专题6圆锥曲线中的定点问题（原卷版）-学霸养成.2023高考数学圆锥曲线压轴大题必杀技_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年高考数学大题系列

专题 6 圆锥曲线中的定点问题 一、考情分析 定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题． 二、解题秘籍 (一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略 1．处理定点问题的思路： (1)确定题目中的核心变量（此处设为 ） (2)利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式 (3)所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于 与 的等式进行变形，直至易于找到 .常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含 的项归在一组，变形为“ ”的形式，从而 只需要先 让括号内的部分为零即可 ② 若等式为含 的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者 考虑让分子分母消去 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容 易观察到的形式） 2．处理定点问题两个基本策略： (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系， 找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【例1】（2023届河南省顶级名校高三上学期月考）设 分别是椭圆 的左､右焦 点， 是 上一点， 与 轴垂直.直线 与 的另一个交点为 ，且直线 的斜率为 . (1)求椭圆 的离心率； (2)设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 两点，证明直线过定点，并求出定点坐标. 【解析】（1）由题意知，点 在第一象限， 是 上一点且 与 轴垂直， 的横坐标为 .当 时， ，即 . 又直线 的斜率为 ，所以 ， 即 ，即 则 ，解得 或 （舍去）， 即 . （2）已知 是椭圆的上顶点，则 ， 由（1）知 ，解得 ， 所以，椭圆 的方程为 ， 设直线 的方程为 ， 联立 可得 ， 所以 ， 又 ，， 化简整理有 ，得 或 . 当 时，直线 经过点 ，不满足题意；. 当 时满足方程 中 ， 故直线 经过 轴上定点 . 【例2】椭圆C的焦点为 ， ，且点 在椭圆 上．过点 的动直线l与椭 圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设椭圆C的标准方程为 ， 由已知得 . 所以 ， ，所以椭圆C的标准方程为 . （2） 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 由 得 . 设 ， ， ，则 ，特殊地，当 的坐标为 时， ，所以 ， ， ， 即 ，所以点B关于 轴的对称点为 ，则直线 的方程为 . 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 . 如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点 ， ， ， 又因为 所以 ，即 三点共线，故直线 恒过定点，定点坐标为 ． 【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点 ，然后再根据 三点共线，判断直线 恒过定 点， (二) 直线过定点问题 1.直线过定点问题的解题模型 2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程： ，然后利用题中条件整理出 的关 系，若 ，代入 得 ，则该直线过定点 . 【例3】（2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测（一））已知椭圆 过点 ．右焦点为 ，纵坐标为 的点 在 上，且 ． (1)求 的方程：(2)设过 与 轴垂直的直线为 ，纵坐标不为 的点 为 上一动点，过 作直线 的垂线交 于点 ， 证明：直线 过定点． 【解析】（1）设点 ，其中 ，则 ， 因为椭圆 过点 ，则 ， 将点 的坐标代入椭圆 的方程，可得 可得 ，解得 ， 因此，椭圆 的标准方程为 . （2）证明：由对称性可知，若直线 过定点 ，则点 必在 轴上，设点 ， 设点 ，则 ， 所以，直线 的垂线的斜率为 ， 故直线 的方程为 ， 在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ， 所以，直线 的方程为 ， 因为点 在直线 上，所以， ， 即 ，① 又因为 ，所以， ，②将②代入①可得 ，即 ， ，则 ，所以，直线 过定点 . (三) 圆过定点问题 圆过定点问题的常见类型是以 为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为 ，也可以转化 为 【例4】（2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）已知椭圆 的右焦点为 ， 与 轴不重合的直线 过焦点 ， 与椭圆 交于 ， 两点，当直线 垂直于 轴时， . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设椭圆 的左顶点为 ， ， 的延长线分别交直线 于 ， 两点，证明：以 为直径的 圆过定点. 【解析】（1）椭圆 的右焦点 ，则半焦距 ， 当 轴时，弦AB为椭圆的通径，即 ，则有 ，即 ， 而 ，于是得 ，又 ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为： . （2）依题意，直线 不垂直于y轴，且过焦点 ，设 的方程为 ， ， ，由 得 ， ， ， 因点 ，则直线 的方程为 ，令 ，得 ， 同理可得 ，于是有 ， 则 ， 因此， ，即 在以 为直径的圆上， 所以以 为直径的圆过定点 . (四) 确定定点使某个式子的值为定值 求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定 值的条件，确定所设点的坐标. 【例5】（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图，椭圆 ： （ ， ， 是椭圆 的左焦点， 是椭圆 的左顶点， 是椭圆 的上顶点，且 ，点 是长轴上的任一定点，过 点的任一直线 交椭圆 于 两点. (1)求椭圆 的方程；(2)是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，试求出定点 的坐标，并求出此定值；若不存在， 请说明理由. 【解析】（1）由已知知 ，解得 ， 所以椭圆方程为 ； （2）假设存在 满足题意， 设 ， ， ， ①当直线 与 轴不垂直时，设 ： ， 代入 并整理得 ∴ ， （*） （*）式是与 无关的常数，则 解得 ，此时 为定值； ②当直线 与 垂直时， ， ， ， 也成立，所以存在定点 ，使得 为定值． (五) 与定点问题有关的基本结论 1.若直线 与抛物线 交于点 ，则 直线l过定点 ； 2. 若直线 与抛物线 交于点 ，则 直线l过定点 ； 3.设点 是抛物线 上一定点， 是该抛物线上的动点，则 直线MN过 定点 . 4.设点 是抛物线 上一定点， 是该抛物线上的动点，则 直线MN过定 点 ； 5.过椭圆 的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 ，则 直线 过点 ； 6.过双曲线 的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 ，则 直线 过点 ； x2 y2  1a b0 7.设点 Pm,n 是椭圆 C： a2 b2 上一定点，点 A,B是椭圆 C上不同于 P的两点，若  2n 2b2m m ,n    a2  ，则直线AB过定点 ； x2 y2  1a 0,b0 Pm,n a2 b2 8. 设点 是双曲线C： 一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点， 2n 2b2m m ,n    a2  若 ，则直线AB过定点 . 【例6】（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点 在椭圆 ： （ ）上，且点 到椭圆右顶点 的距离为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若点 ， 是椭圆 上不同的两点（均异于 ）且满足直线 与 斜率之积为 ．试判断直线 是 否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 【解析】（1）点 ，在椭圆 ： （ ）上代入得： ， 点 到椭圆右顶点 的距离为 ，则 ， 解得 ， ， 故椭圆 的方程为 ． （2）由题意，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 （ ）， ， ， ． 联立 得 ． ． ∴ ， ， ∵直线 与直线 斜率之积为 ． ∴ ，∴ ． 化简得 ， ∴ ， 化简得 ，解得 或 ． 当 时，直线 方程为 ，过定点 ． 代入判别式大于零中，解得 （ ）． 当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，不符合题意． 综上所述：直线 过定点 ． 【例7】（2022届海南华侨中学高三上学期月考）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， 点 是椭圆的一个顶点， 是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）过点 分别作直线 交椭圆于 两点，设两直线的斜率分别为 ，且 ，求证： 直线 过定点 . 【解析】（1）由题意可得 ，解得 所以椭圆的方程为 . （2）设 . ①当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，联立 得 . 由 ，得 . 所以 ． 所以 ， 即 ，所以 ，即 ， 所以 ，所以 ，所以直线 过定点 . ②当直线 斜率不存在时， ，则 ，所以 ，则直线 也过定点 . 综合①②，可得直线 过定点 . 三、跟踪检测 1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆 上某一点 好与点 重合，这样每次折叠都会留下 一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 ． (1)求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程；(2)设 ， 为曲线 上一点， 为圆 上一点（ ， 均不在 轴上）．直线 ， 的斜率分别记为 ， ，且 ，求证：直线 过定点，并求出此定点的坐标． 2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ．圆 （ 为坐标原点）在椭圆 的内部，半径为 ． ， 分别为椭圆 和圆 上的动点，且 ， 两点的最小距离为 ． (1)求椭圆 的方程； (2) ， 是椭圆 上不同的两点，且直线 与以 为直径的圆的一个交点在圆 上．求证：以 为直 径的圆过定点． 3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点 在双曲线 上，离心率 . (1)求双曲线 的方程； (2) 是双曲线 上的两个动点（异于点 ）， 分别表示直线 的斜率，满足 ，求证： 直线 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线 ，O是 坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点， ， ． (1)求抛物线C的标准方程； (2)设点 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 ，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明： 直线 恒过定点． 5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C： 的右顶点是M（2，0），离心率为 ． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否 过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线 与双曲线 的两条 渐近线分别交于A，B两点，且三角形 的面积为 ． (1)求m的值； (2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为 ，F 为C的右焦点，若 ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点． 7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C： 的右焦点为F，过点F 作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为 ，C的离心率为 ． (1)求C的标准方程； (2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点， ，且总存在实数 ，使得 ， 问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，点 ，若 的内切圆的半径与外接圆的半径的比是 ． (1)求椭圆 的方程； (2)过 的左焦点 作弦 ， ，这两条弦的中点分别为 ， ，若 ，证明：直线 过定 点． 9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且过点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)已知 是双曲线 上不同于 的两点，且 于 ，证明：存在定点 ，使 为定值. 10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C： 的焦点为F，过点 P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点． (1)求p的值； (2)是否存在定点T， 使得 为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由． 11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设 为椭圆 ： 的右焦点，过点 且与 轴不重合的直线 交椭圆 于 ， 两点. (1)当 时，求 ； (2)在 轴上是否存在异于 的定点 ，使 为定值（其中 ， 分别为直线 ， 的斜率）？若存 在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由. 【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ． （1）求点 的坐标及 的方程； （2）设动直线 与 相交于 两点，且直线 与 的斜率互为倒数，试问直线 是否恒过定点？若过， 求出该点坐标；若不过，请说明理由． 13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆 ： 的左、右焦点分 别为 ， .离心率等于 ，点 在 轴正半轴上， 为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆 的标准方程； （2）已知斜率存在且不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点，当点 关于 轴的对称点在直线 上时， 直线 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： － ＝1(a、 b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的 中点． （1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k、k，求k·k 的值； 1 2 1 2 （2）若 ＝ ，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由． 15．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当 轴时， . （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一 点Q. ①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理 由. ②求证： 为定值.