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重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究
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解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后
再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
题型一：存在点使向量数量积为定值
例1．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的
左顶点坐标为 ，离心率为 ．
求椭圆E的方程；
过点 作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使 为定值？若存
在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2．（2023·山西大同·高二统考期末）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦
点 重合，且椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆交于不同两点 ，试问在 轴上是否存在定点 ，使 恒为定
值? 若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
例3．（2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在
轴上，其左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 .点 在椭圆 上，且满足 的周长为6.
（I）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一定点 ，使得 恒
为定值？若存在，求出该点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆经过点
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交 于 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，使 为定值？若存
在，求出这个定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知 为双曲线 的左、右焦点，
的离心率为 为 上一点，且 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在坐标轴上，直线 与 交于异于 的 两点，且点 在以线段 为直径的圆上，过 作，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由.
变式3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且直线
是抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以
为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点 且
平行于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
例4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为 坐标原点， ，
， 和 交点为 .
(1)求点 的轨迹 ；
(2)直线 和曲线 交与 两点，试判断是否存在定点 使 ？如果存在，求出
点坐标，不存在请说明理由.例5．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 ， ， 是异于A，
的动点， ， 分别是直线 ， 的斜率，且满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)在线段 上是否存在定点 ，使得过点 的直线交 的轨迹于 ， 两点，且对直线 上任意一点
，都有直线 ， ， 的斜率成等差数列.若存在，求出定点 ，若不存在，请说明理由.
例6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线 的右焦点 为圆心作圆，与
的一条渐近线相切于点
(1)求 的方程.
(2)在 轴上是否存在定点 ，过点 任意作一条不与坐标轴垂直的直线 ，当 与 交于 两点时，直
线 的斜率之和为定值？若存在，求出 点的坐标，若不存在，说明理由.
变式5．（2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为
，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线 与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当 时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否
存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，
求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.变式6．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，
，焦距为2，实轴长为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 不与 轴重合的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个点 ，使得
直线 ， 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式7．（2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆 的离心率
为 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，且 的周长是6.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 经过椭圆的右焦点 且与 交于不同的两点 ， ，试问：在 轴上是否存在点 ，使得
直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线
于椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得弦长为 ．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）在 上是否存在与点 不同的定点 ，使得直线 和 的倾斜角互补？若存在，求 的坐标；若
不存在，说明理由．
题型三：存在点使两角度相等
例7．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 分别为
椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交x轴于 两点．问：y轴上是否存在点
R，使得 ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 且两个焦点及短轴两
顶点围成四边形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且 、 、
三点共线.其中 为坐标原点.问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标，
若不存在，说明理由.
例9．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆 上的任意一点，点 ，线段AF
的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点 且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点 ．问：x
轴上是否存在定点T，使得 恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
变式9．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 经过点 ，过
点 的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.变式10．（2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆
过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式11．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，动点 到点
的距离等于点 到直线 距离的 倍，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 ： 与曲线 交于 两点，问曲线 上是否存在两点 满足
，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
题型四：存在点使等式恒成立
例10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知 是圆 ： 上的动点，点 ，直线
与圆 的另一个交点为 ，点 在直线 上， ，动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ， 都在 轴上方，问：在 轴上是否存在定
点 ，使得 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点
且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ，且 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；
(3)设 ．过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴
的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，说明理由．
例12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为 ，
左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为 的椭圆，设P在
第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得 (其中 ， 为点P，T的横坐标)，若存在，求出P
点的坐标，若不存在，请说明理由．
变式12．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的
左顶点和右焦点分别为 ，动点 满足 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在 上，过 作 的两条切线，分别与 轴相交于 两点.是否存在点 ，使得 等于 的短轴长？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点 的距离比它到直线l： 的距离小 ，
记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于 ， 两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分
别交E于另外两点C，D，且 ？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
变式14．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆 的焦距为2，长轴长为
4.
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，点 关于 轴的对称点为 .问：
平面内是否存在定点 ，使得 恒在直线 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
题型五：存在点使线段关系式为定值
例13．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 经过两点 ， ，过点 的动直线 与椭圆相交于
， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：
；
(3)设点 是椭圆 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 不同的定点 ，使
得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明．例14．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点
.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且 ， 于点G，证明:存在定点
H，使 为定值.
例15．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，过椭圆右
焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k 时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到
直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
变式15．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为坐标
轴，且过点 ， .直线 （不经过点 ）与椭圆 交于 两点， ，直线 与椭
圆 交于另一点 ，点 满足 ，且 在直线 上.
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 过定点，且存在另一个定点 ，使 为定值.变式16．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线 的右焦点，
右顶点分别为 ， ， ， ，点 在线段 上，且满足 ，直线 的斜率为
1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式17．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆 的左、右顶点分别为
A，B．左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ的斜率为 ， ．过点B作直线
PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得 为定值，若存在，求出点T的坐标；若不
存在，试说明理由．
变式18．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，设点 的轨迹为曲线
.①过点 的动圆恒与 轴相切， 为该圆的直径；②点 到 的距离比 到y轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件： 求曲线 的方程；(2)在 轴正半轴上是否存在一点 ，当过点 的直线 与抛物线 交于 两点时， 为定值？
若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
变式19．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆 的离心率为
，且经过点 ．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆 的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且
．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．
