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第 05 讲 数列求和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知 是数列 的前 项和， ， ， ，数列
是公差为1的等差数列，则 （ ）
A．366 B．367 C．368 D．369
【答案】A
【解析】设 ，由题意 是公差为 的等差数列，则 ，
故 ，则 ，
故
于是
.
故选：A
2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的
进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，即 ，此数列在现代物理、准晶
体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，则
的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：数列 为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以
，
故选：B
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为d，因为 ，所以 …①，
又 ，即 ， ，代入①，解得 ， ，
则 ，
所以
；
故选：A.
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新
数列 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若数列 与数列 的公共项，
则设 ，即
，
因为 为偶数，所以 也为偶数，
所以令数列 与数列 的公共项为：
，
所以 ，
所以
，
故选：B.
5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正
方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第 个正方形的面积为 ，
则 （ ）
A．1011 B． C．1012 D．
【答案】B
【解析】第一个正方形的边长为 ，面积为 ，
第二个正方形的边长为 ，面积为 ，
第三个正方形的边长为 ，面积为 ，……,进而可知：
是以公比为2，首项为1的等比数列，所以 ，
由于 ,所以
，
故选：B
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列 满足各项均为正数，
，数列 的前 项和为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】等比数列 满足各项均为正数， ，
则 的公比为 ， ，
，
，； ，
当 时， ，
令 ， ，
令 ， ，
当 时， ，即 为增函数，故 ，
即当 时， 为增函数，故 ，
则 单调递增， ， 时 ，
综上，则 的取值范围为 .
故选：A.
7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列 ， ， ， ，
， ， 是数列 的前 项和，则 （ ）
A．656 B．660 C．672 D．674
【答案】D
【解析】由题意知数列 是一个周期为 的数列.穷举法找规律，易发现 从第 项开始，每 项重复出现，故只需要分段计算即可.
，共 个分段，每段的和为 ，
， ， ， ，所以 ，
故 .
故选：D.
8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章
算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个
球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ，且 ，数列 的前n项和为 ，则正确
的选项是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意可知： ，于是有 ，
显然可得： ， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时， ，
显然 适合上式， ，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的
特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称
为“斐波那契数列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割
，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，所以
故A正确；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，而 ，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确
答案：ACD.
10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中，已知其前
项和为 ，且 等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列 的前 项和为 ，则
【答案】BC
【解析】对于A，设等差数列 的公差为 ，由 得 ，①
由 等比数列得 ， ，②
由①②解得 ， ，所以 ，故A错误；对于B，
，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，所以
所以 ，①
，②
① ②得， ，
则 ，故D错误.
故选：BC.
11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，
记数列 的前 项和为 ，若存在正整数 ， ，使得 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【解析】由题意数列 满足 ， ， ，
可得数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，
偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，
故 ，
所以 ，
故
，
，
故 ，由 可知 都大于3，
所以 只能是 其中之一，
若 ，即 ，即 ，无解；
若 ，即 ，
若 ，即 ，
故选：AB
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则
.
【答案】
【解析】当 时， ，
∴ ，
又 ，
满足 ，
∴ ， ，
即 ，
∴
.
故答案为： .13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列 满足 ，若数列 的前 项和为 ，
，则 中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
所以 为奇数时 ，故 都是集合 中的元素.
又 ，所以 为偶数时 ，
由 得 ，所以2，4，6，8是集合 中的元素，
则集合 中所有元素的和为 .
故答案为：2520.
14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么
这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 是等和数列，且 ， ，
则这个数列的前2022项的和为 ．
【答案】6066
【解析】设等和数列的公和为m．
因为 ，所以 ， ， ， ，…，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：6066
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
若 ，则数列 的前50项和为 .
【答案】
【解析】由 ， ，
可得数列 中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又 ， ，可得数列 的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得进而可得 ，
则数列 的前50项和为
．
故答案为： ．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ，数列
满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
化简得 ，
∴数列 是以 为首项， 为等差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
∴数列 的前 项和 .
∵ ，
∴ 单调递增，∴ ，
∵ ，
∴ ，若使得 对一切 恒成立，则 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列，数
列 的前 项和 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，且 成等比数列，
，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
数列 的前 项和 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
.
（2）由（1）可得 ，
.
令 ， ，
单调递增， .
， ， .
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 是 与 的等比中项，___________.
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选条件①：设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 .
选条件②：设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 .
选条件③：因为 是 与 的等比中项，所以 ，由 ，可得 ，
设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）令 ，
则 ①，
②，
① ②得 ，
所以 .
19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依
次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列
的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．
【解析】（1）由题意，取 ，可得公比 ，则 ，
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 .
（2）由{ }单调递增，
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则 ，
所以 ，而 ，故 ；
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则 ，
所以 ，而 ，故 .
综上， .
20．（2023·福建宁德·校考二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前15项和 ．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， ，
且 ， ， ， ， ．
（2）由（1）可知 其中 ．
故 的前15项和为
．
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是公比为q的等比数列．对于给定
的 ，设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ，记 的第i项为 ．若
，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)求 ．
【解析】（1）依题意， ，
，
，
由 及 ，得 ，解得 ，于是 ，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ， ，
，
所以 .（3）由（1）知， ， ，
所以
.
1．（2023•甲卷（理））已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
， ，
当 时，可得 ，
，
当 或 时， ， 适合上式，
的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ，
， ，
，
．
2．（2023•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．【解析】（1）在等差数列中， ， ．
，即 ，
得 ， ，
则 ．
（2） ，
即 时， ，
当 时， ，
当 时，数列 的前 项和 ，
当 时 ， 数 列 的 前 项 和
．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
4．（2023•天津）已知 是等差数列， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式和 ；
（Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ．
当 时，求证： ；
求 的通项公式及其前 项和．
【解析】（Ⅰ） 是等差数列， ， ．
，得 ， ，
则 的通项公式 ，
中的首项为 ，项数为 ，
则 ．
（Ⅱ） ， ， ，
即 ，
当 时， ．
，且 ，
即 ，
综上 ，
即 成立．
成立，
为等比数列， 设公比为 ，当 时， ， ，
则 ，
即 ，
即 ，
当 ， ， ，
，
时， ，
，
即 ，
即 ，
当 ， ， ，
则 ，
则 ，即 的通项公式为 ，
则 的其前 项和 ．
5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【解析】（1） ， ，
根据题意可得 ，
，，又 ，
解得 ， ，
， ；
（2） 为等差数列， 为等差数列，且 ，
根据等差数列的通项公式的特点，可设 ，则 ，且 ；
或设 ，则 ，且 ，
①当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
解得 ；
②当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
此时 无解，
综合可得 ．
6．（2022•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有： ①，
把 换成 ， ②，
② ①可得： ，
整理得： ，
由等差数列定义有 为等差数列；（2）由已知有 ，设等差数列 的首项为 ，由（1）有其公差为1，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ，
故可得： ， ， ，
故 在 或者 时取最小值， ，
故 的最小值为 ．
7．（2022•全国）设 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）已知 是首项为1，公差 不为0的等差数列，
又 ， ， 成等比数列，
则 ，
即 ，
又 ，
即 ，
则 ；
（2）由（1）可得： ，
则 ，
则当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
即 ．
8．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
【解析】（1） ， ， 成等差数列， ，是首项为1的等比数列，设其公比为 ，
则 ， ，
，
．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，①
，②
① ②得， ，
，
，
．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以数列 是以 为首项，以3为公差的等差数列，
所以 ．另由题意可得 ， ，
其中 ， ，
于是 ， ．
（2）由（1）可得 ， ，
则 ， ，
当 时， 也适合上式，
所以 ， ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 的 前 20 项 和 为
．
