北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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微专题一 数列中的奇偶项问题
1.(2024安徽皖北协作区联考,13)已知数列{a }满足(-1)n+1a +(-1)na =3(-1)n+1(n∈N*),若
n n+2 n
a =a =1,则{a }的前20项和S = -25 0 .
1 2 n 20
2.(2024福建厦门毕业班第四次质量检测,15)设S 为数列{a }的前n项和,已知a =1,S =10,
n n 1 4
{S }
且 n 为等差数列.
n
(1)求{a }的通项公式;
n
{ a ,n为奇数,
n
(2)若b = 1 求{b }的前2n项和T .
n ,n为偶数, n 2n
a a
n n+2
{S }
解析 (1)设等差数列 n 的公差为d,因为a =S =1,
1 1
n
S S 10 1
所以 4 - 1 =3d,即 -1=3d,d= ,
4 1 4 2
S 1 n(n+1)
所以 n =1+ (n-1),即S = ,
n 2 n 2
n(n+1) n(n−1)
当n≥2时,a =S -S = - =n,
n n n-1
2 2
当n=1时,a =1满足上式,所以a =n,n∈N*.
1 n
{ n,n为奇数,
(2)由(1)知b = 1
n ,n为偶数,
n(n+2)
则T =(b +b +b +…+b )+(b +b +b +…+b )
2n 1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
1 1 1 1
=(1+3+5+…+2n-1)+ 2×4+4×6+6×8+…+2n×(2n+2)
n(1+2n−1) 1 1 1 1 1 1 1
= 2 + 2 2 - 4 + 4 - 6 +…+ 2n - 2n+2
1 1
=n2+ - .
4 4n+4
1 1
所以数列{b }的前2n项和为T =n2+ - .
n 2n 4 4n+4
3.(2024山东齐鲁名校联考七,17)已知等差数列{a }的前n项和为S ,S -S =27,数列{c }满足
n n 6 3 n
{ 2c ,n是偶数,
c =a =3,c = n b =c +c .
1 2 n+1 c −1,n是奇数, n 2n 2n-1
n
(1)求{a }的通项公式,并证明:b =2b -3;
n n+1 n
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(2)设t =a (b -3),求数列{t }的前n项和Q .
n n n n n
解析 (1)设{a }的公差为d.
n
∵{a }是等差数列,S -S =27,∴a +a +a =27,
n 6 3 4 5 6
a −a
即3a =27,a =9,又a =3,∴d= 5 2=2, (2分)
5 5 2
5−2
∴a =a +(n-2)d=3+(n-2)·2=2n-1.(3分)
n 2
由{c }的递推关系可得c =c -1,c =2c ,c =c -1, (4分)
n 2n 2n-1 2n+1 2n 2n+2 2n+1
∴b =c +c =2c +1.
n 2n 2n-1 2n
∵b =c +c =4c -1=2(2c +1)-3,
n+1 2n+2 2n+1 2n 2n
∴b =2b -3. (7分)
n+1 n
(2)由(1)可知b -3=2(b -3),又∵b -3=c +c -3=2≠0,∴数列{b -3}是以2为首项,2为公比的等
n+1 n 1 1 2 n
比数列,
∴b -3=2×2n-1=2n, (9分)
n
∴t =(2n-1)×2n, (10分)
n
∴Q =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,
n
∴2Q =1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1,(11分)
n
两式相减,可得-Q =1×2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1
n
8(1−2n−1
)
=2+ -(2n-1)×2n+1=2+2n+2-8-(2n-1)×2n+1
1−2
=(3-2n)×2n+1-6, (14分)
∴Q =(2n-3)×2n+1+6. (15分)
n
4.(2024山东青岛二中二模,16)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且
与n互素的正整数的个数,例如:φ(1)=1,φ(4)=2,φ(8)=4,数列{a }满足a =φ(2n)(n∈N*).
n n
(1)求a ,a ,a ,并求数列{a }的通项公式;
1 2 3 n
log a
(2)记b =(-1)n 2 2n ,求数列{b }的前n和S .
n a n n
2n
解析 (1)由题意可知a =φ(2)=1,a =φ(4)=2,a =φ(8)=4, (4分)
1 2 3
由题意可知,正偶数与2n不互素,所有正奇数与2n互素,比2n小的正奇数有2n-1个,
所以a =φ(2n)=2n-1. (6分)
n
(2)由(1)知a =φ(2n)=2n-1,所以a =φ(22n)=22n-1,
n 2n
所以b =(-1)n log 2 a 2n =(-1)n log 2 22n−1 =(-1)n(2n-1) 2 =(4n-2) ( − 1) n , (8分)
n a 22n−1 4n 4
2n
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( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) n−1 ( 1) n
所以S =2× − +6× − +…+(4n-6)× − +(4n-2)× − ,①
n 4 4 4 4
( 1) ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) n ( 1) n+1
− S =2× − +6× − +…+(4n-6)× − +(4n-2)× − ,② (10分)
4 n 4 4 4 4
5 ( 1) 1 [ ( 1) 2 ( 1) n] ( 1) n+1 1
①-②得 S =2× − +4 − +…+ − -(4n-2)× − =- +4×
4 n 4 4 4 4 2
1 [ ( 1) n−1]
1− −
16 4 ( 1) n+1
-(4n-2)× −
( 1) 4
1− −
4
1 1[ ( 1) n−1] ( 1) n+1 3 20n+6
=- + 1− − -(4n-2)× − =- - ,(13分)
2 5 4 4 10 5×(−4) n+1
6 20n+6
所以S =- + . (15分)
n 25 25×(−4) n
{a −3,n为奇数,
5.(2024河北石家庄二模,17)已知数列{a }满足a =7,a = n
n 1 n+1 2a ,n为偶数.
n
(1)写出a ,a ,a ;
2 3 4
(2)证明:数列{a -6}为等比数列;
2n-1
(3)若b =a ,求数列{n·(b -3)}的前n项和S .
n 2n n n
解析 (1)因为a =7,所以a =a -3=4, (1分)
1 2 1
a =2a =8, (2分)
3 2
a =a -3=5. (3分)
4 3
{a −3,n为奇数,
(2)证明:因为a = n
n+1 2a ,n为偶数,
n
所以a -6=2a -6=2(a -3)-6=2(a -6), (5分)
2n+1 2n 2n-1 2n-1
a −6
2n+1
即 =2,且a -6=1,
a −6 1
2n−1
所以数列{a -6}是首项为1,公比为2的等比数列. (7分)
2n-1
(3)由(2)可知a -6=1·2n-1,即a =2n-1+6,
2n-1 2n-1
因为2n为偶数,2n-1为奇数,
所以b =a =a -3=2n-1+3, (9分)
n 2n 2n-1
所以n·(b -3)=n·(2n-1+3-3)=n·2n-1, (10分)
n
则S =1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①
n
2S =1·21+2·22+3·23+…+n·2n,②
n
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1−2n
①-②得-S =1+21+22+…+2n-1-n2·2n= -n·2n. (14分)
n 1−2
所以S =(n-1)2n+1. (15分)
n
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