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重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究
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解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后
再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
题型一：存在点使向量数量积为定值
例1．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的
左顶点坐标为 ，离心率为 ．
求椭圆E的方程；
过点 作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使 为定值？若存
在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 设椭圆E的方程为 ，由已知得 ，解得： ，
所以 ．
所以椭圆E的方程为 ．
假设存在符合条件的点 ，
设 ， ，
则 ， ，
，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
由 ，得： ，
， ，
，
，
对于任意的k值，上式为定值，
故 ，解得： ，
此时， 为定值；
当直线l的斜率不存在时，
直线l： ， ， ， ，
由 ，得 为定值，
综合 知，符合条件的点M存在，其坐标为 ．
例2．（2023·山西大同·高二统考期末）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦
点 重合，且椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆交于不同两点 ，试问在 轴上是否存在定点 ，使 恒为定
值? 若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为 ，
所以 ，
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，
所以 ，
可求得a=2.
故椭圆的方程为 .
（2）假设存在满足条件的点 ，
当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则 的方程为 ，
由 得 ，
设 ，
所以 ，
则
，
要使 为定值，令 ，即 ，
此时 .当直线的斜率不存在时，不妨取 ，
由 ，可得 ，
所以 .
综上所述，存在点 ，使 为定值 .
例3．（2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在
轴上，其左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 .点 在椭圆 上，且满足 的周长为6.
（I）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一定点 ，使得 恒
为定值？若存在，求出该点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ） 所以椭圆的方程为
（Ⅱ）假设存在这样的定点 ，设 ， 直线方程为
则
=
联立 消去 得
令 即 ，
当 轴时，令 ,仍有
所以存在这样的定点 ，使得
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆经过点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交 于 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，使 为定值？若存
在，求出这个定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意 ， ， ，得 ，所以椭圆C的方程为
.
（2）当 的斜率存在时，设 ， ， ， ，则
联立方程组 消去y得， .
∴ ， .
∵
为定值.
∴ ，解得 .此时 的值为 .
当 的斜率不存在时， 的方程为 ，解得 ， .
又 ，则 .∴ ，此时也满足条件.
综上所述，在x轴上存在定点 ，使 为定值.
变式2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知 为双曲线 的左、右焦点，
的离心率为 为 上一点，且 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在坐标轴上，直线 与 交于异于 的 两点，且点 在以线段 为直径的圆上，过 作
，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由.【解析】（1）因为双曲线的离心率为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故双曲线 的方程为 .
（2）因为 点满足 ，
所以点 在双曲线 的左支上，又因为点 在坐标轴上，则 ，
设 ，当 的斜率存在时，设 的方程为 ，
联立方程 ，整理得 ,则 ，
,即 ,
，因为 在以线段 为直径的圆上，所以 ，
则 ，又 ， ，
则 ，
所以 ，
即 ，整理得 ，
即 ，解得 或 ，经检验均满足 ，
当 时，直线 的方程为 ，则直线 过点 ，不合题意，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，则直线 恒过定点 ，符合题意.
当 的斜率不存在时， ， ， ，
，又 ，解得 （舍去）或 ，
所以直线 方程为 ，则直线 恒过定点 .
综上，直线 恒过定点 .
因为 ，所以 是以 为斜边的直角三角形，即点 在以 为直径的圆上，则点 为该圆的圆心即斜边 的中点，
又 ， ，所以 ， 为该圆的半径，即 ，
故存在点 ，使得 为定值 .
变式3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且直线
是抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以
为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 得
直线 是抛物线 的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
当直线 与 轴平行时，以 为直径的圆方程为
当直线 与 轴重合时，以 为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点 猜想：所求的点 为点 ．
证明如下．当直线 与 轴垂直时，以 为直径的圆过点当直线 与 轴不垂直时，可设直线 为：
由 得 ，设 ， 则
则
所以 ，即以 为直径的圆过点
所以存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ．
变式4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点 且
平行于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
∴椭圆 的标准方程为 ，
不妨取 ，则 ；
因为 中， ，所以 的内心在 轴，设直线 平分 ，交 轴于 ，则 为
的内心，且 ，所以 ，则 ；
（2）∵椭圆和弦 均关于 轴上下对称．若存在定点 ，则点 必在 轴上∴设
当直线 斜率存在时，设方程为 ，直线方程与椭圆方程联立 ，
消去 得 ，
则 ①
∵点 的横坐标为1， 均在直线 上，，整理得 ，
因为点 在椭圆外，则直线 的斜率必存在．∴存在定点 满足题意
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
例4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为 坐标原点， ，
， 和 交点为 .
(1)求点 的轨迹 ；
(2)直线 和曲线 交与 两点，试判断是否存在定点 使 ？如果存在，求出
点坐标，不存在请说明理由.
【解析】（1）设点 ， ，
，即 ，
点坐标为 ，
，即 ，
点坐标为 ，
根据两点坐标可得，
直线 方程为： ，
直线 方程为： ，
两式移项相乘得： ，
整理得 ，
点的轨迹为以 为焦点，长轴长为 的椭圆，即其方程为 .
（2）假设存在定点 ，
设点 坐标为 ， ，
联立方程组 消 得 ，
直线与椭圆交于两点，
即 ，
，
，
，
，
，
整理得：
，
，对 恒成立，
，得 ，
，
所以存在定点 坐标为 或 .
例5．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 ， ， 是异于A，
的动点， ， 分别是直线 ， 的斜率，且满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)在线段 上是否存在定点 ，使得过点 的直线交 的轨迹于 ， 两点，且对直线 上任意一点
，都有直线 ， ， 的斜率成等差数列.若存在，求出定点 ，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意 ，即 ，
又直线 ， 的斜率存在，所以点 的轨迹方程为
（2）若存在这样的定点，不妨设为 ，令 ， ， ，
直线 的方程为 ，
，
由韦达定理得： ， ， ，
，
，
对任意 成立，所以
由 得，
所以 ，
对任意 成立， ，经检验，符合题意，
所以，存在 满足题意.
例6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线 的右焦点 为圆心作圆，与
的一条渐近线相切于点
(1)求 的方程.
(2)在 轴上是否存在定点 ，过点 任意作一条不与坐标轴垂直的直线 ，当 与 交于 两点时，直
线 的斜率之和为定值？若存在，求出 点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）双曲线 的渐近线方程为 ，
圆 与直线 切于点 ，所以代入得 ，①
设 ，直线FQ有斜率 ，则 ，即 ，②
又 ③
由①②③解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）假设存在满足条件的定点 ，因为直线 不与坐标轴垂直，
故设 的方程为 .
由 消去 整理得 ，
则 即
且
因为 ，所以直线 的斜率为 .
设 为定值 ，即 ，
即 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 .
因为 为定值，且上式对任意 恒成立，
所以
解得 .
将 代入 式解得 或 且 .
综上，存在满足条件的定点 .
变式5．（2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为
，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线 与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当 时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否
存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，
求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）圆C的方程可化为： ，
由 ，解得 ，所以圆C过定点 .
（2）圆C的方程可化为： ，
圆心到直线l的距离为 ，
所以直线与圆C相切.
（3）当 时，圆C方程为 ，圆心为 ，半径为10，
与直线 ，即 相切，所以椭圆的左准线为 ，又椭圆过点 ，则 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
在椭圆上任取一点 （ ），设定点 ， ，
则 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
所以 ，故 或 ，
所以 ， 或者 ， .
变式6．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，
，焦距为2，实轴长为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 不与 轴重合的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个点 ，使得
直线 ， 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，
即 ， ，
解得 ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）知 ，设点 ， ， ， ， ，
因为直线 不与 轴重合，
所以设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 ， ，
又 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ，
所以
，
要使得直线 ， 的斜率之积恒为定值，直线 ，解得 ，
当 时，存在点 ，使得 ，
当 时，存在点 ，使得 ，
综上，在 轴上存在点 ，使得 ， 的斜率之积恒为定值，
当点 的坐标为 时，直线 ， 的斜率之积为定值 ，
当点 的坐标为 时，直线 ， 的斜率之积为定值 ．
变式7．（2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆 的离心率
为 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，且 的周长是6.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 经过椭圆的右焦点 且与 交于不同的两点 ， ，试问：在 轴上是否存在点 ，使得
直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由椭圆的定义知 的周长为 ，所以 ，
又因为椭圆 的离心率 ，
所以 ，联立解得 ， ，
所以 ，所求椭圆方程为 .
（2）若存在满足条件的点 .
当直线 的斜率 存在时，设 ，联立 ，
消 得 .
设 ， ，则 ， x，
∵
，
∴要使对任意实数 ， 为定值，则只有 ，此时， .
当直线 与 轴垂直时，若 ，也有 .
故在 轴上存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值0.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线
于椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得弦长为 ．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）在 上是否存在与点 不同的定点 ，使得直线 和 的倾斜角互补？若存在，求 的坐标；若
不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点 ，
因此， ,解得 ，
所以椭圆E方程为 ；
（Ⅱ）设 点的坐标为 ，当直线 与x轴垂直时，直线 与 的倾斜角均为 ，满足题意，
此时 ，且 ；
当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ， ，
联立 ，得 ，
其判别式 ，
， ，
直线 的倾斜角互补，
，
∴ ，
即 ，
整理得 ，
把 ， 代入得 ，
所以 ，即 ，
综上所述存在与点 不同的定点 满足题意．
题型三：存在点使两角度相等
例7．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 分别为
椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交x轴于 两点．问：y轴上是否存在点
R，使得 ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1） 中由面积公式得 ，
即 ，得 ，
椭圆方程为 ；
（2）如图，假设存在点 使得 ，设 ，
，即 ，
，即 ，
直线 与椭圆 交于不同的两点 ，易知 关于 对称，
设 ，则 ，
由（1）知 ，直线 的方程是 ，令 得 ，
直线 方程是 ，令 得 ，
由 ，得 ，
又 在椭圆上，所以 ，即 ，
，即 .
所以存在点 ，使得 成立．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 且两个焦点及短轴两
顶点围成四边形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且 、 、
三点共线.其中 为坐标原点.问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标，
若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意可得 ， ，又 ，解得 ，所以椭圆方程为 ，则离心率
（2）因为 、 、 三点共线，根据椭圆的对称性可知 、 关于 点对称，
设点 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以点 ， ．
假设存在M使 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
即 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 .
例9．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆 上的任意一点，点 ，线段AF
的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点 且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点 ．问：x
轴上是否存在定点T，使得 恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径 ，
如图所示，线段 的垂直平分线交 于点 ，
所以 ，根据椭圆的定义可知点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ，
可得 ，则 ，
所以动点 的轨迹方程为 .
（2）由题意，设直线 的方程为 ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，解得 且 ，
设 ，所以
根据椭圆的对称性，不妨令 在 轴上方，且 ，显然 ，
假设存在 使得 恒成立，即 恒成立，
可得 ，即 恒成立，即 恒成立，
又由 ，
所以 ，
所以
，
所以存在点 ，使得 恒成立，变式9．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 经过点 ，过
点 的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
【解析】（1）将 代入椭圆方程，
得到 ，故 ，
故椭圆方程为 .
当直线 的斜率为0时，此时 三点共线，不合要求，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程 联立，得 ，
设 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 面积的最大值为 ，
此时直线 的方程为 或 .（2）在x轴上存在点 使得 恒成立，
理由如下：
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，
即 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
故在x轴上存在点 ，使得 恒成立.
变式10．（2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆
过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1） 椭圆 上顶点与右顶点的距离为 ， ；
又椭圆 过点 ， ；
两式联立可解得： ， ， 椭圆 的方程为： .
（2）当直线 与 轴不重合时，设其方程为 ， ，
由 得： ，则 ，解得： 或 ，
， ，
假设存在点 使得 ，即存在点 使得 ，
设点 ，则 ，
，
，又 ， ，解得： ，
；
当直线 与 轴重合时， 分别为椭圆 左右顶点，
若 ，此时 显然成立；
综上所述： 轴上存在点 满足题意．
变式11．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，动点 到点
的距离等于点 到直线 距离的 倍，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 ： 与曲线 交于 两点，问曲线 上是否存在两点 满足
，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，动点 到点 的距离等于点 到直线 距离的 倍，
所以 ，
化简得 .
所以曲线 的方程为 .（2）存在两点 满足 .
设
联立直线与双曲线方程，有 ，
由韦达定理，有 ，
， ，
所以上式当 时，上式恒成立，
即过定点 ，经检验两点恰在双曲线 上，且不与 重合，
故存在双曲线上两点 满足 .
题型四：存在点使等式恒成立
例10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知 是圆 ： 上的动点，点 ，直线
与圆 的另一个交点为 ，点 在直线 上， ，动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；(2)若过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ， 都在 轴上方，问：在 轴上是否存在定
点 ，使得 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
【解析】（1）圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以点 在以 ， 为焦点， 为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为 ，
则 ， .
所以 ， ，
又 不可能在 轴上，所以曲线 的方程为 .
（2）在 轴上存在定点 ，使得 的内心在一条定直线上.
证明如下：由条件可设 ： .代入 ，
得 ，
设 ， ，则
，得 ，
所以
所以 ，
取 ，则
又 ， 都在 轴上方，所以 的平分线为定直线 ，
所以在 轴上存在定点 ，使得 的内心在定直线 上.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点
且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ，且 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；
(3)设 ．过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴
的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，说明理由．
【解析】（1）由题意知 ，由 得 是线段 的中点，故 .
又因为直线 与 垂直，所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率为 .
（2）由（1）得过 、 、 三点的圆的圆心为 ，半径为 .
因为过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，所以 ，解得 .
又 ，所以 ，从而 .
故椭圆 的方程为 .
（3）由（1）及 得 ， ，椭圆 的方程为 .
设直线 方程为 ， ，则 ，联立 得 ，
， .
直线 的方程为 ，
令 得
.
故在 轴上存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线.
例12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为 ，
左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为 的椭圆，设P在
第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得 (其中 ， 为点P，T的横坐标)，若存在，求出P
点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知可设双曲线方程为 ，椭圆方程 ，则双曲线的一条渐近线方程为
，即 ，故 ，即 ，又 ，解得 ，所以双曲线方程： ，
椭圆方程为： ；
（2）设 ， ， ， ， ，
P、A、N三点共线， ，
P、B、M三点共线， ，
相除： ，
令 ，则设 ： ，
联立椭圆方程： ，
由 在椭圆内，故 ，所以 ，
∴ ，
，
若存在 ，即 ，
，得 ，
又P在第一象限，所以 ， ；
法二： ， ， ， ， ，
直线AP： ，
，显然 ，
由 ，又因为P在双曲线上，满足 ，即 ，所以 ，
即 ，
同理BP： ，可得 ，所以 ，
若存在 ，即 ，
而P在第一象限，所以 ，即 .
变式12．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的
左顶点和右焦点分别为 ，动点 满足 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在 上，过 作 的两条切线，分别与 轴相交于 两点.是否存在点 ，使得 等于 的
短轴长？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）依题意知， ，
设 ，则由 ，得 ，
即 ，
曲线 的方程为 .
（2）（方法一）设点 ，则 ，
由题意知， 的斜率存在，不妨依次设为 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
直线 与圆 相切，
即 ，
同理，可得 ，
显然 是方程 的两根，
，
即 ， .设 ，则 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
存在点 ，或 满足题意.
（方法二）设点 在 上， ，
由题意知， 的斜率存在，分别为 ，
则直线 的方程为 ，
直线 与圆 相切， ，
即 ，
同理，可得 ，
显然 是方程 的两根，
，由 ，得 ，.
由 ，得 ，
存在点 或 满足题意.
变式13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点 的距离比它到直线l： 的距离小 ，
记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于 ， 两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分
别交E于另外两点C，D，且 ？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点M到点 的距离比它到直线l： 的距离小 ，
所以点M到点 的距离等于它到直线l： 的距离，
则点M的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线，
则曲线E的方程为 .
（2）设 ，
由 得： ，且 ，得 ，
即 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，得 ，
整理得 ，同理可得
故 是方程 的两根， ，
由韦达定理可得 ①，由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为 ，
与抛物线方程 联立可得 ，
易得 ，由韦达定理可得 ②，
由①②可得 ，
故在x轴的正半轴上存在一点 满足条件.
变式14．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆 的焦距为2，长轴长为
4.
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，点 关于 轴的对称点为 .问：
平面内是否存在定点 ，使得 恒在直线 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为椭圆 的焦距为 ，长轴长为 ，
所以 ， ，则椭圆的离心率 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）存在定点 ，使得 恒在直线 上.
设直线 为 ， ， ，则 ，
联立 ，消去 得 ，
，解得 ，则 ， ，
又直线 的方程为 ，
又 ，
，恒过定点 ，
故存在定点 ，使得 恒在直线 上.
题型五：存在点使线段关系式为定值
例13．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 经过两点 ， ，过点 的动直线 与椭圆相交于
， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：
；
(3)设点 是椭圆 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 不同的定点 ，使
得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明．
【解析】（1）设椭圆方程为 ， ， ， ，椭圆 经过两点 ， ，
，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，则 ， ，
由题意 ， ，
， , , ，
， ，
，
，
若 ，则 ，结论成立．
若 ，则 ，
．
（3）当 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点，
如果存在定点 满足条件，则有 ，
， 在 轴上，设 ， ，
当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 ， 两点，
则 ， 的坐标分别为 , ， , ，
由 ，有 ，
解得 ，
若存在不同于点 不同的定点 满足条件，则 点坐标只可能为 ， ．下面证明：对任意直线 ，均有 ，
记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
设 ， ，则 ， ．
由题意 ， , ，
， ，
，
，
若 ，则 ，符合题意；
若 ，则 ，
，
设点 关于 轴对称的点 ， ， ，A， 三点共线，
，
对任意直线 ，均有 ．
例14．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点
.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且 ， 于点G，证明:存在定点
H，使 为定值.
【解析】（1）依题意，设双曲线C的方程为 ，而点 在双曲线C上，
于是 ，双曲线C的方程为 ，即 ，
所以双曲线C的标准方程为 .（2）当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，设 ，
由 消去y并整理得 ，
有 ，且 ，即 且 ，
有 ，又 ，
，由 ，得 ，
整理得 ，
于是 ，化简得 ，
即 ，解得 或 ，均满足条件，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ，与已知矛盾，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ；
当直线 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线 的方程为： ，
由 解得 或 ，因此点 的横坐标 有 ，即直线 过定点 ，
综上得直线 过定点 ，
由于 ，即点 在以 为直径的圆上， 为该圆圆心， 为该圆半径，
所以存在定点 ，使 为定值 .
例15．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，过椭圆右
焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k 时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到
直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C的半焦距为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）由（1）可得： ，
根据题意可设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
可得 ，①
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，
整理得 ，②
将①代入②得： ，解得 ，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时 .
变式15．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为坐标
轴，且过点 ， .直线 （不经过点 ）与椭圆 交于 两点， ，直线 与椭圆 交于另一点 ，点 满足 ，且 在直线 上.
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 过定点，且存在另一个定点 ，使 为定值.
【解析】（1）设 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）
由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设 的方程为 ，
设点 ， ，则 ， .
联立 ，消去 ，得 ，
则 ，
且 ， .
所以 ，所以 的方程为 .
令 ，则 ，
所以直线 恒过定点 ，设为点 .
又因为 ， 在 上，
所以 ，
则点 在以 为直径的圆上，从而 的中点 ，使 为定值 .变式16．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线 的右焦点，
右顶点分别为 ， ， ， ，点 在线段 上，且满足 ，直线 的斜率为
1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，所以 ， ， ，
因为点 在线段 上，且满足 ，所以点 ，
因为直线 的斜率为1，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ， .
所以双曲线 的方程为 .
（2）假设在 轴上存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，
当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 ；
当直线l的斜率存在且不为0时，设 ，直线l的方程为 ，
直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，则 且 ，
设 ， ，由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，所以 平分 ， ，
有 ，即 ，得 ，
所以 ，由 ，解得 .
综上所述，存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，且 .
变式17．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆 的左、右顶点分别为
A，B．左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ的斜率为 ， ．过点B作直线
PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得 为定值，若存在，求出点T的坐标；若不
存在，试说明理由．
【解析】（1）由题意 ，可得 ，则椭圆方程为 ；
（2）若直线 斜率为 ，则直线 斜率为 ，而 ，
所以 ， ，
联立 与椭圆 ，则 ，整理得 ，所以 ，则 ，故 ，
联立 与椭圆 ，则 ，整理得 ，
所以 ，则 ，故 ，
综上， ，
，
当 ，即 时， ，
此时 ，
所以 ，即直线 过定点 ；
当 ，即 时，
若 ，则 且 ， 且 ，故直线 过定点 ；
若 ，则 且 ， 且 ，故直线 过定点 ；
综上，直线 过定点 ，又 于 ，
易知 轨迹是以 为直径的圆上，故 的中点 到 的距离为定值，
所以，所求定点T为 .
变式18．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，设点 的轨迹为曲线
.①过点 的动圆恒与 轴相切， 为该圆的直径；②点 到 的距离比 到y轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件： 求曲线 的方程；
(2)在 轴正半轴上是否存在一点 ，当过点 的直线 与抛物线 交于 两点时， 为定值？
若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）选①：
如图，过 作 轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 ，
设动圆的圆心为 ，半径为 ，则 到 轴的距离为 ，
在梯形 中，由中位线性质可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
由抛物线的定义知，点 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为： .
选②：
设动圆的圆心为 ，则 ，
由圆 与 轴相切可得 ，
即 ，整理可得 .
（2）设点 ，由题意知直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 ，点
，
由 ，得 ，则 .
又 ，同理可得 ，
则有.
若 为定值，则 ，此时点 为定点.
又当 时， ，所以，存在点 ，
当过点 的直线 与抛物线 交于 两点时， 为定值1．
变式19．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆 的离心率为
，且经过点 ．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆 的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且
．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题知 解得 ， ，故椭圆C的方程为 ．
所以点 ， ， ．
设点 ，则
所以 ．
（2）设点 ， ， ，
则直线PD的方程为 ，即 ，因为圆心 到直线PD的距离为
1，即 ，
即 ，即 ，
同理 ．由此可知，m，n为方程 的两个实根，所以， ．
．
因为点 在椭圆C上，则 ，则 ，
则 ，
则 ，因为 ，则 ， ，即 ，
故存在点 满足题设条件．
