１ １２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
6.2 等差数列
学生用书P242
0+:B B EO/∗ B B EO2UO/∗
O O O O
0+, 0+EM:B B O E,O/∗
O
B B
0M: " ,E" BC+0M
0
OM 0+OM :4 O B B N OB O O E
P55 0 N
O O
0+OM +2:*4 OB E
+ N
E E E E
O 4 N O B OU@B UB B U4 N BO CO
M
:8B UE U4 8B UE U4
N N
0
0
EM+:B B O N EN,O/∗
N M
8[B]0,L M N OL,M,N,O/∗ ,B B B B;/
N K L M N
+ 8[B]0,E,[B ^0,E
N N
* 8[B],[C] M, 0,[QB RC]Q,R 0
N N N N
B 8[B]0,B,B ,B ,L,N/∗ 3NE+0
N K K M K M
0+B [4]
* 8[B N ]0,OM 4 N , O N0,NM[B N ]+NM
P55
, ,[B]++
N
4 ,4 ,4 0[B]+NM,NM,NM+ ,4 ,4 4 ,
M M M N M M M
+ 4 M 4 M 0
0
LL0M M +B
4 B
+ 8MO,4 4 OE, N
4 B
M B O
4 O
8MO ,4 O B,4 OB,4 4 B,
N N N 4 O
B 4
80[B][C]+OM 45,N N
N N N N C 5
N N
学生用书P243
题型 一 等差数列的判定方法 续表
方法 解读 适合题型
方法 解读 适合题型
ａ ｐｎ ｑ ｐ ｑ为常数 对任
对于任意自然数ｎ ｎ 通项公 ｎ＝ ＋ （ ， ）
（ ≥２）， 意的正整数 ｎ 都成立
定义法 ａ ａ 为同一常数 ａ 式法 ⇔
ｎ－ ｎ －１ ⇔｛ ｎ｝ ａ 是等差数列
是等差数列 解答 题 中 的 证 明 ｛ ｎ｝ 选择题 填空题中的
、
问题 判定问题
等差中 ａ ａ ａ ｎ 且ｎ 前ｎ项和
Ｓ
ｎ＝
Ａｎ２
＋
Ｂｎ
（
Ａ
，
Ｂ 是常数
）
２ ｎ －１＝ ｎ＋ ｎ －２（ ≥３， ∈ 对任意的正整数 ｎ 都成立
项法 Ｎ
）
成立
⇔｛
ａ
ｎ｝
是等差数列 公式法
ａ 是等差数列
⇔｛ ｎ｝
专题六 数列 １ １３
例1 （ 广东深圳调研， ）设Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 续表
２０２４ １５ ｎ ｛ ｎ｝ ，
{Ｓ } {Ｓ Ｓ ｎ
已知ａ Ｓ 且 ｎ 为等差数列． 借助Ｓ 最大时 有 ｎ≥ ｎ －１（ ≥２），解此不等式组
２＝４， ４＝２０， ｎ 不等式 ｎ ， Ｓ Ｓ
ｎ≥ ｎ ＋１，
（１） 求证 ： 数列 ｛ ａ ｎ｝ 为等差数列 ； 组法 确定ｎ的范围 ， 进而确定ｎ的值和对应Ｓ ｎ 的值 （ 即
若数列 ｂ 满足ｂ 且 ｂ ｎ ＋１ ａ ｎ 设Ｔ 为数列 ｂ 的前 Ｓ ｎ 的最大值 ）， 同理可求最小值
（２） ｛ ｎ｝ １＝６， ｂ
ｎ
＝ａ
ｎ
， ｎ ｛ ｎ｝
＋２ 例2 （ 全国甲，文 ，理 ， 分）记Ｓ 为数列 ａ 的前
ｎ项和
，
集合Ｍ
＝｛
Ｔ
ｎ｜
Ｔ
ｎ∈
Ｎ
｝，
求Ｍ
（
用列举法表示
）
． ２０２２ １８ １７ １２ ｎ ｛ ｎ｝
Ｓ
{Ｓ } Ｓ Ｓ ｎ项和．已知２ ｎ ｎ ａ ．
解析 （ ）证明：设等差数列 ｎ 的公差为 ｄ，则 ４ １ ｎ ＋ ＝２ ｎ＋１
１ ｎ ＝ ＋
４ １ 证明 ａ 是等差数列
ｄ，即Ｓ ｄ ， （ 分） （１） ：｛ ｎ｝ ；
３ １＋３ ＝５ ① １ 若ａ ａ ａ 成等比数列 求Ｓ 的最小值．
因为Ｓ ａ ａ Ｓ ， （２） ４， ７， ９ ， ｎ
２＝ １＋ ２＝ １＋４ 解析 （ ）证明：当ｎ 且ｎ Ｎ 时，
Ｓ Ｓ １ ≥２ ∈
所以由 ２ ＝ １ ＋ ｄ，得Ｓ １＋２ ｄ ＝４ ． ② （ ２ 分） { ２ Ｓ ｎ＋ ｎ２ ＝２ ｎ·ａ ｎ＋ ｎ ① ，
２ １
Ｓ ２
Ｓ
ｎ －１＋
（ｎ
－１
）２
＝２
（ｎ
－１
）·ａ
ｎ －１＋
（ｎ
－１
）
②
，
由 解得Ｓ ，ｄ ，所以 ｎ ｎ ， ，整理得（ ｎ ）ａ （ ｎ ）ａ ｎ ，
①② １＝２ ＝１ ｎ ＝ ＋１ ①－② ２ －２ ｎ－ ２ －２ ｎ －１＝２ －２
即Ｓ ｎ（ｎ ）， （ 分） ∴
ａ
ｎ－
ａ
ｎ －１＝１
，ｎ
≥２
且ｎ
∈
Ｎ ，
ｎ＝ ＋１ ３ ｛ａ ｝是以 为公差的等差数列．
当ｎ 时，ａ Ｓ Ｓ ｎ（ｎ ） （ｎ ）ｎ ｎ， ∴ ｎ １
≥２ ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ ＋１ － －１ ＝２ （ ） ａ ，ａ ，ａ 成等比数列，且｛ａ ｝是以 为公差的等差数列，
当ｎ 时，ａ Ｓ ，适合上式， ２ ∵ ４ ７ ９ ｎ １
＝１ １＝ １＝２ （ａ ）·（ａ ） （ａ ）２，
所以ａ
ｎ＝２
ｎ（ｎ
∈
Ｎ ）， （
５
分） ∴
即（ａ
１＋３
）
×
（
１
ａ ）
１＋
（
８
ａ
×１ ＝
）２，解
１＋
得
６×
ａ
１
．
因为ｎ 时，ａ ａ （定义法）， １＋３ １＋８ ＝ １＋６ １＝－１２
所以数
≥
列
２
｛ａ ｝是
ｎ－
等
ｎ
差
－１
数
＝２
列． （ 分）
解法一（二次函数法） 数列｛ａ
ｎ
｝是首项为
－１２
，公差为
１
的等
ｎ ６ 差数列，
ｂ ａ ｎ ｎ
（ ２ ）由（ １ ）可知 ｂ ｎ ＋ ｎ １ ＝ａ ｎ ＋ ｎ ２ ＝ ２ ｎ ２ ＋４ ＝ｎ ＋２ ， （ ７ 分） ∴ Ｓ ｎ＝ ｎ × （ －１２ ） ＋ ｎ（ｎ ２ －１ ） ×１＝ ｎ２ － ２ ２５ ｎ ，
ｂ ｂ ｂ ｎ ｎ
当ｎ 时，ｂ ｎ · ｎ －１·…· ２·ｂ －１ －２ … １ 当ｎ 或ｎ 时，Ｓ 取最小值，为１２ ２ －２５×１２ ．
≥２ ｎ＝ｂ
ｎ －１
ｂ
ｎ －２
ｂ
１
１＝ｎ
＋１
× ｎ × ×
３
×６ ∴ ＝１２ ＝１３ ｎ
２
＝－７８
解法二（邻项变号法） ａ （ｎ ） ｎ ，当 ｎ
１２ ， ｎ＝－１２＋ －１ ×１＝ －１３ ≤１２
＝ｎ（ｎ ）
＋１ 且ｎ
∈
Ｎ 时，ａ
ｎ＜０
；
因为ｂ １＝６ 满足上式，（提示：不要忘记检验ｎ ＝１ 的情况） 当ｎ ＝１３ 时，ａ ｎ＝０ ；当ｎ ≥１４ 且ｎ ∈ Ｎ 时，ａ ｎ＞０ ．
所以ｂ ｎ＝ｎ（ｎ １ ＋ ２ １ ） （ｎ ∈ Ｎ ）． （ ９ 分） ∴ ｎ ＝１２ 或ｎ ＝１３ 时，Ｓ ｎ 取最小值，为 －１２×１２＋ １２× ２ １１ ×１＝－７８ ．
则 Ｔ ｎ ＝ １２ é ë ê ê ( １－ １ ) ＋ ( １ － １ ) ＋ … ＋ ( ｎ １ －ｎ １ ) ù û ú ú ＝ １２× 多想少算
２ ２ ３ ＋１ 例 （ 安徽合肥一六八中学期末， ）已知等差数列 ａ
( ) ２０２４ ８ ｛ ｎ｝
１ １２ ，（裂项相消法求和） （ 分） 公差不为 和等差数列 ｂ 的前ｎ项和分别为Ｓ Ｔ 如果关
１－ｎ ＝１２－ｎ １１ （ ０） ｛ ｎ｝ ｎ、 ｎ，
＋１ ＋１
于ｘ的实系数方程 ｘ２ Ｓ ｘ Ｔ 有实数解 那么以下
１００３ － １００３ ＋ １００３＝０ ，
因为 ｎ １ ＋ ２ １ ∈ Ｎ 时，ｎ ＝１ ， ２ ， ３ ， ５ ， １１ ， １００３ 个方程ｘ２ － ａ ｉ ｘ ＋ ｂ ｉ＝０（ ｉ ＝１，２，…，１ ００３） 中 ， 有实数解的方
程至少有 Ｄ
所以Ｍ ｛ ， ， ， ， ｝． （ 分） （ ）
＝ ６ ８ ９ １０ １１ １３
个 个
Ａ．４９９ Ｂ．５００
题型 二 等差数列前ｎ项和的最值问题 个 个
Ｃ．５０１ Ｄ．５０２
解析 由题意得Ｓ２ Ｔ ，（ ）
求等差数列前ｎ项和Ｓ ｎ 最值的方法 ： （ａ １０ ａ ０３－４ ） ×１００３ １００３≥０ ※
其中Ｓ １００３ １＋ １００３ ａ ，
二次函 利用等差数列前ｎ项和的函数表达式Ｓ ｎ＝ ａｎ２ ＋ ｂｎ ， １００３＝ ２ ＝１００３ ５０２
数法 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解 （ｂ ｂ ）
Ｔ １００３ １＋ １００３ ｂ ，代入（ ）得ａ２ ｂ ，显
{ａ １００３＝
２
＝１００３ ５０２ ※ ５０２－４ ５０２≥０
①
当ａ
１＞０，
ｄ
＜０
时
，
满足
ａ
ｍ≥０，的项数ｍ使得Ｓ
ｎ
然第
５０２
个方程有解．
ｍ ＋１≤０ 设方程ｘ２ ａ ｘ ｂ 与方程ｘ２ ａ ｘ ｂ 的判别式分别
邻项变 取得最大值 为Ｓ － １ ＋ １＝０ － １００３ ＋ １００３＝０
， ｍ； 为Δ ，Δ ，则Δ Δ （ａ２ ｂ ） （ａ２ ｂ ） ａ２ ａ２
号法 {ａ １ １００３ １＋ １００３＝ １－４ １ ＋ １００３－４ １００３ ＝ １＋ １００３－４
②
当ａ
１＜０，
ｄ
＞０
时
，
满足
ａ
ｍ≤０，的项数ｍ使得Ｓ
ｎ （ｂ ｂ ）
（ａ
１＋
ａ
１００３
）２
ｂ
（
２
ａ
５０２
）２
ｂ （ａ２
ｍ ＋１≥０ １＋ １００３ ≥ －４×２ ５０２ ＝ －８ ５０２ ＝２ ５０２－
２ ２
取得最小值 为Ｓ
， ｍ ｂ ） ，
４ ５０２ ≥０
１ １４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
因为Δ Δ ，所以Δ ，Δ 至多有一个成立， 风向解读
１＋ １００３≥０ １＜０ １００３＜０
同理可证：Δ
２＜０
，Δ
１００２＜０
至多有一个成立，……，Δ
５０１＜０
，Δ
５０３＜０
本题利用一元二次方程有实数解建立不等式，利用等差数列
至多有一个成立．
角标和的性质将问题简化，看似计算量非常大的一道题目，
综上，在所给的
１００３
个方程中，有实数解的方程至少有
５０２
个．
其本质考查利用不等式及等差数列的性质分析问题、解决问
故选
Ｄ．
题的能力，新高考强调的多想少算，在本题中体现明显．
３．（ 全国乙理， ， 分，中）已知等差数列 ａ 的公差为
学生用书P68 ２０２３ １０ ５ ｛ ｎ｝
１．（ ２０２４ 全国甲理， ４ ， ５ 分，易）记Ｓ ｎ 为等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项 ２π ， 集合Ｓ ＝｛ｃｏｓ ａ ｎ｜ ｎ ∈ Ｎ ｝ ．若Ｓ ＝｛ ａ ， ｂ ｝， 则ａｂ ＝ （ Ｂ ）
３
和．已知Ｓ Ｓ ａ 则ａ Ｂ
５＝ １０， ５＝１， １＝ （ ）
１ １
Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ．０ Ｄ．
７ ７ １ ７ ２ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ ４．（ 全国乙文， ， 分，易）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项
２ ３ ３ １１ ２０２２ １３ ５ ｎ ｛ ｎ｝
２．（ 新课标 ， ， 分，易）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项 和．若 Ｓ Ｓ 则公差ｄ ．
２０２４ Ⅱ １２ ５ ｎ ｛ ｎ｝ ２ ３＝３ ２＋６， ＝ ２
和．若ａ ａ ａ ａ 则Ｓ ． ５．（ 课标 文， ， 分，易）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项
３＋ ４＝７，３ ２＋ ５＝５， １０＝ ９５ ２０２０ Ⅱ １４ ５ ｎ ｛ ｎ｝
和．若ａ ａ ａ 则Ｓ ．
考点 1 等差数列及其前ｎ项和 学生用书P68 １＝－２， ２＋ ６＝２， １０＝ ２５
６．（ 新高考 ， ， 分，易）将数列 ｎ 与 ｎ 的公
２０２０ Ⅰ １４ ５ ｛２ －１｝ ｛３ －２｝
１．（
２０２２
新高考
Ⅱ
，
３
，
５
分，中）图
１
是中国古代建筑中的举架结 共项从小到大排列得到数列
｛
ａ
ｎ｝，
则
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和为
３
ｎ２
－
构 ＡＡ′ ＢＢ′ ＣＣ′ ＤＤ′是桁 相邻桁的水平距离称为步 垂直距 ｎ ．
， ， ， ， ， ， ２
离称为举．图 是某古代建筑屋顶截面的示意图 其中 ＤＤ ７．（ 全国乙文， ， 分，中）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ
２ ， １， ２０２３ １８ １２ ｎ ｛ ｎ｝
ＣＣ ＢＢ ＡＡ 是举 ＯＤ ＤＣ ＣＢ ＢＡ 是相等的步 相邻桁 项和 已知ａ Ｓ ．
１， １， １ ， １， １， １， １ ， ， ２＝１１， １０＝４０
的举步之比分别为 ＤＤ １ ． ＣＣ １ ｋ ＢＢ １ ｋ ＡＡ １ ｋ ．已知 （１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
ＯＤ １ ＝０ ５，ＤＣ １ ＝ １，ＣＢ １ ＝ ２，ＢＡ １ ＝ ３ （２） 求数列 ｛｜ ａ ｎ｜｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
ｋ １ ． ， ｋ ２， ｋ 则 ３ 成 ｋ 公差为 ０ ． １ 的等差数列 ， 且直线 ＯＡ 的斜率 Ｄ 为 { 解 ａ 析 ｄ （１） 设等差数列 {ａ ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ，
０７２５， ３＝ （ ） 则 １＋ ＝１１， 解得 １＝１３，
ａ ｄ ｄ
１０ １＋４５ ＝４０， ＝－２，
ａ ｎ ｎ．
∴ ｎ＝１３－２（ －１）＝１５－２
（２）
由ａ
ｎ＝１５－２
ｎ知
，
当ｎ
≤７，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
ａ
ｎ＞０，
当ｎ
≥８，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
ａ
ｎ＜０，
∴
当ｎ
≤７，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
Ｔ
ｎ＝｜
ａ
１｜＋｜
ａ
２｜＋…＋｜
ａ
ｎ｜＝
ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
ｎ
ｎ ｎ
图 ＝ Ｓ ｎ＝ （２８－２ ） ＝－ ｎ２ ＋１４ ｎ ，
１ ２
当ｎ
≥８，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
Ｔ
ｎ＝（
ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
７）－（
ａ
８＋
ａ
９＋…＋
ａ
ｎ）
＝２
Ｓ
７－
Ｓ
ｎ＝９８－（－
ｎ２
＋１４
ｎ
）＝
ｎ２
－１４
ｎ
＋９８
．
Ｔ
{
－
ｎ２
＋１４
ｎ
（
ｎ
≤７
且ｎ
∈
Ｎ
），
∴ ｎ＝ ｎ２
－１４
ｎ
＋９８（
ｎ
≥８
且ｎ
∈
Ｎ
）
．
解析 设等差数列 ａ 的公差为ｄ
图 （１） ｛ ｎ｝ ，
２ {ａ ｄ {ａ
则 １＋ ＝１１， 解得 １＝１３，
． ． ． ． ａ ｄ ｄ
Ａ．０７５ Ｂ．０８ Ｃ．０８５ Ｄ．０９ １０ １＋４５ ＝４０， ＝－２，
２．（ 课标 理， ， 分，中）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的 ａ ｎ ｎ．
２０２０ Ⅱ ４ ５ ∴ ｎ＝１３－２（ －１）＝１５－２
场所
，
分上
、
中
、
下三层．上层中心有一块圆形石板
（
称为天心
（２）
由ａ
ｎ＝１５－２
ｎ知
，
当ｎ
≤７，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
ａ
ｎ＞０，
当ｎ
≥８，
ｎ
∈
石
），
环绕天心石砌
９
块扇面形石板构成第一环
，
向外每环依 Ｎ 时
，
ａ
ｎ＜０，
次增加
９
块．下一层的第一环比上一层的最后一环多
９
块
，
向
∴
当ｎ
≤７，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
Ｔ
ｎ＝｜
ａ
１｜＋｜
ａ
２｜＋…＋｜
ａ
ｎ｜＝
ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
ｎ
外每环依次也增加 块．已知每层环数相同 且下层比中层多 ｎ ｎ
块 则三层共有扇
９
面形石板 不含天心石
，
Ｃ ＝
Ｓ
ｎ＝
（２８－２ ）
＝－
ｎ２
＋１４
ｎ
，
７２９ ， （ ） （ ） ２
当ｎ
≥８，
ｎ
∈
Ｎ 时
，
Ｔ
ｎ＝（
ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
７）－（
ａ
８＋
ａ
９＋…＋
ａ
ｎ）
＝２
Ｓ
７－
Ｓ
ｎ＝９８－（－
ｎ２
＋１４
ｎ
）＝
ｎ２
－１４
ｎ
＋９８
．
Ｔ
{
－
ｎ２
＋１４
ｎ
（
ｎ
≤７
且ｎ
∈
Ｎ
），
Ａ．３６９９
块
Ｂ．３４７４
块 ∴ ｎ＝ ｎ２
－１４
ｎ
＋９８（
ｎ
≥８
且ｎ
∈
Ｎ
）
．
块 块 ８．（ 新课标 ， ， 分，中）设等差数列 ａ 的公差为ｄ
Ｃ．３４０２ Ｄ．３３３９ ２０２３ Ⅰ ２０ １２ ｛ ｎ｝ ，
专题六 数列 １ １５
ｎ２ ｎ
且ｄ 令ｂ ＋ 记Ｓ Ｔ 分别为数列 ａ ｂ 的前 ｎ ｄ ５１ 解得ｄ ５１或ｄ
＞１， ｎ＝ ａ ， ｎ， ｎ ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ∴５０ － ｄ ＝１， ＝ ＝－１，
ｎ ５０
项和．
又 ｄ ｄ ５１．
若 ａ ａ ａ Ｓ Ｔ 求 ａ 的通项公式 ∵ ＞１，∴ ＝
（１） ３ ２＝３ １＋ ３， ３＋ ３＝２１， ｛ ｎ｝ ； ５０
若 ｂ 为等差数列 且Ｓ Ｔ 求ｄ．
（２） ｛ ｎ｝ ， ９９－ ９９＝９９， 综上
，
ｄ
＝
５１．
解析 ａ ａ ａ ａ ｄ ａ ａ ｄ ５０
（１）∵３ ２＝３ １＋ ３，∴３（ １＋ ）＝３ １＋ １＋２ ，
考点 2 等差数列的性质及应用 学生用书P69
ａ ｄ Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ｄ ａ ｄ ａ
∴ １＝ ＞１，∴ ３＝ １＋ ２＋ ３＝ １＋ １＋ ＋ １＋２ ＝６ １，
ｎ２ ｎ １．（ 全国甲文， ， 分，易）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项和．若
又 ∵ ｂ ｎ＝ ａ ＋
ｎ
，∴ ｂ １＝ａ ２
１
， ｂ ２＝ａ ６
２
＝ａ
１
６
＋
ｄ＝ａ ３
１
， ｂ ３＝ １ ａ ２
３
＝ａ
１
１
＋
２
２
ｄ＝
ａ
２０２
ａ
３
ａ ａ
５ ５
则Ｓ
ｎ ｛ ｎ｝
Ｃ
２＋ ６＝１０， ４ ８＝４５， ５＝ （ ）
４ Ｔ ｂ ｂ ｂ ９ ． ． ． ．
ａ ，∴ ３＝ １＋ ２＋ ３＝ａ ， Ａ２５ Ｂ２２ Ｃ２０ Ｄ１５
１ １ ２．（ 北京， ， 分，难）在等差数列 ａ 中 ａ ａ ．
２０２０ ８ ４ ｛ ｎ｝ ， １＝－９， ５＝－１
Ｓ Ｔ ａ ９ 记Ｔ ａ ａ ａ ｎ 则数列 Ｔ Ｂ
∴ ３＋ ３＝６ １＋ａ ＝２１， ｎ＝ １ ２… ｎ（ ＝１，２，…）， ｛ ｎ｝ （ ）
１ 有最大项 有最小项
Ａ． ，
解得ａ 或ａ １ 舍 ａ ｎ．
１＝３ １＝
２
（ ），∴ ｎ＝３
Ｂ．
有最大项
，
无最小项
ｂ 为等差数列 无最大项 有最小项
（２）∵ ｛ ｎ｝ ， Ｃ． ，
无最大项 无最小项
ｂ ｂ ｂ 即１２ ２ １２ Ｄ． ，
∴２ ２＝ １＋ ３， ａ ＝ａ ＋ａ ， ３．（ 新高考 ， ， 分，易）记Ｓ 为公差不为零的等差数
２ １ ３ ２０２１ Ⅱ １７ １０ ｎ
列 ａ 的前ｎ项和 若ａ Ｓ ａ ａ Ｓ ．
即 ６ １ ６ 即ａ２ ａ ｄ ｄ２ ｛ ｎ｝ ， ３＝ ５， ２· ４＝ ４
ａ １＋ ｄ＝ａ １ ＋ａ １＋２ ｄ， １－３ １ ＋２ ＝０， （１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
∴ ａ １＝２ ｄ或ａ １＝ ｄ． （２） 求使得Ｓ ｎ＞ ａ ｎ 的ｎ的最小值．
当ａ １＝２ ｄ时 ， ａ ｎ＝（ ｎ ＋１） ｄ ， ｂ ｎ＝ ｎ ｄ ， 解析 （１） 解法一：设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ （ ｄ ≠０）， 则
ａ Ｓ ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ ａ
ｄ ｄ ３＝ ５⇒ １＋２ ＝５ １＋１０ ⇒４ １＋８ ＝０⇒ １＋２ ＝０⇒ １ ＝
Ｓ （２ ＋１００ ）×９９ ｄ ｄ
∴ ９９＝ ＝９９×５１ ， －２ ，①
２ ａ ａ Ｓ ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ
２· ４＝ ４⇒（ １＋ ）（ １＋３ ）＝４ １＋６ ，②
Ｔ
９９＝ ｄ
１
·
（１＋９９
２
）×９９
＝
９９×
ｄ
５０
，
将
①
代入
②
得
－
ｄ２
＝－２
ｄ
⇒
ｄ
＝０（
舍
）
或ｄ
＝２，∴
ａ
１＝－２
ｄ
＝－４，
ａ ｎ ｎ ．
∴ ｎ＝－４＋（ －１）×２＝２ －６
又 Ｓ Ｔ ｄ １
∵ ９９－ ９９＝９９，∴９９×５１ －９９×５０· ｄ ＝９９， 解法二：由等差数列的性质可得Ｓ
５＝５
ａ
３，
则ａ
３＝５
ａ
３，∴
ａ
３＝０，
设等差数列的公差为ｄ
ｄ ５０ 解得ｄ 或ｄ ５０ ，
∴５１ － ｄ ＝１， ＝１ ＝－ ， 从而有ａ ａ ａ ｄ ａ ｄ ｄ２
５１ ２ ４＝（ ３－ ）（ ３＋ ）＝－ ，
又 ｄ ａ ｄ． Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ｄ ａ ｄ ａ ａ ｄ ｄ
∵ ＞１，∴ １≠２ ４＝ １＋ ２＋ ３＋ ４＝（ ３－２ ）＋（ ３－ ）＋ ３＋（ ３＋ ）＝－２ ，
当ａ ｄ时 ａ ｎｄ ｂ
ｎ
＋１
从而
－
ｄ２
＝－２
ｄ
，
由于公差不为零
，
故ｄ
＝２，
１＝ ， ｎ＝ ， ｎ＝ ｄ ，
所以数列 ａ 的通项公式为ａ ａ ｎ ｄ ｎ ．
ｄ
｛ ｎ｝ ｎ＝ ３＋（ －３） ＝２ －６
∴ Ｓ ９９＝ （１＋９９）×９９ ＝５０×９９ ｄ ， （２） 由 （１） 知ａ ｎ＝２ ｎ －６， ａ １＝２×１－６＝－４ ．
２ ｎ ｎ
Ｔ １ （２＋１００）×９９ ５１×９９
Ｓ
ｎ＝
ｎａ
１＋
（ －１）ｄ
＝－４
ｎ
＋
ｎ
（
ｎ
－１）＝
ｎ２
－５
ｎ．
９９＝ ｄ · ＝ ｄ ， ２
２ Ｓ
ｎ＞
ａ
ｎ⇔
ｎ２
－５
ｎ
＞２
ｎ
－６⇔
ｎ２
－７
ｎ
＋６＞０⇔（
ｎ
－１）（
ｎ
－６）＞０，
又
∵
Ｓ
９９－
Ｔ
９９＝９９，∴５０×９９
ｄ
－
５１×
ｄ
９９
＝９９，
解得ｎ
＜１
或ｎ
＞６，
又ｎ
∈
Ｎ
，∴
ｎ的最小值为
７
．
充分必要条件
学生用书P70 Ｃ．
既不充分也不必要条件
１．（ 安徽合肥一六八中学适应性测试， ）数列 ａ 中 ａ Ｄ．
２０２４ ３ ｛ ｎ｝ ， ｎ＝ ４．（ 广东汕头一模， ）在 与 之间插入 个数 使这 个
ａ ａ 则ａ ａ ａ Ｃ ２０２４ ２ ３ １５ ３ ， ５
ｎ ＋１＋２， ５＝１８， １＋ ２＋…＋ １０＝ （ ） 数成等差数列 则插入的 个数之和为 Ｃ
， ３ （ ）
Ａ．２１０ Ｂ．１９０ Ｃ．１７０ Ｄ．１５０
２．（ 山东济宁一模， ）已知等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ Ａ．２１ Ｂ．２４ Ｃ．２７ Ｄ．３０
２０２４ ３ ｛ ｎ｝ ｎ， ５．（ 山东潍坊一模， ）已知等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ
且Ｓ Ｓ 则Ｓ Ｄ ２０２４ ４ ｛ ｎ｝ ｎ，
２＝２， ６＝９， １０＝ （ ）
ａ Ｓ ａ 则Ｓ Ｃ
Ａ．１４ Ｂ．１６ Ｃ．１８ Ｄ．２０
１＝－１， ７＝５ ４＋１０， ４＝ （ ）
３．（ ２０２４ 北京人大附中检测， ５ ）已知Ｓ ｎ 是等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．１０
项和 ， 则 “ Ｓ ｎ≥ ｎａ ｎ” 是 “｛ ａ ｎ｝ 是递减数列 ” 的 （ Ｂ ） ６．（ ２０２４ 福建厦门第二次质检， ２ ）已知正项等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公
Ａ． 充分而不必要条件 差为ｄ ， 前ｎ项和为Ｓ ｎ， 且 ４ Ｓ ３＝（ ａ ３＋１） ２ ，４ Ｓ ４＝（ ａ ４＋１） ２ ， 则ｄ ＝
必要而不充分条件 Ｂ
Ｂ． （ ）
１ １６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ Ｃ．９４ ｍ Ｄ．１０２ ｍ
７．（ 浙江金华十校联考， ）等差数列 ａ 的首项为正数 公 ３．（ 重庆南开中学质检（八）， ）已知等差数列 ａ 的公差
２０２４ ５ ｛ ｎ｝ ， ２０２４ ８ ｛ ｎ｝
差为ｄ Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和 若ａ 且Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 成等
比数列 ， 则 ｎ ｄ ｛ ｎ｝ ， ２＝３， ２， １＋ ３， ５ Ｂ 为π ， 且集合Ｍ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ＝ｓｉｎ ａ ｎ， ｎ ∈ Ｎ ｝ 中有且只有 ４ 个元素 ，
， ＝ （ ） ３
则Ｍ中的所有元素之积为 Ａ
９ 或 ９ （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．２
２ ２ １ １ １ ３
８．（ 湖北七市州调研， ）已知公差为负数的等差数列 ａ Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
２０２４ ６ ｛ ｎ｝ ４ ４ １６ ４
的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 若ａ ３， ａ ４， ａ ７ 是等比数列 ， 则当Ｓ ｎ 取最大值
４．（
２０２４
广东佛山教学质量检测（一），
８
）
２０２３
年中央金融工作
会议于 月 日至 日在北京举行 会议强调坚持把金融
时 ， ｎ ＝ （ Ｂ ） １０ ３０ ３１ ，
或
服务实体经济作为根本宗旨．现有某高新企业向金融机构申
Ａ．２ ３ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
请到一笔 万元专项扶持贷款资金 该贷款资金分 期发
９．（多选）（ ２０２４ 东北三省三校第一次联考， ９ ）等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ８００ ， １２
放完毕 考虑到企业盈利状况将逐步改善 前 期放款金额
ａ 则下列命题正确的是 ＡＣＤ ， ， １１
１＞０， （ ）
逐期等额递减发放 每期递减 万元 第 期资金不超过
若ａ ａ 则Ｓ ， １０ ， １２ １０
Ａ． ３＋ ７＝４， ９＝１８
万元一次性发放．假设每期放款金额均为以万元为单位的正
若Ｓ Ｓ 则ａ２ ａ２
Ｂ． １５＞０， １６＜０， ８＞ ９ 整数 则第 期和第 期放款金额之和为 Ｂ
若ａ ａ ａ ａ 则ａ ａ ， １ １２ （ ）
Ｃ． １＋ ２＝５， ３＋ ４＝９， ７＋ ８＝１７ 万元 万元 万元 万元
若ａ Ｓ 则Ｓ Ｓ Ａ．１２８ Ｂ．１３０ Ｃ．１３２ Ｄ．１３４
Ｄ． ８＝ １０， ９＞０， １０＜０ ５．（多选）（ 福建福州质量检测， ）已知等差数列 ａ 的前
１０．（ 河北邯郸调研， ）设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 已知 ２０２４ ９ ｛ ｎ｝
２０２４ １５ ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ项和为Ｓ ａ Ｓ 则 ＡＢＣ
Ｓ
{ Ｓ
ｎ
}
是公差为 １ 的等差数列． ｎａ 的最
ｎ
小
，
值
２＝
为
４， ５＝３５，
ｎＳ 的最小值为
（ ）
２＝１７， ｎ Ａ． ｎ １ Ｂ． ｎ １
５ ＋７ ２ {Ｓ } {ａ }
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； Ｃ． ｎ ｎ 为递增数列 Ｄ． ｎ２ ｎ 为递减数列
（２） 设ｂ ｎ＝ａ ｎ ａ １ ｎ ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ． ６．（多选）（ ２０２４ 安徽芜湖质量检测， １０ ）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前
＋１
ｎ项和为Ｓ 则下列说法正确的有 ＡＤ
Ｓ ｎ， （ ）
解析 因为Ｓ 所以 ２
（１） ２＝１７， ５×２＋７ ＝１， Ａ． 若ｋ ＝１５， 则Ｓ ｋ＝１５ ａ ８
所以 Ｓ ｎ ｎ １ ｎ 即Ｓ ｎ ｎ ． Ｂ． 若Ｓ ４＝２， Ｓ ８＝８， 则Ｓ １６＝２０
ｎ ＝１＋（ －２）× ＝ ， ｎ＝ （５ ＋７） 若 ａ 为常数列 则 ａ 一定为等比数列
５ ＋７ ２ ２ ２ Ｃ． ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
ｎ ｎ
当ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ ｎ －１ ｎ ｎ 若 ａ 且Ｓ Ｓ 则公差ｄ的最小值为 １
≥２ ， ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ （５ ＋７）－ （５ ＋２）＝５ ＋１， Ｄ． ０＜ １≤１ ｎ＝ ４０４７－ ｎ， －
２ ２ ２０２３
又ａ Ｓ １ 符合上式（易错提醒：不要忘记验
７．（
２０２４
湖北十一校联考，
１４
）已知在数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
１，
ａ
１１∈
Ｎ
，
１＝ １＝ ×（５＋７）＝ ６ {Ｓ }
２ 数列 ａ 的前ｎ和为Ｓ ｎ 为等差数列 Ｓ 则Ｓ
证ｎ
＝１
）
，
所以ａ
ｎ＝５
ｎ
＋１，
ｎ
∈
Ｎ ． ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ ， １４＝７７， １００＝
( )
．
（２）
由
（１）
知ｂ
ｎ＝ ｎ
１
ｎ ＝
１
ｎ
１
－ ｎ
１
，
－３７５０
（５ ＋１）（５ ＋６） ５ ５ ＋１ ５ ＋６ ８．（ 福建九地市质量检测， ）设Ｔ 为数列 ａ 的前ｎ项
２０２４ １４ ｎ ｛ ｎ｝
æ ö
故Ｔ ｎ＝ ５ １ è ç １ ６ － １ １ １ ＋ １ １ １ － １ １ ６ ＋…＋ ５ ｎ １ ＋１ － ５ ｎ １ ＋６ ø ÷ 积 ， 若Ｔ ｎ＋ ａ ｎ＝ ｍ ， 其中常数ｍ ＞０ ．则ａ ２＝ ｍ ２ ＋ ｍ ２ （ 结果用 ｍ表
( ) ｎ { }
１ １ １ ． 示 若数列 １ 为等差数列 则ｍ 或 ．
＝ － ｎ ＝ ｎ ）； Ｔ ， ＝ １ ２
５ ６ ５ ＋６ ６（５ ＋６） ｎ
９．（ 浙江丽水、湖州、衢州二模， ）设等差数列 ａ 的公差
学生用书P71 ２０２４ １５ ｛ ｎ｝
为ｄ 记Ｓ 是数列 ａ 的前ｎ项和 若Ｓ ａ Ｓ ａ ａ ａ ．
１．（ ２０２４ 安徽淮北第一次质量检测， ４ ）记Ｓ ｎ 是等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的 ， ｎ ｛ ｎ｝ ， ５＝ ３＋２０， １５＝ ２ ３ ８
前ｎ项和 则 ａ 是递增数列 是 {Ｓ ｎ } 是递增数列 的 （１） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
， “｛ ｎ｝ ” “ ｎ ”
（２）
若ｄ
＞０，
ｂ
ｎ＝ａ
４ Ｓ
ａ
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ
），
数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前 ｎ 项和为
（
Ｃ
）
ｎ· ｎ
＋１
充分不必要条件
Ａ． Ｔ ｎ， 求证 ： Ｔ ｎ＜ ｎ ＋ １ ．
必要不充分条件 ２
Ｂ．
解析 由Ｓ ａ 得 ａ ａ 故ａ ． 分
Ｃ．
充要条件 （１） ５＝ ３＋２０ ５ ３＝ ３＋２０， ３＝５ （１ ）
由Ｓ ａ ａ ａ 得 ａ ａ ａ ａ ａ ａ 所以ａ 或ａ
Ｄ． 既不充分也不必要条件 １５＝ ２ ３ ８ １５ ８＝ ２ ３ ８＝５ ２ ８， ８＝０ ２＝３，
２．（ 河南五市联考， ）一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸 分
２０２４ ６ （３ ）
筒上 纸筒直径为 卫生纸厚度约为 ． 若未使用 ａ ａ
， ２０ ｍｍ， ０ １ ｍｍ， 当ａ 时 ｄ ８－ ３ 此时ａ ａ ｎ ｄ ｎ
时直径为 则这个卷筒卫生纸总长度大约为 参考数据 ８＝０ ， ＝ ＝－１， ｎ＝ ３＋（ －３）× ＝８－ ；
８０ ｍｍ， （ ５
π≈３ ． １４） （ Ａ ） 当ａ ２＝３ 时 ， ｄ ＝ ａ ３－ ａ ２＝２， 此时ａ ｎ＝ ａ ３＋（ ｎ －３）× ｄ ＝２ ｎ －１ ．
综上 数列 ａ 的通项公式为ａ ｎ或ａ ｎ ． 分
Ａ．４７ ｍ Ｂ．５１ ｍ ， ｛ ｎ｝ ｎ＝８－ ｎ＝２ －１ （５ ）
专题六 数列 １ １７
（２）
证明
：
因为ｄ
＞０，
所以ａ
ｎ＝２
ｎ
－１，
所以Ｓ
ｎ＝
ｎ２．
（７
分
） ４＝２
ｎ２．
（７
分
）
则ｂ ４
Ｓ
ｎ ４
ｎ２
（２）∵ ｛
ｂ
ｎ｝
是
３
级等差数列
，∴
ｂ
ｎ ＋３＋
ｂ
ｎ －３＝２
ｂ
ｎ
对一切 ｎ
∈
ｎ＝ａ ｎ· ａ ｎ ＋１ ＝ （２ ｎ －１）（２ ｎ ＋１） Ｎ ， ｎ ＞３ 都成立 ， 即 ３（ ｎ ＋３）＋ｓｉｎ（ ωｎ ＋３ ω ）＋３（ ｎ －３）＋ｓｉｎ（ ωｎ
ｎ２ ω ｎ ωｎ
４ －１＋１ １ －３ ）＝２（３ ＋ｓｉｎ ），
＝ ｎ ｎ ＝１＋ ｎ ｎ
（２ －１）（２ ＋１） （２ －１）（２ ＋１） ωｎ ωｎ ω ωｎ 或 ω ． 分
( ) ∴ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ３ ，∴ ｓｉｎ ＝０ ｃｏｓ３ ＝１ （９ ）
＝１＋
１
ｎ
１
－ ｎ
１ ．
（１０
分
）
当
ｓｉｎ
ωｎ
＝０
对ｎ
∈
Ｎ 恒成立时
，
ω
＝
ｋ
π（
ｋ
∈
Ｚ
）
．
２ ２ －１ ２ ＋１ ｋ
所以Ｔ ｂ ｂ ｂ ｂ 当 ω 时 ω ｋ ｋ Ｚ 则ω ２ π ｋ Ｚ
ｎ＝ １＋ ２＋ ３＋…＋ ｎ ｃｏｓ３ ＝１ ，３ ＝２ π（ ∈ ）， ＝ （ ∈ ），
( ) ( ) ( ) ３
１ １ １ １ １ １ １ １
＝１＋ １－ ＋１＋ － ＋１＋ － ＋…＋１＋ 又因为 ω 所以ω ２π
２ ３ ２ ３ ５ ２ ５ ７ ０＜ ＜π， ＝ ，
( ) ３
１ １ １ ｎ
ｎ － ｎ 所以ｂ ｎ ２ π 分
２ ２ －１ ２ ＋１ ｎ＝３ ＋ｓｉｎ ， （１２ ）
( ) ３
ｎ １ １ １ １ １ １ １ １ ( ) [ ] é ù
＝ ＋ ２ １－ ３ ＋ ３ － ５ ＋ ５ － ７ ＋…＋ ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＋１ 又因为 ｓｉｎ ２π ×３ ｎ ＋ｓｉｎ ２π ×（３ ｎ ＋１） ＋ｓｉｎ ë ê ê２π ×（３ ｎ ＋２） û ú ú
( ) ｎ ３ ３ ３
ｎ １ １ ｎ ． 分
＝ ＋ １－ ｎ ＝ ＋ ｎ （１２ ）
２ ２ ＋１ ２ ＋１ ＝０，
ｎ ｎ ｎ
故Ｔ
ｎ＝
ｎ
＋ ｎ ＝
ｎ
＋
１
－ ｎ
１
＜
ｎ
＋
１ ．
（１３
分
）
所以Ｔ
３ ｎ＝
（３＋９ ）３
＝
２７ｎ２
＋
９ ｎ．
（１５
分
）
２ ＋１ ２ ２（２ ＋１） ２ ２ ２ ２
１０．（ 大湾区二模， ）已知数列 ａ 为等差数列 ａ
２０２４ １６ ｛ ｎ｝ ， １＝－４， 学生用书P72
Ｓ Ｓ
前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
满足
：
当ｎ
∈
Ｎ 且ｎ
＜９
时
，
Ｓ
１＋
２
＋…＋ ｎ
ｎ
＝
Ｓ
１
新定义理解 （
２０２４
辽宁二模，
１９
）如果数列
｛
ｘ
ｎ｝，｛
ｙ
ｎ｝，
其中
２
Ｓ Ｓ ｙ Ｚ 对任意正整数ｎ都有 ｘ ｙ １ 则称数列 ｙ 为数列
２ ９－ ｎ． ｎ∈ ， ｜ ｎ－ ｎ｜＜ ， ｛ ｎ｝
＋ ＋…＋ ｎ ２
２ ９－ ｘ 的 接近数列 ．已知数列 ｂ 为数列 ａ 的 接近数列 ．
求 ａ 的通项公式 ｛ ｎ｝ “ ” ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ “ ”
（１） ｛ ｎ｝ ；
（２）
定义集合Ｍ
ｎ＝｛
ａ
ｉ＋
ａ
ｊ｜
ｉ
，
ｊ
∈
Ｎ 且ｉ
，
ｊ
≤
ｎ
｝，
记Ｍ
ｎ
的元素
（１）
若ａ
ｎ＝２
ｎ
＋
２
（
ｎ
∈
Ｎ
），
求ｂ
１，
ｂ
２，
ｂ
３
的值
；
个数为ｂ 数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｔ 求Ｔ ． ３
ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ， １０ 若数列 ａ 是等差数列 且公差为 ｄ ｄ Ｚ 求证 数列
Ｓ Ｓ Ｓ （２） ｛ ｎ｝ ， （ ∈ ）， ：
解析 设 ａ 的公差为ｄ 在Ｓ ２ ｎ Ｓ ２ ｂ 是等差数列
（１） ｛ ｎ｝ ， １＋ ＋…＋ ｎ ＝ １＋ ＋ ｛ ｎ｝ ；
２ ２
Ｓ Ｓ 若数列 ａ 满足ａ ２３１ 且ａ ９ ａ ５７ 记数列 ａ
９－ ｎ中 令ｎ 得 ５ ． （３） ｛ ｎ｝ １＝ ， ｎ ＋１＝－ ｎ＋ ， ｛ ｎ｝，
…＋ ｎ ， ＝５， ＝０ １００ １０ ２０
９－ ５ ｂ 的前ｎ项和分别为Ｓ Ｔ 试判断是否存在正整数ｎ 使得
ａ ａ ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ， ，
所以５（ １＋ ５） 所以ａ ａ 即 ａ ｄ 所以ｄ Ｓ Ｔ 若存在 请求出正整数ｎ的最小值 若不存在 请说明理
＝０， １＋ ５＝０， ２ １＋４ ＝０， ＝２， ｎ＜ ｎ？ ， ； ，
２×５
æ ö
又ａ １＝－４， 所以ａ ｎ＝２ ｎ －６ ． 由． è ç参考数据 ：ｌｏｇ１ ９ ０ １４ ≈１６ ． ７ø ÷
（２）
记Ｃ
ｎ＝｛
ｉ
＋
ｊ
｜
ｉ
，
ｊ
∈
Ｎ 且ｉ
，
ｊ
≤
ｎ
｝，
由于ａ
ｉ＋
ａ
ｊ＝２（
ｉ
＋
ｊ
）－１２，
８１
所以Ｍ ｎ 的元素个数即为Ｃ ｎ 的元素个数 ， 而Ｃ ｎ＝｛２，３，４，…， 解析 （１） 由题 ： 令ｎ ＝１， 则 ｜ ａ １－ ｂ １｜＜ １ ， 即 ８ － ｂ １ ＜ １ ，
ｎ 共 ｎ 个元素 ２ ３ ２
２ ｝， ２ －１ ，
所以ｂ ｎ 故 １ ８ ｂ １ 解得１３ ｂ １９
ｎ＝２ －１， － ＜ － １＜ ， ＜ １＜ ，
２ ３ ２ ６ ６
所以Ｔ （１＋１９）×１０ ． 又ｂ Ｚ 则ｂ 同理可得ｂ ｂ ．
１０＝ ＝１００ １∈ ， １＝３， ２＝５， ３＝７
２
１１．（ 江西新八校联考， ）若数列 ａ 满足条件 存在正整 证明 由题意知 ａ ｂ １
２０２４ １６ ｛ ｎ｝ ： （２） ： ｜ ｎ－ ｎ｜＜ ，
数ｋ
，
使得ａ
ｎ ＋ ｋ＋
ａ
ｎ － ｋ＝２
ａ
ｎ
对一切ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ
＞
ｋ都成立
，
则称数 ２
列 ｛ ａ ｎ｝ 为ｋ级等差数列． 则ａ ｎ－ １ ＜ ｂ ｎ＜ ａ ｎ＋ １ ， ａ ｎ ＋１－ １ ＜ ｂ ｎ ＋１＜ ａ ｎ ＋１＋ １ ，
２ ２ ２ ２
若数列 ａ 为 级等差数列 且前四项分别为
（
求
１
数
）
列 ａ
｛
的
ｎ
前
｝
ｎ
２
项和Ｓ
， ２，０，２，４， 从而ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ－１＜ ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ＜ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＋１， 即 －１＜ ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ－ ｄ ＜１，
若ｂ
｛ ｎ｝
ｎ
２
ωｎ ω
２ ｎ；
且 ｂ 是 级等差数列 求
因为ｂ ｎ∈ Ｚ ， ｄ ∈ Ｚ ， 所以ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ－ ｄ ＝０， 即ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ＝ ｄ ，
（２） ｎ＝３ ＋ｓｉｎ （０＜ ＜π）， ｛ ｎ｝ ３ ， 故数列 ｂ 是等差数列．
｛ ｎ｝
数列 ｂ 的前 ｎ项和Ｔ ．
｛ ｎ｝ ３ ３ ｎ
解析 （１） 由数列 ｛ ａ ｎ｝ 为 ２ 级等差数列 ， 且前四项分别为 （３） 因为ａ ｎ ＋１＝－ １ ９ ０ ａ ｎ＋ ２ ５ ０ ７ ， 所以令ａ ｎ ＋１＋ λ ＝－ １ ９ ０ （ ａ ｎ＋ λ ），
２，０，２，４，
可得ａ
ｎ ＋２＋
ａ
ｎ －２＝２
ａ
ｎ
对一切ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ
＞２
都成立
， 解得λ ３
且数列 ａ 的奇数项是首项为 公差为 的等差数列 ＝－ ，
｛ ｎ｝ ２， ０ ， ２
偶数项是首项为 公差为 的等差数列 分 { }
０， ４ ， （４ ） 又ａ ３ ８１ 故 ａ ３ 是以８１为首项 ９ 为公比的等
ｎ ｎ １－ ＝ ≠０， ｎ－ ，－
则Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ｎ （ －１） ２ １００ ２ １００ １０
２ ｎ＝（ １＋ ３＋…＋ ２ ｎ －１）＋（ ２＋ ４＋…＋ ２ ｎ）＝２× ＋ × 比数列
２ ，
１ １８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
( )ｎ －１ ( )ｎ ＋１ { ｎ为偶数
则ａ ３ ８１ ９ 即ａ ９ ３ 综上 ｂ １， ，
ｎ－ ＝ · － ， ｎ＝ － ＋ ， ， ｎ＝ ｎ为奇数．
２ １００ １０ １０ ２ ２，
( )ｎ ＋１ [ ( )ｎ]
当ｎ为奇数时 ， ａ ｎ＝ ９ ＋ ３ ， 易知Ｓ ｎ＝ ３ ｎ ＋ ８１ １－ － ９ ，
１０ ２ ２ １９０ １０
( )ｎ ＋１ [ ( )ｎ]
易知ａ ｎ＝ ９ ＋ ３ 递减 ， 当ｎ为偶数时 ， Ｔ ｎ ＝ ３ ｎ ； 由 Ｓ ｎ＜ Ｔ ｎ， 得 ８１ １－ ９ ＜０， 即
１０ ２ ２ １９０ １０
( ] ( )ｎ
故 ３ ＜ ａ ｎ≤ ａ １＝ ２３１ ， 得ａ ｎ－２∈ － １ ， ３１ ， 进一步有ｂ ｎ＝２； ９ ＞１， 无解 ；
２ １００ ２ １００ １０
( )ｎ
当ｎ为偶数时 ， ａ ｎ＝－
１
９
０
＋１ ＋
２
３ ， 当ｎ为奇数时 ， Ｔ ｎ＝ Ｔ ｎ ＋１－ ｂ ｎ ＋１＝ ３（ ｎ
２
＋１） －１＝ ３ ｎ
２
＋１ ，
( )ｎ ＋１ [ ( )ｎ] ( )ｎ
易知ａ ｎ＝－ ９ ＋ ３ 递增 ， 由Ｓ ｎ＜ Ｔ ｎ， 得８１ １＋ ９ ＜ １ ， 即 ９ ＜ １４ ，
１０ ２ １９０ １０ ２ １０ ８１
[ )
故ａ ２≤ ａ ｎ＜ ２ ３ ， 即 １ ７ ０ ７ ０ １ ０ ≤ ａ ｎ＜ ２ ３ ， 得ａ ｎ－１∈ － １ ２ ０ ２ ０ ９ ０ ， １ ２ ， 进一 故ｎ ＞ｌｏｇ１ ９ ０ １ ８ ４ １ ≈１６ ． ７， 所以存在正整数ｎ ， 使得Ｓ ｎ＜ Ｔ ｎ， 正整数ｎ的
步有ｂ ｎ＝１ ． 最小值为
１７
．
