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专题九 计数原理、概率与统计 ２ ７７
微专题二 概率与数列综合问题
学生用书P321
类型一：构造数列型
１ １ ，（提示：分母为两项相乘，考虑
这类问题通常具备第ｎ次操作的结果会对第ｎ 次的操 ( )ｉ －１ － ( )ｉ
＋１ １ １ ２ １ １ ２
＋ × ＋ ×
作产生影响的特征 例如 甲 乙 丙三人相互传球 求若干次后 ３ ６ ５ ３ ６ ５
， “ 、 、 ，
裂项）
球在甲手里的概率 第一代开红花或黄花 第ｎ代开红花的
”，“ ，
ｎ Ｐ
概率 等 可类比数列的递推公式 前一项的值会对后一项产生 则 １－３ ｉ １ １ １ １
影响 ” 故可 ， 参考数列递推公式的解 ， 题方法． ∑ｉ＝ １ ５ Ｐ ｉ Ｐ ｉ ＋１ ＝ １ １ － １ １ ２ ＋ １ １ ２ － １ １ ( ２ ) ２
， ＋ ＋ × ＋ × ＋ ×
例1 （ 山东新高考联合质量测评， ）某学校新校区在校 ３ ６ ３ ６ ５ ３ ６ ５ ３ ６ ５
２０２４ １７
… １ １
园里边种植了一种漂亮的植物 ， 会开出粉红色或黄色的花．这种 ＋ ＋ １ １ ( ２ )ｎ －１ － １ １ ( ２ )ｎ
＋ × ＋ ×
植物第 代开粉红色花和黄色花的概率都是 １ 从第 代开 ３ ６ ５ ３ ６ ５
１ ， ２
２ １ ，
始 若上一代开粉红色的花 则这一代开粉红色的花的概率是 ＝２－ ( )ｎ＜２
， ， １ １ ２
＋ ×
３ ６ ５
３ 开黄色花的概率是 ２ 若上一代开黄色的花 则这一代开粉
５ ， ５ ； ， 所以 ｎ １－３ Ｐ ｉ ．
红色的花的概率为 １ 开黄色花的概率为 ４ ．设第ｎ代开粉红 ∑ｉ＝ １ ５ Ｐ ｉ Ｐ ｉ ＋１ ＜２
， 类型二：等差或等比证明类
５ ５
色花的概率为Ｐ ． 这类题目通常在题干中给出一个明确的数列形式 要求根
ｎ ，
据已知条件进行数列的证明 通常需要证明是等差或等比数
求第 代开黄色花的概率
，
（１） ２ ；
列 解决此类问题需注意题干信息的提取和证明技巧的使用．
证明 ｎ １－３ Ｐ ｉ ． ，
（２） ：∑ｉ＝
１ ５
Ｐ
ｉ
Ｐ
ｉ ＋１
＜２ 例2 （
２０１９
课标
Ⅰ
理，
２１
，
１２
分）为治疗某种疾病
，
研制了甲
、
解析 （ ）设事件Ａ 表示第ｉ代开粉红色花，事件Ｂ 表示第 乙两种新药 希望知道哪种新药更有效 为此进行动物试验．试
１ ｉ ｉ ， ，
ｉ代开黄色花， 验方案如下 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两
：
只白鼠 随机选一只施以甲药 另一只施以乙药．一轮的治疗结
由题意可得Ｐ（Ｂ ） Ｐ（Ａ ）Ｐ（Ｂ Ａ ） Ｐ（Ｂ ）·Ｐ（Ｂ Ｂ ） １ ， ，
２ ＝ １ ２｜ １ ＋ １ ２｜ １ ＝ 果得出后 再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一
２ ，
种药治愈的白鼠多 只时 就停止试验 并认为治愈只数多的药
２ １ ４ ３ ， ４ ， ，
× ＋ × ＝ 更有效．为了方便描述问题 约定 对于每轮试验 若施以甲药的
５ ２ ５ ５ ， ： ，
白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈 则甲药得 分 乙药得
所以第 代开黄色花的概率为 ３ ． ， １ ， －１
２ 分 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈 则乙药
５ ； ，
得 分 甲药得 分 若都治愈或都未治愈 则两种药均得 分．
（ ）证明：由题可知Ｐ １ ，Ｐ ３ Ｐ １ （ Ｐ ），即 Ｐ １ ， －１ ； ， ０
２ １＝ ｎ＝ ｎ －１＋ １－ ｎ －１ ｎ＝ 甲 乙两种药的治愈率分别记为α和β 一轮试验中甲药的得分
２ ５ ５ 、 ，
记为Ｘ．
２ Ｐ １ ．（提示：联想递推关系为ａ ｐａ ｑ型数列求通项
５
ｎ －１＋
５
ｎ＝ ｎ －１＋
求Ｘ的分布列．
（１）
的方法） 若甲药 乙药在试验开始时都赋予 分 ｐ ｉ 表
（２） 、 ４ ， ｉ（ ＝０，１，…，８）
设Ｐ ｎ＋ λ ＝
５
２ （Ｐ ｎ －１＋ λ）， 示
率
“
， 则
甲药
ｐ ０
的
＝０
累
， ｐ
计
８＝
得
１
分
， ｐ
为
ｉ＝
ｉ
ａｐ
时
ｉ －１
，
＋
最
ｂｐ
终
ｉ＋
认
ｃｐ
为
ｉ ＋１（
甲
ｉ
药
＝１
比
，２
乙
，…
药
，
更
７）
有
， 其
效
中
” 的
ａ
概
＝
则Ｐ ｎ＝ ２ Ｐ ｎ －１－ ３ λ， － ３ λ ＝ １ ， Ｐ （ Ｘ ＝－１）， ｂ ＝ Ｐ （ Ｘ ＝０）， ｃ ＝ Ｐ （ Ｘ ＝１） ．假设α ＝０ ． ５， β ＝０ ． ８ ．
５ ５ ５ ５ 证明 ｐ ｐ ｉ 为等比数列
（ｉ） ：｛ ｉ ＋１－ ｉ｝（ ＝０，１，２，…，７） ；
解得λ １ ， 求ｐ 并根据ｐ 的值解释这种试验方案的合理性．
＝－ （ｉｉ） ４， ４
３ 解析 （ ）Ｘ的所有可能取值为 ， ， ．
( ) １ －１ ０ １
即Ｐ １ ２ Ｐ １ ， Ｐ（Ｘ ） （ α）β，
ｎ－ ＝ ｎ－ ＝－１ ＝ １－
３ ５ ３ Ｐ（Ｘ ） αβ （ α）（ β），
{ } ＝０ ＝ ＋ １－ １－
所以 Ｐ １ 是以 １ 为首项，２ 为公比的等比数列， Ｐ（Ｘ ） α（ β）．
ｎ－ ＝１ ＝ １－
３ ６ ５ 所以Ｘ的分布列为
( )ｎ
－１
则Ｐ １ １ ２ ，
ｎ－ ＝ × Ｘ
３ ６ ５ －１ ０ １
( )ｎ
－１ Ｐ α β α β α β α β
即Ｐ ｎ＝ １ ＋ １ × ２ ． （１－ ） ＋（１－ ）（１－ ） （１－ ）
３ ６ ５ （ ）（ ）证明：由（ ）得ａ ． ，ｂ ． ，ｃ ． ．
( )ｉ －１ ２ ｉ １ ＝０４ ＝０５ ＝０１
１ ２ 因此ｐ ． ｐ ． ｐ ． ｐ ，
因 此 ５ １ Ｐ － ｉ ３ Ｐ Ｐ ｉ ＋ ｉ １ ＝ [ １ １ ( ２ － ) ２ ｉ － × １ ] ５ [ １ １ ( ２ )ｉ] ＝ 故 ０ ． １ （ ｉ＝ ｐ ｉ ＋ ０ １－ ４ ｐ ｉ ｉ － ） １ ＝ ＋０ ０ ． ５ ４ （ ｉ ｐ ＋ ｉ ０ － ｐ １ ｉ －１ ｉ ＋ ） １ ，
５ ＋ × × ＋ × 即ｐ ｐ （ｐ ｐ ）．
３ ６ ５ ３ ６ ５ ｉ ＋１－ ｉ＝４ ｉ－ ｉ －１
２ ７８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
又因为ｐ ｐ ｐ ， ４
１－ ０＝ １≠０ 所以ｐ （ｐ ｐ ） （ｐ ｐ ） （ｐ ｐ ） （ｐ ｐ ） ４ －１ｐ １ ．
所以｛ｐ ｐ ｝（ｉ ， ， ，…， ）是公比为 ，首项为ｐ 的等比 ４＝ ４－ ３ ＋ ３－ ２ ＋ ２－ １ ＋ １－ ０ ＝ １＝
ｉ ＋１－ ｉ ＝０ １ ２ ７ ４ １ ３ ２５７
数列． ｐ 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲
４
（ ）由（ ）可得ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ … ｐ ｐ ｐ 药治愈率为 ． ，乙药治愈率为 ． 时，认为甲药更有效的概率
ｉｉ ｉ ８＝ ８－ ７＋ ７－ ６＋ ＋ １－ ０＋ ０ ０５ ０ ８
＝ （ｐ ８－ ｐ ７ ） ＋ （ｐ ７－ ｐ ６ ） ＋ … ＋ （ｐ １－ ｐ ０ ） ＝ ４ ８ －１ｐ １ ． 为ｐ ４＝ ２５ １ ７ ≈０ ． ００３ ９ ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这
３
种试验方案合理．（利用概率说明试验方案的合理性）
由于ｐ ，故ｐ ３ ，
８＝１ １＝
８
４ －１
学生用书P175
１．（ 广东湛江一模， ）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第 数 精确到 记为 达标 的指标界值．
２０２４ １７ １ （ １）， “ ”
格 第 格 第 格 棋子开始在第 格 盒中有 个大 请根据样本数据 求高一年级学生踢毽子 达标 的指标
， ２ ，……， ２５ ， １ ， ５ （１） ， “ ”
小相同的小球 其中 个红球 个白球 个球除颜色外都相 界值
， ３ ，２ （５ ；
同 ．每次甲在盒中随机摸出两球 记下颜色后放回盒中 若两 团体竞赛 规则为 每班选出由 名选手组成的代表队
） ， ， （２）“ ” ， ３
球颜色相同 棋子向前跳 格 若两球颜色不同 棋子向前跳 参赛 上场的甲 乙 丙 人 由甲将毽子等可能地踢给另外两
， １ ； ， ２ ， 、 、 ３ ，
格 直到棋子跳到第 格或第 格时 游戏结束．记棋子跳到 人中的 人 接到毽子的人再等可能地踢向另外两人中的
， ２４ ２５ ， １ ， １
第ｎ格的概率为Ｐ ｎ ． 人 如此不停地传下去 直到有选手没有接到毽子则比赛结
ｎ（ ＝１，２，３，…，２５） ， ，
（１）
甲在一次摸球中摸出红球的个数记为Ｘ
，
求Ｘ的分布列和 束
，
记录此时的传踢个数作为团队成绩．记第ｉ
（
ｉ
∈
Ｎ
）
次传踢
期望 之前毽子在甲的概率为ａ 易知ａ ａ ．求第 次传踢
； ｉ， １＝１， ２＝０ ６
（２） 证明 ： 数列 ｛ Ｐ ｎ－ Ｐ ｎ －１｝（ ｎ ＝２，３，…，２４） 为等比数列． 前 ， 毽子传到甲的概率ａ ６， 并讨论第ｉ次传踢前 （ ｉ ∈ Ｎ ， 且ｉ ≥
解析 根据题意可知 Ｘ的所有可能取值为 毽子在甲 乙 丙三人中哪一人的概率最大．
（１） ， ０，１，２， ３） 、 、
２ １ １ ２ M(3C
Ｐ （ Ｘ ＝０）＝ Ｃ２ ２ ＝ １ ， Ｐ （ Ｘ ＝１）＝ Ｃ２Ｃ ２ ３ ＝ ６ ＝ ３ ， Ｐ （ Ｘ ＝２）＝ Ｃ３ ２ ＝
Ｃ５ １０ Ｃ５ １０ ５ Ｃ５
３ ．可得Ｘ的分布列为
１０
Ｘ
０ １ ２
Ｐ １ ３ ３
１０ ５ １０
0
所以Ｅ Ｘ １ ３ ３ ６ ．
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ 解析 设高一年级学生踢毽子 达标 的指标界值为ｘ
１０ ５ １０ ５ （１） “ ” ，
分析得ｘ
证明 由 知两球颜色相同的概率为 ２ 颜色不同的概 ∈［４５，５０），
（２） ： （１） ， 依题意有 ｘ ． ． ． ． ． ．
５ （ －４５）×００６＝０６－（００１＋００２４＋００３６＋００４０）×５，
．
率为 ３ ． 即ｘ ００５ ．
＝４５＋ ． ≈４６
５ ００６
棋子在第 格为必然事件 则Ｐ 设第ｉ次传踢之前毽子在乙 丙的概率为ｂ ｃ
１ ， １＝１， （２） 、 ｉ， ｉ，
棋子跳到第
２
格的概率为Ｐ
２＝
２
，
所以Ｐ
２－
Ｐ
１＝－
３
，
由传递的对称性知ｂ ｉ＝ ｃ ｉ， 又ａ ｉ＋ ｂ ｉ＋ ｃ ｉ＝１，
５ ５ ａ ａ ａ ａ
则有ｂ ｃ １－ ｉ ａ １ １－ ｉ １ １－ ｉ １－ ｉ
当 ｎ 时 Ｐ ２ Ｐ ３ Ｐ ｉ＝ ｉ＝ ， ｉ ＋１＝ × ＋ × ＝ ，
３≤ ≤２４ ， ｎ＝ ｎ －１＋ ｎ －２， ２ ２ ２ ２ ２ ２
５ ５ ａ ( )
所以 Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ 所以
Ｐ
ｎ－
Ｐ
ｎ －１ ３
所以ａ
ｉ ＋１＝－
ｉ
＋
１
，
即有ａ
ｉ ＋１－
１
＝－
１ ａ
ｉ－
１
（
ｉ
∈
Ｎ
），
５（ ｎ－ ｎ －１）＝－３（ ｎ －１－ ｎ －２）， Ｐ
ｎ －１－
Ｐ
ｎ －２
＝－
５
，
{ }
２ ２ ３ ２ ３
所以 ａ １ 为等比数列 其中首项为 ａ １ ２ 公比为
所以数列 Ｐ Ｐ 是以 ３ 为首项 ３ 为公比的等比数列． ｉ－ ， １－ ＝ ，
｛ ｎ－ ｎ －１｝ － ，－ ３ ３ ３
５ ５ ( )ｉ
－１
２．（ 甘肃二诊， ）民间谚语 杨柳儿活 抽陀螺 杨柳儿青 １ 即ａ １ ２ １
２０２４ １８ “ ， ； ， － ， ｉ－ ＝ － ，
放空钟 杨柳儿死 踢毽子 体现随着季节变化 可以进行不 ２ ３ ３ ２
； ， ”， ， ( )ｉ －１
同的健身活动 ， 其中踢毽子在我国流传很广 ， 有着悠久的历 所以ａ ｉ＝ １ ＋ ２ － １ （ ｉ ∈ Ｎ ）， ａ ６＝ ５ ，
３ ３ ２ １６
史．据考证 踢毽子起源于中国汉代 盛行于六朝 隋 唐．某市
， ， 、 、
ｉ为偶数时 ａ １ ｂ ｃ １ 毽子在乙 丙的概率较大
高中学校为弘扬传统文化 增强学生身体素质 在高一年级开 ， ｉ＜ ， ｉ＝ ｉ＞ ， 、 ，
， ， ３ ３
展了 人人参与 团队竞赛 的踢毽子活动．在 人人参与 的
“ ”“ ” “ ” ｉ为奇数时 ａ １ ｂ ｃ １ 毽子在甲的概率较大．
环节中记录高一年级 名学生每人每分钟踢毽子的次数 ， ｉ＞ ， ｉ＝ ｉ＜ ，
７００ ， ３ ３
从中抽取 名学生的成绩进行统计 如图所示 得到样本的 ３．（ 安徽皖南八校联考， ）现有甲 乙两个不透明盒子 都
１００ ， ， ２０２４ １８ 、 ，
频率分布直方图．将踢毽子每分钟次数样本数据第 百分位 装有 个红球和 个白球 这些球的大小 形状 质地完全
６０ １ １ ， 、 、
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ７９
相同． 相近的多个区域 用简单随机抽样的方法抽取其中 个区域
， １５
若从甲 乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子 进行编号 统计抽取到每个区域的某种水源指标ｘ 和区域内
（１） 、 ， ｉ
中
，
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ
）
次这样的操作后
，
记甲盒子中红球的个数为Ｘ
ｎ
． 该植物分布的数量ｙ
ｉ（
ｉ
＝１，２，…，１５），
得到数组
（
ｘ
ｉ，
ｙ
ｉ）
．已知
求Ｘ 的分布列与数学期望 １５ １５ １５
现 １ 从甲中有放回地抽取 ； ｎ ｎ 次 每次抽取 球 若在 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝４５，∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝８０００，∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝４８０ ．
（２） （ ≥３） ， １ ， １ １ １
抽取次数不超过 ｎ 次的情况下 ， 抽取到 ２ 次红球 ， 则停止抽 （１） 求样本 （ ｘ ｉ， ｙ ｉ）（ ｉ ＝１，２，…，１５） 的相关系数．
取 一直抽取不到 次红球 第ｎ次抽取完也停止抽取 令抽 假设该植物的寿命为随机变量Ｘ Ｘ可取任意正整数 ．研
， ２ ， ， （２） （ ）
取停止时
，
抽取的次数为Ｙ
（
Ｙ
＝２，３，４，…，
ｎ
），
求Ｙ的数学期 究人员统计大量数据后发现
：
对于任意的ｋ
∈
Ｎ
，
寿命为ｋ
＋１
望Ｅ Ｙ ．并证明 Ｅ Ｙ ｎ－ １ ｋ （ ｋ －１） ９ ． 的样本在寿命超过ｋ的样本里的数量占比与寿命为 １ 的样本
（ ） ： （ ）－∑ｋ＝
２ ２
ｋ ≤
４
在全体样本中的数量占比相同
，
均等于
０
．
１，
这种现象被称为
解析 由题意可知Ｘ 的所有可能取值为 几何分布的无记忆性 ．
（１） １ ０，１，２， “ ”
且Ｐ Ｘ １ １ １ Ｐ Ｘ １ １ １ １ １ （ｉ）
求Ｐ
（
Ｘ
＝
ｋ
）（
ｋ
∈
Ｎ
）
的表达式
；
（ １＝０）＝ × ＝ ， （ １＝１）＝ × ＋ × ＝ ， 推导该植物寿命的期望Ｅ Ｘ ．
２ ２ ４ ２ ２ ２ ２ ２ （ｉｉ） （ ）
ｎ
Ｐ Ｘ １ １ １ ｘ ｘ ｙ ｙ
（ １＝２）＝ ２ × ２ ＝ ４ ， 附 相关系数ｒ ∑ｉ＝ １ （ ｉ－ ）（ ｉ－ ） ．
Ｘ 的分布列如下 ： ＝ ｎ ｎ
１ Ｘ ： ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２
１ １
１ ０ １ ２
１５ １５ １５
Ｐ １ １ １ 解析 （１） 由 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝４５，∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝８ ０００，∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－
１ １ １
４ ２ ４ ｘ ｙ ｙ
）（ ｉ－ ）＝４８０，
Ｅ （ Ｘ １）＝０× ４ １ ＋１× ２ １ ＋２× ４ １ ＝１ ． ( )ｋ －２ ｋ 得相关系数ｒ ＝ ∑ｉ １ ＝ ５ １ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ） ＝ ４８０ ＝０ ． ８ ．
（２） 当Ｙ ＜ ｎ时 ， Ｐ （ Ｙ ＝ ｋ ）＝Ｃ １ｋ －１ １ ２ × ２ １ × ２ １ ＝ ２ － ｋ １ （ ｋ ＝２，３， ∑ｉ １ ＝ ５ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ １ ＝ ５ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ４５×８０００
１ １
４，…， ｎ －１）， ｎ ≥３， （２）（ｉ） 依题意 ， Ｐ （ Ｘ ＝１）＝ Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ＋１｜ Ｘ ＞ ｋ ）＝０ ． １， 又Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ＋
当Ｙ ＝ ｎ时 ， Ｐ （ Ｙ ＝ ｎ ）＝１－ æ è ç １ ２ ＋ ２ ３ ＋…＋ ｎ － ｎ － ２ １ ö ø ÷ ， ｎ ≥３ ． １｜ Ｘ ＞ ｋ ）＝ Ｐ （ Ｐ Ｘ Ｘ ＝ ｋ ｋ ＋１） ， 则Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ＋１）＝０ ． １ Ｐ （ Ｘ ＞ ｋ ）①，
２ ２ ２ （ ＞ ）
ｎ 当ｋ 时 把ｋ换成ｋ 得Ｐ Ｘ ｋ ． Ｐ Ｘ ｋ
记Ｓ ｎ＝ ２ １ ２ ＋ ２ ２ ３ ＋…＋ ２ － ｎ － ２ １， ≥２ 得Ｐ ， Ｘ ｋ Ｐ － Ｘ １， ｋ （ ＝ ． ） Ｐ ＝ Ｘ ０１ ｋ （ ＞ －１）②，
①－②， （ ＝ ）－ （ ＝ ＋１）＝０１ （ ＝ ），
ｎ
则 １ Ｓ １ ２ －２ Ｐ Ｘ ｋ
２ ｎ＝ ２ ３ ＋ ２ ４ ＋…＋ ２ ｎ ， 即 Ｐ （ （ Ｘ ＝ ＝ ＋ ｋ ） １） ＝０ ． ９（ ｋ ≥２），
又Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ
ｎ １ － １ ｎ ｎ （ ＝２）＝０１ （ ＞１）＝０１×（１－ （ ＝１））＝０９ （ ＝１），
两式相减得 １ Ｓ １ １ １ －２ ４ ２ －２ Ｐ Ｘ ｋ
２ ｎ ＝ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋…＋ ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＝ １ － ２ ｎ ＝ 于是 Ｐ （ Ｘ ＝ ＋ ｋ １） ＝０ ． ９ 对任意ｋ ∈ Ｎ 都成立 ，
１－ （ ＝ ）
２ 从而 Ｐ Ｘ ｋ 是首项为 ． 公比为 ． 的等比数列
ｎ ｛ （ ＝ ）｝ ０１， ０９ ，
１
－ ｎ，
所以Ｐ
（
Ｘ
＝
ｋ
）＝０
．
１×０
．
９
ｋ －１．
２ ２ 由定义知 Ｅ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
ｎ ｎ ｎ （ｉｉ） ， （ ）＝ （ ＝１）＋２ （ ＝２）＋３ （ ＝３）＋…＋
所以Ｓ ｎ＝１－ ｎ －１， 所以Ｐ （ Ｙ ＝ ｎ ）＝１－１＋ ｎ －１ ＝ ｎ －１ ． ｋＰ （ Ｘ ＝ ｋ ）
２ ｎ－ １ ２ ｎ－ １ ｋ ２ ｋ ｎ２ ＝０ ． １×０ ． ９ ０ ＋０ ． ２×０ ． ９ １ ＋…＋０ ． １×（ ｋ －１）×０ ． ９ ｋ －２ ＋０ ． １× ｋ ×０ ． ９ ｋ －１
所以Ｅ （ Ｙ ）＝∑ｋ＝ ｋＰ （ Ｙ ＝ ｋ ）＋ ｎＰ （ Ｙ ＝ ｎ ）＝∑ｋ＝ （ － ｋ １） ＋ ｎ －１，
＝０
．
１［０
．
９
０
＋２×０
．
９
１
＋…＋（
ｋ
－１）×０
．
９
ｋ －２
＋
ｋ
×０
．
９
ｋ －１
］，
２ ２ ２ ２
ｎ－ １ ｋ ｋ ｎ２ 令Ｔ ｋ＝１×０ ． ９ ０ ＋２×０ ． ９ １ ＋…＋（ ｋ －１）×０ ． ９ ｋ －２ ＋ ｋ ×０ ． ９ ｋ －１ ，
记ａ Ｅ Ｙ （ －１） ｎ
ｎ＝ （ ）－∑ｋ＝ ２ ２ ｋ ＝ ２ ｎ －１（ ≥３）， 则 ０ ． ９ Ｔ ｋ＝１×０ ． ９ １ ＋２×０ ． ９ ２ ＋…＋（ ｋ －１）×０ ． ９ ｋ －１ ＋ ｋ ×０ ． ９ ｋ ，
则ａ ａ （ ｎ ＋１） ２ －２ ｎ２ －（ ｎ －１） ２ ＋２ 两式相减得 ０ ． １ Ｔ ｋ＝１＋０ ． ９ １ ＋０ ． ９ ２ ＋…＋０ ． ９ ｋ －１ － ｋ ×０ ． ９ ｋ
ｎ ＋１－ ｎ＝ ｎ ＝ ｎ ， ． ｋ
２ ２ １×（１－０９ ） ｋ ． ｋ ｋ ． ｋ
ｎ ２ ＝ ． － ×０９ ＝１０－（ ＋１０）×０９ ，
当ｎ 时 －（ －１） ＋２ 所以ａ ａ 且ａ ９ １－０９
≥３ ， ｎ ＜０， ｎ ＋１＜ ｎ， ３＝ ， 因此Ｅ Ｘ ｋ ． ｋ ． ｋ 当ｋ足够大时 ｋ ． ｋ
２ ４ （ ）＝１０－ ×０９ －１０×０９ ， ， ×０９ ≈０，
ｎ－ １ ｋ ｋ ． ｋ 则Ｅ Ｘ 可认为Ｅ Ｘ ．
所以Ｅ Ｙ （ －１） ９ 成立． １０×０９ ≈０， （ ）≈１０， （ ）＝１０
（ ）－∑ｋ＝ ２ ２ ｋ ≤ ４ 所以该植物寿命的期望Ｅ （ Ｘ ） 是 １０ ．
４．（ 湖南部分学校大联考（二）， ）将保护区分为面积大小
２０２４ １８
