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命题点 9 计数原理、概率与统计
预测说明
计数原理作为高考的常考内容,可单独考查,也会与古典概型结合考查.概率与统计是
高考考查的热点,各种题型均有涉及,通常以实际生活为背景命题.主要考查古典概型、相
互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望、独立性检验等
问题,同时注重概率与统计、概率与其他知识(如数列和函数)结合的综合问题.
命题方向:
1.二项式定理的应用,考查特定项的系数、系数和的性质等.
2.统计数据的分析,多以统计图表形式提供数据,并对数据的数字特征进行分析;统计
数据的数字特征与回归分析,独立性检验等的综合.
3.计数原理、概率与统计等知识相结合,考查随机变量的分布列和均值、独立事件
的概率、条件概率、二项分布和正态分布等.
4.统计与概率和函数、数列、不等式等内容结合,这有可能成为新的命题热点.
预测探究
识透高频考点
1.(2024重庆八中5月模拟,7)已知盘子A中有3颗糖,盘子B中有4颗糖,小琨每次随机从
其中一个盘子中选择吃一颗糖,直到7颗糖全部吃完为止,则盘子A中的糖先吃完的概率
为 ( C )
7 9 21 43
A. B. C. D.
14 16 32 64
1
2.(多选)(2024广东佛山质检(二),11)在一个有限样本空间中,假设P(A)=P(B)=P(C)= ,且A
3
与B相互独立,A与C互斥,则 (BCD)
2
A.P(A∪B)=
3
B.P(C|A)=2P(A|C)
C.P(C|AB)=1
1
D.若P(C|B)+P(C|B)= ,则B与C互斥
2
( 1) 4
3.(2024山东省实验中学模拟,12)已知(ax-2) 1+ 的展开式中常数项为-2,则实数a的值
x
为 0 .北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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4.(2024广东深圳二模,17)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.
经过调研和试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%;乙工
厂试生产的另一批零件的合格品率为98%;若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为
97%.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个,用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂
的个数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂
提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高
质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了
生产该零件的质量指标”,事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生产”,已知0<P(B)<1,
证明:P(A|B)>P(A|B).
基础知识运用 离散型随机变量的分布列和数学期望;条件概率公式
解析 (1)设甲工厂试生产的这批零件有m件,乙工厂试生产的这批零件有n件,
事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”,事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”,事
件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”,
m n
则P(M)= ,P(N)= ,
m+n m+n
m n
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%× +98%× =97%,计算得3m=n.
m+n m+n
m 1
所以P(M)= = .
m+n 4
( 1)
X的可能取值为0,1,2,3,X~B 3, ,
4
P(X=0)=C0(1) 0 (3) 3
=
27
,
3 4 4 64
P(X=1)=C1(1) 1 (3) 2
=
27
,
3 4 4 64
P(X=2)=C2(1) 2 (3) 1
=
9
,
3 4 4 64
P(X=3)=C3(1) 3 (3) 0
=
1
.
3 4 4 64
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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1 3
数学期望E(X)=3× = .
4 4
(2)证明:因为在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,所以
P(AB) P(AB)
P(B|A)>P(B|A),即 > .
P(A) P(A)
因为P(A)>0,P(A)>0,
所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)=1-P(A),P(AB)=P(B)-P(AB),
所以P(AB)(1-P(A))>(P(B)-P(AB))P(A),
即P(AB)>P(A)P(B),
所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B),
即P(AB)(1-P(B))>P(B)(P(A)-P(AB)).
又因为1-P(B)=P(B),P(A)-P(AB)=P(AB),
所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).
P(AB) P(AB)
因为0<P(B)<1,0<P(B)<1,所以 > .
P(B) P(B)
即得证P(A|B)>P(A|B).
5.(2024湖南长沙长郡中学适应性测试(四),16)为了研究学生每天整理数学错题情况,某课
题组在某市中学生中随机抽取了100名学生,调查他们期中考试的数学成绩和平时整理
数学错题情况,并绘制了两个统计图,图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,图
2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为
优秀,将一个星期内有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”,少于4天视为“不经
常整理”.已知数学成绩优秀的学生中,经常整理错题的学生占70%.
整理错题情况 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(1)求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;
(2)根据图1、图2中的数据,补全上方2×2列联表,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,
分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率,在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分
层随机抽样,随机抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学
中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
n(ad−bc) 2
附: χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
α
综合知识考查 统计图表;独立性检验;分布列和数学期望
解析 (1)由题意可得(0.002 5+0.005+0.017 5+m+0.01)×20=1,解得m=0.015,
因为(0.002 5+0.005+0.017 5)×20=0.5,(0.002 5+0.005+0.017 5+0.015)×20=0.8,所以学生期
中考试数学成绩的上四分位数在区间[110,130)内,所以学生期中考试数学成绩的上四分
0.75−0.5 380
位数为110+20× = 分.
0.3 3
(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人,不优秀的有100×50%=50人,经常整理错题的有
100×(40%+20%)=60人,不经常整理错题的有100-60=40人,经常整理错题且成绩优秀的
有50×70%=35人,则2×2列联表为
整理错题情况 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为H :数学成绩优秀与经常整理数学错题无关,
0
100×(35×25−15×25) 2 25
χ2= = >3.841=x ,
50×50×60×40 6 0.05北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H 不成立,即认为数学成绩优秀与经常整
0
理数学错题有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.
(3)由分层随机抽样知,随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人,不经常整理错题的
有2人,则X的可能取值为0,1,2,经常整理错题的3名学生中,恰抽到k人记为事件
Ck·C2−k
A(k=0,1,2),则P(A)= 3 2 (k=0,1,2),
k k C2
5
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件
B (m=0,1,2),
m
则P(B |A )=1,P(B |A )= 5 ,P(B |A )= ( 5 ) 2 = 25 ,P(B |A )= 7 ,P(B |A )=C1× 5 × 7 = 35 ,
0 0 0 1 12 0 2 12 144 1 1 12 1 2 2 12 12 72
( 7 ) 2 49
P(B |A )= = ,
2 2 12 144
C2 C1C1
5
C2
25 193
P(X=0)=P(A )·P(B |A )+P(A )·P(B |A )+P(A )·P(B |A )= 2×1+ 3 2× + 3× = ,
0 0 0 1 0 1 2 0 2 C2 C2 12 C2 144 480
5 5 5
C1C1
7
C2
35 238
P(X=1)=P(A )P(B |A )+P(A )P(B |A )= 3 2× + 3× = ,
1 1 1 2 1 2 C2 12 C2 72 480
5 5
C2
49 49
P(X=2)=P(A ) ·P(B |A )= 3× = ,
2 2 2 C2 144 480
5
故X的分布列如下:
X 0 1 2
193 238 49
P
480 480 480
193 238 49
所以E(X)=0× +1× +2× =0.7.
480 480 480
悟透新型考法
(2024河北邯郸三模,17)2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作
的通知》中提出,中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间,每天统一
安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有40%的人满分,而该校有20%
的学生每天运动时间超过两个小时,这些人体育项目测试满分率为50%.
(1)从该校随机抽取三人,三人中体育项目测试相互独立,求三人中满分人数的分布列和期
望;
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生,求他体育项目测试满
分的概率;北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练,每次传球,传球者等可能地将球传给另外
两个人中的任何一人,第1次由甲将球传出,求第n次传球后球在乙手中的概率.
创新考法 概率与数列相结合
解析 (1)从该校随机抽取三人,每个人满分的概率为40%.设抽取的三人中满分人数为X,
则X=0,1,2,3.
( 2) 3 27
则P(X=0)= 1− = ,
5 125
P(X=1)=C1
2(3) 2
=
54
,
35 5 125
P(X=2)=C2(2) 23
=
36
,
3 5 5 125
P(X=3)=C3(2) 3
=
8
,
3 5 125
则X的分布列为
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
( 2)
因为X~B 3, ,
5
2 6
所以数学期望E(X)=3× = .
5 5
(2)用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”,则P(A)=20%,P(A)=1-
20%=80%.
用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”,
则P(B)=40%,P(B|A)=50%.
又P(AB)=P(A)P(B|A)=20%×50%=10%,
P(B)=P(AB)+P(AB)=10%+P(AB)=40%,
P(AB) 30% 3
故P(AB)=30%.P(B|A)= = = .
P(A) 80% 8
(3)记A 表示事件“经过n次传球后,球在乙的手中”,
n
设n次传球后球在乙手中的概率为p ,n∈N*,
n
1
则有p = ,A =A A +A A ,
1 2 n+1 n n+1 n n+1
所以p =P(A A +A A )
n+1 n n+1 n n+1
=P(A A )+P(A A )
n n+1 n n+1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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=P(A )P(A |A )+P(A )P(A |A )
n n+1 n n n+1 n
1
=(1-p )· +p ·0
n 2 n
1
= (1-p ),
2 n
1 1
即p =- p + ,n∈N*,
n+1 2 n 2
1 1( 1) 1 1
所以p - =- p − ,且p - = ,
n+1 3 2 n 3 1 3 6
{ 1} 1 1
所以 p − 是以 为首项,- 为公比的等比数列,
n 3 6 2
1 1 ( 1) n−1
所以p - = × − ,
n 3 6 2
1 ( 1) n−1 1 1[ ( 1) n]
所以p = × − + = 1− − .
n 6 2 3 3 2
1[ ( 1) n]
即n次传球后球在乙手中的概率是 1− − .
3 2
参透创新情境
(2024湖北武汉武昌5月质检,19)利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将
31
· · · · · · · ·
0.
31
化为分数的方法如下:设0.
31
=x,则31.
31
=100x,即31+x=100x,解得0.
31
= .这是一
99
种利用方程求解具有无限过程问题的方法,该方法在高中阶段计算无限概率、无限期望
问题时都有妙用.
2 1
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,每局比
3 3
赛的结果互不影响.规定:净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率.
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜i(i=-3,-2,-1,0,1,2,3)局,
设甲在净胜i局时,继续比赛甲获胜的概率为P,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需
i
进行的局数为X,期望为E(X).
i i
(i)求甲获胜的概率P ;
0
(ii)求E(X ).
0
创新情境 利用无限过程的方程求解思想,解决题设问题
