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重难点突破16 圆锥曲线中的定点、定值问题
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1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，
具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一个参数 ，
即可带用其他式子，消去参数 ．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程： ，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到 和 的关系： ，等式带入消参，消掉 ．
③参数无关找定点：找到和 没有关系的点．
题型一：面积定值
例1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆 过点 两点，椭圆的离心率为 ， 为坐标原点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设P为椭圆 上第一象限内任意一点，直线 与y轴交于点M，直线 与x轴交于点N，求证：四边
形 的面积为定值.
【解析】（1）根据题意可知 ，
又 ，即可得 ，结合 ，
解得 ；
即椭圆 的方程为 .
（2）证明：由（1）可知 ，如下图所示：
设 ，且 ；
易知直线 的斜率 ，所以 的直线方程为 ；
同理直线 的斜率 ，所以 的直线方程为 ；
由题意解得 ；
所以可得 ，
四边形 的面积
又 ，可得 ，
故 ，即四边形 的面积为定值.
例2．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线 ： 的焦距为 ，且焦点
到近线的距离为1.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点， 为坐标原点，
证明： 的面积为定值.
【解析】（1）依题意得 ， ，一条渐近线为 ，即 ，右焦点为 ，
所以 ，即 ， ，所以 ，
所以 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，则直线 经过双曲线的顶点，不妨
设 ，又渐近线方程为 ，
将 代入 ，得 ，将 代入 ，得 ，
则 ， .
当直线 的斜率存在，设直线 ，且 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为动直线 与双曲线 恰有1个公共点，
所以 ，得 ，
设动直线 与 的交点为 ，与 的交点为 ，
联立 ，得 ，同理得 ，则
因为原点 到直线 的距离 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
故 的面积为定值，且定值为 .
例3．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线 ，渐近线方
程为 ，点 在 上；
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 交于 ， 两点（不与 点重合），且两条直线的斜率 ，
满足 ，直线 与直线 ， 轴分别交于 ， 两点，求证： 的面积为定值.
【解析】（1） ， ，依题意， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意可知 斜率存在，设方程为 ， ， ，，
， ①，
，
整理得 .
1） ， ，过 舍去，
2） ， ，过点 ，
此时，将 代入①得 ，
与 交于点 ，故 （定值）
变式1．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过点
，且左焦点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满足
，证明： 面积为定值，并求出该定值．
【解析】（1）由题意得 ，
解得 ，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）设点 的坐标分别为 ， ， ．
由题设知 ， ， ， 均不为零，记 ，则 且
又 四点共线，从而 ，
于是 ， ， ，
从而 ①， ②，
又点 在椭圆 上，即 ③， ④，
①＋②×2并结合③、④得 ，
即点 总在定直线 上．
∴ 所在直线为 上．
由 消去y得 ， ，
设 ，则 ，
于是 ，
又 到 的距离 ，
∴
∴ 面积定值为 ．
变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， 既是双曲线 ： 的两条渐近线，也是双曲线 ：
的渐近线，且双曲线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍.(1)任作一条平行于 的直线 依次与直线 以及双曲线 ， 交于点 ， ， ，求 的值；
(2)如图， 为双曲线 上任意一点，过点 分别作 ， 的平行线交 于 ， 两点，证明： 的面
积为定值，并求出该定值.
【解析】（1）依题意 ，根据双曲线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍，可得 ，
即 ，故双曲线 ： ，
不妨设 ： ，则设 ： ，
联立 ，可得 ，联立 可得 ，
联立 可得 ，
从而 ,所以
（2）如图，延长 ， 分别交渐近线于 ， 两点，
由（1）可知 ，则 ，设 ，则 ： ，联立 ，
解得 ，
而 ： ，联立 ，解得 ，
从而 ，
设 的倾斜角为 ，则 ，而 ，故 ，
则 ，因此 .
变式3．（2023·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆 ， 是椭圆上的两个不同
的点， 为坐标原点， 三点不共线，记 的面积为 .
(1)若 ，求证： ；
(2)记直线 的斜率为 ，当 时，试探究 是否为定值并说明理由.
【解析】（1）设 的夹角为 ，
则 ，所以 ，
则
；（2）由 可知， ，所以 ，
设直线 的方程分别为： ，
设 .
则 ，
所以
.
题型二：向量数量积定值
例4．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆 ， ， 是C的左、右焦点，过
的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且 的周长为 ，椭圆 的其中一个焦点在抛物线
准线上，
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 ，证明: 为定值.
【解析】（1）由 可得准线为 ，所以椭圆 的左焦点 ，所以椭圆 的半焦距 ，
因为 的周长为 ，
所以 ，故 .
所以 ，
所求椭圆的方程为 .
（2）如图所示：
①当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，
将 代入 可得 ，
所以 ， ，此时 ， ，
则 ，
②当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，
由 ，得 ，
则 ， ， ， ，
所以 ，
，
，，
综上所述， 为定值，且定值为 .
例5．（2023·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知 是抛物线 上一点，
且M到C的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点 的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设 ， ，求
证： 是定值.
【解析】（1）由抛物线的定义，得 ，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为 ，M的坐标为 或 .
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则 .将x＝ty＋1代入
得 .设 ， ，则 ， .
由 ，得 ；由 ，得 .
所以 ，故 是定值1.
例6．（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点 到 的距离是点 到
的距离的2倍.
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若点 与点 关于点 对称，过 的直线与点 的轨迹 交于 ， 两点，探索 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设点 ，由题意可得 ，即 ，化简可得 .
（2）设点 ，由（1） 点满足方程: ， ，
代入上式消去可得 ，即 的轨迹方程为 ，
当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，显然 ，
设 ， 则 ， ，
又 ， ，
则
.
当直线 的斜率不存在时， ， ， .
故 是定值，即 .
变式4．（2023·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆 的右焦点为 ，点
在E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交 于M，N
两点，O为坐标原点，求证： 为定值．【解析】（1）由题意得 ，又点 在椭圆上，
则 ，解得 ，
故所求椭圆E的标准方程为 .
（2）由题意知直线 的斜率不为 ，可设 方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
设
由韦达定理得， ，
则 ，
且
，
又 则直线 的方程为： ，
令 得， ，
同理可得， ，
故 ，
由 ，
则 ，
则 .
即 为定值.变式5．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆 的离心率为 ，
椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线 与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若 ，求k的值；②若点Q的坐标为 ，求证： 为定值.
【解析】（1） ， ，代入 得 .
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即 ，即 ，
以上各式联立解得 ，则椭圆方程为 .
（2）①直线 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，
联立 消去 得: ，
设 ，则
解得: .由 得 ;
②证明：由①知
，为定值.
题型三：斜率和定值
例7．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，
．
(1)证明： 总与 和 相切；
(2)在（1）的条件下，若 与 在y轴右侧相切于A点，与 在y轴右侧相切于B点．直线 与
和 分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线 使得对任意题干所给a，b，总有 为
定值？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）下面证明椭圆 在 处的切线方程为 ，理由如下：
当 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，
由 ，化简得：
，
所以 ，
把 代入 ，得： ，
于是 ，
则椭圆的切线斜率为 ，切线方程为 ，
整理得到 ，其中 ，故 ，即 ，
当 时，此时 或 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
所以椭圆 在 处的切线方程为 ；
上一点 的切线方程为 ，理由如下：
设过点 的切线方程为 ，与 联立得，
，
由 ，
化简得 ，
因为 ，代入上式得 ，
整理得 ，
同除以 得， ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ，
联立 ，两式相乘得， ，
从而 ，
故 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以 上一点 的切线方程为 ，
综上： 在点 的切线方程为 .
故曲线 且 在点 的切线方程为 ．
当 时， ，联立 得， ，
解得 ，则 ，
当 时， ， ，满足 ，
当 时， ， ，满足 ，
即曲线C与 相切，
而此时 且 ．故 总与 和 相切．
（2）设直线 ．
设 与 交于 和 ，
联立得 ，
由韦达定理得 ， ，由题意， ，
代入整理得 ，
因为 为定值对任意a，b均成立，故 为定值与a无关， 为定值与b无关．
当 时，必有 ，
此时 ．
故有 ，
代入解得 ，矛盾．
当 时， 且 时成立．
此时直线 ，由（1）知与曲线仅有1个交点，矛盾．
故不存在 ，使 为定值对任意a，b均成立．
例8．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线 与抛物线
在第一象限交于点 .
(1)已知 为抛物线 的焦点，若 的中点坐标为 ，求 ；
(2)设 为坐标原点，直线 的斜率为 .若斜率为 的直线 与抛物线 和 均相切，证明 为定值，
并求出该定值.
【解析】（1）由 得 ，设 ，
因为 的中点坐标为 ，所以 ，
解得 .
（2）联立 ，解得 或 ，
所以 ，
所以直线 的斜率 .
设直线 的方程为 .
联立 ，消去 得 ，
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，不符合题意，
所以 ，即 ，①
联立 ，消去 得 ，
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，即 ，②
由①②可得 ，所以 ，
故 为定值，该定值为0.
例9．（2023·河南许昌·高二统考期末）已知 的两个顶点A，B的坐标分别是 且直线PA，
PB的斜率之积是 ，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点 且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的
斜率之和为定值.
【解析】（1）设 ，则由直线PA，PB的斜率之积是 可得 ，化简可得
（2）设直线方程为： ，
则与椭圆方程联立可得： ，
则 ，故 或 ，
设 ，则 ， .
故
.
变式6．（2023·河南商丘·高二校考阶段练习）已知 是椭圆 的顶点（如图），
直线l与椭圆交于异于顶点的 两点，且 ，若椭圆的离心率是 ，且 ，
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线 和直线 的斜率分别为 ，证明 为定值.
【解析】（1）由已知可得椭圆的离心率 ，
，
∴ ，∴椭圆方程为 ；
（2）如图，
由（1）可知： ， ， ，且 ，所以直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，设 ，
联立 得： ，
，∴ ，
则 ，
又 ， ， ， ，
∴ ，
，为定值.
变式7．（2023·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点 的直线为 为圆
与 轴正半轴的交点.
(1)若直线 与圆 相切，求直线 的方程：
(2)证明：若直线 与圆 交于 两点，直线 的斜率之和为定值.
【解析】（1）由已知可得，圆心 ，半径 .
当直线 斜率不存在时， 方程为 ，此时直线与圆不相切；当直线 斜率存在时，设直线 斜率为 ，则 方程为 ，即 .
由直线 与圆 相切，可知圆心到直线的距离 ，
整理可得， ，
解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
（2）由题设得到点 ，
当直线 斜率不存在时， 方程为 ，
此时直线与圆的交点为 ， ，
则 ；
当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，
代入圆的方程可得 .
设点 ，
则 .
所以 ，
，
则
.
综上所述， 与 的斜率之和为定值 .
故 与 的斜率之和为定值.
题型四：斜率积定值例10．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆 的离心率为
，以C的短轴为直径的圆与直线 相切．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且
平分 ，设直线 的斜率为 （O为坐标原点），判断 是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由椭圆的离心率为 ，得 ，即有 ，
由以C的短轴为直径的圆方程为 ，
由 与直线 相切得： ，
联立解得 ，
∴C的方程为 ；
（2） 为定值，且 ，理由如下：
由题意，直线AP，BP的斜率互为相反数，即 ，
设 ，
由 ，消去y得： ，
∴ ，
而 ，∴ ，
即
，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，
又∵ 在椭圆上，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 不在直线 ，
则有 ，即 ，
∴ 为定值，且 .
例11．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点 ，动点 满足直线PM与PN
的斜率之积为 ，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲
线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
【解析】（1）由题设得 ，化解得 ，
所以 为中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）
设直线 的斜率为 ，则其方程为 ．由 得 ，
记 ，则 ， ， ．
于是直线 的斜率为 ，方程为 ．
由 得 ．①
设 ，则 和 是方程①的解，则 ，
故 ，由此得 ．
从而直线 的斜率 ，所以 ．
所以直线 与 的斜率之积为定值 ．
例12．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 ：
的距离之比为 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过 上两点 ， 作斜率均为 的两条直线，与 的另两个交点分别为 ， .若直线 ， 的斜
率分别为 ， ，证明： 为定值.
【解析】（1）设 ，由题意可知，
所以 的方程为 ；
（2）设 ， ，
∴ 方程： 代入椭圆方程，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴
同理设 ， ，∴ ，
∴ 为定值.
变式8．（2023·全国·高二随堂练习）已知椭圆 的离心率为 ，点 在C上，
直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜
率与直线l的斜率的乘积为定值.
【解析】证明：由题意可得 ，解得 ，
故椭圆方程为 ，
由题意可设直线l的方程为 ，
设 ，则 ，
则 ，
两式相减得 ，即 ，即 ，又M为线段AB的中点，即有 ,
即 ，
即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
题型五：斜率比定值
例13．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的左
侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从下列的结论中选
择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；
② 为定值；
③ 为定值
【解析】（1）设 是 上的一点， 与 是 的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积 ，
依题意， ，故 ，双曲线 的标准方程为 ；
（2）正确结论：③ 为定值.
证明如下：由（1）知 ， ，设 ， ，
因为 ， 不与 ， 重合，所以可设直线 ： ，
与 联立： ，消去 整理可得：
故 ， ， ，
所以 ，
， ，① ，
，不是定值，
② ，
，不是定值，
③ ，
所以 是定值.
例14．（2023·四川成都·高二校考期中）已知椭C： ， 为其左右焦点，离心率为
，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P ，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为 ， ， 的斜率分别
为 ， ，则 是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由已知条件可得， ，解得 ，
椭圆 ；
（2） 是定值 ，
证明：因为点 ， ，过点 作椭圆 的切线 ，斜率为 ，且 ，
与 联立消 得 ，
由题设得 ，
即 ，
因为点 在椭圆 上，
，代入上式得 ，
而 ，
定值），
是定值 ；
例15．（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线 的实轴长为 ，
左右两个顶点分别为 ，经过点 的直线 交双曲线的右支于 两点，且 在 轴上方，当
轴时， .
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线 的斜率之比为定值.
【解析】（1）由题意可得 ，
当 轴时，直线 ，
则 ，
又 ，所以 ；
（2）由题意可知 ，
不妨设 ： , ，易知 ，
联立双曲线方程得 ，
则 ，且 ，不难发现
由斜率公式可知 ，
则 ，
故 是定值.
题型六：线段定值
例16．（2023·浙江·高二校联考期中）已知圆 ： 与圆 ： .
(1)若圆 与圆 内切，求实数 的值；
(2)设 ，在 轴正半轴上是否存在异于A的点 ，使得对于圆 上任意一点 ， 为定值？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为 ： ，即 ，
故圆 的圆心坐标为 ，半径长 ，
且圆 ： ，故圆 的圆心坐标为 ，半径长 ，
若圆 与圆 内切，则 ，
即 ，且 ，所以 .（2）设点 ，则 ，
于是 ，即 ，
同理 ，可得 ，
要使 为定值，则 ，解得 或 （舍去），
故存在点 使得 为定值，此时 .
例17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点 ，且内切于
圆 ；②已知点 ，直线 ，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为
；③设E是圆 上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G，且 .
(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点 的直线m的斜率存在且不为
0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点 且与x轴垂直，直线AM交直线n于点P，直线BN
交直线n于点Q，则线段的比值 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）选①，则由 得 ，
由椭圆的定义得长轴为4，焦距为2，所求轨迹Γ的方程为 .
选②，设 ，由 ，
化简得 即所求轨迹Γ的方程为 .
选③，设 ，由 ，得 ，
代入圆O的方程 ，得 ，即所求轨迹Γ的方程为
（2）已知直线m的斜率存在且不为0，设过点K的直线m的方程为 ，设 ，
与方程 联立得： ，∴ .
且
直线AM的方程为 ，∴ .同理， ，
∴
其中， ，
将 代入可得，
，
∴ .
例18．（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， ，
点 为 上的一个动点(非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的
最大值为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于
两点，证明： 为定值．【解析】（1） 的周长为 ，由椭圆的定义得 ，即 ，
又 面积的最大值为2， ，即 ，
， ， ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）可知 ， ，椭圆 的离心率 ，
设椭圆 的方程为 ，则有 ， ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ，
设 ， ， ， 点 在曲线 上， ，
依题意，可设直线 ， 的斜率分别为 ，
则 的方程分别为 ， ，
于是 ，
联立方程组 ，消去 整理，得 ，
， ，
，
同理可得： ，
， ，
为定值.变式9．（2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，抛
物线 的焦点为 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若直线l与 交于M，N两点，与 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且
，证明： 为定值．
【解析】（1）由题意知 ， ，
所以 ，
解得 ．
（2）由（1）知 ， ．
设直线 ， ， ， ， ，
根据题意结合图形可知 ，且 ．
联立 ，得 ，
则 ，
同理联立 ，得 ，
则 ．
由 可得， ，
又 ， ，
所以 ，
即 ，化简得 ，即 ，
又因为 ， ，所以 ，
再由 ，得 ．
联立 ，解得 ，
所以 ， ， ．故 ，
所以 为定值.
变式10．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线 （ 为常数， ）.
点 是抛物线 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线 与 只有一个公共点，求 ；
(2)设 为 的准线上一点，过 作 的两条切线，切点为 ，且直线 ， 与 轴分别交于 ， 两
点.
①证明：
②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）将直线 与抛物线 联立，
消去 可得 ，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以 ，又点 在抛物线上，即 ；
可得 ，解得
（2）①易知抛物线 的准线方程为 ；
不妨设 ，切点 ，如下图所示：将 求导可得 ，
则切线 的斜率 ，切线 的方程为 ，
又 ， 的方程可化为 ；
同理可得 的方程可化为 ；
又两切线交于点 ，所以 ，
因此可得 是方程 的两根，因此 ；
所以 ；
因此
②设直线 和 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
所以 ；
又 ； ；
；
所以
，将 代入可得
，
则可得 ，即 ；
又 ，所以 ，
可得 ，则 为定值.
变式11．（2023·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆 ： 与直线 相切.
(1)若直线 与圆 交于 ， 两点，求 ；
(2)已知 ， ，设 为圆 上任意一点，证明： 为定值.
【解析】（1）由题意，
圆心 到直线 的距离： ，
圆 与直线相切，
∴ ，圆 方程为: ，
∵圆心 到直线 的距离: ，
∴ .
（2）由题意及（1）证明如下
设 , 则 ，
∴ ，
即 为定值 .
变式12．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右
顶点和上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；（ⅱ）证明： 为定值.
【解析】（1）∵ 、 是椭圆 ，的两个顶点，且 ，
直线 的斜率为 ，由 ， ，得 ，
又 ，
解得 ， ，
∴椭圆的方程为 ；
（2）
设直线 的方程为 ，则 ， ，
联立方程 消去 ，
整理得 ， ，得
设 ， ，∴ ， .
（i） ， ，
∴ ，
∴ 的面积与 的面积之比为1；
（ii）证明：综上， .
变式13．（2023·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆 过点 ， ，且圆心 在直
线 上. 是圆 外的点，过点 的直线 交圆 于 ， 两点.
(1)求圆 的方程；
(2)若点 的坐标为 ，求证：无论 的位置如何变化 恒为定值；
(3)对于（2）中的定值，使 恒为该定值的点 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出
满足条件的点 的集合.
【解析】（1）显然 ， 两点的中点为 ，直线 斜率为 ，
线段 的垂直平分线的方程为： ，由 ，解得 ， ，
因此圆心 ，半径 ，所以圆 的方程为： .
（2）如图，若 斜率不存在，则 ， ， ；
若 斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去 整理得 ，设 ， ，
则 ， ， ，同理 ，
，
所以不论 的斜率是否存在 ， 恒为定值.
（3）设 ，当过 的直线斜率存在时，设其方程为 ，
由 消去y得 ，
设 ， ，则 ， ，则 ，同理 ，
于是
，
当过 的直线斜率不存在时，其方程为 ，由 ，解得 ，
于是 ，即 ，
因此 ，而点 在圆 外，即有 ，则 ，
所以满足条件的点 不唯一，点 的集合 .
变式14．（2023·云南·校联考模拟预测）已知点 到定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比
是常数 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若直线 ： 与圆 相切，切点 在第四象限，直线 与曲线 交于 ， 两点，求证：
的周长为定值．
【解析】（1）
设 ，由条件可知： ，等号的两边平方，整理后得： ；
（2）由（1）的结论知：曲线C是方程为 的椭圆，设 ，依题意有：
，
则 ，所以直线l的方程为： ，
联立方程： ，得： ，
设 ，则 ，
，
，
由条件可知： ， ，
的周长 ，即定值为10；
综上，曲线C的方向为 ， 的周长 .
题型七：直线过定点
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，过点
且与 轴不重合的直线与椭圆 交于 两点， 的周长为8.
(1)若 的面积为 ，求直线 的方程；
(2)过 两点分别作直线 的垂线，垂足分别是 ，证明：直线 与 交于定点.
【解析】（1）因 的周长为8，由椭圆定义得 ，即 ，而半焦距 ，又 ，则
，椭圆 的方程为 ，依题意，设直线 的方程为 ，由 消去x并整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
因此 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
（2）由（1）知 ， ，则 ， ，设直线 与 交点为 ，
则 ， ，
而 ， ，则 ， ，
两式相加得： ，而 ，
则 ，因此 ，两式相减得：
，而 ，则 ，即
，
所以直线 与 交于定点 .
例20．（2023·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，左、右
焦点分别为 ， ，点 为椭圆 上任意一点， 面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 轴上一点 的直线与椭圆交于 两点，过 分别作直线 的垂线，垂足为 ， 两
点，证明：直线 ， 交于一定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）设椭圆 半焦距为 ，∵离心率为 ，∴ .
由椭圆性质可知，当 为短轴端点时， 面积最大.
∴ ，∴ .
又 ，解得 ， ， .∴椭圆 的方程为： ；
（2）设 与 轴交于点 ，则 ，
当 的斜率为0时，显然不适合题意；
当 的斜率不存在时，直线 为 ，
∵四边形 为矩形，∴ ， 交于线段 的中点 .
当直线 的斜率存在且不为0时，设 ， ，
直线 为： ，联立 ，
得 ，
，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
联立 ， 得 ，
将 ， 代入整理得 .
将 代入 ，得
.综上，直线 、 交于定点 .
例21．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C：
(a>b>0)过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝ 的垂线，其
中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A ，B ，试问直线AB 与A B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐
1 1 1 1
标；若不是，请说明理由.
【解析】(1)由题意得 ⇒
所以椭圆C的标准方程为 .
(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝ ，
AB 与A B的交点是 .
1 1
②当直线AB的斜率存在时，设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
直线AB为y＝k(x－2)，
由 ⇒(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
所以x ＋x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
A ，B ，
1 1所以lAB ： ， lA B：y＝ ，
1 1
联立解得x＝ ，
代入上式可得
＝ ＝0.
综上，直线AB 与A B过定点 ．
1 1
变式15．（2023·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
离心率 ，点 在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点 作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，
CD的中点，证明：直线MN过定点．
【解析】（1）因为该椭圆的离心率 ，
所以有 ，又 ，所以有 ，
因为点 在E上，所以 ，
联立 ，解得 ，
所以E的方程为 ；
（2）由（1）知 ，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，
设直线AB方程为： ，与E的方程联立 ，消去x并整理，得
，
且 ，设 ，则 ，所以 ，
所以点M的坐标为 ，
因为 ，则直线CD的方程为 ，
同理得 ，
当 ，即 时，直线MN的斜率 ，
所以直线MN的方程为 ，
所以 ，
因为 ，
所以直线MN的方程即为 ，显然直线MN过定点 ；
当 ，即 时，则 或 ，
此时直线MN的方程为 ，也过点 .
综上所述，直线MN过定点 .
变式16．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系 中， 椭圆 ：
的左，右顶点分别为 、 ，点 是椭圆的右焦点， ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)不过点 的直线 交椭圆 于 、 两点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 .若
，证明直线 过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知， ， ， ，
∵ ， ，∴ ，解得 ，从而 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ．
直线 不过点 ，因此 ．
由 ，得 ，
时， ， ，
∴
，
由 ，可得 ，即 ，
故 的方程为 ，恒过定点 ．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知A､B分别为椭圆E∶ 的右顶点和上顶点､椭圆
的离心率为 ，F 1､F
2
为椭圆的左､右焦点，点P是线段AB上任意一点，且 的最小值为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点 处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切
线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定
点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】解∶（1）由. 知， ，则椭圆方程为 ，
设 ，线段AB的方程为
则 ，又因为 ，所以 的最小值为 ，解得a2=9，所以 ，
故椭圆E的方程为 .
（2）由题意可知，直线l的方程为 ，即 ，
设G(x，y)，H(x，y)，M(x，y)，由题知，设直线MG的方程为 ， ，
1 1 2 2 3 3
.
，化简得
所以 ，因为方程只有一解，
所以 ，故直线MG的方程为 ，化简得 ，
同理可得直线MH的方程为 ，
又因为两切线都经过点M(x，y)，所以
3 3
所以直线GH的方程为 ，
又因为 ，所以直线GH的方程为 ，.
令 ，得 所以直线GH恒过定点 .
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的右顶点是M（2，0），离心率
为 ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否
过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率 ，所以 ，
所以 ，所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）设 ， ，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为 ，联立方程组
消去y得 ，由 ，得 ，
所以 ， ．
因为点 ，所以直线AD的方程为 ．
又 ，
所以直线AD的方程可化为 ，
即 ，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设 ， ，直线l的方程为 ，
联立方程组 消去x得 ，
由 ，得 或 ，所以 ， ．
因为点 ，则直线AD的方程为 ．
又 ，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD恒过点（1，0）．
题型八：动点在定直线上
例22．（2023·江苏南通·高二校考阶段练习）已知 为 的两个顶点， 为 的重心，
边 上的两条中线长度之和为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与 交于点 ，
试问：当点 变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为 为 的重心，且边 上的两条中线长度之和为6，
所以 ，
故由椭圆的定义可知 的轨迹 是以 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且 ，所以 ，
所以 的轨迹 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为： ， ， ，
联立方程 得： ，
则 ， ，
所以 ，
又直线 的方程为： ，
又直线 的方程为： ，
联立方程 ，解得 ，
把 代入上式得： ，
所以当点 运动时，点 恒在定直线 上例23．（2023·上海·高二专题练习）已知双曲线 的两焦点为 ， 为动点，若 .
（1）求动点 的轨迹 方程；
（2）若 ，设直线 过点 ，且与轨迹 交于 两点，直线 与 交于 点.
试问：当直线 在变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；
若不是，请说明理由.
【解析】（1）双曲线 的两焦点为 ，
设动点 ，
因为 ，且 ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点的椭圆.
因为 ，
所以的轨迹 方程； .
（2）由题意设直线的方程为 ，
取 ，得 ，
直线 的方程是 ，
直线 的方程是 ，
交点为 .
若 ，由对称性可知：交点为 .
若点 在同一条直线上，则该直线只能为 .
以下证明 对任意的 ，直线 与 交点 均在直线 上.
由 得 ，
设 ，
由韦达定理得：设直线 与 交点为 ，
由 ，
得 .
设直线 与 交点为 ，
由 ，
得 ，
因为 ，
.
所以 与 重合.
所以当直线 在变化时，点 恒在直线 上.
例24．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的离心率 ，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试问：当 变化时，点 是否恒
在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设椭圆 的标准方程为 ，
根据题意，可得 且 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）根据题意，可设直线 的方程为 ，
取 ，可得 ，可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组，可得交点为 ；
若 ，由对称性可知交点 ，
若点 在同一直线上，则直线只能为 ；
以下证明：对任意的 ，直线 与直线 的交点 均在直线 上，
由 ，整理得 ，
设 ，则 ，
设 与 交于点 ，由 ，可得 ，
设 与 交于点 ，由 ，可得 ，
因为
，
因为 ，即 与 重合，
所以当 变化时，点 均在直线 上，.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 ，直线 与曲线 交于 轴右侧不
同的两点 ．
(1)求 的取值范围；
(2)已知点 的坐标为 ，试问： 的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不
是，请说明理由．
【解析】（1）设 ，
联立方程 ，消去y得： ，由题意可得 ，解得 ，
故 的取值范围为 .
（2）内心恒在一条定直线上，该直线为 ，
∵ ，即点 在椭圆上，
若直线 过点 ，则 ，解得 ，
即直线 不过点 ，故直线 的斜率存在，
由（1）可得： ，
设直线 的斜率分别为 ，则 ，
∵
，
即 ，则 的角平分线为 ，
故 的内心恒在直线 上.
变式20．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l： 与圆C： 交于A､B两点.
(1)若 时，求弦AB的长度；
(2)设圆C在点A处的切线为 ，在点B处的切线为 ， 与 的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否
恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【解析】（1） ，圆心 ，半径 ，
点C到直线的距离 ，
∴ ；（2）设点 ，由题意得：Q､A､B､C四点共圆，
且圆的方程为： ，
即 ，
与圆C的方程C： 联立，
消去二次项得： ，
即为直线l的方程，因为直线l： 过定点 ，
所以 ，解得： ，
所以当m变化时，点Q恒在直线 上.
变式21．（2023·全国·高二专题练习）已知直线 ，圆 .
(1)证明：直线 与圆 相交；
(2)设直线 与 的两个交点分别为 、 ，弦 的中点为 ，求点 的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆 在点 处的切线为 ，在点 处的切线为 ， 与 的交点为 .证明：Q，A，
B，C四点共圆，并探究当 变化时，点 是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，
说明理由.
【解析】（1）证明：如图所示，
圆 ，化成标准方程为 ，圆心 ，半径为2，
直线 过定点 ，定点到圆心距离为1，即 在圆内，故直线l与圆C相交；
（2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，
设点 ，由垂径定理得 ，即 ，整理得 ，
直线l不过圆心C，则 ，
所以点M的轨迹方程为 ；
（3）依题意有 ， ，
四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径，设 ，则圆心坐标为 ， 半径为 ，
则圆的标准方程为 ，
整理得 ，与圆C的方程 联立，
消去二次项得∶ ，即为直线l的方程，
因为直线 过定点 ，所以 ，解得： ，
所以当m变化时，点Q恒在直线 上．
变式22．（2023·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、
，短轴长为 ，点 上的点 满足直线 、 的斜率之积为 ．
(1)求 的方程；
(2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 、 两点，记直线 、 交于点 ．探究：点 是
否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设 ，则 ，且 ，所以， ，
则 ，
故 ①，又 ②，
联立①②，解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
（2）结论：点 在定直线上 ．
由（1）得， 、 ，设 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得 ，
，
，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以， ，
可得
，解得 ，
因此，点 在直线 上.
变式23．（2023·高二课时练习）已知椭圆 ： （ ）过点 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)记椭圆 的上下顶点分别为 ，过点 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，证明：直线
与 的交点 在定直线上，并求出该定直线的方程．
【解析】（1）由椭圆过点 ，且离心率为 ，所以 ，解得
故所求的椭圆方程为 ．
（2）由题意得 ， ，
直线 的方程 ，设 ，
联立 ，整理得 ，
∴ ， ．
由求根公式可知，不妨设 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立 ，得
代入 ，得 ，
解得 ，即直线 与 的交点 在定直线 上．
题型九：圆过定点
例25．（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆 的离心率 ，
左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M： 的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于 两点，求证：以 为
直径的圆是否经过坐标原点.
【解析】（1）由题意可知，离心率 ，
抛物线 的焦点为 ，即该椭圆的一个顶点为 ，故 ，
故 ，所以椭圆C的方程为 ；
（2）直线l的斜率存在且不为零，故设直线为 ，
依题意，圆M： ，圆心为 ，半径 ，
由直线l与圆M： 相切，得圆心到直线l的距离 ，
化简得 ，即 .
设 ，
联立方程 ，得 ，
则 ， ，故 ，
则 ，
故 ，即 ，
故以 为直径的圆经过坐标原点.
例26．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分
别为 、 ，抛物线 的焦点 恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知圆 的切线 （直线 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于 、 两点，那么以
为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆 的离心率 ,所以 ,即 .
因为抛物线 的焦点 恰好是该椭圆的一个顶点,
所以 ,所以 .所以椭圆 的方程为 .
（2）因为直线 的斜率存在且不为零.故设直线 的方程为 .
由 消去 ,得 ,
所以设 ,则 .
所以 .
所以 .①
因为直线 和圆 相切,所以圆心到直线 的距离 ,
整理,得 ,②
将②代入①,得 ,显然以 为直径的圆经过定点
综上可知,以 为直径的圆过定点 .例27．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l: 过椭圆C: 的左焦点，且与
1
抛物线M: 相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l 过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于
2
M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，
请说明理由.
【解析】（1）由 ，得 ，
因为直线 与抛物线 只有1个公共点，
所以 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 .
由直线 过椭圆C的左焦点得得
所以， ， 3，
所以椭圆C的方程为 .
（2）如图1，
设 ， ，
当直线l 斜率存在时，可设直线方程：
2
由 得 ，
所以 ，
， .
所以 ，
，
直线 的方程为 ，同理可得，直线 的方程为 ，
令 得， ， ，
假设椭圆C上存在点 ，恒有 .则
即 ，
即 ，
即 ，
令 ，可得 或 .
由于点 不在椭圆C上，点 在椭圆 上，
所以椭圆C上存在点 ，使 恒成立
如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，
则直线方程为 ，与抛物线交于 ， ，
则直线OA方程为： ，直线OB方程为： ，
椭圆的过右顶点的切线方程为 ，切线方程 与直线OA交于 ，与直线OB交于 ，由
上面斜率存在可知恒过 ，经验证满足 ，
所以当斜率不存在时候也满足以MN为直径的圆恒过定点 .
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，动点M到直线 的距离等于点M到点
的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为 的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点 ，设直线 的斜率
分别为 ，求 的值；
(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以 为直径的圆恰过Q点，试判断
直线 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【解析】（1）不妨设点 的坐标为 ，
由题意可知， ，
化简可得， ，
故曲线C的方程为 .
（2）不妨设直线 的方程： ， ， ，
因为直线l不过点 ，易知 ，
由 可得， ，
由 且 可得， 或 ，
由韦达定理可知， ， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
将 ， 代入上式得， ，
故 的值为0.
（3）由椭圆方程 可知， 点坐标为 ，
因为以 为直径的圆恰过Q点，所以 ，
结合椭圆特征可知，直线 的斜率存在，
不妨设直线 方程： ，且 ， ， ，
由 可得， ，
由 可得， ，
由韦达定理可知， ， ，因为 ， ， ， ，
所以 ，
将 ， 代入上式并化简可得， ，
故直线 方程： ，
易知直线 必过定点 ，
从而直线 经过定点，定点坐标为 .
变式25．（2023·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系 中，动点M到定点 的距离
比到y轴的距离大1．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当 时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线
分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明
理由．
【解析】（1）动点M到定点 的距离比到y轴的距离大1，
当 时，动点M到定点 的距离等于到 的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为 ， ， ，
当 时， 满足条件.
综上所述：
轨迹方程为： 时， ； 时，
（2）设直线 的方程为 ， ，联立 ，
整理得： ， ， ，
直线 的方程为 ，同理：直线 的方程为 ，
令 得， ，
设 中点 的坐标为 ，则 ， ，
所以 .，
圆的半径为 .
所以 为直径的圆的方程为 .
展开可得 ，令 ，可得 ，解得 或 .
所以以 为直径的圆经过定点 和
变式26．（2023·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线 ： 经过点
A ，且点 到 的渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 与双曲线 交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，F．
试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【解析】（1）由题意得：
因为双曲线C的渐近线方程为 ，所以有：
解得：
因此，双曲线C的方程为：
（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
由 可得：
设 、 ，
则由： ，
由直线AM方程 ，令 ，得点
由直线AN方程 ，令 ，得点
则以EF为直径的圆的方程为：令 ，有：
将 ， 代入上式，得
可得：
解得： ，或
即以EF为直径的圆经过点 和 ；
②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为 、 ，以EF为直径的圆方程为
，该圆经过点 和
综合可得，以EF为直径的圆经过定点 和
题型十：角度定值
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为
4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP
分别与y轴交于点M，N.求证： 为定值.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ， ，
所以圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 ．
（2）
证明：设点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
则 ，即 ，
又由 ，得点M的坐标为 ，
由 ，得点N的坐标为 ，所以， ， ，
所以 ，
所以 ，即
例29．（2023·北京·高三北京八中校考期中）已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距
离之和为 ，以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点，点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点．
（1）求圆 和椭圆 的方程．
（2）已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 位于 轴两侧），且直线 与 轴平行，直线 ，
分别与 轴交于点 ， ．求证： 为定值．
【解析】（1）依题意 ，得 ， ，
∴圆方程 ，椭圆 方程 ．
（2）设 ， ，
∴ ， ， ，
∵ 方程 ，令 时， ，
方程为 ，令 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是椭圆 的左焦点，过 且垂直 轴
的直线 交 于 ， ，且 .
(1)求椭圆 的方程
(2)四边形 (A，D在 轴上方 的四个顶点都在椭圆 上，对角线 ， 恰好交于点 ，若直线
， 分别与直线 交于 ， ，且 为坐标原点，求证： ．【解析】（1）由已知得 ，
解得 ， ，
故椭圆 的方程是 .
（2）由题设直线 的方程为 ， ， ，
把 代入 得 ，
所以 ， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
类似可得 ， ，
因直线 的方程为 ，
所以点 的纵坐标 ，
同理可得点 的纵坐标 ，
要证 ，只需证 ，
即证 ，
即
而 式左边
，故结论成立 .
变式27．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点 ， 分别为椭圆
的左焦点和右顶点，点 为抛物线 的焦点，且 （ 为
坐标原点）.(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，连接 ， 并延长交抛物线的准线于点 ， ，求证：
为定值.
【解析】（1）因为点 为抛物线 的焦点，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）证明：由（1）可知： ， ，
设 ， ， ， ，
显然直线 的斜率不为0，故可设为 .
由 得： ，
，
， .
， ， 三点共线， .
同理： ，
，
，故 ，即： .
变式28．（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知圆 ， 为圆上一动点，
，若线段 的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹方程 ;
(2)如图，点 在曲线 上， 是曲线 上位于直线 两侧的动点，当 运动时，满
足 ，试问直线 的斜率是否为定值，请说明理由.
【解析】（1）
依题意， ，因此 ，
于是点 的轨迹为以 为焦点，长轴长为 8的椭圆，则长半轴长 ，半焦距 ，短半轴长
，
所以曲线 的轨亦方程为 .
（2）直线 的斜率为定值．
设 ，由 ，得直线 的斜率互为相反数，
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
，同理得 ，，依题意， ，
所以直线 的斜率 ，
即直线 的斜率为定值 .
变式29．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）已知 ， 分别是椭圆
长轴的两个端点，C的焦距为2． ， ，P是椭圆C上异于A，B的动点，直线PM与C的另
一交点为D，直线PN与C的另一交点为E．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线DE的倾斜角为定值．
【解析】（1）由题意，a＝2，2c＝2，c＝1，∴ ．
∴椭圆C的方程为 ．
（2）设 ， ， ，则 ．①
当直线PN的斜率存在时，其方程为 ，代入椭圆C的方程，整理得
．
∴ ．
直线PM的方程为 ，代入椭圆C的方程，整理得
．
∴ ．
因此 ，此时DE⊥x轴，即直线DE的倾斜角为 ．
②当直线PN的斜率不存在时，其方程为 ，此时 ．由①知 ，∴ ．
∴ ，此时DE⊥x轴，即直线DE的倾斜角为 ．
综上所述，直线DE的倾斜角为 ．
【反思】如图所示，由条件 ， ， ， ，知 ，故A，B，
M，N为调和点列．因此PA，PB，PM，PN为调和线束，即PA，PB，PD，PE为调和线束．由定理3知直
线DE经过直线AB的极点（为无穷远点），因此直线DE⊥x轴．
变式30．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
， 两点.
(1)求E的方程；
(2)若直线l与圆O： 相切，且直线l交E于M，N两点，试判断 是否为定值？若是，求
出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设E的方程为 ，过 ， ，
所以 ，解得 ， ，所以E的方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时，易得直线l的方程为 或 ．
若直线l的方程为 则 ，
或 ， ，所以 ，所以 ；若直线l的方程为 ，则 ，
或 ， ，所以 ，所以 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，
因为直线l与圆O： 相切，所以 ，即 .
由 得 ，
所以 ， ，
所以
，所以 .
综上， 为定值，该定值为 .
