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专题 4 圆锥曲线中的面积问题
一、考情分析
圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的
四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截
距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.
二、解题秘籍
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用
弦长公式求出 ，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离 ，则 .
【例1】（2023届浙江省名校协作体高三上学期考试）如图，已知双曲线 ，经过点 且
斜率为 的直线 与 交于 两点，与 的渐近线交于 两点（从左至右的顺序依次为 ），
其中 .
(1)若点 是 的中点，求 的值；
(2)求 面积的最小值.
【解析】设
联立直线 与双曲线方程 ，消去 得 ，
由韦达定理可知，联立直线 与其中一条渐近线方程 ，解得
即 ，同理可得 ，
则 ，
则可知 的中点与 中点重合.
由于 是 的中点，所以 ，解得 ；
（2） 与 联立，消去 得
由（1）知， .或
由于 ，
所以 ，
又 到直线的距离 ，所以
整理得 ，令 ，则 ，
当 ，即 时，
的最大值为2，所以 的最小值为 .
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，
可先求出点 A，B 到直线 PQ 的距离之和 d，则 ，特别的，若 与 y 轴垂足，
，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆 上的
点到左、右焦点 、 的距离之和为4，且右顶点A到右焦点 的距离为1.
（1）求椭圆 的方程;
（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，记 的面积为 ，当 时求 的值.
【解析】（1）由题意 ， ，
因为右顶点 到右焦点 的距离为 ，即 ，所以 ，
则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ， ，且
根据椭圆的对称性得 ，
联立方程组 ，整理得 ，解得 ，因为 的面积为3，可得 ，解得 .
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的 .
【例3】（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系 中，动圆 与圆
内切，且与圆 外切，记动圆 的圆心的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)不过圆心 且与 轴垂直的直线交轨迹 于 两个不同的点，连接 交轨迹 于点 .
（i）若直线 交 轴于点 ，证明： 为一个定点；
（ii）若过圆心 的直线交轨迹 于 两个不同的点，且 ，求四边形 面积的最小值.
【解析】（1）设动圆 的半径为 ，圆心 的坐标为
由题意可知：圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 .
动圆 与圆 内切，且与圆 外切，
动圆 的圆心的轨迹 是以 为焦点的椭圆，设其方程为： ，
其中
从而轨迹 的方程为：
（2）（i）设直线 的方程为 ，则由 可得：
直线 的方程为 ，
令 可得 点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形 面积
（法一）等号当且仅当 时取，即 时，
（法二）令 ，
则
当 ，即 时，
(四)把四边形分割成两个三角形求面积
如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，
分别表示出这两个三角形的面积再相加
【例4】（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆 ：
）的上、下顶点，F是椭圆 的右焦点，C是椭圆 上异于A、B的点，点D在坐标平面
内．
(1)若 ，求椭圆 的标准方程；
(2)若 ，且 ， ，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知 是等边三角形，
因为 ， ，所以 ，
得椭圆的标准方程为 ．
（2）设 ， ，
因为 ， ，所以 ，
则 ,所以 ，
，
所以 ， ，两式相减得 ，
带回原式得 ，
因为 ，所以 ，
（当 时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为 ．
(五)利用函数性质求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单
调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.
【例5】（2023届河南省名校联盟2高三上学期联考）已知椭圆 的离心率为 ，
左､右焦点分别为 是椭圆上关于原点对称的两点， .
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线 且交椭圆于P，Q，求 的面积最大时，l的方程.
【解析】（1）由题意得 ，
化简得 ，则 .
根据对称性得 ，故 ，即 ，
所以 ，
故椭圆C的方程为 .（2）由（1）得 ，设 ，l的方程为 ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，则 ，
，解得 且 .
故 ，
点 到直线l的距离为 ，
则 .
令 ，则 .
当t变化时， 的变化情况如下表：
t
+ - + -
比较 与 知，当 时， 面积取最大，
此时，l的方程为 .
(六)利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或
乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.
【例6】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线 ，点 为其焦点，点、 在抛物线上，且直线 过点 ， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 、 和 、 ，点 、 分别为 、
的中点，求 面积的最小值.
【解析】（1）过点 、 分别作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 、 ，
易知 ， ，
因为 ，则 ，则点 为 的中点，
连接 ，则 为 的中位线，所以， ，则 ，
所以，点 在线段 的垂直平分线上，则点 的横坐标为 ，
，解得 ，所以，抛物线 的标准方程为 .
（2）因为 ，若直线 、 分别与两坐标轴垂直，则直线 、 中有一条与抛物线只有一个
交点，不合乎题意.所以，直线 、 的斜率均存在且不为 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
设 、 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，所以 ，
同理可得 ，
故 ，
，因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 面积的最小值为 .
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研）已知点 在双曲线 上，直线l交C于 两点，直线 的斜率之和为 .
(1)求l的斜率;
(2)若 ，求 的面积.
【解析】（1）将点 代入 中，得 ，即 ，
解得 ，故双曲线方程为 ；
由题意知直线l的斜率存在，设 ，设 ， ，
则联立直线与双曲线 得： ，
需满足 ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，即 ，
由题意可知直线l不过A点，即 ，
故l的斜率
（2）设直线AP的倾斜角为 ，由 ， ，
得 ，（负值舍去），
由直线 的斜率之和为 ,可知 ，即 ，
则 ，得 ，即 ，联立 ，及 得 ， ，
将 ， 代入 中，得 ，
故 ， ，
而 ， ，
由 ，得 ，
故
.
2．（2023届上海市松江二中高三上学期月考）如图，已知 、 为抛物线Γ： 的
图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于 .
(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证： 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列；
(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及 面积的最小值.
【解析】 (1)抛物线的标准方程为 ,于是焦点坐标为 ,准线方程为 .
(2) ,所以联立 ,得 ,而
于是 ,即
故 成等差数列, 成等比数列
（3）由于A,F,B三点共线,设
联立 ,得 .
即动点 的轨迹方程为
设AB中点为 ,则 ,即
当 时取等所以 面积的最小值为4
3．（2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知椭圆 ，直线 与椭
圆 交于 ， 两点，且 的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 时，斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点（ ， 两点在直线 的异侧），若四边形
的面积为 ，求直线 的方程．
【解析】（1）设 ， ，联立直线 与椭圆方程得 ，
消去y得 ，又 ， 是这个方程的两个实根，所以 ，由弦长公式得
，
所以当 时， 取到最大值，即 ，解得 ．
所以椭圆C的方程为 ．
（2）设直线 方程为 ， ， ，联立直线 与椭圆方程 ，消去y得
，
所以 ，且 ，
记点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，又 ， 且 ，
所以
，
所以 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，所以 满足条件，综上所述直线的方程为 ，即为 ．
4．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 ： ， ， 是椭圆
的左、右焦点，点 在椭圆 上，点 在椭圆 外，且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，点 为椭圆 上横坐标大于1的一点，过点 的直线 与椭圆有且仅有一个交点，并与
直线 ， 交于M，N两点， 为坐标原点，记 ， 的面积分别为 ， ，求
的最小值．
【解析】（1）因为点 在椭圆 上，所以 ，①
因为点 在椭圆 外，且 ，所以 ，即 ，②
由①②解得 ， ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）设点 ， ，设直线 ： ，
由椭圆性质以及点 的横坐标大于1可知， ，
将直线 代入方程 并化简可得， ，
即 ，
因为直线 与椭圆有且仅有一个交点，
所以 ，即 ．
直线 的方程为： ；直线 的方程为 ： ，联立方程 得 ，同理得 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，不等式取等号，
故当 时， 取得最小值 ．
5．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考）已知椭圆
的离心率为 ，椭圆上一动点 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ，直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，已知 .
①求证：直线 恒过定点；
②设 和 的面积分别为 ，求 的最大值.【解析】（1）由题意 ，解得 ，所以椭圆C的方程为 ．
（2）①依题意 ，设 ，
若直线 的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有 ，不合题意．
所以直线 斜率必不为0，设其方程为 ，
与椭圆C联立 ，整理得： ，
所以 ，且
因为 是椭圆上一点，即 ，
所以 ，则 ，即
因为
，
所以 ，此时 ，
故直线 恒过x轴上一定点 ．
②由①得： ，所以
，
而 ，当 时 的最大值为 ．
6．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 经过点 ，其
右焦点为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若点 在椭圆 上，右顶点为 ，且满足直线 与 的斜率之积为 .求 面积的最大值.
【解析】（1）依题可得， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
所以离心率 .
（2）易知直线 与 的斜率同号，所以直线 不垂直于 轴，
故可设 ，
由 可得， ，
所以 ，
，而 ，即 ，
化简可得 ，，
化简得 ，
所以 或 ，
所以直线 或 ，
因为直线 不经过点 ，
所以直线 经过定点 .
设定点
，
因为 ，所以 ，
设 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号，即 面积的最大值为 .
7．（2023届山东省济南市高三上学期9月考试）已知点 是抛物线 与椭圆
的公共焦点，椭圆上的点 到点 的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 作 的两条切线，记切点分别为 ，求 面积的最大值.【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，即 ，
椭圆上的点 到点 的最大距离为 ，所以 ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，
对该函数求导得 ，
设点 ， ， ，
直线 的方程为 ，
即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以点 ， 的坐标满足方程 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
点 到直线 的距离为 ，所以 ，
因为 ，
由已知可得 ，
所以当 时， 面积的最大值为 .
8．（2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考）已知椭圆 的离心率为 ，且
C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的
另一个交点为N，求 面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆C的焦距为 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，
又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 ，
所以 ，即 ，
综上解得 ，
所以椭圆C的方程为 ．（2）易得 ，设 ，则 ，联立直线l与椭圆C的方程 ，得
，
则 ．
又 ，
易知 与 同号，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 ．
9．（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆 ： 的左焦点为
，上、下顶点分别为 ， ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆上有三点 ， ， 满足 ，证明：四边形 的面积为定值．
【解析】（1）依题意 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 .
（2）证明：设 ， ， ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，且 ，所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
若直线 的斜率不存在， 与左顶点或右顶点重合，
则 ，所以 ，
所以 ，
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程整理得 ，
所以 ， ， ，
所以
所以 ，
整理得 ，
又 ，
又原点 到 的距离 ，
所以 ，
将 代入得 ，
所以 ，综上可得，四边形 的面积为定值 .
10.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 经过点
，过右焦点 作两条互相垂直的弦 和 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）当四边形 的面积取得最小值时，求弦 所在直线的方程．
【解析】（1）已知可得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）当 或 中有一条直线垂直于 轴时，不妨设 轴，
因为焦点 的坐标为 ，所以直线 的方程为 ，
将 代入椭圆方程可得 ，则 ， ，
四边形 的面积 ；
当 的斜率存在且不为 时，设其斜率为 ，
由（1）知 ，所以直线 的方程为 ，
与椭圆 的方程 联立并消去 得 ．
设 、 ， ,
则 ， ，
．同理可得可得 ，
所以四边形 面积
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因为 ，故当四边形 的面积取得最小值时，直线 的方程为 或 ．
11.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆 的四
个顶点，得到的四边形的面积为 ，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为 的直线.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点 的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段 上，若 ，求
（O为坐标原点）面积的取值范围.
【解析】（1）依题意得 解得 所以椭圆C的标准方程是 .
（2）设直线l的方程为 ，代入椭圆C的方程得 ，由 得
.
设 ，所以 ， ，
设 ，则
.
原点O到直线l的距离 ，
故 的面积 .
因为 ，故 ，
故 面积的取值范围为 .
12．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图，已知抛物线： ， ， ，过
点 垂直于 轴的垂线与抛物线 交于 ， ，点 ， 满足 ， .
（1）求证：直线 与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线 与此抛物线的公共点为 ，记 与 的面积分别为 ， ，求 的值.【解析】（1）易知 ，设 ，由 ，可得 ，
故有 ，同理 ，
于是直线 的方程是 ，
即 ①与抛物线方程联立，即
得到 ，
此方程有两个相等的根： 代入①，得 ，
故直线 与抛物线有且仅有一个公共点
（2）
设直线 与 轴交于 ，则 ，
于是
故有 .
13．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆 的离心率为 ， ，
是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点， 关于直线 对称的点为M， 关于直线 对称
的点为N．（1）证明： ；
（2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线 与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF
面积的取值范围．
【解析】（1）C的离心率为 ，即 ，解得 ．
由题意知 ， ，
（2）直线AB，EF的方程分别为 ， ，
设 ， ，其中 ，
由 得 ， ，
所以点E，F到AB的距离分别为
又
所以四边形AEBF的面积为
当 时， ，则 ，所以 ，
即四边形AEBF面积的取值范围为14．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C： 的左焦点为 ，离心率为
，过点 且垂直于 轴的直线交 于 两点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 过点 且与椭圆相交于 ， 两点，求 面积最大值及此时直线 的斜率.
【解析】（1）由题知： ，
所以椭圆 .
（2）设直线 的方程为 ，设 ､ ，
与椭圆方程联立得 ，消去 得 .
则 ，所以 .
由根与系数的关系知 ， ，
所以 .①
令 ，则①式可化为 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
此时 ，所以直线 的斜率为 .15．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当 轴时，
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一
点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理
由.
②求证： 为定值.
【解析】（1）当 轴时，易得 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为 ，
代入抛物线C的方程 ，并整理得 ，
设 ， ，由根与系数的关系得 ， .
所以 ，所以线段AB的中点N的坐标为 ，连接QM，若四边形
AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，
易知 ，因此 ，
设直线PQ的方程为 ，代入抛物线C的方程 ，整理得 ，
所以 ，
故 ，因此 ，故可得 ， ，
故点M的坐标为 ，
因此存在定点 ，使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点 到直线 的距离 ，
由 ， ，可得 ，
因此 ，
同理可得 ，
所以 ，为定值.
