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专题 12 圆锥曲线中的“设而不求”
一、考情分析
研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为
繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用
“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.
二、解题秘籍
(一) “设而不求”的实质及注意事项
1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体
思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设
条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,
都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消
去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，
设出直线的方程，再通过运算消去.
【例1】（2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中）已知椭圆 的长轴长为 ，
， 为 的左、右焦点，点 在 上运动，且 的最小值为 .连接 ， 并
延长分别交椭圆 于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)证明： 为定值.
【解析】（1）由题意得 ，
设 ， 的长分别为 ， ，则 ，当且仅当 时取等
号，
从而 ，得 ， ，
则椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）得 ， ，
设 ， ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
则 ，
，
同理可得 ，
所以 .
所以 为定值 .【例2】（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为 ， ，一个
焦点为 .
(1)若直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程；
(2)若直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，并与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
当点 异 ， 两点时，试问 是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ，
由已知得 ， ，所以 ，
椭圆的方程为 ，
当直线 与 轴垂直时与题意不符，
设直线 的方程为 ， ， ，
将直线 的方程代入椭圆的方程化简得 ，
则 ， ，
∴ ，解得 .∴直线 的方程为 ；
（2）当 轴时， ，不符合题意，
当 与 轴不垂直时，设 ： ，则 ，
设 ， ，联立方程组 得 ，
∴ ， ，
又直线 ： ，直线 ： ，
由 可得 ，即 ，
，
，
，
，
，即 ，得 ，
∴ 点坐标为 ，
∴ ，
所以 为定值.
(二)设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的
坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策
略进行的.
【例3】（2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测）已知椭圆 的离心率为 ，
过坐标原点 的直线交椭圆 于 两点，其中 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 .
当 为椭圆的右焦点时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为 的延长线与椭圆 的交点，试问： 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明
理由.
【解析】（1） 椭圆离心率 ， ，则 ，
当 为椭圆右焦点时， ；
，解得： ， ，
椭圆 的方程为： .
（2）由题意可设直线 ， ， ，
则 ， ， ， 直线 ；由 得： ，
，则 ，
， ；
，又 ，
，则 ，
为定值 .
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中）作斜率为 的直线l与椭圆 交于
两点，且 在直线l的左上方.
(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；
(2)证明： 的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】（1）设 ， ， 中点坐标为 ，
所以有 ，联立 ，得 ，得 ，得
，由韦达定理可知 ， ，所以，所以 ，化简得： ，所以线段AB的中
点在直线 上.
（2）由题可知 ， 的斜率分别为 ， ，所以
，因为
得
由（1）可知 ， ，所以
，又因为 在直线l的左上方，所以
的角平分线与 轴平行，所以 的内切圆的圆心在 这条直线上.
(三)设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参
数,这时常引入斜率、截距作为参数.
【例5】（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）已知椭圆 的左右焦点分别为 ,
,其离心率为 ,P为椭圆C上一动点, 面积的最大值为 .（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点 的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得 为定值？若
存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c,因离心率为 ,则 ,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线
的距离最大,
则有 ,于是得 ,又 ,联立解得 ,
所以椭圆C的方程为： .
（2）由(1)知,点 ,
当直线斜率存在时,不妨设 , , ,
由 消去y并整理得, , , ,
假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点 ,
则
,
当 ,即 时, ,
当直线l斜率不存在时,直线l： 与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令 ,
当点 坐标为 时, , ,所以存在定点 ,使得 为定值 .
(四) 中点弦问题中的设而不求
与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标 代入圆锥曲线方程作差,得到关于
的关系式,再结合题中条件求解.
【例6】中心在原点的双曲线 焦点在 轴上且焦距为 ,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后
面问题：
①该曲线经过点 ；
②该曲线的渐近线与圆 相切；
③点 在该双曲线上, 、 为该双曲线的焦点,当点 的纵坐标为 时,恰好 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过定点 能否作直线 ,使 与此双曲线相交于 、 两点,且 是弦 的中点？若存在,求出 的方
程；若不存在,说明理由.
【解析】(1)设双曲线 的标准方程为 .
选①：由题意可知,双曲线 的两个焦点分别为 、 ,
由双曲线的定义可得 ,则 ,故 ,
所以,双曲线 的标准方程为 .
选②：圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 ,
双曲线 的渐近线方程为 ,由题意可得 ,解得 ,即 ,因为 ,则 , ,
因此,双曲线 的标准方程为 .
选③：由勾股定理可得 ,
所以, ,则 ,则 ,故 ,
所以,双曲线 的标准方程为 .
(2)假设满足条件的直线 存在,设点 、 ,则 ,
由题意可得 ,两式作差得 ,
所以,直线 的斜率为 ,所以,直线 的方程为 ,即 .
联立 ,整理可得 , ,
因此,直线 不存在.
三、跟踪检测
1．（2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测）已知椭圆 的右焦点为F，离心
率为 ，上顶点为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若 ， ，判断 是
否为定值？并说明理由．【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故椭圆C的方程 .
（2） 为定值 ，理由如下：
由（1）可得 ，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
，
∵ ， ，则 ，可得 ，
（定值）.
2．（2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考）如图，长轴长为4的椭圆
的左顶点为A，过原点 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 交于 ， 两点，直
线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，当直线 的斜率为 时， .(1)求椭圆 的方程.
(2)试问是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可知 ，则椭圆方程 即 ，
当直线 的斜率为 时， ，
故设 ， ，解得 ，
将 代入 得 ，即 ，
故 ，所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设 ，则 ，
则 ，
由椭圆方程 可得 ，∴直线 方程为︰ ，
令 可得 ，
直线 方程为： ，令 得 ，
假设存在定点 ，使得 ，则定点 必在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆为 ,
即 ，∵ ，即
∴ ，
令 ，则 ，解得 ，
∴以 为直径的圆过定点 ，即存在定点 ，使得 ．
3．（2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考）已知椭圆 的离心率为 ，椭
圆的短轴端点与双曲线 的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线l与椭圆相交于A，B两
点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于 轴的对称点为点E，证明：直线 与 轴交于定点.
【解析】（1）由双曲线 得焦点 ，得 ，
由题意可得 ，解得 ， ，
故椭圆 的方程为； .
（2）设直线 ，点 ，则点 .
由 ，得 ， ，解得
，
从而 ， ，
直线 的方程为 ，令 得 ，又∵ ， ，
则 ，即 ，
故直线 与 轴交于定点 .
4．（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线 经过
点 ，两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于 两点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)若动直线 经过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过
点？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） 两条渐近线的夹角为 ， 渐近线的斜率 或 ，即 或 ；
当 时，由 得： ， ， 双曲线 的方程为： ；
当 时，方程 无解；
综上所述： 双曲线 的方程为： .
（2）由题意得： ，
假设存在定点 满足题意，则 恒成立；
方法一：①当直线 斜率存在时，设 ， ， ，
由 得： ， ，
， ，，
，
整理可得： ，
由 得： ；
当 时， 恒成立；
②当直线 斜率不存在时， ，则 ， ，
当 时， ， ， 成立；
综上所述：存在 ，使得以线段 为直径的圆恒过 点.
方法二：①当直线 斜率为 时， ，则 ， ，
， ， ，
，解得： ；
②当直线 斜率不为 时，设 ， ， ，
由 得： ， ，
， ，；
当 ，即 时， 成立；
综上所述：存在 ，使得以线段 为直径的圆恒过 点.
5．（2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考）平面内一动点 到定直线 的距离，是它与定点
的距离的两倍.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过 点作两条互相垂直的直线 ， （直线 不与 轴垂直）.其中，直线 交曲线 于 ， 两点，直
线 交曲线 于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ，若直线 ， ， 的斜率 ，
， 构成等差数列，求 的值.
【解析】（1）设点 ，由题，有 ，即 ，解得 ，
所以所求 点轨迹方程为
（2）由题，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
与曲线 联立方程组得 ，解得 ，
设 ， ，则有 ，
依题意有直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，令 ，则有 点的坐标为 ，
由题， ，
，
因为 ，
所以
解得 ，则必有 ，
所以 .
6．（2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线
，点M到l的距离为d，若点M满足 ，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设 ，证明：以P，Q为直径的圆经过点
A．【解析】（1）设点 ，则 ，
由 ，得 ，两边平方整理得 ，
则所求曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与 交于两点，故 ，此时 ，
所以 ，而 .
又 ，
所以
所以 ，即以P，Q为直径的圆经过点A.
7．（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆 的左､右焦点分别为
， ， ，面积为 的正方形ABCD的顶点都在 上.
(1)求 的方程；
(2)已知P为椭圆 上一点，过点P作 的两条切线 和 ，若 ， 的斜率分别为 ， ，
求证： 为定值.【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为 ，
由 ，得 ，
所以 ，整理得 .①
又 ，②
由①②解得 ， ，
故所求椭圆方程为 .
（2）由已知及（1）可得 ，
设点 ，则 .
设过点P与 相切的直线l的方程为 ，
与 联立消去y整理可得 ，
令 ，
整理可得 ，③
根据题意 和 为方程③的两个不等实根，
所以 ，
即 为定值 .
8．（2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，过点 且与 轴不重合的直线与椭圆 交于 两点， 的周长为8.
(1)若 的面积为 ，求直线 的方程；
(2)过 两点分别作直线 的垂线，垂足分别是 ，证明：直线 与 交于定点.
【解析】（1）因 的周长为8，由椭圆定义得 ，即 ，而半焦距 ，又 ，则
，椭圆 的方程为 ，
依题意，设直线 的方程为 ，由 消去x并整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
因此 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
（2）由（1）知 ， ，则 ， ，设直线 与 交点为 ，
则 ， ，
而 ， ，则 ， ，
两式相加得： ，而 ，
则 ，因此 ，两式相减得：
，而 ，则 ，即，
所以直线 与 交于定点 .
9．（2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考）已知双曲线 ： 的焦距为4，
且过点
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线 的左焦点 分别作斜率为 的两直线 与 ，直线 交双曲线 于 两点，直线 交双曲
线 于 两点，设 分别为 与 的中点，若 ，试求 与 的面积之比.
【解析】（1）由题意得 ，得 ，
所以 ，
因为点 在双曲线上，
所以 ，
解得 ，
所以双曲线方程为 ，
（2） ，设直线 方程为 ， ，
由 ，得
则 ，
所以 ，所以 的中点 ，
因为 ，
所以用 代换 ，得 ，
当 ，即 时，直线 的方程为 ，过点 ，
当 时， ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
所以直线 也过定点 ，
所以
10.（2022届北京市海淀区高三上学期期末）已知点 在椭圆 ： 上.
（1）求椭圆 的方程和离心率；
（2）设直线 ： （其中 ）与椭圆 交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线 于点
M,N.当 的面积为 时,求 的值.
【解析】（1）将点 代入 ,解得 ,所以椭圆 的方程为
又 ,离心率（2）联立 ,整理得
设点E,F的坐标分别为 ,
由韦达定理得： ,
直线AE的方程为 ,令 ,得 ,即
直线AF的方程为 ,令 ,得 ,即
所以 的面积
即 ,解得 或
所以 的值为 或
11.（2022届天津市第二中学高三上学期12月月考）已知椭圆 的长轴长是4,且过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l： 交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意,得 , ,
所以椭圆的标准方程为 ；（2）设 , ,
联立 ,得 ,
即 ,
则 ,
因为直线 恒过椭圆的左顶点 ,
所以 , ,
则 , ,
因为点B始终在以PQ为直径的圆内,
所以 ,即 ,
又 , ,
则 ,
即 ,
即 ,
解得 ,
所以实数k的取值范围为 .
12.（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟）已知椭圆C : =1(a>b>0)的右顶点
1
与抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C 的离心率为 ,过椭圆C 的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物
2 1 1线所得弦的长度为4 .
（1）求椭圆C 和抛物线C 的方程.
1 2
（2）过点A(-4,0)的直线l与椭圆C 交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线
1
EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c.依题意,可得a= ,则C :y2=4ax,
1 2
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2 ,所以4 =4 ,
则有 ,所以a=2,b= ,
所以椭圆C 的方程为 =1,抛物线C 的方程为y2=8x.
1 2
（2）依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,
由 ,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x,y),N(x,y),则E(x,-y).由Δ>0,得t<-2或t>2,
1 1 2 2 1 1
且y+y= ,yy= .
1 2 1 2
根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).
因为k =k ,所以 ,(x-m)y+(x-m)y=0,
NQ EQ 1 2 2 1
即(ty -4-m)y+(ty -4-m)y=0,2ty y-(m+4)(y+y)=0,
1 2 2 1 1 2 1 2
即2t· -(m+4)· =0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).
当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),
所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).
13．（2022届河北省高三上学期省级联测）已知椭圆P焦点分别是 和 ,直线 与椭
圆P相交所得的弦长为1.（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为 的重心,
求 的面积.
【解析】（1）根据题意, , ,
又因为 ,
解得： , ,
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由题意得椭圆Q的方程为 ,
当直线 斜率存在时,设 方程为： , , , ,
联立 可得： ,
则
因为坐标原点为 的重心,
所以
由 ,
得将 代入椭圆方程可得： ,
化简得： ,
又O到直线 的距离为： ,
则 ,
因为原点O为 的重心,
所以 ,
当直线 斜率不存在时,根据坐标关系得,直线AB的方程为 ,
此时 ,
所以 .
综上： 的面积为 .
14．（2022届广东省佛山市高三上学期期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ,且过点 .
（1）求C的方程；
（2）设 ,直线 不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线 与C交于另一点D,求证：直
线 过定点.
【解析】（1）因为双曲线C的渐近线方程为 ,
则可设双曲线的方程为 ,将点 代入得 ,解得 ,
所以双曲线C的方程为 ；
（2）显然直线 的斜率不为零,
设直线 为 , ,
联立 ,消 整理得 ,
依题意得 且 ,即 且 ,
,
直线 的方程为 ,
令 ,
得
.所以直线 过定点 .
15．（2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟）设双曲线 的右顶点为 ,
虚轴长为 ,两准线间的距离为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）设动直线 与双曲线 交于 两点,已知 ,设点 到动直线 的距离为 ,求 的最大值.
【解析】（1）依题意可得 ,解得 ,所以双曲线方程为
（2）由（1）可知 ,依题意可知 ,设 , , , ,则有
, ,所以 , ,所以 ,
,
作差得 ,又 的方程为 ,所以 过定点 ,所
以 ,即 的最大值为 ；
16．（2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测）如图,已知椭圆 ,椭圆
, 、 . 为椭圆 上动点且在第一象限,直线 、 分别交椭圆 于 、
两点,连接 交 轴于 点.过 点作 交椭圆 于 ,且 .（1）证明： 为定值；
（2）证明直线 过定点,并求出该定点；
（3）若记 、 两点的横坐标分别为 、 ,证明： 为定值.
【解析】（1）证明：设 ,则 ,可得 ,
则 , ,则 ；
（2）证明：当直线 的斜率存在时,设 的方程为 ,
则 ,代入消元得 .
则 ,
设 、 ,则 , ,
由 ,
得 ,
约去 ,并化简得 ,解得 （ 不符合题意,舍去）；
当直线 的斜率不存在时,设 的方程为 ,其中 ,联立 ,解得 ,则 、 ,
所以, ,可解得 .
综上,直线 过定点 .
（3）证明：设 的方程为 ,
则 可解得 点的坐标为 .
由 ,则 点的坐标为 .
同理,记 的斜率为 ,则 点的坐标为 .
由 ,则 点的坐标为 ,
则 的斜率 ,
所以直线 的方程为 .
令 ,得 ,故 .
17．（2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考）已知圆 ： ,椭圆 ：的离心率为 , 是 上的一点, 是圆 上的一点, 的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 是 上异于 的一点, 与圆 相切于点 ,证明： .
【解析】（1） ,所以
设 的焦距是 ,则 ,解得 ,则 ,
所以 的方程是 .
（2）证明：①当直线 斜率不存在时, 的方程为 或 .
当 时, , ,此时 ,即 ；
当 时,同理可得 .
②当直线 斜率存在时,设 方程为 ,即 .
因为直线与圆相切,所以 ,即
联立 得 .
设 , ,则 ,
所以
代入 整理可得 ,即
综上, ,又 与圆 相切于点 ,所以 ,易得 ,所以 ,即
所以 上存在定点 满足题意,其中 的坐标为 .
18．已知双曲线 ： （ , ）的实轴长为 ,离心率 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 相交于 , 两点,弦 的中点坐标为 ,求直线 的方程.
【解析】 (1)由题意可得 ,解得： ,所以双曲线 的方程为： .
(2)设 , ,
因为弦 的中点坐标为 ,所以 , ,
将点 , 代入双曲线 可得：
,两式相减可得：
即 ,所以 ,
所以直线 的斜率为： ,
所以直线 的方程为： 即 .
