北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
微专题一 概率与函数综合问题
1.(2024湖南邵阳第二次联考,16)为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学学
科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有4万名学生参加初试.组织者随机
抽取了200名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,
σ=10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试中答
1
对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为 ,答对两
8
道题的概率为P,求概率P的最小值.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954
5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析 (1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,
∴a=0.02.
样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.
(2)∵μ=69,σ=10.5,
1−0.9545
∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈ =0.022 75.
2
∴能参加复试的人数约为40 000×0.022 75=910.
1
(3)由题意有x2y= .
8
1 3
答对两道题的概率P=x2(1-y)+C1x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+ - .
2 4x 8
1 3 1 8x3−1
令f(x)=x2+ - (0<x≤1),则f '(x)=2x- = ,
4x 8 4x2 4x2
( 1) ( 1)
∴当x∈ 0, 时, f '(x)<0, f(x)在 0, 内单调递减;
2 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
(1 ) (1 )
当x∈ ,1 时, f '(x)>0, f(x)在 ,1 内单调递增.
2 2
1 3 3
∴当x= 时, f(x) = .故概率P的最小值为 .
2 min 8 8
2.(2024湖北武汉汉阳部分学校一模,17)某校为了丰富课余活动,同时训练学生的逻辑思
维能力,在高中三个年级举办中国象棋比赛,经过各年级初赛,高一、高二、高三分别有3
人,4人,5人进入决赛,决赛采取单循环方式,即每名队员与其他队员都要进行1场比赛(每
场比赛都采取5局3胜制,初赛、决赛的赛制相同,记分方式相同),最后根据积分选出冠军,
积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分,失败的队员积0分;而在比赛中以
3∶2取胜的队员积2分,失败的队员积1分.
(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛,这2人恰好来自不同年级的概率是多
少?
(2)初赛时,高三甲、乙两同学对局,设每局比赛甲取胜的概率均为p(0<p<1),记甲以3∶1取
胜的概率为f(p),当f(p)最大时,甲处于最佳竞技状态.在决赛阶段甲、乙对局,而且甲的竞
技状态最佳,求甲所得积分X的分布列及期望.
C1C1+C1C1+C1C1
47
解析 (1)由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是P= 3 4 3 5 4 5 = .
C2 66
12
(2)由题意可知f(p)=C2p2(1-p)p=3p3-3p4,(提示:以3∶1取胜需满足前3局胜2局,第4局必胜)
3
所以f '(p)=3p2(3-4p),
3
显然 <p<1时, f '(p)<0,即f(p)单调递减;
4
3
0<p< 时, f '(p)>0,即f(p)单调递增,
4
3
则p= 时, f(p)取得最大值.
4
由题意可知X的可能取值为3,2,1,0,
则P(X=3)=
(3) 3 +C2(3) 2
×
(
1−
3)
×
3
=
189
,
4 3 4 4 4 256
P(X=2)=C2× (3) 2 × ( 1− 3) 2 × 3 = 81 ,
4 4 4 4 512
P(X=1)=C2× (3) 2 × ( 1− 3) 2 × ( 1− 3) = 27 ,
4 4 4 4 512
P(X=0)= ( 1− 3) 3 +C1× 3 × ( 1− 3) 2 × ( 1− 3) = 13 ,
4 3 4 4 4 256
则X的分布列为北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
X 0 1 2 3
13 27 81 189
P
256 512 512 256
13 27 81 189 1323
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
256 512 512 256 512
3.(2024浙江杭州二模,19)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和
白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率估计
^ m
概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为
p
= .
n
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3
个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).
(注:P (Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率)
p
(i)完成下表:
k 0 1 2 3
P 27 1
1(Y=k)
4 64 64
P 9 27
3(Y=k)
4 64 64
^ ^
(ii)在统计理论中,把使得P
p
(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为 p,请写出
p
的值.
^
(2)把(1)中“使得P
p
(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值
p
”的思想称为最大似
然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程
n
l'(θ)=0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)=∑❑
i=1
n n {0,第i次摸出白球,
Xln ∑❑p ∑❑+(1-X)ln(1-p),其中X= 求参数p的估计值,并且说明
i i i 1,第i次摸出红球.
i=1 i=1
频率估计概率的合理性.
1 3
解析 (1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,且Y~B(3,p),所以p的值为 或 .
4 4
1 P 27 P 9
(i)当p= 时, 1(Y=1)=C1p1(1-p)2= , 1(Y=2)=C2p2(1-p)= ,
4 4 3 64 4 3 64北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
3 P 1 P 27
当p= 时, 3(Y=0)=C0 p0(1-p)3= , 3(Y=2)=C2 p2·(1-p)= ,
4 4 3 64 4 3 64
表格为
k 0 1 2 3
P 27 27 9 1
1(Y=k)
4 64 64 64 64
P 1 9 27 27
3(Y=k)
4 64 64 64 64
(ii)由(i)中表可知P (Y=k)=Ckpk(1-p)3-k.
p 3
1 3
当Y=0或1时,参数p= 的概率最大;当Y=2或3时,参数p= 的概率最大.
4 4
1
{ ,Y =0,1,
^ 4
所以 p=
3
,Y =2,3.
4
n n 1 n 1 n
(2)对l(p)=∑❑Xln p+∑❑(1-X)ln(1-p)求导得l'(p)= ∑❑X- ∑❑(1-X),
i i p i 1−p i
i=1 i=1 i=1 i=1
1 n 1 n
令
∑❑X- ∑❑(1-X)=0,
p i 1−p i
i=1 i=1
n n
∑❑(1−X ) n−∑❑X n
i i
1−p
即 = i=1 = i=1 = n -1,
p n n ∑❑X
∑❑X ∑❑X i
i i i=1
i=1 i=1
1 n ( 1 n )
故p= ∑❑X,即当p∈ 0, ∑❑X 时,l'(p)>0,
n i n i
i=1 i=1
(1 n )
当p∈ ∑❑X ,1 时,l'(p)<0,
n i
i=1
( 1 n ) (1 n ) 1 n
故l(p)在 0, ∑❑X 上单调递增,在 ∑❑X ,1 上单调递减,即当p= ∑❑X时,
n i n i n i
i=1 i=1 i=1
1 n
l(p)取最大值,故
p
^ =
n
∑❑X
i
.
i=1
^ ^
因此,用最大似然估计的参数
p
与频率估计概率的
p
是一致的,故用频率估计概率是合理
的.
4.(2024广东广州一模,19)某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团
队由n(n≥3,n∈N*)位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若某成员北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯
第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由
下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队
3 1
接力闯关活动结束.已知某团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 和 ,且每
4 2
位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.
(1)若n=3,用X表示该团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求X的均值;
(2)记该团队第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为p,集合 k∈N* p<
k k
3
128
中元素的最小值为k
0
,规定团队人数n=k
0
+1,求n.
解析 (1)依题意,知X的所有可能取值为1,2,3,
3 1 3 1 3 3 1 1 9 3 9 11
P(X=1)= × = ,P(X=2)= × + × × = ,P(X=3)=1- - = ,
4 2 8 4 8 4 2 2 32 8 32 32
所以X的分布列为
X 1 2 3
3 9 11
P
8 32 32
3 9 11 63
数学期望E(X)=1× +2× +3× = .
8 32 32 32
(2)由题意第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为p.
k
依据“哪位成员成功闯过第一关”对所求事件A:“团队第k位成员上场闯过第二关”进
行分类,记“第i(1≤i≤k)位成员成功闯过第一关且第k位成员闯过第二关”为事件A,则
i
A=A+A +…+A ,A 表示第1位成员成功闯过第一关,且第1~(k-1)位成员均没有闯过第二
k k-1 1 1
关,最后由第k位成员闯过第二关,
3 ( 1) k−1 1 3 (1) k
则P(A )= · 1− · = · ,
1 4 2 2 4 2
( 3) 3 ( 1) k−2 1 3 1(1) k−1
同理,P(A )= 1− · · 1− · = · ,
2 4 4 2 2 4 4 2
( 3) 2 3 ( 1) k−3 1 3 (1) 2 (1) k−2
P(A )= 1− · · 1− · = · ,
3 4 4 2 2 4 4 2
……北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
A表示第1~(i-1)位成员没有闯过第一关,由第i位成员闯过第一关,然后第i~(k-1)位成员
i
( 3) i−1 3 ( 1) k−1−(i−1)
均没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(A)= 1− · · 1− ·
i 4 4 2
1 3 (1) i−1 (1) k−i+1
= · ,
2 4 4 2
……
A 表示第1~(k-2)位成员没有闯过第一关,然后第(k-1)位成员闯过第一关,没有闯过第二
k-1
( 3) k−2 3 ( 1) 1 1 3 (1) k−2 (1) 2
关,最后第k位成员闯过第二关,则P(A )= 1− · · 1− · = · ,
k-1 4 4 2 2 4 4 2
A 表示第1~(k-1)位成员没有闯过第一关,然后第k位成员接连闯过第一关和第二关,则
k
( 3) k−1 3 1 3 (1) k−1 (1) 1
P(A)= 1− · · = · .
k 4 4 2 4 4 2
k
因为A ,A ,…,A ,A 两两互斥,所以p=P(A)=∑❑P(A)
1 2 k-1 k k i
i=1
3 (1) k 3 1(1) k−1 3 (1) 2 (1) k−2 3 (1) i−1 (1) k−i+1 3 (1) k−1 (1) 1
= · + · + · +…+ · +…+ ·
4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2
3[ (1) k (1) k+1 (1) k+2 (1) k+i−1 (1) 2k−1]
= + + +…+ +…+
4 2 2 2 2 2
(1) k[ (1) k]
1−
3 2 2
= · ,
4
1
1−
2
3[ (1) k (1) 2k] 3 (1) k 1 4−√15 (1) k
由 − < ,令m= ,m∈(0,1),即m2-m+ >0,解得m< ,即 <
2 2 2 128 2 64 8 2
4−√15
,解得k≥6,
8
所以k =6,n=7.
0
