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专题 18 圆锥曲线高频压轴解答题
目 录
01 轨迹方程..........................................................................................................................................2
02 向量搭桥进行翻译...........................................................................................................................6
03 弦长、面积背景的条件翻译..........................................................................................................10
04 斜率之和差商积问题.....................................................................................................................16
05 弦长、面积范围与最值问题..........................................................................................................20
06 定值问题........................................................................................................................................26
07 定点问题........................................................................................................................................30
08 三点共线问题.................................................................................................................................34
09 中点弦与对称问题.........................................................................................................................38
10 四点共圆问题.................................................................................................................................42
11 切线问题........................................................................................................................................47
12 定比点差法....................................................................................................................................5113 齐次化............................................................................................................................................55
14 极点极线问题.................................................................................................................................57
15 同构问题........................................................................................................................................61
16 蝴蝶问题........................................................................................................................................66
01 轨迹方程
1．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线 的一条浙近线方程为
，且点 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为 ，在直线 上取一点 ，直线 交双曲线右支于点 ，直
线 交双曲线左支于点 ，直线 和直线 的交点为 ，求证：点 在定直线上.
【解析】（1）因为渐近线方程为 ，所以 ，设双曲线为 ，
代入 得 ，双曲线的标准力程为 ；
（2）法一、
设直线 ，联立双曲线 得： ，
，且 ；
设直线 ，联立双曲线 得： ，，且 ；
所以
则
设 ，则 ，两式相除消 得
所以 在直线 上；
法二、
设直线 ，
直线 ，
由于 ，即 ，
由于 ，即 ，
则 .
设 ，则 ，两式相除消 得
所以 在直线 上；2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的2倍，直线
被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设M，N，P，Q为椭圆 上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求
H的轨迹方程．
【解析】（1）由题意可得 ，则椭圆 ： ，
联立 ，解得 或 ，
所以弦长 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，即 ；
（2）因为四边形MNPQ为菱形，所以 垂直且平分，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
即 ，设菱形的中心为 ，
若直线 的斜率都存在，设直线 的斜率分别为 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
同理 ，
所以 ，
由 得 ，所以 ，即菱形的中心为原点，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
所以 ，
同理 ，
因为 ，
所以
，所以点 在圆 上；
若直线 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，
四点分别为椭圆的顶点，不妨设 为右顶点， 为上顶点，
则 ，
同理可得 ，
点 任在圆 上，
综上所述，H的轨迹方程为 .
3．（2024·福建莆田·统考一模）曲线 上任意一点 到点 的距离与它到直线 的距离之比等于
，过点 且与 轴不重合的直线 与 交于不同的两点 ．
（1）求 的方程；
（2）求证： 内切圆的圆心在定直线上．
【解析】（1）设 ，由题意： ，
化简得： ，即C的方程为： .
（2）设直线 ， ，将 代入C得： ，∴
设直线AF与BF的斜率分别为 ，则
.
∴ ，则 ，∴直线 平分 ，而三角形内心在 的角平分线上，∴
内切圆的圆心在定直线 上.
而 ，所以 .
同理，当 时， .
当 与 轴垂直时， 与 重合.符合
综上，线段 的中点的轨迹方程 或 .
02 向量搭桥进行翻译
4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆 的离心率是双曲线 的离心
率的倒数，椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当过点 的动直线 与椭圆 相交于两个不同点 时，设 ，求 的取值范围.
【解析】（1）设点 的坐标分别为 ，
又点 的坐标为 ，且 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，则依据 得 ，
整理得 ，
又 ，故 ，
得 ，
即 ，
当 时，此时 ，即 重合，显然不成立，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，得 ，
又 ，故 ，且 ，
故实数 的取值范围为 .5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，椭圆的左右
焦点分别为 、 ，直角坐标原点记为 ．设点 ，过点 作倾斜角为锐角的直线 与椭圆交于不同
的两点 、 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点 ，求 的取值范围；
(3)设线段 的中点为 ，当 时，判别椭圆上是否存在点 ，使得非零向量 与向量 平行，
请说明理由．
【解析】（1）由题意，得 ， ，所以 ，
则椭圆的标准方程为 ；
（2）设动点 ， ， ，
，
，所以 的取值范围为 ；
（3）显然直线的斜率存在，故可设直线 ， 、 ，
联立 ， 消去 得 ，
，即 ①，
则 ， ，
则 ， ，
则 ，故 ，
若 ，则有 ，
设直线 为 ，
联立 ，消去 有 ，
要使得存在点 ，则 ，
整理得 ，
故 ②，
由①②式得， ，
则 ，解得 ，
所以当 时，不存在点 ，使得 .
6．（2024·云南昆明·高三统考期末）已知动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， ， 均成立；若
存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，
可得 ，化简得 ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，
由 ， 得：
，
，
即 ， ，
消去 得： ，
即 ②由①②得： ，化简得 ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
03 弦长、面积背景的条件翻译
7．（2024·陕西榆林·统考一模）已知椭圆 经过 两点.
(1)求 的方程；
(2)斜率不为0的直线 与椭圆 交于 两点，且点A不在 上， ，过点 作 轴的垂线，交直
线 于点 ，与椭圆 的另一个交点为 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 .
【解析】（1）将 代入椭圆方程中，
，
解得
则椭圆 的方程为 ；
（2）当直线 轴时， 为钝角三角形，且 ，不满足题意.设 ，由 ，可得 ，
所以 ，
所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
因为点A不在 上，所以 ，
由 化简得 ，
.
，
所以
，
则 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，恒过点 .
由题意和对称性可知 ，
设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，8．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆 的左、
右焦点为 ， ，若 上任意一点到两焦点的距离之和为 ，且点 在 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)在（1）的条件下，若点 ， 在 上，且 ( 为坐标原点)，分别延长 ， 交 于 ，
两点，则四边形 的面积是否为定值？若为定值，求四边形 的面积，若不为定值，请说明理
由.
【解析】（1）因为 上任意一点到两焦点的距离之和为 ，
所以 ，即 .
又因为点 在 上，
所以 ，则 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）四边形 的面积为定值，理由如下：
当直线 斜率为0时，因为 ，
不妨设 ，则 ，
则 ， ，
此时四边形 的面积为 为定值；
当直线 斜率不为0时，设 ，且 ， .联立 ，得 .
由 ，得 ，
则 ， ，
则
，
因为 ，
所以 ，即 ，即 ，
则 ，
又原点 到 的距离 ，
所以四边形 的面积
，
综上，所以四边形 的面积为定值 .
9．（2024·上海·高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H： 的左、右焦点为 ， ，左、右顶点为 ， ，椭圆E以 ， 为焦点，以 为长轴．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设椭圆E交y轴于 ， ，过 的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求 面积的最
小值；
(3)设点 满足 ．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与
PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明： 为定值，并求出此定值．
【解析】（1）设椭圆方程 ，焦距为 ，
由题意知椭圆E的顶点、焦点分别为 ，
所以 ，
从而椭圆E的离心率为 .
（2）如图所示：
由题意 ，直线 斜率存在，
所以不妨设直线 的方程为 ， ，
又双曲线 渐近线斜率的绝对值为 ，且过 的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，
所以直线 的斜率满足 ，
将直线 与双曲线方程 联立 ，消去 得 ，
而 ，
所以 ，
从而 的面积为 ，
因为 ，令 ，所以 ，
从而 ，
进一步令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时， .
综上所述： 面积的最小值 .
（3）如图所示：由题意双曲线 的渐近线方程为 即 ，
当 时，由对称性得 关于 轴对称， 关于 轴对称，所以 为 的中点，故 ．
下面证明当 时， 即证 为 的中点.
因为点 满足 ，则 ，
不妨设 ，当 时， ，此时点 在直线 的左上方，同理可证，点
在两渐近线 所夹区域的上方或下方，不妨设点 在上方区域.
由题意 ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 即 ，所以 ，
所以 满足 ，
同理 满足 ，
所以直线 的斜率：
，
设直线 方程为 ,由 得 即 ，
得 的横坐标 ，同理 ，
所以 ，
所以 为 的中点，故 为定值1．
综上： 为定值1．
04 斜率之和差商积问题
10．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点 作x轴垂线，分别与
和 交于P，Q点，且 ， ，若实数 使得 成立（其中O为
坐标原点）．
(1)求M点的轨迹方程，并求出当 为何值时M点的轨迹为椭圆；
(2)当 时，经过点 的直线l与轨迹M交于y轴右侧C，D两点，证明：直线 ， 的斜率
之比为定值．
【解析】（1）由动点 ，可得 ， ， ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，
当 时，方程为 ，其中M点的轨迹为椭圆．（2）证明：当 时，M的方程为 ，可得点 为双曲线，
设CD方程为 ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 且 ， ，
直线 的斜率分别为 ，
又由
所以
所以 为定值．
11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知抛物线 的焦点为F，点 是抛物线C上一
点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，
OB的斜率之差的绝对值为定值．
【解析】（1）根据题意可列
故抛物线C的方程为 .
（2）①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， ，.
②当直线 的斜率存在且不为0时，故设直线 的方程为 ，
圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，故
设
把直线 的方程与抛物线进行联立
.
.
综上所述： 的斜率之差的绝对值为定值为2.
12．（2024·海南海口·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左
顶点为 ，离心率为 ，焦点到渐近线的距离为2.直线 过点 ，且垂直于 轴，过 的直
线 交 的两支于 两点，直线 分别交 于 两点.
(1)求 的方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，若 ，求点 的坐标.
【解析】（1）不妨设双曲线 的焦点坐标为 ，渐近线方程为 .由题意可得：
解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由题意直线 的斜率不为0.
设直线 方程为 ，
由 ，消去 得： ，
由 ，得： .
设 ，则 .
由题意可知 ，则直线 .
令 ，得 ，所以 坐标为 ，
同理， 坐标为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
整理得： .又
，
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以点 的坐标为 .
05 弦长、面积范围与最值问题
13．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，
直线 过点 与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)直线 过点 ，且与 垂直， 交椭圆 于 两点，若 ，求四边形 面积的范围.
【解析】（1）设 ，由椭圆的定义可知 的周长为 ，所以，所以离心率 .
（2）由（1）可知 ，又 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
①当直线 中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形 的面积
.
②当直线 的斜率都存在，且都不为0时，设 的方程为 ，由 ，
可得 ， .所以 .
所以 .
设 的方程为 ，同理可得 .
所以四边形 的面积
，因为 ，当且仅当 时取等号.所以 ，
即此时 .
由①②可知，四边形 面积的范围为 .
14．（2024·河南·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过
与 垂直的直线交 于 两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
(1)证明：直线 过定点；
(2)设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
【解析】（1）由 ，故 ，由直线 与直线 垂直，
故两只直线斜率都存在且不为 ，
设直线 、 分别为 、 ，有 ，
、 、 、 ，
联立 与直线 ，即有 ，
消去 可得 ， ，
故 、 ，
则 ，
故 ， ，
即 ，同理可得 ，当 时，
则 ，
即
，
由 ，即 ，
故 时，有 ，
此时 过定点，且该定点为 ，
当 时，即 时，由 ，即 时，
有 ，亦过定点 ，
故直线 过定点，且该定点为 ；
（2）由 、 、 、 ，则 ，由 、 ，
故 ，
同理可得 ，联立两直线，即 ，
有 ，
即 ，
有 ，由 ，同理 ，
故
，
故 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，则 ，
由 、 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
下证 ：
由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，当 时，有 ，则点 在 轴上方，点 亦在 轴上方，
有 ，由直线 过定点 ，
此时 ，
同理，当 时，有点 在 轴下方，点 亦在 轴下方，
有 ，故此时 ，
当且仅当 时， ，
故 恒成立，且 时，等号成立，
故 ，
15．（2024·上海嘉定·统考一模）抛物线 上有一动点 ．过点P作抛物线的切线l，再过点
P作直线 ，使得 ，直线m和抛物线的另一个交点为Q．
(1)当 时，求切线 的直线方程；
(2)当直线 与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形 的面积（点O是坐标原点）；
(3)求出线段 关于s的表达式，并求 的最小值；【解析】（1）当 时，点 ，又因为点 在抛物线上，
由于点在第一象限，则 ，
求导 ，代入 ，则
所以过点 的切线方程为： ；
（2）当直线 与抛物线准线的交点在x轴上时,
则直线 过点 ，由于（1）的切线方程过点 ，
则此时切线方程为 ，又因为 ，
则 的方程为： .
联立 ，解得 或 .
故点 点 ，
则 ，到直线 的距离为： ，
则面积为 .
（3）由于点 ，
所以点 在第一象限，则 ，
求导 ，代入 ，即 ，
则直线 的方程为： ，
所以直线 的方程为： ，
联立抛物线于直线 得： ，得 ，
令 ，则 ，即 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取最小值，即 .
06 定值问题16．（2024·全国·模拟预测）如图，已知 分别为椭圆C： 的左、右焦点，P为椭
圆C上一点，若 ， .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P坐标为 ，设不过点P的直线 与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为 ，记直线
，PB， 的斜率分别为k， ， ，若 ，求证：直线 的斜率k为定值.
【解析】（1）由 两边平方得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，即 .
由 得 ，即
又 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，代入 得 ，
则 ，
设 ，则 ，于是 . ，
又 ，所以 ，即 ，即 ，
即 ，
所以 ， .
将 代入整理得 ，
即 ，
所以 或
当 ，即 时，直线 的方程为 ，则直线 过点 ，
舍去，
所以 ，即 .
17．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．
若 的离心率 ，且点 在 上．
(1)求 的方程．
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点（不同于双曲线的顶点），问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设双曲线 的半焦距为 ．
由题意可得， 解得 ，
所以 的方程为 ．
（2） 为定值，理由如下：
由（1）知 ，设直线 ，
联立方程得 ，消去 ，整理可得 ，
，
，同理 ．
直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 两点，
两点在 轴同侧， ，此时 ，即 ．，
，为定值．
18．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，已知抛物线 是抛物线与 轴的交点，过
点 作斜率不为零的直线 与抛物线交于 两点，与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求 的取值范围；
(2)问在平面内是否存在一定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，设直线 的方程为 ，点 ，
由 消去y并整理得 ， ，
则 ， ，
，所以 .
（2）由（1）知， ，且 ，设 ，
，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立解得 ，
即点 的坐标为 ，
，
，而 ，
于是 ，当 为定值 ，
所以存在定点 的坐标为 .
07 定点问题
19．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线
交于点 、 .当直线 垂直于 轴时， .(1)求抛物线 的标准方程.
(2)已知点 ，直线 、 分别与抛物线 交于点 、 .求证：直线 过定点.
【解析】（1）由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，所以 ，即 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）证明：若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线 也不与 轴重合，
设 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 得 ， ，
因此 ， .
设直线 的方程为 ，联立 得 ，
则 ，因此 ， ，则 ，同理可得 .所以 .
因此直线 的方程为 ，
由对称性知，定点在 轴上，
令 得，
，
所以，直线 过定点 .
20．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，椭圆
的左，右顶点分别为 、 ，点 是椭圆的右焦点， ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)经过椭圆右焦点 且斜率不为零的动直线 与椭圆交于 、 两点，试问 轴上是否存在异于点 的定
点 ，使 恒成立？若存在，求出 点坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，从而 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）如图，由椭圆右焦点 ，故可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
设 ， ，且 ， ，
设存在点 ，设 点坐标为 ，
由 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ，
则 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
即 ，即 ，
解得 ，符合题意，
即存在点 满足题意.
21．（2024·四川甘孜·统考一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 的准
线 交 轴于点 ，过 的直线 与抛物线 相切于点 ，且交 轴正半轴于点 .已知 上的动点 到点
的距离与到直线 的距离之和的最小值为3.(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 .证
明：直线 过定点.
【解析】（1）设 ，由题意知准线 ，
由抛物线的定义可知点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
所以点 到点 的距离与到直线 的距离之和为 ，
由题意知当 时，距离之和最小，
所以 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ，设 ，
联立方程 ，得 ，
由 得 ，解得 ，又与 轴交于正半轴，所以
由 解得 ，所以点 ，
所以直线 ，
所以直线 ，所以 ，
因为 斜率存在且不为零，所以设 ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ，所以 且 .
，又直线 ，令 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
因为 ，
所以直线 为 ，所以 恒过定点 .
08 三点共线问题
22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）点 是抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点，过
点 作垂直于 轴的直线 ，与抛物线 相交于 ， 两点， ，抛物线 的准线与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于点 ，直线 、 相
交于点 ，证明： 、 、 三点共线．
【解析】（1）抛物线 ： （ ）的焦点坐标为： 过点 作垂因为直于 轴的直线 ，与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
不妨设 ，则 ，
解得 或 （舍去），
所以抛物线 的方程为 ；
（2）如图所示：
由（1）知 ，设 ，
则直线AC的方程为： ，直线BD的方程为：
，
联立得 ，解得 ，则 ，
所以 ，则直线BC的方程为： ，直线AD的方程为：
，
联立得 ，解得 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以E，K，G三点共线.
23．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线
于 两点，当 平行于 轴时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 的中点为 ，证明： 三点共线.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
当 平行于 轴时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
又因为直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ，
故 、 、 三点共线．
24．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A，B为椭圆 的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为 ，且椭圆C过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，BP分别与直线 相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一点Q，证明：A，
N，Q三点共线．
【解析】（1）令 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ， ，
由 在椭圆上，则 ，
联立以上两式，可得 ，故椭圆C的标准方程为 .
（2）由题设，直线 、 斜率存在且不为0， ，
令 ，则 ，故 ， ，
所以 ，联立 ，整理得 ，
显然 ，则 ，则 ，
由 ， ，即 ，
所以A，N，Q三点共线.09 中点弦与对称问题
25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末）已知椭圆 的离心率为 ，
椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得 ，设椭圆右焦点坐标为 ，
设椭圆上一点 ， ，
则 ，故 ，
，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
故椭圆上的点到又焦点的最小距离是 ，所以 ，
联立 与 ，解得 ，故 ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）假设存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
设 ， ，则 ，两式相减得 ，
得 ，即 ，
直线 方程为 ，即 ．
所以存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
且该直线方程为 ．
26．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切
并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线
(1)求 的方程；
(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）设动圆 的半径为 ，
依题意得 ，所以 为定值，且 ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
， ， ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）假设存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
设 ， ，则 ，两式相减得 ，
得 ，即 ，
由点斜式得直线 方程为 ，即 .
所以存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，且该直线方程为 .
27．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知椭圆C： 的一个焦点为 ，
且点F到C的左、右顶点的距离之积为5．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作斜率乘积为 的两条直线 ， ， 与C交于A，B两点， 与C交于D，E两点，线段AB，
DE的中点分别为M，N．证明：直线MN与x轴交于定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）由题意， ，且 ，即 ，
所以 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）证明：由题意得 ，且斜率均存在且不为0，
设直线 的方程为： ，设 ， ，联立 ，整理得 ，
可得 ， ，
所以AB的中点 .
设直线 的方程为： ，设 ， ，
联立 ，整理得 ，
可得 ， ，
所以DE的中点 .
当 时， 、 的横坐标相同均为 ，
这时直线 与 轴的交点为 ；
当 时，则直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为： ，
令 ，可得 ，
即直线 与 轴的交点为 .
综上所述，直线 与 轴交于定点为 .10 四点共圆问题
28．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，过 上的动点 作曲线
的两渐近线的垂线，垂足分别为 和 的面积为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)如图，曲线 的左顶点为 ，点 位于原点与右顶点之间，过点 的直线与曲线 交于 两点，直
线 过 且垂直于 轴，直线DG,DR分别与 交于 两点，若 四点共圆，求点 的坐标.
【解析】（1）由 ，又 得： ，所以渐近线方程为 ，
则双曲线方程为 ，即 ，
设 ，则 到渐近线的距离分别为 ，
又两渐近线的夹角为 ，且 四点共圆，则 或 ，的面积 ，
曲线 的方程为： .
（2）如图 四点共圆，
，
，
设 ， ，
易得 ，令 得： ，
当 的斜率为0时，不符合题意；
当 的斜率不为0时，设 ，联立双曲线得 ，
则 ，且 ，即 ，且 ，
所以 ，
由 ，即 ，
，
，符合，
综上， .
29．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
点D在C上， ， ， ，且 的面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为A，直线 与x轴交于点P，过P作直线交C于G，H两点直线AG，AH分别与l
交于M，N两点，O为坐标原点，证明：O，A，N，M四点共圆．
【解析】（1）由椭圆定义可知 ， .
由 可得 ，
因为 ，如图1可知 ，所以 ．
在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，即C的焦距为 ， ，
所以 ，
故C的方程为 .
（2）
如图2，不妨取G点在H点的左侧，要证O，A，N，M四点共圆，
只需证明 ，即 ．
又 ，，
故待证结论转化为证明 ．
设 ， ， ，显然 ， .
由题意可知 ，则直线 ，直线 ．
因为M在直线l上，所以 ，代入直线AG的方程，可知 ，
故点M的坐标为 ，所以 .
又 ，故 等价于 ．
设直线 ，与C的方程联立消去x得 ，
，则 或 .
又 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，
综上O，A，N，M四点共圆．
30．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知动圆M过点 且与直线 相切，记动圆圆心M的轨迹
为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 与 轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点 的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线 于点S和T．若 四点共圆，求 的值．
【解析】（1）设 ，则 ，解得 .
（2）
设直线 的方程为 代入 得
，设 ， ，
则 ，
又直线 的方程为 ，即 ，则 ，
同理： ，
则 ，
，
四点共圆， ，
即 ，又 ，则 .11 切线问题
31．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知点 在离心率为 的椭圆
上，点 为椭圆 上异于点 的两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，过点 两点分别作椭圆 的切线，这两条切线的交点为 ，求 的最小值．
【解析】（1）根据题意， ，
又点 在椭圆 上，
，所以 ，
可得椭圆 的方程为 ；
（2）根据题意：设点 ，
当 时，则 ，又 ，由
得 ，得 ，
又 ，解得： ，或 （舍去），则 ．
当 时，设直线 为 ，
联立 ，
可得 ，因为 ，
可得： ，因为 ，代入可得：
，
代入韦达定理可得： ，
整理可得： ，
可得： 或 ，代入直线 可得： ，
该直线恒过点 ；或者 ，该直线恒过点 （与题意不符），
所以直线 恒过定点 ，
设点 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
点 分别在直线 上，所以 ，得直线 为 ，
又直线 恒过点 ，所以 ，
所以点 的轨迹为 ，
故 的最小值为点A到点 轨迹的距离，为 ．
32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆 ： 与直线 ：.点 在直线 上，由点 引椭圆 的两条切线 、 ，A、B为切点， 是坐标原点.
(1)若点 为直线 与 轴的交点，求 的面积 ；
(2)若 ， 为垂足，求证：存在定点 ，使得 为定值.（注：椭圆 在其上一点处
的切线方程为 ）
【解析】（1）由题意知 ，过点 与椭圆相切的直线斜率存在，
设切线方程为 ，
联立 ，可得 ，（*）
所以 ，解得 ，即切线方程为 .
所以 ，
将 代入方程（*）可得 ，可得 ，此时 ，
不妨设点 ，同理可得点 ，则
因此， 的面积 .
（2）证明：设 、 ，
因为椭圆 在其上一点 处的切线方程为 .
则切线 的方程为 ，切线 的方程为 .设 ，则 ，
所以，点A、B的坐标满足方程 即 ，
所以，直线 的方程为 .
因为点 在直线 上，所以 ，则 ，
所以，直线 的方程可表示为 ，即 .
令 ，可得 ，故直线 过定点 .
因为 ， 在直线AB上， ，
故点 在以 为直径的圆上，
当点 为线段 的中点时， ，
此时点 的坐标为
故存在点 ，使得 为定值 .
33．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面直角坐标系 内，已知定点 ，定直线 ，动点
P到点F和直线l的距离的比值为 ，记动点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程．(2)以曲线E上一动点M为切点作E的切线 ，若直线 与直线l交于点N，试探究以线段MN为直径的圆
是否过x轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．
【解析】（1）设点 是所求轨迹 上的任意一点，
因为定点 ，定直线l： ，动点P到点F和直线l的距离的比值为 ，
可得 ，化简得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）因为直线 与 相交，所以 的斜率存在，
可设 的方程为 ，联立方程组 ，
整理得 ，
则 ，可得 ，
即 且 ，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，所以 ，
联立方程组 ，解得 ，即 ，
假设以线段 为直径的圆过 轴上一定点，设为 ，则 ，
所以 恒成立，即 ，
可得 ，即 ，
整理得 ，
即 ，即 恒成立，
要使得 恒成立，则 ，所以恒过定点 ，即以线段 为直径的圆过 轴上一定点 .
12 定比点差法
34．（2024·吉林·统考一模）已知抛物线 的焦点F到其准线的距离为4，椭圆
经过抛物线 的焦点F．
(1)求抛物线 的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点 的直线l与椭圆 相交于A，B两点，若 ，点N满足
，且 最小值为 ，求椭圆 的离心率．
【解析】（1）抛物线 的焦点F到其准线的距离为4
可得
抛物线 的方程：
椭圆 经过抛物线 的焦点
椭圆 的右顶点为 ，
所以 ．
（2）①当直线 斜率存在时，设直线 方程为
由 得 ，
∵
∴ ，即∴
∴ ，
∴
又∵
∴ ，即∴
∴N点轨迹为直线
②当直线 斜率不存在时，经检验点 在直线 上．
∴N点轨迹方程为
最小值即点O到直线 的距离
∴ ，即
椭圆 的离心率为 ．35．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且
．经过椭圆的左焦点F，斜率为 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，求 的值；
(3)设 ，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为 ，求证： 为定值．
【解析】（1）由题意，得 解得 ∴ ，故 的方程为 ．
（2）由（1）知 ，
∴直线AB的方程为 ，由 即 ，
设 ， ，
则 ， ，
∴ ．
设O点到直线AB的距离为d，则 ．∴ ．
（3）设AB直线方程 ，
设 ， ， ， ，
由 由定比分点坐标公式： ，
由于A，C满足椭圆方程，故得
两式作差得 ③，
将①②代入③可得 ，和①进行联立，
即 ，解得：
由 同理可得 ，
∴
，
故 ．
36．（2024·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系 中， 是抛物线 的焦点， 是
抛物线 上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）当过点 的动直线 与抛物线 相交于不同点 时，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上.
【解析】（1）过 三点的圆的圆心为 ,则圆心 在 的中垂线上，
则 ，又点 到抛物线 的准线的距离为
所以 ，则
所以抛物线的方程为 .
（2）设 ，记 .
则 ， ，
联立可得，
又 ，代入得 ，
所以总在定直线 上.
13 齐次化
37．已知椭圆 ， ， ， 为上的两个不同的动点， ，求证：直线
过定点．【解析】设直线 方程为：
则
即 ，又因为
化简得 或 （舍去）．
即 直线为 ，即直线 过定点 ．
38．已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于A，B两点．若直线 与直线
的斜率的和为 ，证明：直线 过定点．
【解析】设直线 ．．．．．．（1）
由 ，得
即： ．．．．．．（2）
由（1）（2）得：整理得：
则 ，
则 ，代入直线 ，得：
显然，直线过定点 ．
39．如图，椭圆 ，经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点P，Q
（均异于点 ，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则 ．
由 ，
得： ．
则 ，
故 ．
所以 ．
即 ．
14 极点极线问题
40．（2024·江苏南通·高二统考开学考试）已知双曲线 ： （ ， ）实轴端点分别为， ，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知
的面积为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【解析】（1）设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
又 ， ，代入上式得 ，即 ，
∴ ，解得 ，∴ ， ，∴双曲线的方程为 ．
（2）当直线 点的斜率不存在时， ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
，联立直线 与直线 的方程可得的 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，∴ ， ，
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，两边平方得 ，
又 ， 满足 ，∴
，
∴ ，∴ ，或 ，（舍去）
综上， 在定直线上，且定直线方程为 ．
41．（2024·安徽六安·校联考一模）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，
直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率 ， ， ，
又 ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）解法一：设直线 ， ， ，
，可得 ，
所以 ．
直线AM的方程： ①直线BN的方程： ②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得 ．
因为 ，
所以
所以点Q在直线 上．
解法二：设 ， ， ， 两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以 ，
整理得： ．
又A，M，Q三点共线，有： ①
又B，N，Q三点共线，有 ②将①与②两式相除得：
即 ，将 即
代入得： 解得 （舍去）或 ，（因为直线 与椭圆相交故 ）
所以Q在定直线 上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐
标点方程从而解决相关问题.
42．（2024·北京海淀·统考模拟预测）已知椭圆M： （a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两
点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点
Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【解析】（1）因为点 ， 都在椭圆 上，
所以 ， ．
所以 ．
所以椭圆 的离心率 ．
（2）由（1）知椭圆 的方程为 ， ．
由题意知：直线 的方程为 ．
设 （ ， ）， ， ．
因为 三点共线，所以有 ， ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
因为 三点共线，所以 ，即 ．
所以 ．
所以直线 的方程为 ，
即 ．
又因为点 在椭圆 上，所以 ．
所以直线 的方程为 ．
所以直线 过定点 ．
15 同构问题
43．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 与 轴
相切，且圆心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个不同的点
和点 .且 ，证明：点 在一条定曲线上.
【解析】（1）由题设得 ，
所以抛物线 的方程为 .
因此，抛物线的焦点为 ，即圆 的圆心为
由圆 与 轴相切，所以圆 半径为 ，
所以圆 的方程为 .（2）证明：由于 ，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则 .
故设过点 且与圆 相切的切线方程为 ，即 .
依题意得 ，整理得 ①；
设直线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，
故 ， ②，
由 得 ③，
因为点 ，
则 ④， ⑤
由②，④，⑤三式得：
，
即 ，
则 ，即 ，
所以点 在圆 .
44．（2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模）已知抛物线 ，圆 ．（1）求圆心 到抛物线 准线的距离；
（2）已知点 是抛物线 上一点（异于原点），过点 作圆 的两条切线，交抛物线 于 、 两点，
若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， ，求点 的坐标．
【解析】（1）由已知： ； 的准线为 ．
圆心 到 准线距离为
（2）设 ， ，
切线
由 得：
由 得：
切线
同理可得：
依题意： 到 距离
整理得：同理：
，
解得：
故所求 点坐标为 或
45．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： 交C
于P，Q两点，且 ．已知点M的坐标为 ， 与直线l相切．
(1)求抛物线C和 的标准方程；
(2)已知点 ，点 ， 是C上的两个点，且直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的
位置关系，并说明理由．
【解析】（1）由已知，设拋物线C的方程为 （ ），
当 时， ，则 ，
所以不妨设 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得
所以抛物线C的 ，
因为 与直线l： 相切， ，
所以 的半径为2，所以 的方程
（2）由已知可得 在抛物线上，设 ，
所以 ，
所以 的点斜式方程为
整理可得 ，
此直线与圆相切，可得 ，
平方后可得
又因为
化简得 ，
同理： 的方程为 ，
所以直线 方程为 ，
所以点M到直线 距离为 ，
所以直线 与 相切
46．（2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末）已知圆 的方程为：(1)已知过点 的直线 交圆 于 两点，若 ， ，求直线 的方程；
(2)如图，过点 作两条直线分别交抛物线 于点 ， ，并且都与动圆 相切，求证：直线
经过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1） 时，圆 ： ，
因为 ，所以可得圆心 到直线的距离 ，
当直线 的方程为： 时，符合题意；
当直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，即 ，
由 得 ，解得： ，直线 ： ，
综上：直线 的方程为： 或 ；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则直线 ： ，
，同理得直线 ： ，
由 ， 与动圆 相切得： ，
化简得： ，
因为 ，所以 ，联立 得 ，同理： ，
易得 ，
则 ： ，
化简得： ，所以直线过定点 ．
16 蝴蝶问题
47．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，B，A是椭圆 的左、右顶点，
P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若直线PQ过定点 ，求证： .
【解析】（1）设；
（2）设直线 的方程是 ，设
与椭圆方程联立， 得： ，
， ，
，
,
由（1）可知 ，
两式消去 ，解得： .
48．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）已知椭圆 的左焦点为 ，且过点
.（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为直线 上任意一点，直线 分别交椭圆 于不
同的两点 .求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）椭圆的一个焦点 ，则另一个焦点为 ，
由椭圆的定义知: ，所以 ，解得 .
又 ， 所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，
则直线 ，与 联立可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又直线 ，与 联立可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以所以直线 的斜率为 =
所以直线
所以直线 恒过定点，且定点坐标为 .
49．如图，椭圆的长轴 与x轴平行，短轴 在y轴上，中心为 ．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 交椭圆于两点 ；直线 交椭圆于两点 ，
．求证： ；
(3)对于（2）中的中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
【解析】（1） 椭圆的长轴 与 轴平行，短轴 在 轴上，中心 ，
椭圆方程为
焦点坐标为 ，
离心率
（2）证明：将直线 的方程 代入椭圆方程 ，得整理得
根据韦达定理，得 ， ，
所以 ①
将直线 的方程 代入椭圆方程 ，同理可得 ②
由 ①、②得
所以结论成立.
（3）证明：设点 ，点
由 、 、 共线，得
解得
由 、 、 共线，同理可得
由 变形得
所以
即
