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专题六 数列 １ ０７
专题六 数列
6.1 数列的概念及表示
学生用书P239
7 ,&-+M+/,+
+
E+M
+2 7 F.++
A8B B , [B]E 8B B , [B]E
+B N N N N N N
8B BL/∗ , [B] , L[B]+
N K N N N
+P
5 EMU [B N ]+0NMB N NK+2 *
B N FUNU =., EE E+EM
=
5
+EM E E -[B]+0M M 0M
. N
U MU, MB+MB UNU
N N
UMUK+2 * =., EE
[B]+E
N
\4
UN U,
[B]+NM 4B+2 B
N N N N
4 4 UNU
N N
学生用书P239
题型 一 利用Ｓ 和ａ 的关系求通项公式 造等比数列）．
ｎ ｎ
1.已知Ｓ 求ａ 的步骤： 又ａ １ ，
ｎ ｎ １－１＝－ ≠０
２
先利用ａ Ｓ 求出ａ ．
（１） １＝ １ １ 所以｛ａ ｝是首项为 １，公比为１ 的等比数列，
（２）
用ｎ
－１
替换Ｓ
ｎ
中的 ｎ 得到一个新的关系
，
利用 ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
ｎ－１ －
２ ２
Ｓ ｎ 便可求出当ｎ 时ａ 的表达式． ( )ｎ
ｎ －１（ ≥２） ≥２ ｎ 所以ａ １ １ －１ １ ，
对ｎ 时的结果进行检验 看是否符合ｎ 时ａ 的表 ｎ－１＝－ × ＝－ ｎ
（３） ＝１ ， ≥２ ｎ ２ ２ ２
达式 若符合 则数列的通项公式合写 若不符合 则应该分ｎ
， ， ； ， 所以ａ １ ，
ｎ＝１－ ｎ
与ｎ 两段来写．
＝１ ≥２ ２
2.Ｓ
ｎ
与ａ
ｎ
关系问题的求解思路
所以 （ ａ ） １ ．
根据所求结果的不同要求 将问题向不同的方向转化． ｌｏｇ２ １－ ２０２３ ＝ｌｏｇ２ ２ ２０２３ ＝－２０２３
，
利用ａ Ｓ Ｓ ｎ 转化为只含Ｓ Ｓ 的关系式 再
（１） ｎ＝ ｎ－ ｎ －１（ ≥２） ｎ、 ｎ －１ ， 题型 二 利用递推关系求数列的通项公式
求解．
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
（２） 利用Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝ ａ ｎ（ ｎ ≥２） 转化为只含ａ ｎ、 ａ ｎ －１ 的关系式 ， 再 ：
1.累加法
求解．
例1 （ ２０２４ 山东青岛一中第一次模考）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ
累加法适用于ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＝
ｆ
（
ｎ
）（
ｎ
∈
Ｎ
）
型
，
数列
｛
ａ
ｎ｝
的首项ａ
１
已知 且数列 ｆ ｎ 的前ｎ项和易求．
项和
解
为
析
Ｓ
ｎ
因
，
若
为
Ｓ
Ｓ
ｎ
ｎ
＋
＋
ａ
ａ
ｎ
ｎ
＝
＝
ｎ
ｎ
（
（
ｎ
ｎ
∈
∈
Ｎ
Ｎ
）
）
，
，
则
ｌｏｇ２（１－
ａ
２０２３）＝ －２０２３
．
具
开
体
始
，
步
赋
骤
值
：
先
一
｛
给
直
（
递
到
）
推
ｎ
｝
公式
一
ａ
ｎ
共
＋１
得
－
ａ
到
ｎ＝
ｆ
（
ｎ
ｎ
）（
ｎ
个
∈
式
Ｎ
子
）
中
即
的
ａ
ｎ从
ａ
１
， －１， （ －１） ， ２－ １＝
所以当ｎ 时， ａ ，即ａ １ ；
＝１ ２ １＝１ １＝ ２ ｆ （１）， ａ ３－ ａ ２＝ ｆ （２）， ａ ４－ ａ ３＝ ｆ （３），……， ａ ｎ－ ａ ｎ －１＝ ｆ （ ｎ －１）， 再把
当ｎ ≥２ 时，ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝ ｎ － ａ ｎ－ （ｎ －１－ ａ ｎ －１ ） ＝－ ａ ｎ＋ ａ ｎ －１＋１ （提醒： 这 （ ｎ －１） 个式子左 、 右两边对应相加化简 ， 即可得到数列 ｛ ａ ｎ｝
由ａ Ｓ Ｓ ，ｎ≥ 得到关于ａ 与ａ 的关系式）， 的通项公式．
ｎ＝ ｎ－ ｎ －１ ２ ｎ ｎ －１
所以 ａ ａ ， 2.累乘法
２ ｎ＝１＋ ｎ －１
ａ
所以ａ
ｎ－１＝ ２
１ （ａ
ｎ －１－１
）（联想ａ
ｎ ＋１＝
ｐａ
ｎ＋
ｑ，ｐ≠
０
，
１
且ｑ≠
０
，构 累乘法适用于
ａ
ｎ ＋
ｎ
１
＝
ｆ
（
ｎ
）（
ｎ
∈
Ｎ
）
型
，
数列
｛
ａ
ｎ｝
的首项ａ
１
已
１ ０８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
知 且数列 ｆ ｎ 的前ｎ项积易求． ａ
， ｛ （ ）｝ 特别地 当Ａ Ｃ时 可将等式左 右两边同除以Ｃｎ ＋１ 得 ｎ ＋１
ａ ， ＝ ， 、 ， Ｃｎ ＋１ ＝
具体步骤
：
先给递推公式
ａ
ｎ ＋
ｎ
１
＝
ｆ
（
ｎ
）（
ｎ
∈
Ｎ
）
中的ｎ从
１
开始
ａ ｎ Ｂ 重新构造数列 {ａ ｎ } 来求ａ ．
ａ ａ Ｃｎ＋Ｃ， Ｃｎ ｎ
赋值 一直到ｎ 一共得到 ｎ 个式子 即 ２ ｆ ３
， －１， （ －１） ， ａ ＝ （１），ａ ＝ 例3 （ 广东大联考， ）在数列 ａ 中 ａ 且 ａ
１ ２ ２０２４ １３ ｛ ｎ｝ ， １＝３， ｎ ＋１＝
ａ ａ
ｆ （２），ａ ４ ＝ ｆ （３），……，ａ ｎ ＝ ｆ （ ｎ －１）， 再把这 （ ｎ －１） 个式子左 、 ３ ａ ｎ＋４ ｎ －６（ ｎ ∈ Ｎ ）， 则 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为 ａ ｎ＝３ ｎ －２ （ｎ －１ ） ．
右两边对
３
应相乘化简 即
ｎ －
可
１
得到数列 ａ 的通项公式．
解析 因为ａ
ｎ ＋１＝３
ａ
ｎ＋４
ｎ
－６
（ｎ
∈
Ｎ ），（对照形如ａ
ｎ ＋１＝
ｐａ
ｎ＋
， ｛ ｎ｝ ｆ（ｎ）型的递推关系的第一种情况求解）
例2 （ 广东江门第一中学月考）数列 ａ 中 ｎ ａ ａ
２０２４
ｎ
｛ ｎ｝ ， （ ｎ ＋１－ ｎ） 所以ａ
ｎ ＋１＋２
ｎ
＝３
ａ
ｎ＋４
ｎ
－６＋２
ｎ
＝３
［ａ
ｎ＋２
（ｎ
－１
）］，
＝
ａ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ
），
且ａ
３＝π，
则ａ
ｎ＝
π ． 因为ａ
１＝３
，
３ 所以ａ （ ） ，
ａ ａ ａ ｎ ａ ｎ １＋２× １－１ ＝３
解析 由题意可知 ｎ ＋１－ ｎ １ ｎ ＋１ ＋１ ｎ （ｎ 所以｛ａ （ｎ ）｝是首项为 ，公比为 的等比数列，
ａ ＝ ｎ ⇒ ａ ＝ ｎ ⇒ａ ＝ｎ ≥ ｎ＋２ －１ ３ ３
）（提醒：构建递推模型）， ｎ ｎ ｎ －１ －１ 则ａ ｎ＋２ （ｎ －１ ） ＝３ · ３ ｎ －１ ＝３ ｎ，
２
所以ａ ｎ （ｎ ）．
ａ ａ ｎ＝３ －２ －１
显然有 ２ ， ３ ３ ａ ２π，ａ π，
ａ ＝２ ａ ＝ ⇒ ２＝ １＝ 解题关键
１ ２ ２ ３ ３
ａ ａ ａ ａ ａ 解本题的关键是构造出等比数列．构造过程如下：
由累乘法可得 ２ ３ ４ ５ … ｎ ２ ３ ４ ５ …
ａ １ ×ａ ２ ×ａ ３ ×ａ ４ × ×ａ ｎ －１ ＝ １ × ２ × ３ × ４ × 设ａ ｎ ＋１＋ λ １ （ｎ ＋１ ） ＋ λ ２＝３ （ａ ｎ＋ λ １ ｎ ＋ λ ２ ），
×ｎ ｎ ， 即ａ ｎ ＋１＋ λ １ ｎ ＋ λ １＋ λ ２＝３ ａ ｎ＋３ λ １ ｎ ＋３ λ ２ ，
－１ 即ａ ａ λ ｎ λ λ ，
ａ ｎ ｎ ＋１＝３ ｎ＋２ １ ＋２ ２－ １
则 ａ
１
ｎ ＝ ｎ，ａ ｎ＝
３
π（ｎ ≥２ ）， 又ａ ｎ
{
＋１＝
λ
３ ａ ｎ＋
，
４ ｎ －６ ，
{λ ，
当ｎ 时，ａ π适合上式， 所以 ２ １＝４ 即 １＝２
＝１ １＝ λ λ ， λ ，
３ ２ ２－ １＝－６ ２＝－２
所以ａ ｎ＝ ｎ π（ｎ ∈ Ｎ ）． 所以ａ ｎ ＋１＋２ （ｎ ＋１ ） －２＝３ （ａ ｎ＋２ ｎ －２ ），
３ ａ ｎ
即 ｎ ＋１＋２ ．
ａ （ｎ ）＝３
题型 三 数列中的构造问题 ｎ＋２ －１
数列中的构造问题本质上考查了转化思想 通过构造 将
， ， 新定义理解
一个陌生数列转化为熟悉的等差数列或等比数列 利用等差数
，
列或等比数列的性质解决陌生数列的问题．
例 （ 浙江温州期末， ）定义
ｎ
为 ｎ 个正数
２０２４ ３ ｐ ｐ ｐ ｐ
常见构造数列的形式 １＋ ２＋ ３＋…＋ ｎ
ｐ ｐ ｐ ｐ 的 均倒数 若已知数列 ａ 的前 ｎ 项的 均
1.形如ａ ｎ ＋１＝ ｐａ ｎ＋ ｑ （ ｐ ≠０，１ 且ｑ ≠０）， 转化为ａ ｎ ＋１＋ λ ＝ ｐ （ ａ ｎ＋ λ ）， １， ２， ３，…， ｎ “ ”， ｛ ｎ｝ “
其中λ为待定系数 ， 也可以转化为ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝ ｐ （ ａ ｎ－ ａ ｎ －１）， 先求 倒数 ” 为 １ ｎ， 则ａ １０ 等于 （ Ｃ ）
得 ａ ａ 的表达式 然后利用累加法求ａ ． ５
｛ ｎ ＋１－ ｎ｝ ， ｎ
ｃａ Ａ．８５ Ｂ．９０
2.形如ａ ｎ ｂｃｄ ａ 通过两边同时取倒数的方
ｎ ＋１＝ｂａ
ｎ＋
ｄ（ ≠０， １≠０）， Ｃ．９５ Ｄ．１００
法构造新数列求解． 解析 因为数列｛ａ ｝的前ｎ项的“均倒数”为 １ ，
ｎ ｎ
3.形如ａ ｐａ ｆ ｎ 型的递推关系的解法 ５
ｎ ＋１＝ ｎ＋（ ） ｎ
对于形如ａ ｎ ＋１＝ ｐａ ｎ＋ ｆ （ ｎ ）（ ｐ为非零常数 ） 的递推关系一般讨 所以 ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋ … ＋ ａ ｎ ＝ ５ １ ｎ⇒ ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋ … ＋ ａ ｎ＝５ ｎ２，
论两种情况
： 于是有ａ ａ ａ … ａ ２，ａ ａ ａ … ａ ２，
１＋ ２＋ ３＋ ＋ １０＝５×１０ １＋ ２＋ ３＋ ＋ ９＝５×９
当ｆ ｎ 为一次多项式时 即数列的递推关系为ａ Ａａ
（１） （ ） ， ｎ ＋１＝ ｎ＋ 两式相减，得ａ
１０＝５×
（
１００－８１
）
＝９５
．故选
Ｃ．
Ｂｎ Ｃ型 可化为ａ λ ｎ λ Ａ ａ λ ｎ λ 的形式来
＋ ， ｎ ＋１＋ １（ ＋１）＋ ２＝ （ ｎ＋ １ ＋ ２） 风向解读
求ａ ．
ｎ 本题难度较低，主要考查学生学习新概念，并利用新概念解
当ｆ ｎ 为指数幂时 即数列的递推关系为ａ Ａａ Ｂ
（２） （ ） ， ｎ ＋１＝ ｎ＋ · 题的能力，平稳中有新意，灵活中见能力，实践中出真知，体
Ｃｎ 型 ， 可化为ａ ｎ ＋１＋ λ · Ｃｎ ＋１ ＝ Ａ ·（ ａ ｎ＋ λ · Ｃｎ ） 的形式 ， 构造出 现新高考的变化和趋势．
一个新的等比数列 ａ λ Ｃｎ 然后求ａ ．
｛ ｎ＋ · ｝， ｎ
专题六 数列 １ ０９
考点 数列的概念及表示 学生用书P65
ａ 为递减数列 ａ 中存在小于 １ 的项．
③｛ ｎ｝ ；④｛ ｎ｝
１．（ 天津， ， 分，易）已知数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ．若ａ １００
２０２３ ６ ５ ｛ ｎ｝ ｎ １＝ 其中所有正确结论的序号是 ．
２，
ａ
ｎ ＋１＝２
Ｓ
ｎ＋２（
ｎ
∈
Ｎ
），
则ａ
４＝ （
Ｃ
） ７．（
２０２３
全国甲理，
１７
，
１２
分，中
①
）记
③
Ｓ
④
ｎ
为数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和
，
． ． ． ．
Ａ１６ Ｂ３２ Ｃ５４ Ｄ１６２ 已知ａ Ｓ ｎａ ．
２．（ 全国乙理， ， 分，中）嫦娥二号卫星在完成探月任务 ２＝１，２ ｎ＝ ｎ
２０２２ ４ ５ 求 ａ 的通项公式
后 继续进行深空探测 成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造 （１） ｛ ｎ｝ ；
， ， {ａ }
行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值 ， 用到 （２） 求数列 ｎ ＋ ｎ １ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
２
数列 ｂ ｂ １ ｂ １ ｂ １ 依此 解析 当ｎ 时 ａ ａ 即ａ
｛ ｎ｝： １＝１＋α ， ２＝１＋ ， ３＝１＋ ，…， （１） ＝１ ，２ １＝ １， １＝０，
１ α １ α １ 当ｎ 时 Ｓ ｎ ａ
１＋α
２
１＋
α １
≥２ ，２ ｎ －１＝（ －１） ｎ －１，①
２＋α
３
又
２
Ｓ
ｎ＝
ｎａ
ｎ，②
类推
，
其中α
ｋ∈
Ｎ
（
ｋ
＝１，２，…）
．则
（
Ｄ
） ∴ ②－①
得
２
ａ
ｎ＝
ｎａ
ｎ－（
ｎ
－１）
ａ
ｎ －１，
ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ 即 ｎ ａ ｎ ａ ．
Ａ． １＜ ５ Ｂ． ３＜ ８ Ｃ． ６＜ ２ Ｄ． ４＜ ７ （ －２） ｎ＝（ －１） ｎ －１
３．（ 北京， ， 分，中）已知 ａ 是各项均为整数的递增数 当ｎ 时 上式成立．
２０２１ １０ ４ ｛ ｎ｝ ＝２ ，
列 且ａ ．若ａ ａ ａ 则ｎ的最大值为 Ｃ ａ ｎ ａ ａ ａ ａ
， １≥３ １＋ ２＋…＋ ｎ＝１００， （ ） 当ｎ 时 ｎ －１ ａ ３ ４ ５ ｎ ａ ２
Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２
≥３ ，ａ
ｎ －１
＝ｎ
－２
，∴ ｎ＝ａ
２
·ａ
３
·ａ
４
·…·ａ
ｎ －１
· ２＝
１
４．（ ２０２１ 浙江， １０ ， ４ 分，难）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足 ａ １ ＝１， ａ ｎ ＋１ ＝ × ３ × ４ ·…· ｎ ｎ －１ ·１＝ ｎ －１， 即ａ ｎ＝ ｎ －１（ ｎ ≥３） ．
ａ ２ ３ －２
ｎ ａ （ ｎ ∈ Ｎ ） ．记数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 则 （ Ａ ） 当ｎ ＝１ 时 ， ａ １＝０ 符合上式 ， 当ｎ ＝２ 时 ， ａ ２＝１ 符合上式．
１＋ ｎ
综上
，｛
ａ
ｎ｝
的通项公式为ａ
ｎ＝
ｎ
－１，
ｎ
∈
Ｎ ．
Ａ． ３ ２ ＜ Ｓ １００＜３ Ｂ．３＜ Ｓ １００＜４ （２） 由 （１） 知ａ ｎ ＋１＝ ｎ ， 设ｂ ｎ＝ ａ ｎ ＋ ｎ １ ＝ ｎ ｎ ＝ ｎ · ( １ )ｎ ．
２ ２ ２
Ｓ ９ ９ Ｓ
Ｃ．４＜ １００＜ Ｄ． ＜ １００＜５ ( ) １ ( ) ２ ( ) ３
２ ２ Ｔ ｂ ｂ ｂ ｂ １ １ １
５．（ 课标 理， ， 分，难） 周期序列在通信技术中有着
∴ ｎ＝ １＋ ２＋ ３＋…＋ ｎ＝１×
２
＋２×
２
＋３×
２
＋…＋
２０２０ Ⅱ １２ ５ ０－１
( )ｎ
重要应用．若序列ａ １ ａ ２… ａ ｎ… 满足ａ ｉ∈｛０，１｝（ ｉ ＝１，２，…）， 且存 ｎ · １ ，①
在正整数ｍ 使得ａ ａ ｉ 成立 则称其为 周期 ２
， ｉ ＋ ｍ＝ ｉ（ ＝１，２，…） ， ０－１ ( ) ２ ( ) ３ ( ) ４ ( )ｎ ＋１
序列 并称满足ａ ａ ｉ 的最小正整数ｍ为这个序 １ Ｔ １ １ １ ｎ １ ．
， ｉ ＋ ｍ＝ ｉ（ ＝１，２，…） ｎ＝１× ＋２× ＋３× ＋…＋ · ②
２ ２ ２ ２ ２
列的周期．对于周期为 ｍ 的 ０－１ 序列 ａ １ ａ ２… ａ ｎ…， Ｃ （ ｋ ）＝ 得 １ Ｔ ( １ ) １ ( １ ) ２ ( １ ) ３ ( １ )ｎ
ｍ ①－② ｎ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ －
１ ａａ ｋ ｍ 是描述其性质的重要指标．下列 ２ ２ ２ ２ ２
ｍ ∑ｉ＝ ｉ ｉ ＋ ｋ（ ＝１，２，…， －１） [ ( )ｎ]
１
１ １
周期为 的 序列中 满足Ｃ ｋ １ ｋ 的序列是 ｎ ( １ )ｎ ＋１ ２ １－ ２ ｎ ( １ )ｎ ＋１
５ ０－１ ， （ ）≤ （ ＝１，２，３，４） · ＝ － ·
５ ２ １ ２
Ｃ １－
（ ） ２
( )ｎ ( )ｎ ( )ｎ( )
＋１
Ａ．１１０１０… Ｂ．１１０１１… １ ｎ １ １ １ ｎ
＝１－ － · ＝１－ １＋ ，
２ ２ ２ ２
Ｃ．１０００１… Ｄ．１１００１… ( )ｎ
６．（ 北京， ， 分，难）已知数列 ａ 的各项均为正数 其 Ｔ ｎ １ ．
２０２２ １５ ５ ｛ ｎ｝ ， ∴ ｎ＝２－（ ＋２）·
前ｎ项和Ｓ 满足ａ Ｓ ｎ ．给出下列四个结论 ２
ｎ ｎ· ｎ＝９（ ＝１，２，…） ： {ａ } ( )ｎ
ａ 的第 项小于 ａ 为等比数列 故数列 ｎ ＋１ 的前ｎ项和Ｔ ｎ １ ．
①｛ ｎ｝ ２ ３；②｛ ｎ｝ ； ｎ ｎ＝２－（ ＋２）·
２ ２
学生用书P66 ａ ｎ＝２ ｎ ， 则ａ １０ 等于 （ Ｃ ）
１．（ ２０２４ 江西南昌二中适应性测试（一）， ３ ）若数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ ２ Ａ．５１１ Ｂ．１０２２ Ｃ．１０２３ Ｄ．２０４７
３．（
２０２４
浙江宁波二模，
６
）已知数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
ｎ＝
λｎ２
－
ｎ
，
对任
ａ １ 则ａ Ｄ
＝１１， ｎ ＋１＝
１－
ａ
ｎ
， ９８５＝ （ ） 意ｎ
∈｛１，２，３｝
都有ａ
ｎ＞
ａ
ｎ ＋１，
且对任意ｎ
∈｛
ｘ
｜
ｘ
≥７，
ｘ
∈
Ｎ
｝
都
有ａ ａ 则实数λ的取值范围是 Ｃ
１１ １ １０ ｎ＜ ｎ ＋１， （ ）
Ａ． Ｂ．１１ Ｃ．－ Ｄ． [ ] ( )
１０ １０ １１
１ １ １ １
２．（ 广东汕头金山中学调研， ）已知数列 ａ ａ ａ Ａ． ， Ｂ． ，
２０２４ ５ ｛ ｎ｝， １＝１， ｎ ＋１－ １４ ８ １４ ７
１ １０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
( ) ( ] 四层有 个球 ．记第 ｎ 层球的个数为 ａ 则数列
１ １ １ １ １０ ，…… ｎ，
Ｃ． ， Ｄ． ， { }
１５ ７ １５ ８
１ 的前 项和为 Ｃ
４．（ 湖南长沙雅礼中学月考七， ）我们把由 和 组成的 ａ ２０ （ ）
２０２４ ５ ０ １ ｎ
数列称为 数列 数列在计算机科学和信息技术领域
０－１ ，０－１
有着广泛的应用 把斐波那契数列 Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ
， ｛ ｎ｝（ １＝ ２＝１， ｎ ＋２＝ ｎ＋
Ｆ 中的奇数换成 偶数换成 可得到 数列 ａ 记数
ｎ ＋１） ０， １ ０－１ ｛ ｎ｝，
列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 则Ｓ 的值为 Ｂ
｛ ｎ｝ ｎ， １００ （ ）
１０ ２０
Ａ．３２ Ｂ．３３ Ａ． Ｂ．
２１ ２１
Ｃ．３４ Ｄ．３５
５．（ 河北沧州模考， ）已知数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ａ ４０ １９
２０２４ ４ ｛ ｎ｝ ｎ， １＝ Ｃ．
２１
Ｄ．
１０
２，（
ｎ
－２）
Ｓ
ｎ ＋１＋２
ａ
ｎ ＋１＝
ｎＳ
ｎ，
ｎ
∈
Ｎ
，
下列说法不正确的是
２．（
２０２４
广东湛江联考，
８
）在数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
１＝１，
且ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１＝
ｎ
，
当
Ｃ
（ ） ｎ 时 １ １ １ ａ ａ λ 则实数λ的取值范围为
ａ
{ａ
ｎ
}
为常数列
≥２ ，ａ
２
＋ａ
３
＋…＋ａ
ｎ
≤ ｎ＋ ｎ ＋１－２ ，
Ａ． ２＝４ Ｂ． ｎ
Ａ
（ ）
Ｃ．
ａ
７＝１５ Ｄ．
Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋
ｎ
Ａ．（－∞，１］ Ｂ．［１，＋∞）
６．（ 山东青岛模考， ）在数列 ａ 中 ａ １ 前ｎ项和Ｓ
２０２４ ４ ｛ ｎ｝ ， １＝ ， ｎ Ｃ．（０，１］ Ｄ．（－∞，４］
３ ａ
ｎ ｎ ａ 则数列 ａ 的通项公式为 Ａ ３．（ 广东茂名一模， ）数列 ａ 满足ａ ａ ｎ ｎ
＝ （２ －１） ｎ， ｛ ｎ｝ （ ） ２０２４ ８ ｛ ｎ｝ １＝８， ｎ ＋１＝ｎａ
ｎ＋１
（
ｎ
ａ １ ａ ３ －２ ( ) ( )ｎ
Ａ． ｎ＝
（２
ｎ
－１）（２
ｎ
＋１）
Ｂ． ｎ＝
２
ｎ
＋１ ∈
Ｎ
），
ｂ
ｎ＝ ａ
１
＋
λ
·
１
，
若数列
｛
ｂ
ｎ｝
是递减数列
，
则实数
ｎ ｎ ｎ ２
ａ ＋４ ａ ＋３ λ的取值范围是 Ｄ
Ｃ． ｎ＝２－ ｎ Ｄ． ｎ＝２－ ｎ （ ）
２ ＋１ ２ ( ) ( )
７．（ 江苏八市三模， ）设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 若Ｓ ８ ７
２０２４ ６ ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ＋ Ａ． － ，＋∞ Ｂ． － ，＋∞
ｎ ａ 则ａ Ｂ ７ ８
＝２ ｎ， ７＝ （ ） ( ) ( )
８ ７
Ａ．６５ Ｂ．１２７ Ｃ． ，＋∞ Ｄ． ，＋∞
７ ８
８．（
Ｃ．１２９
河北唐山二模， ）已知数列
Ｄ．
ａ
２５５
满足ａ ａ ａ ｎ
４．（多选）（ ２０２４ 安徽池州期末）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝１， ａ ｎ ＋１＝
ａ
２０２４
则ａ
６ ｛ ｎ｝ ｎ ＋１＝ ｎ＋ １＋
Ｄ
２ ， ａ
ｎ＋
ａ２ｎ＋１
则下列说法正确的是 ＡＣＤ
１０＝１３０， １＝ （ ） ， （ ）
２
Ａ．１ Ｂ．２ { }
ａ ａ １ 为递增数列
Ｃ．３ Ｄ．４ Ａ． ２０２４＞ ２０２３ Ｂ． ａ２ｎ
９．（ 山东济南名校联盟模拟， ）已知数列 ａ 满足ａ 对
２０２４ ７ {ａ ｛ ｎ为 ｎ｝ 奇数 １＝１， Ｃ．４ ａ２ｎ ＋１－１＝４ ａ ｎ ＋１ ａ ｎ Ｄ． ａ２ ２０２４＜１０１３
于任意的ｎ ∈ Ｎ 且ｎ ≥２， 都有ａ ｎ＝ ２ ａ ｎ － ｎ １ － ＋ １， １ ｎ ， 为偶数 ， ，则ａ ２０＝ ５．（ 派 ２ 的 ０２ 数 ４ 浙 学 江 家 杭 在 州 沙 模 滩 拟 上 ， 研 １４ 究 ）两 数 千 学 多 问 年 题 前 ．他 ， 们 古 在 希 沙 腊 滩 毕 上 达哥 画 拉 点或 斯学 用
Ｂ 小石子来表示数 按照点或小石子排列的形状对数进行分类．
（ ） ，
１１ １１ １０ １０ 如图中的实心点个数 被称为五角形数 其中第
Ａ．２ Ｂ．２ －２ Ｃ．２ Ｄ．２ －２ １，５，１２，２２，…， ，
１０．（ ２０２４ 浙江 Ｚ２０ 联盟联考， ５ ）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足 （２ ｎ －３） ａ ｎ－ １ 个五角形数记作ａ １＝１， 第 ２ 个五角形数记作ａ ２＝５， 第 ３ 个
（２
ｎ
－１）
ａ
ｎ －１＝４
ｎ２
－８
ｎ
＋３（
ｎ
≥２，
ｎ
∈
Ｎ
），
ａ
１＝１，
则ａ
ｎ＝
五角形数记作ａ
３＝１２，
第
４
个五角形数记作ａ
４＝２２，……，
若
Ｂ 按此规律继续下去 则ａ 若ａ 则ｎ ．
（ ） ， ５＝ ３５ ， ｎ＝１４５， ＝ １０
ｎ ｎ２ ｎ
Ａ．２ －２ Ｂ．２ －
ｎ ｎ ２
Ｃ．２ －１ Ｄ．（２ －１）
１１．（
２０２４
广东广州一模，
１２
）已知数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋
Ｓ
ｎ 当 ｎ＋９取最小值时 ｎ ．
， ａ ｎ ， ＝ ３ 学生用书P67
学生用书P66
１． 新定义理解 （ 河南高中毕业班适应性测试， ）对于数
２０２４ ８
１．（
２０２４
山东滨州期末，
８
）如图的形状出现在南宋数学家杨辉 列 ｛ ａ ｎ｝， 定义Ａ ｎ＝ ａ １＋３ ａ ２＋…＋３ ｎ －１ａ ｎ 为数列 ｛ ａ ｎ｝ 的 “ 加权和 ” ．
所著的 《 详解九章算法 · 商功 》 中 ， 后人称为 “ 三角垛 ” ． “ 三角 设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的 “ 加权和 ” Ａ ｎ＝ ｎ ·３ ｎ ， 记数列 ｛ ａ ｎ＋ ｐｎ ＋１｝ 的前ｎ
垛
”
的最上层有
１
个球
，
第二层有
３
个球
，
第三层有
６
个球
，
第 项和为Ｔ
ｎ，
若Ｔ
ｎ≤
Ｔ
５
对任意的ｎ
∈
Ｎ 恒成立
，
则实数ｐ的取
专题六 数列 １ １１
值范围为
（
Ｂ
） ∈
Ｎ
）
的两个数列
｛
ａ
ｎ｝，｛
ｂ
ｎ｝
满足ａ
ｋ－
ｂ
ｋ＝
ｋ
（
ｋ
＝１，２，…，
ｎ
），
[ ] [ ] 且集合 ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ｎ 则称数
７ １６ １２ ７ ｛ １， ２，…， ｎ， １， ２，…， ｎ｝＝｛１，２，３，…，２ ｝，
Ａ． － ，－ Ｂ． － ，－
３ ７ ５ ３ 列 ｛ ａ ｎ｝，｛ ｂ ｎ｝ 是一对 “ ｎ项紧密数列 ” ．设数列 ｛ ａ ｎ｝，｛ ｂ ｎ｝ 是一
[ ] [ ]
５ １２ １６ ９ 对 项紧密数列 则这样的 项紧密数列 有 Ｂ
Ｃ． － ，－ Ｄ． － ，－ “４ ”， “４ ” （ ）
２ ５ ７ ４ 对 对
２． 新定义理解 （ 安徽安庆联考， ）若项数均为ｎ ｎ ｎ Ａ．５ Ｂ．６
２０２４ ８ （ ≥２， 对 对
Ｃ．７ Ｄ．８
