文档内容
专题 4 圆锥曲线中的面积问题
一、考情分析
圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的
四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截
距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.
二、解题秘籍
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用
弦长公式求出 ，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离 ，则 .
【例1】（2023届浙江省名校协作体高三上学期考试）如图，已知双曲线 ，经过点 且
斜率为 的直线 与 交于 两点，与 的渐近线交于 两点（从左至右的顺序依次为 ），
其中 .
(1)若点 是 的中点，求 的值；
(2)求 面积的最小值.
【解析】设
联立直线 与双曲线方程 ，消去 得 ，
由韦达定理可知，联立直线 与其中一条渐近线方程 ，解得
即 ，同理可得 ，
则 ，
则可知 的中点与 中点重合.
由于 是 的中点，所以 ，解得 ；
（2） 与 联立，消去 得
由（1）知， .或
由于 ，
所以 ，
又 到直线的距离 ，所以
整理得 ，令 ，则 ，
当 ，即 时，
的最大值为2，所以 的最小值为 .
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，
可先求出点 A，B 到直线 PQ 的距离之和 d，则 ，特别的，若 与 y 轴垂足，
，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆 上的
点到左、右焦点 、 的距离之和为4，且右顶点A到右焦点 的距离为1.
（1）求椭圆 的方程;
（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，记 的面积为 ，当 时求 的值.
【解析】（1）由题意 ， ，
因为右顶点 到右焦点 的距离为 ，即 ，所以 ，
则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ， ，且
根据椭圆的对称性得 ，
联立方程组 ，整理得 ，解得 ，因为 的面积为3，可得 ，解得 .
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的 .
【例3】（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系 中，动圆 与圆
内切，且与圆 外切，记动圆 的圆心的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)不过圆心 且与 轴垂直的直线交轨迹 于 两个不同的点，连接 交轨迹 于点 .
（i）若直线 交 轴于点 ，证明： 为一个定点；
（ii）若过圆心 的直线交轨迹 于 两个不同的点，且 ，求四边形 面积的最小值.
【解析】（1）设动圆 的半径为 ，圆心 的坐标为
由题意可知：圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 .
动圆 与圆 内切，且与圆 外切，
动圆 的圆心的轨迹 是以 为焦点的椭圆，设其方程为： ，
其中
从而轨迹 的方程为：
（2）（i）设直线 的方程为 ，则由 可得：
直线 的方程为 ，
令 可得 点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，
则
，
四边形 面积
（法一）等号当且仅当 时取，即 时，
（法二）令 ，
则
当 ，即 时，
(四)把四边形分割成两个三角形求面积
如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，
分别表示出这两个三角形的面积再相加
【例4】（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆 ：
）的上、下顶点，F是椭圆 的右焦点，C是椭圆 上异于A、B的点，点D在坐标平面
内．
(1)若 ，求椭圆 的标准方程；
(2)若 ，且 ， ，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知 是等边三角形，
因为 ， ，所以 ，
得椭圆的标准方程为 ．
（2）设 ， ，
因为 ， ，所以 ，
则 ,所以 ，
，
所以 ， ，两式相减得 ，
带回原式得 ，
因为 ，所以 ，
（当 时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为 ．
(五)利用函数性质求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单
调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.
【例5】（2023届河南省名校联盟2高三上学期联考）已知椭圆 的离心率为 ，
左､右焦点分别为 是椭圆上关于原点对称的两点， .
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线 且交椭圆于P，Q，求 的面积最大时，l的方程.
【解析】（1）由题意得 ，
化简得 ，则 .
根据对称性得 ，故 ，即 ，
所以 ，
故椭圆C的方程为 .（2）由（1）得 ，设 ，l的方程为 ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，则 ，
，解得 且 .
故 ，
点 到直线l的距离为 ，
则 .
令 ，则 .
当t变化时， 的变化情况如下表：
t
+ - + -
比较 与 知，当 时， 面积取最大，
此时，l的方程为 .
(六)利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或
乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.
【例6】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线 ，点 为其焦点，点、 在抛物线上，且直线 过点 ， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 、 和 、 ，点 、 分别为 、
的中点，求 面积的最小值.
【解析】（1）过点 、 分别作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 、 ，
易知 ， ，
因为 ，则 ，则点 为 的中点，
连接 ，则 为 的中位线，所以， ，则 ，
所以，点 在线段 的垂直平分线上，则点 的横坐标为 ，
，解得 ，所以，抛物线 的标准方程为 .
（2）因为 ，若直线 、 分别与两坐标轴垂直，则直线 、 中有一条与抛物线只有一个
交点，不合乎题意.所以，直线 、 的斜率均存在且不为 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
设 、 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，所以 ，
同理可得 ，
故 ，
，因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 面积的最小值为 .
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研）已知点 在双曲线 上，直线l交C于 两点，直线 的斜率之和为 .
(1)求l的斜率;
(2)若 ，求 的面积.
2．（2023届上海市松江二中高三上学期月考）如图，已知 、 为抛物线Γ： 的
图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于 .
(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证： 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列；
(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及 面积的最小值.
3．（2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知椭圆 ，直线 与椭
圆 交于 ， 两点，且 的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 时，斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点（ ， 两点在直线 的异侧），若四边形
的面积为 ，求直线 的方程．
4．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 ： ， ， 是椭圆的左、右焦点，点 在椭圆 上，点 在椭圆 外，且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，点 为椭圆 上横坐标大于1的一点，过点 的直线 与椭圆有且仅有一个交点，并与
直线 ， 交于M，N两点， 为坐标原点，记 ， 的面积分别为 ， ，求
的最小值．
5．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考）已知椭圆
的离心率为 ，椭圆上一动点 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ，直线 交椭圆 于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，已知 .
①求证：直线 恒过定点；
②设 和 的面积分别为 ，求 的最大值.
6．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 经过点 ，其
右焦点为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若点 在椭圆 上，右顶点为 ，且满足直线 与 的斜率之积为 .求 面积的最大值.
7．（2023届山东省济南市高三上学期9月考试）已知点 是抛物线 与椭圆
的公共焦点，椭圆上的点 到点 的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；
(2)过点 作 的两条切线，记切点分别为 ，求 面积的最大值.
8．（2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考）已知椭圆 的离心率为 ，且
C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的
另一个交点为N，求 面积的最大值．
9．（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆 ： 的左焦点为
，上、下顶点分别为 ， ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆上有三点 ， ， 满足 ，证明：四边形 的面积为定值．
10.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 经过点
，过右焦点 作两条互相垂直的弦 和 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）当四边形 的面积取得最小值时，求弦 所在直线的方程．
11.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆 的四
个顶点，得到的四边形的面积为 ，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为 的直线.
（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点 的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段 上，若 ，求
（O为坐标原点）面积的取值范围.
12．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图，已知抛物线： ， ， ，过
点 垂直于 轴的垂线与抛物线 交于 ， ，点 ， 满足 ， .
（1）求证：直线 与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线 与此抛物线的公共点为 ，记 与 的面积分别为 ， ，求 的值.
13．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆 的离心率为 ， ，
是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点， 关于直线 对称的点为M， 关于直线 对称
的点为N．
（1）证明： ；
（2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线 与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF
面积的取值范围．
14．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C： 的左焦点为 ，离心率为
，过点 且垂直于 轴的直线交 于 两点，（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 过点 且与椭圆相交于 ， 两点，求 面积最大值及此时直线 的斜率.
15．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当 轴时，
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一
点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理
由.
②求证： 为定值.
