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微专题三 圆锥曲线中的证明与探究性问题
x2 y2
1.(2024湖南长沙市四县区3月调研,18)如图,已知A,B分别是椭圆E: + =1的右顶点
a2 b2
√3
和上顶点,椭圆E的离心率为 ,△ABO的面积为1.若过点P(a,b)的直线与椭圆E相交于
2
M,N两点,过点M作x轴的平行线,分别与直线AB,NB交于点C,D.
(1)求椭圆E的方程;
(2)证明:M,C,D三点的横坐标成等差数列.
1
{ ab=1,
2 {a=2,
解析 (1)依据题意,得 c √3 解得 b=1,
= ,
a 2 c=√3,
a2=b2+c2,
x2
∴椭圆E的方程为 +y2=1.
4
(2)证法一:设直线MN:x=my+n,
∵直线过点P(2,1),
∴m+n=2.
{ x=my+n,
联立 消去x得(m2+4)y2+2mny+n2-4=0,
x2+4 y2=4,
Δ=4m2n2-4(m2+4)(n2-4)=16(m2-n2+4)>0,
−2mn n2−4
设M(x ,y ),N(x ,y ),(y ≠1,y ≠1)则y +y = ,y y = ,
1 1 2 2 1 2 1 2 m2+4 1 2 m2+4
∵l :x+2y-2=0,∴C(2-2y ,y ),
AB 1 1
y −1 (y −1)x
∵l :y= 2 x+1,令y=y ,可得x = 1 2,
BN x 1 D y −1
2 2
(y −1)x
要证明M,C,D三点的横坐标成等差数列,只需证明x +x =2x .即证x + 1 2 =4-4y ,
1 D C 1 y −1 1
2
即证(my +n)(y -1)+(y -1)(my +n)=(4-4y )(y -1),
1 2 1 2 1 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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即证(2m+4)y y +(n-m-4)(y +y )-2n+4=0,
1 2 1 2
n2−4 −2mn
即证(2m+4)· +(n-m-4)· -2n+4=0,
m2+4 m2+4
即证4m2+8mn+4n2-8(m+n)=0,
即证(m+n)2-2(m+n)=0,
∵m+n=2,∴上式成立,故x +x =2x .
1 D C
∴M,C,D三点的横坐标成等差数列.
证法二:设直线MN:x=my+n,∵直线过点P(2,1),
∴m+n=2.
{ x=my+n,
联立 消去x得(m2+4)y2+2mny+n2-4=0,
x2+4 y2=4,
设M(x ,y ),N(x ,y )(y ≠1,y ≠1),
1 1 2 2 1 2
−2mn n2−4
则y +y = ,y y = ,又x =my +n,x =my +n,
1 2 m2+4 1 2 m2+4 1 1 2 2
x x x (y −1)+x (y −1) −8(m+n)
1 2 1 2 2 1
∴ + = = =-4,
y −1 y −1 (y −1)(y −1) (m+n) 2
1 2 1 2
y −1 y −1 x x x x 2 x
又∵B,D,N三点共线,∴ 2 = 1 ,即 2 = D ,∴ 1 + D =-4= =2· C
x x y −1 y −1 y −1 y −1 k y −1
2 D 2 1 1 1 AB 1
,(提示:点C与点M纵坐标相同)
∴x +x =2x ,∴M,C,D三点的横坐标成等差数列.
1 D C
2.(2024东北三省四市教研联合体模拟,17)在平面直角坐标系中,F ,F 分别为双曲线C:3x2-
1 2
y2=a2(a>0)的左、右焦点,过F 的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点.当l与x轴垂直
2
时,△ABF 面积为12.
1
(1)求双曲线C的标准方程;
|DF |
(2)当l与x轴不垂直时,作线段AB的中垂线,交x轴于点D.试判断 2 是不是定值.若
|AB|
是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
x2
y2
解析 (1)双曲线方程可化为a2- =1,
a2
3
2a2
a2 2√3a 1 1
则c2= +a2,即c= .当l与x轴垂直时,|AB|= a =2√3a,所以S = |F F |·|AB|=
3 3 △ABF 1 2 1 2 2
√3
2√3a y2
×2× ×2√3a=12,解得a2=3,所以双曲线C的标准方程为x2- =1.
3 3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(2)由(1)知,F (2,0).设直线l的方程为x=ty+2(t≠0),A(x ,y ),B(x ,y ),M为AB中点,由
2 1 1 2 2
{3x2−y2=3,
消去x可得(3t2-1)y2+12ty+9=0,
x=ty+2,
−12t 9 −4
因此y +y = ,y y = ,则x +x =t(y +y )+4= ,即AB中点M的坐标为
1 2 3t2−1 1 2 3t2−1 1 2 1 2 3t2−1
( −2 −6t )
,
,
3t2−1 3t2−1
6t ( 2 )
故线段AB的中垂线方程为y+ =-t x+ ,
3t2−1 3t2−1
( −8 ) | 8 | |6t2+6|
令y=0,得D ,0 ,即|DF |= 2+ = ,
3t2−1 2 3t2−1 3t2−1
又|AB|=√1+t2√(y + y ) 2−4 y y
1 2 1 2
=√1+t2 √ ( −12t ) 2 −4· 9 = |6t2+6| ,
3t2−1 3t2−1 3t2−1
|DF | |DF |
所以 2 =1.故 2 为定值1.
|AB| |AB|
3.(2024山东青岛一模,19)已知O为坐标原点,点W为☉O:x2+y2=4和☉M的公共点,⃗OM·
⃗OW=0,☉M与直线x+2=0相切,记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)若n>m>0,直线l :x-y-m=0与C交于点A,B,直线l :x-y-n=0与C交于点A',B',点A,A'在第
1 2
一象限,记直线AA'与BB'的交点为G,直线AB'与BA'的交点为H,线段AB的中点为E.
①证明:G,E,H三点共线;
②若(m+1)2+n=7,过点H作l 的平行线,分别交线段AA',BB'于点T,T',求四边形GTET'面积
1
的最大值.
解析 (1)设M(x,y),☉M与直线x+2=0的切点为N,由题意得|MN|2=|MW|2=|OM|2+|OW|2,(由
⃗OM·⃗OW=0得⃗OM⊥⃗OW)
所以|x+2|2=x2+y2+4,
化简得y2=4x,所以C的方程为y2=4x.
(2)①证明:设线段A'B'的中点为F,
因为l ∥l ,所以可设⃗GA=λ⃗GA',⃗GB=λ⃗GB',
1 2
1 λ
因为⃗GE= (⃗GA+⃗GB)= (⃗GA'+⃗GB')=λ⃗GF,
2 2
所以G,E,F三点共线,同理,H,E,F三点共线,北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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所以G,E,H三点共线.
②设A(x ,y ),B(x ,y ),A'(x ,y ),B'(x ,y ),
1 1 2 2 3 3 4 4
y + y
将x=y+m代入y2=4x得,y2-4y-4m=0,所以y +y =4,y y =-4m,所以y = 1 2=2,
1 2 1 2 E
2
y + y
同理y +y =4,y y =-4n,y = 3 4=2(G,E,H,F均在定直线y=2上).
3 4 3 4 F
2
因为TT'∥l ,所以△EAT与△EAH面积相等,△EBT'与△EBH面积相等,
1
所以四边形GTET'的面积等于四边形GAHB的面积.
设G(x ,2),H(x ,2),
G H
y −y
直线AA':y-y = 1 3 (x-x ),
1 x −x 1
1 3
y −y ( y2 )
1 3 x− 1
即y-y = y2 y2 4 ,
1
1− 3
4 4
4x+ y y
整理得直线AA':y= 1 3 ,
y + y
1 3
2(y + y )−y y
又因为y =2,所以x = 1 3 1 3,
G G
4
4x+ y y
同理,直线BA':y= 2 3 ,
y + y
2 3
2(y + y )−y y
又因为y =2,所以x = 2 3 2 3,
H H
4
| ( y + y )|
|(y −y )(2−y )| (y −y ) 3 4−y |(y −y )(y −y )|
所以|GH|=|x -x |= 1 2 3 = 1 2 2 3 = 1 2 3 4 ,
G H 4 8
4
1 (y −y ) 2·|y −y |
所以四边形GAHB的面积S= |GH|·|y -y |= 1 2 3 4
2 1 2 16
[(y + y ) 2−4 y y ]·√(y + y ) 2−4 y y
= 1 2 1 2 3 4 3 4
16
(16+16m)·√16+16n
= =4√(1+m) 2 (1+n)
16
(1+m) 2+1+n
≤4× =16,
2
{(1+m) 2=1+n, {m=1,
当且仅当 即 时取等号,
(m+1) 2+n=7, n=3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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所以四边形GAHB,即四边形GTET'面积的最大值为16.
x2
4.(2024浙江杭州二模,18)已知A,B是椭圆E: +y2=1的左、右顶点,点M(m,0)(m>0)与椭
4
圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点M的坐标.
(2)过点M作直线l交椭圆E于C,D两点(与A,B不重合),直线AC与直线BD交于点G.
(i)证明:点G在定直线上;
(ii)是否存在点G,使得CG⊥DG?若存在,求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由.
解析 (1)设P(x ,y )是椭圆上一点,则x2+4y2=4.
0 0 0 0
因为|PM|=√(m−x ) 2+ y2= √3( x − 4 m ) 2 − 1 m2+1(-2≤x ≤2).
0 0 4 0 3 3 0
3 √ 1
①若0<m≤ ,则|PM| = 1− m2=1,
2 min 3
解得m=0(舍去).
3
②若m> ,则|PM| =√4−4m+m2=1,
2 min
解得m=1(舍去)或m=3.
所以M点的坐标为(3,0).
(2)(i)证明:设直线l:x=ty+3,C(x ,y ),D(x ,y ).
1 1 2 2
{x=ty+3,
由 x2 消去x得(t2+4)y2+6ty+5=0,
+ y2=1
4
6t 5
所以y +y =- ,y y = .
1 2 t2+4 1 2 t2+4
6
所以y +y =- ty y ,①
1 2 5 1 2
由Δ=16t2-80>0,得t>√5或t<-√5.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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y
易知直线AC的方程为y= 1 (x+2),②
x +2
1
y
直线BD的方程为y= 2 (x-2),③
x −2
2
x+2 (x +2)y (t y +5)y t y y +5 y
联立②③,消去y,得 = 1 2 = 1 2 = 1 2 2 ,④
x−2 (x −2)y (t y +1)y t y y + y
2 1 2 1 1 2 1
5
− (y + y )+5 y
x+2 6 1 2 2
联立①④,消去ty y ,得 = =-5.
1 2 x−2 5
− (y + y )+ y
6 1 2 1
4 4
解得x= ,即点G在直线x= 上.
3 3
(ii)假设存在点G,使得CG⊥DG,则AG⊥BG.所以点G在以AB为直径的圆上.
(4 ) (4) 2
设G ,n ,则 +n2=4,
3 3
2√5 (4 2√5)
所以n=± ,即G ,± .
3 3 3
√5
故直线AC的方程为y=± (x+2),
5
{
x2
+ y2=1,
4
联立 消去y得9x2+16x-4=0.
√5
y=± (x+2),
5
16
则x +x =- ,因为x =-2,
A C 9 A
2 4√5
所以x = ,所以y =± .
C 9 C 9
4√5
又由(1)知,M(3,0),故k=k =± .
l MC
25
