文档文本内容
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ７３
微专题一 概率与函数综合问题
学生用书P319
类型一：函数和概率综合 年人征集意见 该公寓老年人的入住房间类型情况如下表
， ：
此类问题将函数的各类性质和随机事件的概率结合一起
入住房间的类型 单人间 双人间 三人间
考查 以选择题或填空题形式出现 多与古典概型或条件概率
， ，
结合考查． 人数
３６ ６０ ２４
例1 若抛掷两枚骰子出现的点数分别为ａ ｂ 则 在函数ｆ ｘ 若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这 名
， ， “ （ ） （１） １２０
ｘ２ ａｘ ｂ的图象与ｘ轴有交点的条件下❶ 满足ｇ ｘ
ａｘ
－
ｂ－ ｘ 老年人中随机抽取
１０
人
，
再从这
１０
人中随机抽取
４
人进行询
＝ ＋ ＋ ， （ ）＝ （ ａ ＋ ｂ ） ｘ 问 记随机抽取的 人中入住单人间的人数为ξ 求ξ的分布列
， ４ ，
为偶函数❷的概率为 Ｄ
（ ）
和数学期望．
４ ２ ５ ３ 记双人间与三人间为多人间 若在征集意见时要求把入住
（２） ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１７ １９ １９ １９ 单人间的 人和入住多人间的ｍ ｍ 且ｍ Ｎ 人组成一组
知识联想 由❶知二次函数的图象与ｘ轴有交点，则Δ ， ２ （ ＞２ ∈ ） ，
≥０ 负责人从某组中任选 人进行询问 若选出的 人入住房间类
由❷联想偶函数的特点． ２ ， ２
型相同 则该组被标为 否则该组被标为 ．记询问的某组被
解析 若函数ｆ（ｘ）
＝
ｘ２
＋
ａｘ
＋
ｂ的图象与ｘ轴有交点，则Δ
＝
ａ２
标为
，
的概率为ｐ．
Ⅰ， Ⅱ
Ⅱ
ｂ ，
－４ ≥０ 试用含ｍ的代数式表示ｐ
则满足该条件的（ａ，ｂ）有（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ｉ） ；
６ １ ６ ２ ６ ３ ６ ４ ６ ５ 若一共询问了 组 用ｇ ｐ 表示恰有 组被标为 的概率
（ｉｉ） ５ ， （ ） ３ Ⅱ ，
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ，
６ ６ ５ １ ５ ２ ５ ３ ５ ４ ５ ５ ５ ６ ４ １ ４ 试求ｇ ｐ 的最大值及此时ｍ的值．
），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 个． （ ）
２ ４ ３ ４ ４ ３ １ ３ ２ ２ １ １９ 解析 （ ）因为单人间、双人间、三人间入住人数之比为
ｇ（ｘ）
ａｘ
－
ｂ－ ｘ
为偶函数，定义域为｛ｘ ｘ ｝，只需ｈ（ｘ） ａｘ ，
１ ３６ ∶
＝（ａ ｂ）ｘ ｜ ≠０ ＝ － ６０ ∶ ２４
＋ 所以这 人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为
ｂ－ ｘ是奇函数，即ｈ（ ｘ） ａ－ ｘ ｂｘ （ａｘ ｂ－ ｘ） ｈ（ｘ），所以ａ ｂ． １０ １０×
－ ＝ － ＝－ － ＝－ ＝
（提示：ｙ （ａ ｂ）ｘ 为奇函数，所以若 ｇ（ｘ）为偶函数，则必有 ３６ ， ６０ ， ２４ ，
＝ ＋ ＝３ １０× ＝５ １０× ＝２
ｈ（ｘ）
＝
ａｘ
－
ｂ－ ｘ为奇函数） １
所
２０
以ξ的所
１
有
２０
可能取值
１
为
２０
， ， ， ，
０ １ ２ ３
则在上述 组数据中满足ａ ｂ的（ａ，ｂ）有（ ， ），（ ， ），（ ，
１９ ＝ ６ ６ ５ ５ ４ ４ ３ １
４
），共
３
个． Ｐ（ξ
＝０
）
＝
Ｃ
Ｃ
４ １
７
０
＝
６
１ ，Ｐ（ξ
＝１
）
＝
Ｃ
Ｃ
７
４ １
Ｃ
０
３
＝
２
１ ，
所以所求概率Ｐ ３ ． ２ ２ １ ３
＝ Ｐ（ξ ） Ｃ７Ｃ３ ３ ，Ｐ（ξ ） Ｃ７Ｃ３ １ ，
１９ ＝２ ＝ ４ ＝ ＝３ ＝ ４ ＝
故选 Ｃ１０ １０ Ｃ１０ ３０
Ｄ． 所以ξ的分布列为
例2 已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
１ ａｘ３
－
１ ｂｘ２
＋
ｘ
，
抛掷两枚骰子得到的点
ξ
３ ２ ０ １ ２ ３
数分别是ａ ｂ 则函数ｆ ′ ｘ 在ｘ 处取得最值的概率是
， ， （ ） ＝１ Ｐ １ １ ３ １
Ｃ
（ ） ６ ２ １０ ３０
１ １ １ １ Ｅ（ξ） １ １ ３ １ ６ ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝
３６ １８ １２ ６ ６ ２ １０ ３０ ５
解析 ｆ（ｘ）为三次函数，则其导函数ｆ ′（ｘ）为二次函数， （
２
）（
ｉ
）从ｍ
＋２
人中任选
２
人，有
Ｃ
２ｍ
＋２
种选法，
故ｆ ′（ｘ）在ｘ
＝
ｂ
ａ
处取得最值． 其中入住房间类型相同的有
Ｃ
２ｍ＋Ｃ ２
２
种选法，
２
所以询问的某组被标为 的概率ｐ Ｃ
２ｍ＋Ｃ ２
２
ｍ２
－
ｍ
＋２
因为ｆ（ｘ）
＝
１ ａｘ３
－
１ ｂｘ２
＋
ｘ，所以ｆ ′（ｘ）
＝
ａｘ２
－
ｂｘ
＋１
（ａ，ｂ
＞０
），其 Ⅱ ＝１－
Ｃ
２ｍ
＋２
＝１－ｍ２
＋３
ｍ
＋２
＝
３ ２ ｍ
ｂ ４ ．（利用Ｐ（Ａ） Ｐ（Ａ） 求解）
图象的对称轴为ｘ ，即ｂ ａ，抛掷两枚骰子得到的点数 ｍ２ ｍ ＋ ＝１
＝ ａ＝１ ＝２ ＋３ ＋２
２ （ ）由题意，知 组中恰有 组被标为 的概率ｇ（ｐ） ３ｐ３（
分别是ａ，ｂ，记为（ａ，ｂ），则情况有 个，而符合题意的为（ ， ｉｉ ５ ３ Ⅱ ＝Ｃ５ １－
３６ １ ｐ）２ ｐ３（ ｐ ｐ２） （ｐ３ ｐ４ ｐ５），
），（ ， ），（ ， ），则函数ｆ ′（ｘ）在ｘ 处取得最值的概率为 ＝１０ １－２ ＋ ＝１０ －２ ＋
２ ２ ４ ３ ６ ＝１ 所以ｇ′（ｐ） （ ｐ２ ｐ３ ｐ４）
＝１０ ３ －８ ＋５
３
＝
１ ．故选
Ｃ． ＝１０
ｐ２（ｐ
－１
）（
５
ｐ
－３
），
３６ １２ ( )
类型二：概率可用函数表示型 所以当ｐ ，３ 时，ｇ′（ｐ） ，函数ｇ（ｐ）单调递增，
∈ ０ ＞０
此类问题常需根据题意列出某个事件发生的概率表达式 ５
， ( )
表达式中通常含有未知数 此时可将概率表达式看作函数 通 当ｐ ３ ， 时，ｇ′（ｐ） ，函数ｇ（ｐ）单调递减，（提示：利用导
， ， ∈ １ ＜０
５
常会利用导数判断函数的单调性 进而确定概率的最值等．
， 数研究函数的单调性）
例3 （ 江西新余第一中学开学考， ）某老年公寓负责人 ( )
２０２４ １８ 所以当 ｐ ３ 时，ｇ（ｐ）取得最大值，最大值为ｇ ３ ３
为了能给老年人提供更加良好的服务 现对所入住的 名老 ＝ ＝Ｃ５×
， １２０ ５ ５
２ ７４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
( ) ３ ( ) ２ 所以当ｍ 时， 组中恰有 组被标为 的概率最大，且ｇ（ｐ）
３ ３ ２１６，（根据单调性确定最值） ＝３ ５ ３ Ⅱ
× １－ ＝
５ ５ ６２５ 的最大值为２１６．
ｍ
由ｐ
＝ｍ２
４
ｍ ＝
３ 且ｍ
＞２
，ｍ
∈
Ｎ ，得ｍ
＝３
， ６２５
＋３ ＋２ ５
学生用书P173
１．（ 湖南邵阳第二次联考， ）为了选拔创新型人才 某大 象棋比赛 经过各年级初赛 高一 高二 高三分别有 人
２０２４ １６ ， ， ， 、 、 ３ ，４
学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测 检测 人 人进入决赛 决赛采取单循环方式 即每名队员与其他
（ ，５ ， ，
分为初试和复试 共有 万名学生参加初试．组织者随机抽 队员都要进行 场比赛 每场比赛都采取 局 胜制 初赛
）， ４ １ （ ５ ３ ， 、
取了 名学生的初试成绩 绘制了频率分布直方图 如图 决赛的赛制相同 记分方式相同 最后根据积分选出冠军 积
２００ ， ， ， ）， ，
所示． 分规则如下 比赛中以 或 取胜的队员积 分 失败
： ３ ∶ ０ ３ ∶ １ ３ ，
根据频率分布直方图 求ａ的值及样本平均数的估计值 的队员积 分 而在比赛中以 取胜的队员积 分 失败
（１） ， ； ０ ； ３ ∶ ２ ２ ，
若所有学生的初试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ μ σ２ 的队员积 分．
（２） （ ， ）， １
其中μ为样本平均数的估计值 σ ． ．规定初试成绩不低于 从进入决赛的 人中随机抽取 人进行表演赛 这 人
， ＝１０５ （１） １２ ２ ， ２
分的学生才能参加复试 试估计能参加复试的人数 恰好来自不同年级的概率是多少
９０ ， ； ？
复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题 已知小明进 初赛时 高三甲 乙两同学对局 设每局比赛甲取胜的概率
（３） ， （２） ， 、 ，
入了复试 且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为ｘ 均为ｐ ｐ 记甲以 取胜的概率为ｆ ｐ 当ｆ ｐ 最
， ， （０＜ ＜１）， ３ ∶ １ （ ）， （ ）
大时 甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲 乙对局 而且甲的
答对物理题的概率为ｙ．若小明全部答对的概率为 １ 答对两 ， 、 ，
， 竞技状态最佳 求甲所得积分Ｘ的分布列及期望．
８ ，
道题的概率为Ｐ 求概率Ｐ的最小值． 解析 由题意可知这 人恰好来自不同年级的概率是
， （１） ２
附 ： 若随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ （ μ ， σ２ ）， 则Ｐ （ μ － σ ≤ Ｘ ≤ μ ＋ Ｐ Ｃ １ ３Ｃ １ ４＋Ｃ １ ３Ｃ １ ５＋Ｃ １ ４Ｃ １ ５ ４７．
σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ ＝ ２ ＝
）≈０６８２７， （ －２ ≤ ≤ ＋２ ）≈０９５４５， （ －３ ≤ ≤ Ｃ１２ ６６
＋３ σ ）≈０ ． ９９７３ ． （２） 由题意可知ｆ （ ｐ ）＝Ｃ ２ ３ ｐ２ （１－ ｐ ） ｐ ＝３ ｐ３ －３ ｐ４ ， （提示：以 ３ ∶ １
M( 取胜需满足前 局胜 局，第 局必胜）
3C ３ ２ ４
所以ｆ ′ ｐ ｐ２ ｐ
（ ）＝３ （３－４ ），
B 显然 ３ ｐ 时 ｆ ′ ｐ 即ｆ ｐ 单调递减
＜ ＜１ ， （ ）＜０， （ ） ；
４
ｐ ３ 时 ｆ ′ ｐ 即ｆ ｐ 单调递增
０＜ ＜ ， （ ）＞０， （ ） ，
0 A4 ４
解析 ． ． ． ａ ． 则ｐ ３ 时 ｆ ｐ 取得最大值．
（１）∵１０×（００１２＋００２６＋００３２＋ ＋００１０）＝１， ＝ ， （ ）
ａ ． ． ４
∴ ＝００２ 由题意可知Ｘ的可能取值为
样本平均数的估计值为 ． ． ． ． ３，２，１，０，
５０×０１２＋６０×０２６＋７０×０３２＋８０×０２＋ ( ) ３ ( ) ２ ( )
９０×０ ． １＝６９ ． 则Ｐ （ Ｘ ＝３）＝ ３ ＋Ｃ ２ ３ ３ × １－ ３ × ３ ＝ １８９ ，
４ ４ ４ ４ ２５６
μ σ ． ( ) ( )
（２）∵ ＝６９， ＝１０５， ２ ２
Ｐ Ｘ ２ ３ ３ ３ ８１
． （ ＝２）＝Ｃ４× × １－ × ＝ ，
Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ μ σ １－０９５４５ ． ． ４ ４ ４ ５１２
∴ （ ≥９０）＝ （ ≥ ＋２ ）≈ ＝００２２７５ ( ) ( ) ( )
２ ２ ２
Ｐ Ｘ ２ ３ ３ ３ ２７
能参加复试的人数约为 ． ． （ ＝１）＝Ｃ４× × １－ × １－ ＝ ，
∴ ４００００×００２２７５＝９１０ ４ ４ ４ ５１２
( ) ( ) ( )
３ ２
（３） 由题意有ｘ２ｙ ＝ １ ． Ｐ （ Ｘ ＝０）＝ １－ ３ ＋Ｃ １ ３× ３ × １－ ３ × １－ ３ ＝ １３ ，
８ ４ ４ ４ ４ ２５６
答对两道题的概率Ｐ ｘ２ ｙ １ｘ ｘ ｙ ｘ２ ｘｙ ｘ２ｙ ｘ２ 则Ｘ的分布列为
＝ （１－ ）＋Ｃ２ （１－ ） ＝ ＋２ －３ ＝
１ ３ ． Ｘ
＋ ｘ－ ０ １ ２ ３
４ ８
ｘ３ Ｐ １３ ２７ ８１ １８９
令ｆ ｘ ｘ２ １ ３ ｘ 则ｆ ′ ｘ ｘ １ ８ －１
（ ）＝ ＋ ｘ－ （０＜ ≤１）， （ ）＝２ － ｘ２ ＝ ｘ２ ， ２５６ ５１２ ５１２ ２５６
４ ８ ４ ４
( ) ( )
当ｘ １ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 在 １ 内单调递减 所以Ｅ Ｘ １３ ２７ ８１ １８９ １３２３．
∴ ∈ ０， ， （ ）＜０， （ ） ０， ； （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝
２ ２ ２５６ ５１２ ５１２ ２５６ ５１２
( ) ( ) ３．（ 浙江杭州二模， ）在概率统计中 常常用频率估计概
当ｘ １ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 在 １ 内单调递增． ２０２４ １９ ，
∈ ，１ ， （ ）＞０， （ ） ，１ 率．已知袋中有若干个红球和白球 有放回地随机摸球 ｎ 次
２ ２ ， ，
红球出现ｍ次．假设每次摸出红球的概率为ｐ 根据频率估计
当ｘ １ 时 ｆ ｘ ３ ．故概率Ｐ的最小值为 ３ ． ，
∴ ＝ ， （ ）ｍｉｎ＝ ｍ
２ ８ ８ 概率的思想 则每次摸出红球的概率ｐ的估计值为ｐ ．
２．（ 湖北武汉汉阳部分学校一模， ）某校为了丰富课余活 ， ＾＝ ｎ
２０２４ １７
动 同时训练学生的逻辑思维能力 在高中三个年级举办中国 若袋中这两种颜色球的个数之比为 不知道哪种颜
， ， （１） １ ∶ ３，
专题九 计数原理、概率与统计 ２ ７５
色的球多．有放回地随机摸取 个球 设摸出的球为红球的次 ｎ ｎ
３ ， 令 １ Ｘ １ Ｘ
数为Ｙ
，
则Ｙ
～
Ｂ
（３，
ｐ
）
． ｐ ∑ｉ＝
１
ｉ－
１－
ｐ∑ｉ＝
１
（１－ ｉ）＝０，
注 Ｐ Ｙ ｋ 表示当每次摸出红球的概率为ｐ时 摸出红球 ｎ ｎ
（ ： ｐ（ ＝ ） ， Ｘ ｎ Ｘ
次数为ｋ的概率 ） 即１－ ｐ ｐ ＝ ∑ｉ＝ １ （ ｎ １－ ｉ） ＝ －∑ ｎ ｉ＝ １ ｉ ＝ ｎ ｎ －１，
完成下表 Ｘ Ｘ Ｘ
（ｉ） ： ｉ ｉ ｉ
∑ｉ＝ ∑ｉ＝ ∑ｉ＝
ｋ １ １ １
０ １ ２ ３ ｎ æ ｎ ö
故ｐ １ Ｘ 即当ｐ ç １ Ｘ ÷时 ｌ′ ｐ
Ｐ
１ ４（
Ｙ
＝
ｋ
）
２７ １ ＝ ｎ ∑ｉ＝
１
ｉ， ∈è０， ｎ ∑ｉ＝
１
ｉø ， （ ）＞０，
６４ ６４ æ ｎ ö
当ｐ ç １ Ｘ ÷时 ｌ′ ｐ
Ｐ
３ ４（
Ｙ
＝
ｋ
）
９ ２７ ∈è ｎ ∑ｉ＝
１
ｉ，１ø ， （ ）＜０，
６４ ６４ æ ｎ ö æ ｎ ö
（ｉｉ） 在统计理论中 ， 把使得Ｐ ｐ（ Ｙ ＝ ｋ ） 的取值达到最大时的ｐ ， 故ｌ （ ｐ ） 在 è ç ０， １ ｎ ∑ｉ＝ Ｘ ｉø ÷上单调递增 ， 在 è ç １ ｎ ∑ｉ＝ Ｘ ｉ，１ø ÷上单调
１ １
作为ｐ的估计值 ， 记为ｐ ＾， 请写出ｐ ＾ 的值． 递减 即当ｐ １ ｎ Ｘ 时 ｌ ｐ 取最大值 故ｐ １ ｎ Ｘ．
（２） 把 （１） 中 “ 使得Ｐ ｐ（ Ｙ ＝ ｋ ） 的取值达到最大时的ｐ作为ｐ的 ， ＝ ｎ ∑ｉ＝ １ ｉ ，（ ） ， ＾＝ ｎ ∑ｉ＝ １ ｉ
估计值ｐ 的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最 因此 用最大似然估计的参数ｐ与频率估计概率的ｐ是一致
＾” ， ＾ ＾
大似然参数估计方法称为最大似然估计． 的 故用频率估计概率是合理的．
，
具体步骤 先对参数θ构建对数似然函数ｌ θ 再对其关于参 ４．（ 广东广州一模， ）某校开展科普知识团队接力闯关活
： （ ）， ２０２４ １９
数θ求导
，
得到似然方程ｌ′
（
θ
）＝０，
最后求解参数θ的估计值． 动
，
该活动共有两关
，
每个团队由ｎ
（
ｎ
≥３，
ｎ
∈
Ｎ
）
位成员组
ｎ 成 成员按预先安排的顺序依次上场 具体规则如下 若某成
已知Ｙ Ｂ ｎ ｐ 的参数ｐ的对数似然函数为ｌ ｐ Ｘ ｐ ， ， ：
～ （ ， ） （ ）＝∑ｉ＝ ｉｌｎ
员第一关闯关成功 则该成员继续闯第二关 否则该成员结束
ｎ { 第ｉ次摸出白球 １ 闯关并由下一位成员 ， 接力去闯第一关 若某 ， 成员第二关闯关
＋∑ｉ＝
１
（１－ Ｘ ｉ）ｌｎ（１－ ｐ ）， 其中Ｘ ｉ＝
１
０
，
， 第ｉ次摸出红球． ，求参数ｐ
成功 则该团队接力闯关活动结束 否则
；
该成员结束闯关并由
， ，
的估计值 并且说明频率估计概率的合理性．
， 下一位成员接力去闯第二关 当第二关闯关成功或所有成员
；
解析 因为袋中这两种颜色球的个数之比为 且Ｙ
（１） １ ∶ ３， 全部上场参加了闯关 该团队接力闯关活动结束．已知某团队
，
Ｂ ｐ 所以ｐ的值为 １ 或 ３ ．
～ （３， ）， 每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 ３ 和 １ 且每位
４ ４ ，
４ ２
（ｉ） 当ｐ ＝ １ 时 ， Ｐ １ ４（ Ｙ ＝１）＝ Ｃ １ ３ ｐ１ （１－ ｐ ） ２ ＝ ２７ ， Ｐ １ ４（ Ｙ ＝２）＝ 成员闯关是否成功互不影响 ， 每关结果也互不影响．
４ ６４ 若ｎ 用Ｘ表示该团队闯关活动结束时上场闯关的成
（１） ＝３，
２ｐ２ ｐ ９ 员人数 求Ｘ的均值
Ｃ３ （１－ ）＝ ， ， ；
６４
（２）
记该团队第ｋ
（１≤
ｋ
≤
ｎ
－１，
ｋ
∈
Ｎ
）
位成员上场且闯过第
当ｐ ＝ ３ 时 ， Ｐ ３ ４（ Ｙ ＝０）＝Ｃ ０ ３ ｐ０ （１－ ｐ ） ３ ＝ １ ， Ｐ ３ ４（ Ｙ ＝２）＝Ｃ ２ ３ ｐ２ · { }
４ ６４ 二关的概率为ｐ
ｋ，
集合 ｋ
∈
Ｎ ｐ
ｋ＜
３ 中元素的最小值为
ｐ ２７ １２８
（１－ ）＝ ，
６４ ｋ 规定团队人数ｎ ｋ 求ｎ．
表格为
０， ＝ ０＋１，
解析 依题意 知Ｘ的所有可能取值为
（１） ， １，２，３，
ｋ
０ １ ２ ３ Ｐ Ｘ ３ １ ３ Ｐ Ｘ １ ３ ３ １ １ ９
（ ＝１）＝ × ＝ ， （ ＝２）＝ × ＋ × × ＝ ，
４ ２ ８ ４ ８ ４ ２ ２ ３２
Ｐ Ｙ ｋ ２７ ２７ ９ １
１ ４（ ＝ ）
６４ ６４ ６４ ６４ Ｐ Ｘ ３ ９ １１
（ ＝３）＝１－ － ＝ ，
８ ３２ ３２
Ｐ
３ ４（
Ｙ
＝
ｋ
）
１ ９ ２７ ２７ 所以Ｘ的分布列为
６４ ６４ ６４ ６４
Ｘ
（ｉｉ） 由 （ｉ） 中表可知Ｐ ｐ（ Ｙ ＝ ｋ ）＝Ｃ３ ｋｐｋ （１－ ｐ ） ３－ ｋ． １ ２ ３
当Ｙ 或 时 参数ｐ １ 的概率最大 当Ｙ 或 时 参数 Ｐ ３ ９ １１
＝０ １ ， ＝ ； ＝２ ３ ，
４ ８ ３２ ３２
ｐ ３ 的概率最大．
＝ 数学期望Ｅ Ｘ ３ ９ １１ ６３．
４ （ ）＝１× ＋２× ＋３× ＝
８ ３２ ３２ ３２
ì
ï
ï
１
，
Ｙ
＝０，１， （２）
由题意第ｋ
（１≤
ｋ
≤
ｎ
－１，
ｋ
∈
Ｎ
）
位成员上场且闯过第二
所以ｐ í４ 关的概率为ｐ ．
＾＝ï ｋ
ï３ Ｙ ． 依据 哪位成员成功闯过第一关 对所求事件Ａ 团队第ｋ位
î ， ＝２，３ “ ” ：“
４
成员上场闯过第二关 进行分类 记 第ｉ ｉ ｋ 位成员成
ｎ ｎ ” ， “ （１≤ ≤ ）
对ｌ ｐ Ｘ ｐ Ｘ ｐ 求导得 ｌ′ ｐ
（２） （ ）＝∑ｉ＝ ｉｌｎ ＋∑ｉ＝ （１－ ｉ）ｌｎ（１－ ） （ ）＝ 功闯过第一关且第ｋ位成员闯过第二关 ” 为事件Ａ ｉ， 则Ａ ＝ Ａ ｋ＋
１ １
ｎ ｎ Ａ Ａ Ａ 表示第 位成员成功闯过第一关 且第 ｋ
１ Ｘ １ Ｘ ｋ －１＋…＋ １， １ １ ， １～（ －
ｐ ∑ｉ＝
１
ｉ－
１－
ｐ∑ｉ＝
１
（１－ ｉ），
１）
位成员均没有闯过第二关
，
最后由第ｋ位成员闯过第二关
，
２ ７６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
则Ｐ Ａ ３ ( １ )ｋ －１ １ ３ ( １ )ｋ Ａ ｋ 表示第 １～（ ｋ －１） 位成员没有闯过第一关 ， 然后第ｋ位成员
（ １）＝
４
· １－
２
·
２
＝
４
·
２
，
接连闯过第一关和第二关 则Ｐ Ａ
(
３
)ｋ
－１ ３ １
( ) ( )ｋ －２ ， （ ｋ）＝ １－ · · ＝
同理 Ｐ Ａ ３ ３ １ １ ３ ４ ４ ２
， （ ２） ＝ １－
４
·
４
· １－
２
·
２
＝
４
· ( )ｋ
－１
( )
１
３ １ １ ．
( )ｋ －１ ·
１ １ ４ ４ ２
， ｋ
Ｐ
４
Ａ
２ (
３
) ２
３
(
１
)ｋ －３
１ ３
因为Ａ １， Ａ ２，…， Ａ ｋ －１， Ａ ｋ 两两互斥 ， 所以ｐ ｋ＝ Ｐ （ Ａ ）＝∑ｉ＝
１
Ｐ （ Ａ ｉ）
（ ３） ＝ １－ · · １－ · ＝ · ( )ｋ ( )ｋ ( ) ( )ｋ
４ ４ ２ ２ ４ －１ ２ －２
( )
２
( )ｋ
－２ ＝
３
·
１
＋
３
·
１ １
＋
３
·
１ １
＋…＋
３
１ １ ４ ２ ４ ４ ２ ４ ４ ２ ４
， ( )ｉ ( )ｋｉ ( )ｋ ( )
４ ２ －１ －＋１ －１ １
１ １ ３ １ １
· ＋…＋ ·
…… ４ ２ ４ ４ ２
Ａ 表示第 ｉ 位成员没有闯过第一关 由第ｉ位成员闯
ｉ １～（ －１） ， ＝
过第一关 然后第ｉ ｋ 位成员均没有闯过第二关 最后第 [( )ｋ ( )ｋ ( )ｋ ( )ｋｉ ( ) ｋ ]
， ～（ －１） ， ３ １ １ ＋１ １ ＋２ １ ＋－１ １ ２－１
( )ｉ －１ ＋ ＋ ＋…＋ ＋…＋
ｋ位成员闯过第二关 则 Ｐ Ａ ３ ３ ４ ２ ２ ２ ２ ２
， （ ｉ） ＝ １－ · · ( )ｋ[ ( )ｋ]
４ ４ １ １
( )ｋ －１－（ ｉ －１） ( )ｉ －１ ( )ｋ － ｉ ＋１ １－
１ １ ３ １ １ ３ ２ ２
１－ · ＝ · ， ＝ · ，
２ ２ ４ ４ ２ ４ １
１－
２
……
[( )ｋ ( ) ｋ] ( )ｋ
Ａ ｋ －１ 表示第 １～（ ｋ －２） 位成员没有闯过第一关 ， 然后第 （ ｋ －１） 位 由３ １ － １ ２ ＜ ３ ， 令ｍ ＝ １ ， ｍ ∈（０，１）， 即ｍ２
成员闯过第一关 没有闯过第二关 最后第ｋ位成员闯过第二 ２ ２ ２ １２８ ２
， ，
( )ｋ ( )
( )ｋ
关 ， 则 Ｐ （ Ａ ｋ －１）＝ １－ ３ －２ · ３ · １－ １ １ · １ ＝ ３ · － ｍ ＋ ６ １ ４ ＞０， 解得ｍ ＜ ４－ ８ １５ ， 即 １ ２ ＜ ４－ ８ １５ ， 解得ｋ ≥６，
４ ４ ２ ２ ４
( )ｋ ( ) 所以ｋ ｎ ．
１
－２
１
２ ０＝６， ＝７
，
４ ２
