北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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微专题一 圆锥曲线中的定点与定值问题
1.(2024山东聊城一模,15)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在原点,且经过点P(2,2),动直
线l:y=kx+b不经过点P,与C相交于A、B两点,且直线PA和PB的斜率之积等于3.
(1)求C的标准方程;
(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.
解析 (1)由抛物线C关于y轴对称,可设C:x2=2py,
由P(2,2)在抛物线C上,得4=2p×2,解得p=1,
故C:x2=2y.
x2
y −2 1−2 (x −2)(x +2) x +2
(2)证明:设A(x ,y )、B(x ,y ),则k = 1 = 2 = 1 1 = 1 ,同理可得k =
1 1 2 2 PA x −2 2(x −2) 2 PB
1 x −2 1
1
x +2
2 ,
2
x +2 x +2
由k ·k =3,得 1 · 2 =3,得x x +2(x +x )=8,
PA PB 1 2 1 2
2 2
{ x2=2y,
联立 消去y得x2-2kx-2b=0,
y=kx+b,
Δ=4k2+8b>0,x +x =2k,x x =-2b,
1 2 1 2
即有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4,
此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,
则l:y=k(x+2)-4,即直线l过定点(-2,-4).
x2 y2
2.(2024江西质量检测,17)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,右顶点
a2 b2 1 2
1
为A,且|AF |+|AF |=4,离心率为 .
1 2 2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知M,N是C上两点(点M,N不同于点A),直线AM,AN分别交直线x=-1于P,Q两点,若
9
⃗F P·⃗F Q=- ,证明:直线MN过定点.
1 1 4
解析 (1)不妨设椭圆C的半焦距为c,
1
因为|AF |+|AF |=4,离心率为 ,
1 2 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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2a=4,
{
{a=2,
c 1 x2 y2
所以 = , 解得 b=√3,则C的方程为 + =1.
a 2 4 3
c=1,
a2=b2+c2,
(2)证明:由(1)知F (-1,0),A(2,0),易知直线MN的斜率存在且不为0,
1
不妨设MN的方程为x=sy+t(t≠2),M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{
x=sy+t,
联立 x2 y2 消去x并整理得(3s2+4)y2+6sty+3t2-12=0,由Δ=36s2t2-4(3s2+4)(3t2-12)>0,
+ =1,
4 3
得3s2+4-t2>0,
6st 3t2−12
由根与系数的关系得y +y =- ,y y = ,
1 2 3s2+4 1 2 3s2+4
8t
所以x +x =s(y +y )+2t= ,
1 2 1 2 3s2+4
4t2−12s2
x x =(sy +t)(sy +t)=s2y y +st(y +y )+t2= ,
1 2 1 2 1 2 1 2 3s2+4
y
易知直线AM的方程为y= 1 (x-2),令x=-1,
x −2
1
3 y 3 y 3 y
( ) ( )
解得y=- 1 ,即P −1,− 1 ,同理得Q −1,− 2 ,
x −2 x −2 x −2
1 1 2
3 y 3 y
( ) ( )
所以⃗F P= 0,− 1 , ⃗F Q= 0,− 2 ,
1 x −2 1 x −2
1 2
9 3 y ( 3 y ) 9
因为⃗F P·⃗F Q=- ,所以- 1 − 2 =- ,
1 1 4 x −2 x −2 4
1 2
3t2−12
y y 1 3s2+4 1
1 2
即 =- ,可得 =- ,
x x −2(x +x )+4 4 4t2−12s2 8t 4
1 2 1 2 −2× +4
3s2+4 3s2+4
3(t2−4)
整理得 =-1,解得t=-1或t=2(舍去),
(t−2) 2
则直线MN的方程为x=sy-1.
故直线MN过定点(-1,0).
x2 y2
3.(2024广西南宁二模,18)双曲线C: - =1(a>0,b>0)上一点D(6,√3)到左、右焦点的距
a2 b2
离之差为6.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(1)求C的方程;
(2)已知A(-3,0),B(3,0),过点(5,0)且与x轴不重合的直线l与C交于M,N两点,直线MA与
NB交于点P,试问点P到直线x=-2的距离是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明
理由.
2a=6,
{
解析 (1)依题意可得 62 (√3) 2 解得
{a=3,
− =1, b=1,
a2 b2
x2
故C的方程为 -y2=1.
9
(2)设l的方程为x=my+5,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{x=my+5,
联立 x2 消去x得(m2-9)y2+10my+16=0,
−y2=1,
9
−10m 16
则y +y = ,y y = .
1 2 m2−9 1 2 m2−9
y y
直线AM:y= 1 (x+3),直线BN:y= 2 (x-3).
x +3 x −3
1 2
y
{ y= 1 (x+3),
x +3
1
联立
y
y= 2 (x−3),
x −3
2
x+3 y (x +3) y (m y +8)
消去y得 = 2 1 = 2 1 .
x−3 y (x −3) y (m y +2)
1 2 1 2
m y y +8 y m y y +8(y + y )−8 y
1 2 2 1 2 1 2 1
= = .
m y y +2y m y y +2y
1 2 1 1 2 1
16m −80m −64m
+ −8 y −8 y
m2−9 m2−9 1 m2−9 1
= = =-4,
16m 16m
+2y +2y
m2−9 1 m2−9 1
9 9
解得x= ,所以点P在定直线x= 上.
5 5
9 19
因为直线x= 与直线x=-2之间的距离为 ,
5 5
19
所以点P到直线x=-2的距离为定值,且定值为 .
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x2 y2
4.(2024云南昆明一中,宁夏银川一中联考(一),18)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的短轴长
a2 b2
1
等于2√3,离心率e= .
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,证
|PF|
明: 为定值.
|AB|
{2b=2√3,
c 1
解析 (1)由题意可得 = ,
a 2
b2=a2−c2,
x2 y2
解得a=2,b=√3,c=1,所以椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)由(1)得F(1,0),
当直线l的斜率不存在时,线段AB被x轴垂直平分,不符合题意;
|PF| |OF| 1
当直线l的斜率为0时, = = ;
|AB| 2a 4
当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x ,y ),B(x ,y ),AB中点为
1 1 2 2
Q(x ,y ),
Q Q
{
x2 y2
+ =1,
联立 4 3 消去y,整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
y=k(x−1),
8k2 4k2−12 x +x
可得Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0,x +x = ,x x = ,所以x = 1 2=
1 2 4k2+3 1 2 4k2+3 Q 2
4k2
,
4k2+3
( 4k2 ) −3k ( 4k2 −3k )
则y =k(x -1)=k −1 = ,即Q , ,
Q Q 4k2+3 4k2+3 4k2+3 4k2+3
−3k 1( 4k2 )
则线段AB的中垂线的方程为y- =- x− ,
4k2+3 k 4k2+3
k2
令y=0,可得x= ,
4k2+3
| k2 | 3(k2+1)
所以|PF|=|x -1|= −1 = ,
P 4k2+3 4k2+3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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又|AB|=√1+k2|x -x |=√1+k2·√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2
√
(
8k2
)
2 4k2−12 12(k2+1)
=√1+k2· −4· = ,
4k2+3 4k2+3 4k2+3
3(k2+1)
|PF| 4k2+3 1
所以 = = (定值).
|AB| 12(k2+1) 4
4k2+3
|PF| 1
综上所述, 为定值 .
|AB| 4
