专题5圆锥曲线中的斜率问题（解析版）-学霸养成.2022高考数学圆锥曲线压轴大题必杀技_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年高考数学大题系列

专题 5 圆锥曲线中的斜率问题 一、考情分析 斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率 之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题. 二、解题秘籍 (一) 利用斜率求解三点共线问题 利用斜率判断或证明点 共线,通常是利用 . 【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线 与双曲线 ： 的两条渐 近线分别交于 , 两点,且三角形 的面积为 . (1)求 的值； (2)已知直线 与 轴不垂直且斜率不为0, 与 交于两个不同的点 , , 关于 轴的对称点为 , 为 的右焦点,若 , , 三点共线,证明：直线 经过 轴上的一个定点. 【解析】（1）双曲线 ： 的渐近线方程为 , 不妨设 , 因为三角形 的面积为 ,所以 , 所以 ,又 ,所以 . （2）双曲线 的方程为 ： ,所以右焦点 的坐标为 , 若直线 与 轴交于点 ,故可设直线 的方程为 , 设 , ,则 , 联立 ,得 ,且 , 化简得 且 , 所以 , , 因为直线 的斜率存在,所以直线 的斜率也存在, 因为 , , 三点共线,所以 , 即 ,即 , 所以 , 因为 ,所以 , 所以 , 所以 , 化简得 ,所以 经过 轴上的定点 . 【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆 的左､右顶点分别为A,B,右 焦点为F,直线 . （1）若椭圆W的左顶点A关于直线 的对称点在直线 上,求m的值； （2）过F的直线 与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线 与直线 相交于点M,求证： A,D,M三点共线. 【解析】（1）由题意知, 直线 的斜率存在,且斜率为 ,设点A关于直线 对称的点为 ,则 , 所以线段 的中点 在直线 上,又 , , 有 ,解得 或 , 所以 ； （2）已知 , 当直线 的斜率不存在时, ：x=1,此时 , 有 ,所以直线 ,当 时, ,所以 , 所以 ,所以 , 即A、D、M三点共线； 当直线 的斜率存在时,设直线 ： , 则 ,得 , , 设 ,则 , 直线BC的方程为 ,令 ,得 , 所以直线AD、AM的斜率分别为 ,, 上式的分子 , 所以 ,即A、D、M三点共线. 综上,A、D、M三点共线. (二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质 x2 y2  1a b0 Pm,n a2 b2 1.设点 是椭圆 C： 上一定点,点 A,B 是椭圆 C 上不同于 P 的两点,若 bm2 n0 k k  0 an2 0 PA PB , 则 时 直 线 AB 斜 率 为 定 值 , 若 , 则 直 线 AB 过 定 点  2n 2b2m m ,n    a2  , x2 y2  1a 0,b0 Pm,n a2 b2 2. 设点 是双曲线C： 一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若 bm2  n0 k k  0 an2 0 PA PB , 则 时 直 线 AB 斜 率 为 定 值 , 若 , 则 直 线 AB 过 定 点  2n 2b2m m ,n    a2  ； Pm,n y2 2pxp0 3. 设点 是抛物线 C： 一定点,点 A,B 是抛物线 C 上不同于 P 的两点,若 p  2n 2p  n0  m ,n  k k  0 n 0     PA PB ,则 时直线AB斜率为定值 ,若 ,则直线AB过定点 ； 【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线 上,证明直线 关于 对称,或证明直线 平分 ,可证明 . 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 , ,点 是椭圆 的一个顶点, 是等腰直角三角形． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过点 分别作直线 , 交椭圆于A, 两点,设两直线 , 的斜率分别为 , ,且 ,证明： 直线 过定点． 【解析】（1）由题意点 是椭圆 的一个顶点,知 , 因为 是等腰直角三角形,所以 ,即 , 所以椭圆 的标准方程为： ． （2）若直线 的斜率存在,设其方程为 ,由题意知 ． 由 ,得 , 由题意知 ,设 , , 所以 , , 因为 ,所以 , 所以 ,整理得 , 故直线 的方程为 ,即 , 所以直线 过定点 ． 若直线 的斜率不存在,设其方程为 , , ． 由题意得 ,解得 ,此时直线 的方程为 ,显然过点 ． 综上,直线 过定点 ． 【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点 在双曲线 上,直线l交C于 两点,直线 的斜率之和为 . (1)求l的斜率; (2)若 ,求 的面积. 【解析】（1）将点 代入 中,得 ,即 , 解得 ,故双曲线方程为 ； 由题意知直线l的斜率存在,设 ,设 , , 则联立直线与双曲线 得： , 需满足 , 故 , , , 化简得： , 故 , 即 ,即 , 由题意可知直线l不过A点,即 , 故l的斜率（2）设直线AP的倾斜角为 ,由 , , 得 ,（负值舍去）, 由直线 的斜率之和为 ,可知 ,即 , 则 ,得 ,即 , 联立 ,及 得 , , 将 , 代入 中,得 , 故 , , 而 , , 由 ,得 , 故 . 【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线 的焦点为 ,其中 为 的准 线上一点, 是坐标原点,且 . （1）求抛物线 的方程； （2）过 的动直线与 交于 两点,问：在 轴上是否存在定点 ,使得 轴平分 若存在,求出点 的坐标；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）抛物线 的焦点为设 ,则 因为 , 所以 ,得 . 所以抛物线 的方程为 ; （2）假设在 轴上存在定点 ,使得 轴平分 . 设动直线的方程为 ,点 , 联立 ,可得 恒成立, 设直线 的斜率分别为 ,则 由定点 ,使得 轴平分 ,则 , 所以 .把根与系数的关系代入可得 , 得 . 故存在 满足题意. 综上所述,在 轴上存在定点 ,使得 轴平分 . (三) 根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点A,B是椭圆C： 上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则 ；若点A,B是双曲线C： 上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上 与A,B不重合的点,则 . 2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若 为定值,则直线AB过定点. 【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的左、右 顶点和右焦点分别为 、 和 ,直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ,记直线 、 , 的斜率分别为 、 、 . （1）求证： 为定值； （2）若 ,求 的周长. 【解析】（1）证明：设 ,易知 、 ,其中 ,则 , 为定值. （2）解： ,即 , 设 、 ,而 , 联立 , 则 ,且 , , . 所以, , , , 所以, , , 故直线 恒过椭圆 的左焦点 ,所以, 的周长为 . 【例7】（2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）点 在双曲线 上,离心率 . (1)求双曲线 的方程； (2) 是双曲线 上的两个动点（异于点 ）, 分别表示直线 的斜率,满足 ,求证：直线 恒过一个定点,并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由题意点 在双曲线 上,离心率 可得； ,解出, , 所以,双曲线 的方程是 （2）①当直线 的斜率不存在时,则可设 , 代入 ,得 ,则 , 即 ,解得 或 , 当 时, , 其中一个与点 重合,不合题意； 当 时,直线 的方程为 ,它与双曲线 不相交,故直线 的斜率存在； ②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程 代入 , 整理得, ,设 , 则 , 由 , 所以 所以, , 即 , 整理得 , 即 , 所以 或 , 若 ,则 ,直线 化为 ,过定点 ； 若 ,则 ,直线 化为 ,它过点 ,舍去综上,直线 恒过定点 另解： 设直线 的方程为 ①, 双曲线 的方程 可化为 , 即 ②, 由①②可得 , 整理可得 , 两边同时除以 , 整理得 ③, , 则 是方程③的两个不同的根, 所以 ,即 ④, 由①④可得 ,解得 , 故直线 恒过定点 . (四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题 1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到 定值. 2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围. 【例8】（2022届山东省学情高三上学期12月质量检测）已知椭圆 的左右焦点分别 为 , .过 与 轴垂直的直线与椭圆 交于点 ,点 在 轴上方,且 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,是否存在一定点 使得 为定值,若存在,求出点 的 坐标,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）由己知得 ,所以 , 所以 , 所以椭圆C的方程为 . （2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在 x轴上, 设其坐标为( ,0), 因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为 , , 则 ,将 代入 得： , 所以 , 又 由 得：则 当 时, , 当直线斜率不存在时,存在一定点 使得 为定值0. 综上:存在定点 使得 为定值0. 【例9】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆 的圆心为 ,点 是圆 上的动 点,点 是抛物线 的焦点,点 在线段 上,且满足 . （1）求点 的轨迹 的方程； （2）不过原点的直线 与（1）中轨迹 交于 两点,若线段 的中点 在抛物线 上,求直线 的斜率 的取值范围. 【分析】（1）依题意 ,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到 相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标 ,将点Q坐标代入抛物线方程得到 ,将此式代入 得到 ,解不等式即可. 【解析】（1）易知 点 是抛物线 的焦点, , 依题意 , 所以点 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为 ,长轴长为4, 设该椭圆的方程为 , 则 , , 故点 的轨迹 的方程为 . （2）易知直线1的斜率存在, 设直线1： , 由 得： , , 即 ①又 , 故 ,将 ,代 ,得： , 将②代入①,得： , 即 , 即 ,即 , 且 , 即 的取值范围为 或 . 四、跟踪检测 1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点 在椭圆 ： （ ） 上,且点 到椭圆右顶点 的距离为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若点 , 是椭圆 上不同的两点（均异于 ）且满足直线 与 斜率之积为 ．试判断直线 是 否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由． 【解析】（1）点 ,在椭圆 ： （ ）上代入得： , 点 到椭圆右顶点 的距离为 ,则 , 解得 , , 故椭圆 的方程为 ．（2）由题意,直线 的斜率存在,可设直线 的方程为 （ ）, , , ． 联立 得 ． ． ∴ , , ∵直线 与直线 斜率之积为 ． ∴ , ∴ ． 化简得 , ∴ , 化简得 ,解得 或 ． 当 时,直线 方程为 ,过定点 ． 代入判别式大于零中,解得 （ ）． 当 时,直线 的方程为 ,过定点 ,不符合题意． 综上所述：直线 过定点 ． 2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆 的中心为坐标原点,对称轴为 轴, 轴,且过 两点. (1)求椭圆 的方程； (2) 为椭圆 的右焦点,直线 交椭圆 于 （不与点 重合）两点,记直线 的斜率分别为,若 ,证明： 的周长为定值,并求出定值. 【解析】（1）由已知设椭圆 方程为： , 代入 ,得 , 故椭圆 方程为 . （2）设直线 , 由 得, , , 又 , 故 , 由 ,得 , 故 或 , ①当 时,直线 ,过定点 ,与已知不符,舍去； ②当 时,直线 ,过定点 ,即直线 过左焦点, 此时 ,符合题意.所以 的周长为定值 . 3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 的离心率为 ,上 顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 时,直线 l恰好经过D点. (1)求椭圆C的方程： (2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围. 【解析】（1）由题意知,离心率 ,所以 , 设 , 两式相减得 ,所以 ； 所以直线为 ,即 ,所以 ,椭圆方程为 ； （2）设直线为 ,由 得 , 则 , , , 所以 ,解得 , , 因为l不过D点,则 ,即 则 ,化简得 , 解得 , , 所以 或 .4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知 分别是椭圆 的 左､右顶点, 分别是 的上顶点和左焦点.点 在 上,满足 . (1)求 的方程； (2)过点 作直线 （与 轴不重合）交 于 两点,设直线 的斜率分别为 ,求证： 为定值. 【解析】（1）因为 ,故可设 ,因为 ,故 ,即 ,解得 . 又 在椭圆 上,故 ,解得 ,故 . 又 ,故 ,故 , . 故 的方程为 . （2）因为椭圆方程为 ,故 ,当 斜率为0时 或 重合,不满足题意,故可设 ： . 联立 可得 ,设 ,则 . 故 故定值为5．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 经过点 ,其 右焦点为 . (1)求椭圆 的离心率； (2)若点 在椭圆 上,右顶点为 ,且满足直线 与 的斜率之积为 .求 面积的最大值. 【解析】（1）依题可得, ,解得 , 所以椭圆 的方程为 . 所以离心率 . （2）易知直线 与 的斜率同号,所以直线 不垂直于 轴, 故可设 , 由 可得, , 所以 , ,而 ,即 , 化简可得 , ,化简得 , 所以 或 , 所以直线 或 , 因为直线 不经过点 , 所以直线 经过定点 . 设定点 , 因为 ,所以 , 设 , 所以 , 当且仅当 即 时取等号,即 面积的最大值为 . 6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线 和点 . (1)斜率为 且过原点的直线与双曲线 交于 两点,求 最小时 的值. (2)过点 的动直线与双曲线 交于 两点,若曲线 上存在定点 ,使 为定值 ,求点 的坐标及 实数 的值. 【解析】（1）由对称性可设 ,则 , 因为 点在双曲线 上,所以 ,即 ,且 所以 , 当 时, 为直角, 当 时, 为钝角, 所以 最小时, . （2）设 ,由题意知动直线一定有斜率,设点 的动直线为 , 设 联立 得 , 所以 ,解得 且 , ,即 , 即 , 化简得 , , 化简得 ,由于上式对无穷多个不同的实数 都成立, 所以 将①代入②得 ,从而 如果 时,那么 ,此时 不在双曲线 上,舍去, 因此 ,从而 ,代入 ,解得 , 此时 在双曲线上, 综上, ,或者 . 7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知 、 为椭圆C： 的左右顶点,直线 与C交于 两点,直线 和直线 交于点 . (1)求点 的轨迹方程. (2)直线l与点 的轨迹交于 两点,直线 的斜率与直线 斜率之比为 ,求证以 为直径的圆 一定过C的左顶点. 【解析】（1）由题意得 , , 设 , , , 则 , , 即 , ,得 , 又∵点 在C上,即 ,得 ,∴ ； （2）∵ , 设直线 方程为 ,则 方程为 , 联立 ,得 （ 且 ）, 设 ,得 , , 同理设 ,得 , , , , ∴ ,即 , ∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点. 8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆 的左､右焦点为 , ,且 左焦点坐标为 , 为椭圆上的一个动点, 的最大值为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点,点 ,记直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,证 明： . 【解析】（1）因为左焦点坐标为 ,所以 , 当点 在上､下顶点时, 最大,又 的最大值为 . 所以 ,由 得 , 所以椭圆 的标准方程为 ； （2）当直线 的斜率为0时,直线 的方程为 , 直线 与椭圆 没有交点,与条件矛盾, 故可设直线 的方程为 , 联立直线 的方程与椭圆方程可得, , 化简可得 , 所以 , 由已知方程 的判别式 , 又直线 过点 ,所以 , 所以 ,所以 , 设 , 则 , , 因为 所以 , 所以 方法二：设直线 的方程为 , 由椭圆 的方程 ,得 .联立直线 的方程与椭圆方程,得 , 即 , , 所以 . 因为直线 过定点 ,所以 ,代入 , 得 . 9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 椭圆 的离心率为 ,椭圆 上的一点 满足 轴,且 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知点 为椭圆 的左顶点,若点 为椭圆 上异于点 的动点,设直线 的斜率分别为 ,且 ,过原点 作直线 的垂线,垂足为点 ,问：是否存在定点 ,使得线段 的长为定 值？若存在,求出定点 的坐标及线段 的长；若不存在,请说明理由． 【解析】（1）由椭圆 上的一点 满足 轴,且 ,可得 ,即 , 又由椭圆 的离心率为 ,可得 ,即 , 因为 ,联立方程组,可得 , 所以椭圆 的标准方程为 .（2）由椭圆 ,可得 , 设直线 的方程为 ,则 , 联立方程组 ,整理得 , 则 , 由 ,可得 , 即 , 可得 , 整理得 ,所以 ,所以 或 （舍去）, 所以直线 的方程为 ,即 , 当 时, ,可得直线 过定点 , 因为 ,所以点 在以 为直径的圆上, 所以当点 为线段 的中点时,线段 的长为定值,此时线段 的长为 ,点 . 10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆 ,圆 ,点 ,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段 的垂直平分 线为l．已知E的离心率为 ,点 关于直线l的对称点都在圆C上． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线 与 的斜率之和为 ？若存在,求 实数m的值；若不存在,说明理由． 【解析】（1）由已知, ,则设点 关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段 的中点,则C为线段 的中点,从而线段 为圆C的一条直径,所以 ,即 ,即 ． 于是 ,所以椭圆E的方程是 ． （2）因为原点O为线段 的中点,圆心C为线段 的中点,直线l为线段 的垂直平分线, 所以点O与C也关于直线l对称, 因为点 ,则线段 的中点为 ,直线 的斜率为2,又直线l为线段 的垂直平分线, 所以直线l的方程为 ,即 ． 将 代入 ,得 ,即 ． 设点 ,则 ． 所以 ． 由已知, ,则 ,得 ． 所以 ,即 ,即 ． 因为直线l与椭圆E相交,则 ,解得 ,即 ． 因为 ,所以不存在实数m,使直线 与 的斜率之和为 ．11．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系 中,已知椭圆 ： 的左、 右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆 过点 、 ,过点F的直线l与椭圆 交于P、Q两点（点 P在x轴的上方）. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 ,求点P的坐标； （3）设直线AP、BQ的斜率分别为 、 ,是否存在常数 ,使得 ?若存在,请求出 的值；若不 存在,请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆 过点 、 ,则有 ,解得 , 所以椭圆 的标准方程为 . （2）设 , .由（1）知, . 因为 ,则有 , 即 , 所以 解得 即 .分别将 、 两点的坐标代入 得 解得 （舍）或 所以所求点 的坐标为 . （3）设存在常数 ,使得 .由题意可设直线 的方程为 ,点 , ,则 . 又因为 ,即 ,即 , 所以 即 （*） 又由 得 , , 且 , .代入（*）得 即 ,所以存在常数 ,使得 . 12．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线 的虚轴长为4,直线2x－ y＝0为双曲线C的一条渐近线． （1）求双曲线C的标准方程； （2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直 线MA斜率为 ,直线NB斜率为 ,求证： 为定值． 【解析】（1） 虚轴长为4, ,即 , 直线 为双曲线 的一条渐近线, , , 故双曲线 的标准方程为 ． （2）由题意知, , , 由题可知,直线l斜率不能为零,故可设直线 的方程为 , 设 , , , 联立 ,得 , , , , 直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,,为定值． 13．（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研）已知椭圆C: 的上下顶点分别为 , 过点P 且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于 两点,直线 与 交于点 . (1)设 的斜率分别为 ,求 的值; (2)求证：点 在定直线上. 【解析】（1）设 , , , , 所以 . （2）设 , 得到 , , , 直线 , 直线 , 联立得: ,法一： , 解得 . 法二：由韦达定理得 , . 解得 , 所以点 在定直线 上. 14．（2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考）已知 ,直线 的斜率之积为 ,记动点 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程; (2)直线 与曲线 交于 两点, 为坐标原点,若直线 的斜率之积为 , 证明: 的面积为 定值. 【解析】（1）设 ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,由题意 , 化简得 ； （2）直线 的斜率存在时,可设其方程为 , 联立 化简得 ,设 , 则 , , 所以 化简得 则 , 又 到 的距离 , 所以 ,为定值. 当直线 的斜率不存在时,可设 , 则 ,且 ,解得 ,此时 , 综上, 的面积为定值 .15．（2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）已知椭圆C： 的右焦点为 ,离心率为 为椭圆 的任意内接三角形,点 为 的外心. (1)求 的方程； (2)记直线 的斜率分别为 ,且斜率均存在.求证： . 【解析】（1）由椭圆 的右焦点为 ,离心率为 得 . 所以 . 所以椭圆 的方程为 . （2）证明：设A ,则 . 设 的外接圆方程为 , 得 ,两式相减得 , 因为 ,所以 , 同理： . 两式相减得： ,于是： 所以 将 代入 得： 因为 所以 所以 得证.