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专题 14 圆锥曲线中的证明问题
一、考情分析
圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现,主要有两大类：一是证明点线位置关系,如直线或曲线过某个点、
直线平行与垂直、直线对称等问题,二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系,如相等与不相等.
二、解题秘籍
(一)证明直线或圆过定点
证明直线过定点,通常是设出直线方程 ,由已知条件确定 的关系.若 ,则
,则直线过定点 ,证明圆过定点,常见题型是证明以AB为直径的圆过定点P,只
需证明 .
【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期质量检测）已知椭圆C： 的离心率为
,椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l： 与椭圆C交于异于点B的两点P,Q,直线BP,BQ与x轴相交于 , ,若
,求证：直线 过一定点,并求出定点坐标．
【解析】（1）∵ , ,∴ , , ．
故椭圆方程为 ；
（2）联立直线和椭圆可得 ,解得 ,
于是有： ,, ．
由题意BP： ,BQ： ,
分别和 联立得, , ,
由 ,得 ,即
整理得 ,
整理得 ,解得 或者 ．
当 时,直线 过点B,与题意矛盾,应舍去.
故直线 的方程为： ,过定点为 ．
【例2】（2023届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试）在平面直角坐标系 中,已知点 ,
直线 ,点M到l的距离为d,若点M满足 ,记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线与C交于P,Q两点,设 ,证明：以P,Q为直径的圆经过点A．
【解析】（1）设点 ,则 ,
由 ,得 ,两边平方整理得 ,
则所求曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ,联立方程 ,消去 并整理得 ,
因为直线 与 交于两点,故 ,此时 ,
所以 ,而 .
又 ,
所以
所以 ,即以P,Q为直径的圆经过点A.
(二) 证明与斜率有关的定值问题
证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题,此类问题通常是把斜率之和或斜率
之积用点的坐标表示,再通过化简使结果为定值,此外证明垂直问题可转化为斜率之积为 ,证明两直线关于
直线 或 对称,可转化为证明斜率之和为0.
【例3】（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆 的左､右焦点分
别为 , , ,面积为 的正方形ABCD的顶点都在 上.
(1)求 的方程；
(2)已知P为椭圆 上一点,过点P作 的两条切线 和 ,若 , 的斜率分别为 , ,求证：
为定值.
【解析】（1）根据对称性,不妨设正方形的一个顶点为 ,
由 ,得 ,所以 ,整理得 .①
又 ,②
由①②解得 , ,
故所求椭圆方程为 .
（2）由已知及（1）可得 ,
设点 ,则 .
设过点P与 相切的直线l的方程为 ,
与 联立消去y整理可得 ,
令 ,
整理可得 ,③
根据题意 和 为方程③的两个不等实根,
所以 ,
即 为定值 .
【例4】（2023届天津市第四十七中学高三上学期测试）已知椭圆 ： 的右焦点和上
顶点均在直线 上.
(1)求椭圆 的方程；(2)已知点 ,若过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 , .直线 和直线 的斜率分别为
和 ,求证： 为定值.
【解析】（1）对于直线 ,当 时, ,当 时, ,
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线 上,
所以 ,
所以 ,
所以椭圆方程为 ,
（2）因为 在椭圆外,过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点,
所以直线 的斜率一定存在,
所以设直线 方程为 ,设 ,
由 ,得 ,
,得 ,
,
因为 , ,
所以(三) 证明与线段长度有关的等式
证明与线段长度有关的等式问题,一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式,再借助根与系数之间的
关系或斜率、截距等证明等式两边相等.
【例5】（2023届江苏省高三上学期起航调研）在平面直角坐标系xOy中,抛物线 ． , 为C上
两点,且 , 分别在第一、四象限．直线 与x正半轴交于 ,与y负半轴交于 ．
(1)若 ,求 横坐标的取值范围；
(2)记 的重心为G,直线 , 的斜率分别为 , ,且 ．若 ,证明：λ为定值．
【解析】（1）设 ,
∵ ,∴ ,即 ,∴ ,
直线 的方程为： ,
整理可得, ,令 ,则 ,
即 横坐标的取值范围 ；
（2） 的重心为 , ,∴ ,又 ,且 ,
∴ ,化简得, ,
∵ ,
∴ ,
.
即 ,所以λ为定值．
【例6】已知双曲线 的离心率是 ,点 是双曲线 的一个焦点,且点 到双曲线
的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)设点 在直线 上,过点 作两条直线 ,直线 与双曲线 交于 两点,直线 与双曲线 交于
两点.若直线 与直线 的倾斜角互补,证明： .
【解析】根据双曲线的对称性,不妨设 ,其渐近线方程为 ,
因为焦点 到双曲线 的一条渐近线的距离是2.
所以 ,因为双曲线 的离心率是 ,
所以, ,解得
所以,双曲线 的标准方程为 .
（2）证明：由题意可知直线 的斜率存在,设 ,
直线 .
联立 整理得 ,
所以, .
故 .
设直线 的斜率为 ,同理可得 .
因为直线 与直线 的倾斜角互补,
所以 ,所以 ,
则 ,即 ,
所以 .
(四) 证明代数式的值为定值或证明与代数式有关的恒等式证明此类问题一般是把代数式用点的坐标表示后化简或构造方程求解
【例7】（2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期检测）椭圆 的方程为 ,过椭圆左焦
点 且垂直于 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点 ,椭圆的右焦点为 ,已知 ,椭圆过点
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点,交 轴于 点,若 , ,求证：
为定值．
【解析】（1）依题可知： , ,
所以 ,即 ,
解得
又∵椭圆 过点 ,则
联立 可得 ,
椭圆 的标准方程为 ．
（2）设点 、 , ,
由题意可知,直线 的斜率存在,可设直线 的方程为 ,联立 ,可得 ,
由于点 在椭圆 的内部,直线 与椭圆 必有两个交点,
由韦达定理可得 , ,
, , ,
得 , ,
, ,
．
【例8】（2023届广东省揭阳市高三上学期8月调研）已知 ､ 是椭圆 ： 的左､右焦点,点
是椭圆上的动点．
(1)求 的重心 的轨迹方程；
(2)设点 是 的内切圆圆心,求证： ．
【解析】（1）连接 ,由三角形重心性质知 在 的三等分点处（靠近原点）
设 ,则有又 ,所以 ,即
的重心 的轨迹方程为 ；
（2）根据对称性,不妨设点 在第一象限内,易知圆 的半径为等于 ,
利用等面积法有：
结合椭圆定义：
有 ,解得
由 ､ 两点的坐标可知直线 的方程为
根据圆心 到直线 的距离等于半径,有
∴ ,∴
∴ ,又
化简得 ,即
∴ ,即
由已知得 , ,则
所以 ,即 ．
三、跟踪检测
1．（2023届湖南省长沙市一中等名校联考联合体高三上学期11月联考）设椭圆 ：
的左､右焦点分别为 , . , 是该椭圆 的下顶点和右顶点,且 ,若该椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；(2)经过点 的直线 ： 交椭圆 于 , 两点（点 在点 下方）,过点 作 轴的垂线交直线
于点 ,交直线 于点 ,求证： 为定值.
【解析】（1）由题可得, ,
所以 ,
因为椭圆的离心率为 ,所以 ,
结合椭圆中 可知, , .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）依题意作如图：
设 , ,直线 的方程为 ,
将点 代入得： ,
∴直线 ： .
由于椭圆 ： ,∴ , ,
联立方程 得 ,由 ,得 ,
, ,
直线 的方程为： ,
直线 的方程为： ,
, ,
运用 ,
能证得： ②,
下面证明②：
,
运用①中的韦达定理：
,
即②成立,
∴ ,即点 和 的纵坐标之和等于 点纵坐标的2倍,∴ 点是线段 的中点,即 ,
综上, ,故为定值.
2．（2023届河南省焦作市高三上学期期中）已知椭圆 ： 的离心率为 ,点 ,
,椭圆 的右顶点 满足 .
(1)求椭圆 上一点 到点 的最小距离；
(2)若经过 点的直线 交椭圆 于 , 两点,证明：当直线 的倾斜角任意变化时,总存在实数 ,使得
.
【解析】（1）解： ,
因为 ,所以 ,
即 ,所以 ,解得 ,
离心率 ,所以 ,
所以 ,
所以椭圆的标准方程为 ,
设 ,
则 ,
当 时, ,所以椭圆 上一点 到点 的最小距离为1；
（2）证明：当直线 的倾斜角为 时,直线 与 轴重合,
不妨取 ,
则 ,
由 ,得 ,
所以此时存在实数 ,使得 ,
当直线 的倾斜角不为 时,设直线方程为 ,
则 ,
联立 ,消 得 ,
则 ,
.
所以直线 的倾斜角互补,则 平分 ,
所以当直线 的倾斜角任意变化时,总存在实数 ,使得 ,
综上所述,当直线 的倾斜角任意变化时,总存在实数 ,使得 .3．已知椭圆 的长轴长为 , , 为 的左、右焦点,点 在 上运动,
且 的最小值为 .连接 , 并延长分别交椭圆 于 , 两点.
(1)求 的方程；
(2)证明： 为定值.
【解析】（1）由题意得 ,
设 , 的长分别为 , ,
则 ,当且仅当 时取等
号,
从而 ,得 , ,
则椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）得 , ,
设 , ,设直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
由 ,得 ,
则 ,
,
同理可得 ,
所以 .
所以 为定值 .
4．（2022届湖北省十堰市丹江口市高三下学期模拟）已知双曲线 的左、右顶点分
别为 ,右焦点为 ,点P为C上一动点（异于 两点）,直线 和直线 与直线 分别交
于M,N两点,当 垂直于x轴时, 的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证： 为定值,并求出该定值．【解析】（1）由题意知 ,则 ．当 轴时, ,
故 的面积 ,解得 ,
故C的方程为 ．
（2）由（1）得 ,设 ,
则直线 ,令 ,得 ；
直线 ,令 得 ．
故 ,
因为 ,故 ,
又 ,则 ．
因此 ,
故 ,即 ．
5．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考）记以坐标原点为顶点、 为焦点的抛物线为 ,
过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点.
(1)已知点 的坐标为 ,求 最大时直线 的倾斜角；
(2)当 的斜率为 时,若平行 的直线 与 交于 , 两点,且 与 相交于点 ,证明：点 在定直线
上.
【解析】（1）设直线的方程为 , ,
记 , ,则 ,则
由题设得抛物线方程为
联立 消去 得 ∴ ,
∴ 令 则 ∴
由单调性得当 时, 最大为 ,此时 ,直线 的倾斜角为90°
（2）设 , 则由 得
∴ ∴
又∵ ∴ 同理
∴ 又∵ ∴ ∴
∴点 在定直线 上.
6．在平面直角坐标系 中,点 的坐标为 ,以线段 为直径的圆与 轴相切．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设 是 上横坐标为2的点, 的平行线 交 于 , 两点,交曲线 在 处的切线于点 ,求证：
.
【解析】（1）设点 ,因为 ,
所以 的中点坐标为 ,
因为以线段 为直径的圆与 轴相切,所以 ,即 ,
故 ,化简得 ,
所以 的轨迹 的方程为 .
（2）因为 是 上横坐标为2的点,所以由(1)得 ,所以直线 的斜率为1,
因为 ,所以可设直线 的方程为 ,
由 ,得 ,得 ,则曲线 在 处的切线的斜率为 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
联立 ,得 ,
所以 ,所以 ,
联立 ,化简得 ,有 ,解得 ,
设 , ,则 , ,
因为 , , 在 上,所以 , ,
所以 ,因为 ,所以
.7．已知双曲线 ,双曲线 的右焦点为F,圆C的圆心在y轴正半轴上,且经过坐标原点O,圆C与
双曲线Γ的右支交于A、B两点．
(1)当 OFA是以F为直角顶点的直角三角形,求 OFA的面积；
△ △
(2)若点A的坐标是 ,求直线AB的方程；
(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．
【解析】（1）由题意 OFA是以F为直角顶点的直角三角形, ,
△
所以点A在直线 处,设A ,代入 ,解得 ,取
则 ,所以 OFA的面积 ；
△
（2）设圆C圆心坐标为 ,因其过原点,则 .
故圆C方程为： .
代入点A ,得 ,解得 .
将圆C方程与 联立得 ,消去 得：
解得 .又B点在双曲线右支,故B .
则AB方程为： .
化简为 即 .
（3）证明：由题直线AB斜率必存在,
故设直线AB的方程为 ,A（x,y）,B（x,y）,
1 1 2 2
圆C的方程为 ,
由 ,消去y得:由题意,得： ,且 ,
由 ,消去x化简得： ,所以 .
所以 ,
即
得原点O到直线AB的距离 ,所以直线AB与圆 相切．
8．（2023届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考）已知直线 ： 与椭圆 ：
相切于点 ,与直线 ： 相交于点 （异于点 ）．
(1)求点 的坐标；
(2)直线 交 于点 , 两点,证明： ．
【解析】（1） ,消 得： ,解得： ,故 ；
（2）联立 ,解之得：
联立 ,消 得： ,
由题可得： ,∴ , ．, ,
,
,
∴ ,又 ,∴ ．
9．（2023届重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期月考）已知椭圆 的左､右顶点分
别为 ,椭圆 的长半轴的长等于它的焦距,且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ,过点 的直线 与椭圆 相交于 两点（不同于 ）,直线 与直线
相交于点 ,直线 与直线 相交于点 ,证明： 轴.
【解析】（1）由题意 ,即 ,故椭圆 ,
代入点 ,可得 ,解得 ,
故椭圆的标准方程为： .
（2）由题意右焦点 , , ,
若直线 斜率不存在,直线方程为： ,代入椭圆方程可得 ,解得 ,即 ,故直线 , , , ,
联立 ,可得 ；联立 ,可得 ,
,故 轴；
若直线 斜率存在,直线方程为： ,与椭圆联立
,即 , 恒成立,
不妨设 ,故 ,
故直线 , , , ,
联立 ,可得 ；
联立 ,可得 ,,故 轴；
综上： 轴.
10．已知抛物线C： ,其焦点为F,O为坐标原点,直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B,M
为AB的中点.
(1)若 ,M的坐标为 ,求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F,AB的垂直平分线交x轴于点N,求证： 为定值.
【解析】（1）由题意知直线l的斜率存在且不为0,
故设直线l的方程为
即 ,设 , .
由 得y2－4ty－4＋4t＝0,
∴ , ,
∴ ,即 .
∴直线l的方程为 .
（2）证明如下：
∵抛物线C： ,∴焦点F的坐标为 .
由题意知直线l的斜率存在且不为0,
∵直线l过焦点F,故设直线l的方程为 ,设 , .由 ,得 ,
∴ , .
∴ ,∴M .
∴MN的方程为 .
令 ,解得 ,N ,
∴ , ,
∴ ,为定值.
11．（2023届河北省邯郸市大名县第一中学高三月考）己知椭圆 的左、右焦点分
别为 ,左顶点为 ,离心率为 ．
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于点 ,线段 的中点分别为 ．设过点 且垂直于 轴的
直线为 ,若直线 与直线 交于点 ,直线 与直线 交于点 ,求证： 为定值．
【解析】（1） 椭圆 左顶点为 , ,又离心率 , ,
, 的方程为： .
（2）设 , ,则 , ,由 得： ,
则 ,
, ；
直线 方程为： , , ；
同理可得： ,又 ,
, ,
,
为定值 .
12．已知抛物线 的焦点到直线 的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)若点 在 上, , 是 的两条切线, , 是切点,直线 与 交于点 ,证明：存在定点 ,使得
．
【解析】（1）由题可知 的焦点为 ,依距离公式可得,解得 ．
所以 的方程为 ；
（2）设 , ．
由 ,可知直线 的方程为 ,即 ．
同理直线 的方程为 ．
联立 解得 ．
若记 ,则有 所以可写出直线 的方程为
,即 ,即 ．
由 与 相交可知 ．联立 可得 ．
设 ,则由 可知
上式关于 恒成立当且仅当解得 或
因此,存在定点 或 ,使得 ．
13．设O为坐标原点,椭圆 的离心率为 ,且过点 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线 与C交于P,Q两点,且 的面积是 ,求证： ．
【解析】（1）因椭圆 过点 ,则 ,又椭圆C的离心率为 ,
则有 ,解得 ,
所以C的方程为 ．
（2）依题意, ,由 消去x并整理得： ,
,
设 ,则 ,
于是得 ,点O到l的距离 ,
因此 ,即 ,整理得 ,即 ,显然 满足 ,
所以 .
14．（2023届福建师范大学附属中学2023届高三上学期月考）在平面直角坐标系 中, 设点
, 点 与 两点的距离之和为 为一动点, 点 满足向量关系式：
．
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)设 与 轴交于点 ( 在 的左侧), 点 为 上一动点 (且不与 重合)． 设直线 轴与直线
分别交于点 ,取 ,连接 ,证明： 为 的角平分线．
【解析】（1）设点 , ,
则由点 与 两点的距离之和为 ,
可得点G的轨迹是以 为焦点且长轴长为 的椭圆,
其轨迹方程为 ,
由 ,可得 ,代入点G的轨迹方程,
可得： ,
所以点 的轨迹方程 ；
（2）设点 ,则 ,即 ,
,令 ,得 ,,
则点 到直线 的距离为：
,
要证ER为 的角平分线,只需证 ,
又 ,
,
所以 ,当且仅当 ,即 时,
又 在 上,则 ,即 ,
代入上式可得 恒成立,
为 的角平分线．
15．（2023届山东省济宁市汶上县高三上学期质量联合检测）已知椭圆 的左顶点
为 ,左、右焦点分别为 , ,动点 在 上且位于第一象限, .当 时,直线 的斜率
为 .
(1)求 的方程；
(2)设 , ,证明： .
【解析】（1）由椭圆的定义,得 ,即 ,
设 ,由 ,得点 的坐标为 ,由直线 的斜率为 ,得 ,
结合 及 ,得 ,解得 或 （舍去）,
所以 ,
所以 的方程为 ；
（2）由题意得 , ,
设 ,
当 时, , , ,
故 成立；
当 时, ,即 ,
整理,得 ,
解得 ,
即 ,考虑到 为锐角,应舍去；
或 .又 ,
所以 ,
综上, .
