专题10圆锥曲线与向量的交汇（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年高考数学大题系列

专题 10 圆锥曲线与向量的交汇 一、考情分析 平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或 结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以 处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且 时常出现在解答题中. 二、解题秘籍 (一) 圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略 n m 1.设 为直线l的方向向量,若 ,则l斜率为k；若 （m≠0）,则l斜率为 ； ⃗AB λ ⃗AC O⃗C λO⃗A μ 2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线: ① = ;② = + O⃗B λ μ O⃗C O⃗A λO⃗B λ ⃗AB ⃗AC 且 + =1;③ =( + )/(1+ )；④ ∥ . 1 ⃗AC C⃗B O⃗C 2 O⃗A 3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:① = ;② = ( + O⃗B ). ⃗AB⃗AC ⃗AB ⃗AD ⃗AB ⃗AD ⃗AB⃗AC ⃗AD 4.在四边形ABCD中,若 ∙ =0,则ABAC;若∣ + ∣=∣ - ∣,则ABAD;若 ∙ = ∙ ⃗AC ,则ACBD. 5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量 共线 转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化. 6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是 否存在. 7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式. 【例1】（2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考）已知两点 , ,动点 在 轴的投影为 ,且 ,记动点 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程. (2)过点 的直线与曲线 在 轴右侧相交于 , 两点,线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ,试 问 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由. 【解析】（1）设 ,则 , , , . 因为 ,所以 , 故 的方程为 . （2）由题可知直线 的斜率一定存在,且不为0, 不妨设直线 的方程为 , , . 联立方程组 ,消去 整理得 , 则 ,整理得 . , , 则线段 的垂直平分线的方程为 , 令 ,得 ,则 ,. 则 . 故 是定值,该定值为 . (二) 把点共线问题转化为向量共线 此类问题通常是把点 共线转化为 ,或点C在直线AB上. 【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆 的左､右顶点分別 为 ,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为 ,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）, 且满足 . （1）求椭圆C的方程； （2）证明：M,F,N三点共线. 【解析】（1）椭圆C的右焦点为 ,且离心率为 , ∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3, ∴椭圆C的方程为 . （2）由（1）知, 的坐标分别为 ,设 ,∴ , , , , ∵ , , ∴ 三点共线, 三点共线,即 ,整理得 ,两边平方得 ,① 又M,N在椭圆上,则 ,代入①并化简得 , 又 , , ∴要证M,F,N三点共线,只需证 ,即 ,只需证 ,整理得 , ∴M,F,N三点共线. (三) 利用向量共线求双变量的关系式 此类问题一般是给出形如 的条件,确定关于 的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与 纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一 个）,把 用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量. 【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆 的方程为 ,过椭圆左焦点 且垂直于 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点 ,椭圆的右焦点为 ,已知 ,椭圆过点 ． (1)求椭圆 的标准方程；(2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点,交 轴于 点,若 , ,求证： 为定值． 【解析】（1）依题可知： , , 所以 ,即 , 解得 又∵椭圆 过点 ,则 联立 可得 , 椭圆 的标准方程为 ． （2）设点 、 , , 由题意可知,直线 的斜率存在,可设直线 的方程为 , 联立 ,可得 , 由于点 在椭圆 的内部,直线 与椭圆 必有两个交点, 由韦达定理可得 , , , , ,得 , , , , ． (四) 利用向量加法的几何意义构造平行四边形 若点 满足 ,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边 长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用. 【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆 经过点 ,左焦点 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作直线 与椭圆 交于 两点,点 满足 （ 为原点）,求四边形 面积 的最大值. 【解析】（1）设椭圆的焦距为 ,则 , 又因为椭圆经过点 ,所以 , 又 , , , 所以椭圆 的方程为 . （2）因为 ,所以四边形 为平行四边形,当直线 的斜率不存在时,显然不符合题意； 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 与椭圆交于 , 两点, 由 . 由 , , , 令 ,则 （由上式知 ）, ,当且仅当 ,即 时取等号. ∴当 时,平行四边形 的面积最大值为2. (五) 把向量的数量积转化为代数式 若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化. 【例5】（2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研）已知双曲线 的右焦点为 为坐标原点,双曲线 的两条渐近线的夹角为 ． (1)求双曲线 的方程； (2)过点 作直线 交 于 两点,在 轴上是否存在定点 ,使 为定值？若存在,求出定点 的坐标及这个定值；若不存在,说明理由． 【解析】（1）双曲线 的渐近线为 , 又 , ,故其渐近线 的倾斜角小于 ,而双曲线 的两条渐近线的夹角为 , 则渐近线的 的倾斜角为 , 则 ,即 ． 又 ,则 ． 所以双曲线 的方程是 ． （2）当直线 不与 轴重合时,设直线 的方程为 , 代入 ,得 ,即 ． 设点 ,则 ． 设点 ,则 令 ,得 , 此时 ． 当直线 与 轴重合时,则点 为双曲线的两顶点,不妨设点 ． 对于点 ． 所以存在定点 ,使 为定值．(六) 把垂直问题转化为向量的数量积为零 求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这 种转化可避免讨论直线的斜率是否存在. 【例6】已知椭圆 的右焦点为 ,椭圆 上的点到 的距离的最大值和最小值分别为 和 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若圆 的切线 与椭圆 交于 , 两点,是否存在正数 ,使得 ？若存在,求出 的 值；若不存在,请说明理由． 【解析】（1）由题意可得, ,解得 , , 则 , 所以椭圆方程为 ； （2）假设存在正数 ,使得 ,即使得 ,当直线 的斜率不存在时,设直线 的方程为 , 可得 , ,因为 , 则有 ,解得 , 又直线 为圆 的切线,所以 ； 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , , , , , 联立 ,可得 , 则 ,所以 , 且 , 所以 , 因为 , 则 , 所以 , 整理可得 , 则 , 所以 , 因为直线 为圆 的切线, 故原点 到 的距离为 , 所以存在正数 ,使得 ． 三、跟踪检测 1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E： （ , ）一个顶点为 ,直线l过点 交双曲线右支于M,N两点,记 , , 的面积分别为S, , .当l 与x轴垂直时, 的值为 . (1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P, , ,求证： 为定值； (3)在（2）的条件下,若 ,当 时,求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意得 , , 则当l与x轴垂直时,不妨设 , 由 ,得 , 将 代入方程 ,得 ,解得 , 所以双曲线E的方程为 ． （2）设 , , , 由 与 ,得 , 即 , ,将 代入E的方程得： , 整理得： ①, 同理由 可得 ②． 由①②知, , 是方程 的两个不等实根． 由韦达定理知 ,所以 为定值． （3）又 ,即 , 整理得： , 又 ,不妨设 ,则 ,整理得 ,又 ,故 , 而由（2）知 , ,故 , 代入 , 令 ,得 , 由双勾函数 在 上单调递增,得 , 所以m的取值范围为 ． . 2.（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为 , ,一个焦点为 . (1)若直线 过点 且与椭圆交于 , 两点,当 时,求直线 的方程； (2)若直线 过点 且与椭圆交于 , 两点,并与 轴交于点 ,直线 与直线 交于点 ,当点 异 , 两点时,试问 是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由. 【解析】（1）∵椭圆的焦点在 轴上,设椭圆的标准方程为 ,由已知得 , ,所以 , 椭圆的方程为 , 当直线 与 轴垂直时与题意不符, 设直线 的方程为 , , , 将直线 的方程代入椭圆的方程化简得 , 则 , , ∴ ,解得 . ∴直线 的方程为 ； （2）当 轴时, ,不符合题意, 当 与 轴不垂直时,设 ： ,则 , 设 , ,联立方程组 得 , ∴ , , 又直线 ： ,直线 ： , 由 可得 ,即 , , ,, , ,即 ,得 , ∴ 点坐标为 , ∴ , 所以 为定值. 3.（2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测）已知椭圆 的离心率为 ,短轴长 为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点 的直线交椭圆C于A,B两点,求 的取值范围． 【解析】（1） , , ∴ , 又 ,即 , 解得： , , 椭圆的标准方程为 ； （2）当直线AB的斜率不存在时, , 不妨设 ,则当直线AB的斜率存在时,设 , 由 , 恒成立, 故 , ∴ , 综上： , 故 的取值范围为 ． 4.（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试）已知点 分别是椭圆 的左、右顶 点,过 的右焦点 作直线 交 于 两点, (1)设直线 的斜率分别为 ,求 和 的值； (2)若直线 分别交椭圆 的右准线于 两点,证明：以 为直径的圆经过定点. 【解析】（1）由已知 , , , 直线 的斜率不存在时,方程为 ,不妨设 , , ,同理 , ,, , 直线 斜率存在时,设直线方程为 ,设 , 由 ,得 , , , , , , , 因为 , 所以 , 所以 , 综上, , ； （2）由已知 , , ,右准线方程为 , 由（1）知直线 方程为 ,令 得 ,同理 , 由椭圆的对称性知,以 为直径的圆有一个圆心 轴上方的圆,则必定也有一个与之关于 轴对称的圆,这两 个圆的交点在 轴上,以 为直径的圆经过定点,这个定点必在 轴上,设定点为 ,则 ,由（1）得 , 或 , 所以以 为直径的圆经过定点 , ． 5. （2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线 的离心率为 ,点 在 上. (1)求双曲线 的方程. (2)设过点 的直线 与双曲线 交于 两点,问在 轴上是否存在定点 ,使得 为常数？若存 在,求出点 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线 的离心率为 , 所以 ,化简得 . 将点 的坐标代入 ,可得 , 解得 , 所以 的方程为 . （2）设 ,直线 的方程为 ,联立方程组 消去 得（1- , 由题可知 且 ,即 且 , 所以 .设存在符合条件的定点 ,则 , 所以 . 所以 , 化简得 . 因为 为常数,所以 ,解得 . 此时该常数的值为 , 所以,在 轴上存在点 ,使得 为常数,该常数为 . 6.（2023届广东省茂名市高三上学期9月联考）如图,平面直角坐标系 中,点 为 轴上的一个动点,动 点 满足 ,又点 满足 . (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)过曲线 上的点 （ ）的直线 与 , 轴的交点分别为 和 ,且 ,过原点 的 直线与 平行,且与曲线 交于 、 两点,求 面积的最大值. 【解析】（1）由题意,设 , ,由 得 ,且 , 由 得 ,则 ,得 , 代入 整理得 ,故动点 的轨迹 的方程为 . （2）如图,设 （ ）,又直线 的斜率存在且 , 设直线 为： , 可得： , , 由 ,则 ,故 , , 联立 ,可得： ,即 , 又 ,故直线 的方程为 ,联立 ,得： , 即 、 的横坐标为 , , 点 到直线 的距离 , ,当且仅当 ,即 时等号成立, 面积的最大值为2. . 7.（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系 中, 设点 , 点 与 两点的距离之和为 为一动点, 点 满足向量关系式： ． (1)求点 的轨迹方程 ； (2)设 与 轴交于点 ( 在 的左侧), 点 为 上一动点 (且不与 重合)． 设直线 轴与直线 分别交于点 ,取 ,连接 ,证明： 为 的角平分线． 【解析】（1）设点 , , 则由点 与 两点的距离之和为 , 可得点G的轨迹是以 为焦点且长轴长为 的椭圆, 其轨迹方程为 , 由 ,可得 ,代入点G的轨迹方程, 可得： , 所以点 的轨迹方程 ； （2）设点 ,则 ,即 ,,令 ,得 , , 则点 到直线 的距离为： , 要证ER为 的角平分线,只需证 , 又 , , 所以 ,当且仅当 ,即 时, 又 在 上,则 ,即 , 代入上式可得 恒成立, 为 的角平分线． 8.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图,椭圆 ： （ , , 是椭圆 的左焦点, 是椭圆 的左顶点, 是椭圆 的上顶点,且 ,点 是长轴上的任一定点,过 点的任一直线 交椭圆 于 两点.(1)求椭圆 的方程； (2)是否存在定点 ,使得 为定值,若存在,试求出定点 的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明 理由. 【解析】（1）由已知知 ,解得 , 所以椭圆方程为 ； （2）假设存在 满足题意, 设 , , , ①当直线 与 轴不垂直时,设 ： , 代入 并整理得 ∴ , （*） （*）式是与 无关的常数,则 解得 ,此时 为定值； ②当直线 与 垂直时, , , ,也成立, 所以存在定点 ,使得 为定值． 9．（2023届北京市第四中学高三上学期开学测试）已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆 过点 ,离 心率为 ,点 为其右顶点.过点 作直线 与椭圆 相交于 、 两点,直线 、 与直线 分 别交于点 、 . (1)求椭圆 的方程； (2)求 的取值范围. 【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为 （ ）, 由题意,得 ,解得 , , 即椭圆 的标准方程为 . （2）由（1）得 , 设 , , , 联立 ,得 , 即 ,则 , , 直线 , 的方程分别为 , ,令 ,则 , , 则 , , 所以 因为 ,所以 , , 即 的取值范围为 . 10．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,且 过点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)已知 是双曲线 上不同于 的两点,且 于 ,证明：存在定点 ,使 为定值. 【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线, 设双曲线 的标准方程为代入点 坐标,解得 所以双曲线 的标准方程为 （2）（i）当直线 斜率存在时,设 , 设 ,联立 与双曲线 , 化简得 , ,即 , 则有 , 又 , 因为 , 所以 , 所以 , 化简,得 ,即 , 所以 , 且均满足 , 当 时,直线 的方程为 ,直线过定点 ,与已知矛盾, 当 时,直线 的方程为 ,过定点 （ii）当直线 斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE： ,与双曲线 方程联立解得 ,此时 也过点 , 综上,直线 过定点 . 由于 ,所以点 在以 为直径的圆上, 为该圆圆心, 为该圆半径,所以存在定点 ,使 为定值 . 11．（2023届四川省达州市开江县高三上学期考试）已知椭圆 为椭圆 的 左、右焦点,过点 的任意直线 交椭圆 于 、 两点,且 的周长为8,椭圆 的离心率为 . (1)椭圆 的方程； (2)若 为椭圆 上的任一点, 为过焦点 的弦,且 ,求 的值. 【解析】（1）由题意可知, 的周长为 . 所以 ,又 , 所以 ,则 , 所以椭圆 的方程为 . （2）不妨令 . 所以 ,即 .当 时,不妨设直线 为 ,其中 . 直线 为 ,其中 . 联立方程 , 得 . 所以 ,即 . 同理可得： . 又 . 所以 . 则, 综上所述, . 12．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点 与定点 的距离是点 到直线 距离的 倍,设点 的轨迹为曲线 ,直线 与 交于 、 两点,点 是线段 的中点, 、 是 上关于原点 对称的两点,且 . （1）求曲线 的方程； （2）当 时,求直线 的方程； （3）当四边形 的面积 时,求 的值. 【解析】（1）由题意可得 ,化简可得 , 因此,曲线 的方程为 . （2）设点 、 ,联立 ,可得 , , 由韦达定理可得 , , 则 , ,所以点 的坐标为 , 因为 ,可得点 , 将点 的坐标代入曲线 的方程得 ,解得 , 因此,直线 的方程为 . （3）由（2）可得 ,则点 , 则点 , 因为点 在曲线 上,则 ,可得 ,因为 ,则 , 点 到直线 的距离为 , 点 到直线 的距离为 , , 所以, , 因为 ,解得 . 13．(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆 的焦点恰为椭圆 长轴的端点,且 的短轴长为2（1）求椭圆 的方程． （2）若直线 与直线 平行,且 与 交于 , 两点, ,求 的最小值． 【解析】（1）由椭圆 ,可得其长轴的端点分别为 , 根据题意,可得 ,解得 , 故 的方程为 ． （2）设直线 的方程为 , 联立方程组 ,整理得 , 设 , ,则 , , 且 ,解得 且 所以 因为 ,其中 且 , 所以当 时, 取得最小值,且最小值为 , 故 的最小值为 ． 14．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系 中,点 , 的坐标分别为 , , 是动点,且直线 与 的斜率之积等于 .（1）求动点 的轨迹 的方程； （2）已知直线 与椭圆： 相交于 , 两点,与 轴交于点 ,若存在 使得 ,求 的取值范围. 【解析】（1）设 ,则 , 所以可得动点P的轨迹C的方程为 . （2）设 又 ,由 得 , 联立 可得 , 即 ,且 , 又 ,则 , , 代入 得 , ,解得 . 的取值范围是 15.（2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考）已知点 是已知椭圆 的左、右焦点,点 在椭圆上,当 时, 面积达到最大,且最大值为 .（1）求椭圆 的标准方程； （2）过 的直线与椭圆 交于 两点,且两点与左右顶点不重合,若 ,求四边形 面 积的取值范围. 【解析】（1）由题可知,当点 在短轴端点时,△PFF 的面积最大,且为正三角形, 1 2 ,又 ,由 ,解得 , 所以椭圆 的标准方程为 . （2）设 ,则由 , 可得 ,即 , , 又因为 ,所以四边形 是平行四边形, 设平面四边形 的面积为S, 则 . 设 ,则 , 所以 因为 ,而对勾函数 在 上单调递增,所以 , 所以 . 所以四边形 面积的取值范围为 .16．（2022届四川省成都市高三上学期期中）已知椭圆 的左顶点为 ,右焦点为 , 过点 作斜率为 的直线与 相交于 , ,且以 为直径的圆过点 ,其中 为坐标原点. （1）求椭圆的离心率 ； （2）若 ,过点 作与直线 平行的直线 , 与椭圆 相交于 , 两点. ①求 的值； ②点 满足 ,直线 与椭圆的另一个交点为 ,求 的值. 【解析】（1）依题意,如图, , , , , ,则 , 而点B在椭圆 上,于是得： ,整理得 ,即 , , 所以椭圆的离心率 . （2）①由(1)及 得, ,椭圆 的方程为 ,而直线 与直线 平行, 则直线 的方程为 , , ,由 消去x得： ,显然 于是得 , , 所以 .②因 ,由①得 ,设 , , 则 , , , ,即 ,解得 , 而 , , 都在椭圆上,即 , , , , 整理得： , 由①可知 ,则有 ,解得 , 所以 的值是 . 17．（2022届广东省江门市高三上学期10月月考）设 分别是平面直角坐标系中 轴正方向上的单位 向量,若向量 , ,且 ,其中 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 与轨迹 交于 , 两点,设 ,是否存在直线 ,使得四边形 是矩形？ 若存在,求出直线 的方程；若不存在,试说明理由. 【解析】（1）由题意得 , , , , 设 , ,则动点M满足 , 由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以 , 为焦点的椭圆,设椭圆 的方程为 ,则 , , , 故轨迹 的方程为 （2）存在满足条件的直线 .设直线 的方程为 , 由方程组 ,消去 ,整理得： 则 恒成立,即直线 与椭圆 恒有两个不同的交点, 设交点为 , ,则 ①, ② 由 得 ,即 ,∴四边形OAPB为平行四边形 若存在直线 使四边形OAPB为矩形,则 , 即 ③ 将①､②代入③式得： ,解得 , 所以直线 的方程为 ,此时四边形OAPB为矩形. 18.过双曲线Γ： 的左焦点F 的动直线l与Γ的左支交于A,B两点,设Γ的右焦点为F. 1 2 (1)若 是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l,使得 ,求Γ的离心率的取值范围. 【解析】（1）依题意,结合双曲线的对称性得 , , 所以2a＝|AF|－|AF|＝2,a＝1, , ,b2＝c2－a2＝2, 2 1此时Γ的标准方程为 . （2）依题意知直线l的斜率不为0,设l的方程为x＝my－c, 联立 ,消去 ,得 , 设A(x,y),B(x,y),则 , , 1 1 2 2 由AF⊥BF 得 ,故(x－c)(x－c)＋yy＝0,即(my－2c)(my－2c)＋yy＝0, 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 整理得 ,即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0, 则(m2＋1)b4＝4a2c2,所以 ,故4a2c2≥(c2－a2)2, 所以c4＋a4－6a2c2≤0,两边除以 ,得e4－6e2＋1≤0,解得 , 又因为e>1,所以 ,故 , 又A,B在左支且l过F,所以yy<0,即 ,故 , 1 1 2 所以 ,所以 , 即4a25,即 , 综上： ,即 .