文档文本内容
９ ６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
微专题 三角函数中 的范围问题
ω 学生用书P232
类型一：三角函数的对称性（最值）与ω的范围（最值） 解题关键
首先利用三角函数图象的对称轴或对称中心
，
通过整体代 解答该类问题关键有两点：一是把“ωｘ
＋
φ”看作一个整体，二
换建立关于ω的表达式
，
然后根据ω的取值范围给正整数
“
ｋ
”
是找准区间端点的取值范围．
赋值 从而得到ω的范围 最值 ．
， （ ）
( ) 例3 （多选）（ 湖南长沙长郡十八校第二次联考， ）已知
例1 （ 全国甲文， ， 分）将函数ｆ ｘ ωｘ π ω ２０２４ １０
２０２２ ５ ５ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ （ ＞ ωｘ ωｘ ωｘ
３ ｆ ｘ ２ １ ω 下列结论正确的是
（ ）＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ， ＞０，
的图象向左平移π个单位长度后得到曲线Ｃ 若Ｃ关于ｙ轴 ２ ２ ２ ２
０） ， ＡＢＣ
２ （ ）
对称 则ω的最小值是 Ｃ 若ｆ ｘ 的最小正周期为 则ω
， （ ） Ａ． （ ） π， ＝２
１ １ １ １ 若ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度后得到的图象关于 ｙ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｂ． （ ）
６ ４ ３ ２ ３
解析 设曲线Ｃ对应的函数为ｙ ｇ（ｘ）， 轴对称 则ω
＝ ， ｍｉｎ＝１
[ ( ) ] ( ω ) 若ｆ ｘ 在 上恰有 个极值点 则 ω 的取值范围
则ｇ（ｘ） ω ｘ π π ωｘ π π ， Ｃ． （ ） ［０，２π） ４ ，
＝ｓｉｎ ＋ ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ＋ ( ]
２ ３ ２ ３ 为 ５ １３
（图象的左、右平移只针对“ｘ”而言） ，
３ ６
曲线Ｃ关于ｙ轴对称， [ ]
∵ 存在ω 使得ｆ ｘ 在 π π 上单调递减
ω Ｄ． ， （ ） － ，
π π π ｋ （ｋ Ｚ）， ω ｋ １ （ｋ Ｚ）． ６ ４
∴ ＋ ＝ ＋ π ∈ ∴ ＝２ ＋ ∈ ωｘ ( )
２ ３ ２ ３ 解析 ｆ（ｘ） ３ ωｘ １＋ｃｏｓ １ ωｘ π ．
＝ ｓｉｎ ＋ － ＝ｓｉｎ ＋
又ω ， ω １ ．故选 ． ２ ２ ２ ６
＞０ ∴ ｍｉｎ＝ Ｃ
３ 对于 ，由２π ，ω ，得ω ，故 正确；
解题关键 Ａ ω ＝π ＞０ ＝２ Ａ
｜ ｜
解本题的关键是得出平移后函数的解析式及由曲线Ｃ关于ｙ 对于 ，将 ｆ（ｘ）的图象向左平移 π 个单位长度后得到 ｙ
Ｂ ＝
轴对称得出曲线Ｃ对应的函数为偶函数． ３
[ ( ) ] ( ω )
ω ｘ π π ωｘ π π 的图象，
类型二：三角函数的零点或极值点个数与ω的取值范围 ｓｉｎ ＋ ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ＋
３ ６ ３ ６
首先根据 ｘ 的取值范围求出 ωｘ φ 的范围 然后根据三 ω
“ ” “ ＋ ” ， 若所得图象关于ｙ轴对称（说明函数是偶函数），则 π π π
＋ ＝
角函数零点或极值点的个数和三角函数的图象 列出关于ω的 ３ ６ ２
，
ｋ ，ｋ Ｚ，得ω ｋ，ｋ Ｚ，
不等式 组 最后解不等式 组 求ω的取值范围． ＋ π ∈ ＝１＋３ ∈
（ ）， （ ）
( ) 又ω ，所以ω ，故 正确；
例2 （ 全国甲理， ， 分）设函数ｆ ｘ ωｘ π 在区
＞０ ｍｉｎ＝１ Ｂ
[ )
２０２２ １１ ５ （ ）＝ｓｉｎ ＋
３ 对于 ，由ｘ ［ ， ），ω ，得ωｘ π π， ω π ，
Ｃ ∈ ０ ２π ＞０ ＋ ∈ ２π ＋
间 恰有三个极值点 两个零点 则ω的取值范围是 Ｃ ６ ６ ６
（０，π） 、 ， （ ）
[ ) [ ) 若ｆ（ｘ）在［ ， ）上恰有 个极值点，
０ ２π ４
５ １３ ５ １９ ( ]
Ａ． ， Ｂ． ，
３ ６ ３ ６ 则７π ω π ９π，解得ω ５ ，１３ ，故 正确；
( ] ( ] ＜２π ＋ ≤ ∈ Ｃ
２ ６ ２ ３ ６
１３ ８ １３ １９ [ ]
Ｃ． ， Ｄ． ，
６ ３ ６ ６ 对 于 ， 由 ｘ π，π ， ω ， 得 ωｘ π
Ｄ ∈ － ＞ ０ ＋
解析 当ω 时，不能满足在区间（ ， ）上极值点比零点 ６ ４ ６
＜０ ０ π [ ω ω ]
多，所以ω ． π π，π π ，
＞０ ∈ － ＋ ＋
( ) ６ ６ ４ ６
因为ｘ （ ， ），所以ωｘ π π，ω π ， [ ] [ ]
∈ ０ π ＋ ∈ π＋ 因为π ，π ，所以ｆ（ｘ）在 π，π 上不可能单调递减，
３ ３ ３ ∈ ０ －
( ) ６ ２ ６ ４
又ｙ ｘ，ｘ π， 的图象如图所示， 故 错误．故选
＝ｓｉｎ ∈ ３π Ｄ ＡＢＣ．
３
类型三：三角函数的单调性与ω的取值范围
根据 ｘ 的取值范围求出 ωｘ φ 的范围 把 ωｘ φ 看成
“ ” “ ＋ ” ， “ ＋ ”
一个整体 利用单调性确定 ωｘ φ 所在的区间 根据若三角函
， “ ＋ ” ，
数在区间 ａ ｂ 上单调递增 则区间 ａ ｂ 是该函数单调递增区
［ ， ］ ， ［ ， ］
间的子集 利用集合间的包含关系建立关于ω的不等式组 求
， ，
要使函数ｆ（ｘ）在区间（ ， ）恰有三个极值点、两个零点，（注意 得ω．
０ π
极值点与零点的区别） 例4 （多选）（ 安徽蚌埠第三次教学质量检查， ）已知函
２０２４ ９
( ] ( ) ( )
需满足５π ω π ，解得１３ ω ８ ，即 ω １３，８ ．故 数ｆ ｘ ωｘ π ω 在区间 π π 上单调递增 则ω
＜ π＋ ≤３π ＜ ≤ ∈ （ ）＝ｓｉｎ － （ ＞０） ， ，
２ ３ ６ ３ ６ ３ ６ ６ ２
选 ． 的值可以是 ＡＢＣ
Ｃ （ ）
专题四 三角函数与解三角形 ９ ７
{ω ｋ ，ｋ Ｚ，
２ ４ ３ ≥１２ －２ ∈
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
３ ３ ２ ∴ ω ｋ ４ ，ｋ Ｚ，
( ) (ω ω ) ≤４ ＋ ∈
解析 ｘ π，π ，ω ， ωｘ π π π， π π ． ３
∵ ∈ ＞０ ∴ － ∈ － －
６ ２ ６ ６ ６ ２ ６ 令ｋ ，则 ω ４ ，
( ) ( ) ＝０ －２≤ ≤
ｆ（ｘ） ωｘ π 在 π，π 上单调递增， ３
∵ ＝ｓｉｎ －
６ ６ ２ 又ω ， ω ４ ．（注意：ω 则ｋ只能为
ìω ＞０ ∴０＜ ≤ ＞０， ０）
ï π π ｋ π，ｋ Ｚ， ３
ï － ≥２ π－ ∈
í ６ ６ ２ ω的值可以为 ２ ， ，４ ．
∴ ïω ∴ １
ï π π ｋ π，ｋ Ｚ， ３ ３
î － ≤２ π＋ ∈
２ ６ ２
学生用书P57
１．（ 广西部分市第二次联考， ） 已知函数 ｆ ｘ ６．（多选） （ 江苏、浙江大联考， ） 设函数 ｆ ｘ
２０２４ ６ （ ） ＝ ２０２４ １０ （ ） ＝
( )
ωｘ π ω 在区间 上恰有两个零点 则实 ωｘ ωｘ １ ωｘ ω 则下列结论正确的是
２ｓｉｎ ＋ ＋１（ ＞０） （０，π） ， ３ｓｉｎ ｃｏｓ － ｃｏｓ２ ， ＞０，
６ ２
数ω的取值范围是 Ｄ ＡＣＤ
（ ） （ ）
( ) [ ] [ ) ( ] [ ]
４ １０ ５ ４ １０ ５ ω ｆ ｘ 在 π π 上单调递增
Ａ． ， Ｂ． ，３ Ｃ． ， Ｄ． ，３ Ａ．∀ ∈（０，１）， （ ） － ，
３ ３ ３ ３ ３ ３ ６ ４
２．（ 江苏南通二模， ）已知函数ｙ ωｘ ωｘ ω 若ω 且 ｆ ｘ ｆ ｘ 则 ｘ ｘ
２０２４ ５ ＝ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （ ＞０） Ｂ． ＝１ ｜ （ １）－（ ２）｜＝２， ｜ １－ ２｜ｍｉｎ＝π
[ ] 若 ｆ ｘ 在 上有且仅有 个不同的解 则ω的取
在区间 π ２π 上单调递增 则ω的最大值为 Ｂ Ｃ． ｜ （ ）｜＝１ ［０，π］ ２ ，
－ ， ， （ ） [ )
４ ３ 值范围为 ５ ４
，
１ １ １２ ８ ６ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ２ １１ ３ 存在ω 使得ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度
３．（
２０２４
安徽安庆二模，
７
）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ ２ｃｏｓ
２ωｘ
＋ｓｉｎ ２
ωｘ
－１
Ｄ． ∈（０，１）， （ ）
６
( ) ( ) 后得到的函数为奇函数
ω 的图象关于点 π 对称 且ｆ ｘ 在 π 上没有
（ ＞０） ，０ ， （ ） ０， ７．（ 广东一模， ）已知函数ｆ ｘ ωｘ φ ω 在区
４ ３ ２０２４ １３ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０）
最小值 则ω的值为 Ｂ ( ) ( ) ( )
， （ ） 间 π ７π 上单调 且满足ｆ π ｆ ３π 则 ω
， ， ＝－１， ＝０， ＝
１ ３ ５ ７ ６ １２ ６ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ２ ２ ２ ６ ．
４．（ 福建九地市质量检测， ）已知函数 ｆ ｘ ωｘ
２０２４ ８ （ ）＝ ２ｓｉｎ · ７
( ) ８．（ 山东烟台、德州诊断， ）若函数 ｆ ｘ ωｘ
ωｘ ωｘ ω 在 π 上单调递增 且对任意的 ２０２４ １４ （ ）＝ ｓｉｎ ＋
（ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）（ ＞０） ０， ， [ ]
３ ωｘ 在 上恰有 个零点 且在 π π 上单
实数ａ ｆ ｘ 在 ａ ａ 上不单调 则ω的取值范围为 ３ｃｏｓ －１ ［０，２π］ ５ ， － ，
， （ ） （ ， ＋π） ， ４ １５
[ ]
Ｄ
（ ） 调递增 则正实数ω的取值范围为 ９ ，５ ．
( ] ( ] ( ] ( ] ，
４ ２
Ａ． １， ５ Ｂ． １， ５ Ｃ． １ ， ５ Ｄ． １ ， ５ ９．（ 福建厦门二模， ）已知函数ｆ ｘ ωｘ φ ω
２ ４ ２ ２ ２ ４ ２０２４ １３ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０）
[ ] ( ) ( ) ( )
５．（多选）（ 辽宁名校联盟模拟一， ）已知函数 ｆ ｘ
２０２４ １０ （ ）＝ 在 π π 上单调 ｆ π ｆ ４π ｆ π 则ω的可
( ) [ ] － ， ， ＝ ＝－ － ，
３ ６ ６ ３ ３
ωｘ π ω 在区间 π π 上单调递减 且在
２ｃｏｓ ＋ ＋２（ ＞０） － ， ，
６ ６ ３ 能取值为 １２，３ ，９ ．
区间 上有且仅有一个零点 则ω的值可以为 ＢＣ ７ ５ ５
［０，π］ ， （ ）
２ ５ １１ １３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ６ １２ １２
