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考点 23 圆锥曲线综合应用（核心考点讲与练）
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助
于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特
别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的
最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.
5.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
|AB|＝|x －x|
1 2
＝·
＝·|y －y|＝·.
1 2
1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
（1）求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.
（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变
形求得.（3）求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
2.圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点.
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
3.圆锥曲线中常见的最值问题及其解法
（1）两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元
素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.
（2）两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质
来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个
函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
4.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
解决存在性问题应注意以下几点：
（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.
5.解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；
（2）强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、
斜率、三角形的面积等问题．
6.解答圆锥曲线问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中
核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系，得到关于 与
的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
7..圆锥曲线中的证明问题常见的有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但
有时也会用反证法证明.
8.有关弦的三个问题
(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系
往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆
锥曲线的定义求解.
9.求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系
数的关系，建立等式关系或不等式关系.
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，
设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，
然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)
弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是
否为正数.定值问题
1.（2022·河南·二模（文））已知点 ，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且 是P到l的距
离的 .
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为 的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：
为定值.
2.（2021广东省深圳市第七高级中学高三第二次月考）抛物线 ： 的焦点为F，过点F
的直线与抛物线交于M，N两点，弦 的最小值为2.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线 上的任意一点，过点 的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直
线AQ，BQ，PQ的斜率分别为 ， ， ，证明： 为定值.3.（2021四川省双流中学高三上学期10月月考）已知 ， 分别是椭图 ： 的
左，右焦点， 的顶点都在椭圆 上，且边 ， 分别经过点 ， .当点 在 轴上时，
为直角三角形且面积为 .
（1）求 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证： 为定值.
定点问题
1.（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）已知椭圆 的方程为： （ ），离心
率为 ，椭圆上的动点 到右焦点 距离的最大值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过右焦点 作不平行于 轴的直线 交椭圆于 、 两点，点 关于 轴对称点为 ，求证：直线
过定点.2.（2021四川省成都市石室中学高三上学期期中）设抛物线 的焦点为 ，过焦点 作直线
交抛物线 于 ， 两点．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）设 为抛物线 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 分别与抛物线 的准线相交于
， 两点，求证：以线段 为直径的圆经过 轴上的定点．
最值与范围问题
1.（2021四川省攀枝花市高三第一次统考）已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，动点
满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）若轨迹 上存在两点 ， 满足 （ ， 分别为直线 ， 的斜率），求直
线 的斜率的取值范围.
2.（2021浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中）设点 ， 分别是椭圆 的左､右
焦点， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，作 ， 分别交直线 于
， 两点，求四边形 面积 的最大值.
圆锥曲线弦长
1．（多选）（2022·广东潮州·二模）已如斜率为k的直线l经过抛物线 的焦点且与此抛物线交于， 两点， ，直线l与抛物线 交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两
侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（ ）．
A． 为定值 B． 为定值
C．k的取值范围为 D．存在实数k使得
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆T： 的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点
F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若 ，则椭圆T的方程为______．
探究性问题
1.（安徽省合肥市肥东县第二中学2020-2021学年高三上学期12月第四次检测）已知中心在原点，焦点在
x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点 ；过点 的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，满足 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.2.（2021湖南长沙一中、广东深圳实验高三期中联考）设双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、
右焦点分别是F，F，渐近线分别为l，l，过F 作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF 的面积为 ．
1 2 1 2 2 1
（1）求双曲线C的离心率；
（2）动直线l分别交直线l，l 于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是
1 2
否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．
1.（2019年全国统一高考（新课标Ⅱ））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，
则p=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 82.（2019年全国统一高考（新课标Ⅲ））已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两
条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅱ））已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点
1 2
重合，C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|
1 2 1 2
= |AB|.
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 24.（2019年全国统一高考（新课标Ⅱ））已知 是椭圆 的两个焦点，P为C
上一点，O为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
5.（2019年全国统一高考（新课标Ⅱ））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率
之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C
于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.一、单选题
1．（2022·辽宁丹东·一模）直线 过抛物线 的焦点，且与 交于 两点，若使
的直线 有且仅有1条，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知 ，曲线 ： ，抛物线 ：
，抛物线 ： ，且 ， ， 有且仅有一个公共点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
3．（2022·全国·三模（理））已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线
段AB的中点为 ，则点F到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·模拟预测）已知F是抛物线C： 的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐
标原点，若 ， ，垂足为M，则 面积的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
5．（2022·河南·模拟预测（理））已知椭圆C： 的上、下顶点分别为A，B，点
在椭圆C上，若点 满足 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，
为 的中点，若 是直线 上的点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的短轴长为
C． D． 到 的两焦点距离之差的最大值为
7．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线
的离心率为 ，且双曲线 的左焦点在直线 上， 、 分别是双曲线 的左、右顶点，点
是双曲线 的右支上位于第一象限的动点，记 、 的斜率分别为 、 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为 B．双曲线 的方程为
C． 为定值 D．存在点 ，使得
8．（2022·湖南永州·三模）已知抛物线 : 与圆 : ，点 在抛物线 上，点 在圆
上，点 ，则（ ）
A． 的最小值为
B． 最大值为C．当 最大时，四边形 的面积为
D．若 的中点也在圆 上，则点 的纵坐标的取值范围为
9．（2022·山东枣庄·一模）已知椭圆 ： ，过椭圆 的左焦点 的直线 交 于A，B两点
（点 在 轴的上方），过椭圆 的右焦点 的直线 交 于C，D两点，则（ ）
A．若 ，则 的斜率
B． 的最小值为
C．以 为直径的圆与圆 相切
D．若 ，则四边形 面积的最小值为
10．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）双曲线 的虚轴长为2， 为其左右焦点，
是双曲线上的三点，过 作 的切线交其渐近线于 两点.已知 的内心 到 轴的距离为
1.下列说法正确的是（ ）
A． 外心 的轨迹是一条直线
B．当 变化时， 外心的轨迹方程为C．当 变化时，存在 使得 的垂心在 的渐近线上
D．若 分别是 中点，则 的外接圆过定点
三、填空题
11．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知椭圆 的离心率为 ,直线 与椭圆交于 , 两
点,当 的中点为 时,直线 的方程为___________.
12．（2022·河南许昌·三模（文））已知双曲线 的焦距为 ，直线
在第一象限交双曲线C的右支于点A，且 ，则实数k的取值范围是_______
13．（2022·山东济宁·二模）已知直线 过定点A，直线 过定点B， 与
的交点为C，则 的最大值为___________.
14．（2021·全国·模拟预测（理））已知 ， ， 是抛物线 上三个不同的点，且抛物线
的焦点 是 的重心，若直线 ， ， 的斜率存在且分别为 ， ， ，则
______．
15．（2022·重庆·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，分别过 ，
作斜率为2的直线交C在x轴上半平面部分于P，Q两点．记 面积分别为 ，若 ，
则双曲线C的离心率为_____________．四、解答题
16．（2022·河南河南·三模（理））已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，
离心率为 ，长轴长为4．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 的过定点 ，若椭圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，求直线 斜率 的取值范围．
17．（2022·江西萍乡·二模（理））若 四点恰有三点在椭圆
上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)动直线 与椭圆交于 两点， 中点为 ，连 （其中 为坐标原点）交椭圆于
两点，证明： ．
18．（2022·湖南·长郡中学一模）已知抛物线 ： （ ）和圆C： ，点 是上的动点，当直线 的斜率为 时， 的面积为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 、 是 轴上的动点，且圆 是 的内切圆，求 面积的最小值．
19．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线 ，直线l经过点 ，并与抛物线交于A，B两
点， ．
(1)证明： ；
(2)若直线AN，BN分别交y轴于P，Q两点，设△OPA的面积为 ，△OQB的面积为 ，求 的最小
值．
20．（2022·重庆·二模）已知椭圆 的左焦点为 ，不过坐标原点O且不平行
于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段 的中点为Q，直线 的斜率与直线l的斜率的乘积
为定值 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F的直线m交椭圆C于点M，N，且满足 ，求直线m的方程.21．（2022·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，
过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线
OA，OB，l于点P，Q，N.
(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范
围.22．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知平面上一动点P到定点 的距离与它到定直线
的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)已知点 ，过点B引圆 的两条切线BP；BQ，切线BP、BQ与曲
线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点N的纵坐标记为 ，求 的取值范围．
23．（2022·福建宁德·模拟预测）已知抛物线C： 上的一点M（ ，4）到C的焦点F的距
离为5.
(1)求p的值；
(2)若 ，点A，B在抛物线C上，且 ，N为垂足，当|MN|最大时，求直线AB的方
程.
24．（2022·福建三明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为原点， ，过直线l： 左侧且
不在x轴上的动点P，作 于点H， 的角平分线交x轴于点M，且 ，记动点P的
轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点 ，过点 的直线 交C于A，B两点， ，点T满足
，其中 ，证明： .
