２ ２
－１）· １ ， 即ａ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ －１． 故 （２ ｎ ＋２ － ｎ ）－（ ｔｎ ＋ ｔ－ ｎ ）＝ （２ １ ｔ ） ｎ（２ ｎ － ｔｎ ）［（２ ｔ ） ｎ －１］＞０，
２
（２） 因为 ｛ ｘ ｎ｝ 为数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的一阶差分数列 ， 即ｔｎ ＋ ｔ－ ｎ ＜２ ｎ ＋２ － ｎ ，
ｎ ｎ ｎ
所以ｘ
ｎ
ｎ＝ ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ＝ ｎ． 所以 ∑ｉ＝
１
ｙ ｉ ＝
２
１ ∑ｉ＝
１
（ ｔｉ ＋ ｔ－ ｉ ） ＜
２
１ ∑ｉ＝
１
（２ ｉ ＋ ２ － ｉ ） ＝
对于 ∑ｉ＝ １ ｘ ｉＣ ｉ ｎ＝Ｃ １ｎ＋２Ｃ ２ｎ＋…＋ ｎ Ｃ ｎ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ －１ ，① é ê ｎ １ æ è ç １－ １ ｎ ö ø ÷ ù ú æ ö
当ｎ 时 式成立 １ ê ２（２ －１） ２ ２ ú ｎ １ ç １ ÷ ｎ
＝１ ，① ； ê ＋ ú ＝ （２ － １） ＋ è１－ ｎø ＝ ２ －
当ｎ
≥２
时
，
因为ｎ
·２
ｎ －１
＝
ｎ
·（１＋１）
ｎ －１
＝
ｎ
·（Ｃ
０ｎ
－１＋Ｃ
１ｎ
－１＋…＋
２ ë ê ２－１ １－
２
１ û ú ２ ２
Ｃ ｎ ｎ－ － １ １）， 且ｎ Ｃ ｋ ｎ－ － １ １＝ ｋ Ｃ ｋ ｎ， 所以 ① 式成立． １ － ｎ ｎ １ － ｎ ｎ － ｎ ２．
ｎ （１＋２ ）＜２ － ·２· ２ ＝２ －２
故
∀
ｎ
∈
Ｎ 都有
∑ｉ＝
ｘ
ｉＣ
ｉ
ｎ＝
ａ
ｎ
成立． ２ ２
１
