专题07圆锥曲线中的定值问题（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年高考数学大题系列

专题 7 圆锥曲线中的定值问题 一、考情分析 求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的 结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中 寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱, 这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定 值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索. 二、解题秘籍 (一) 定值问题解题思路与策略 定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解 式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： (1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） (2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, (3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： (1)设参数； (2)用参数来表示要求定值的式子； (3)消参数. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆 为右焦点，直线 与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段 与线段 的中垂线交于 点Q． (1)当 时，求 ； (2)当 时，求 是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】（1）设 ，线段 的中点M坐标为 ，联立得 消去y可 得： ，所以 所以 ，代入直线 方程，求得 ， 因为Q为 三条中垂线的交点，所以 ， 有 ，直线 方程为 . 令 ，所以 . 由椭圆 可得右焦点 ，故 ． （2）设 ，中点M坐标为 ． 相减得 ， . 又Q为 的外心，故 ， 所以 ，直线 方程为 ， 令 ，所以 而 ,所以 ， ，同理 ， ，，所以当t变化时， 为定值 ． 【例2】（2023届河南省濮阳市高三上学期测试）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，圆 ： ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 和 . (1)求 的方程； (2)过圆 上一点 （不在坐标轴上）作 的两条切线 ， ，记 ， 的斜率分别为 ， ，直线 的斜 率为 ，证明： 为定值. 【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 所截得的弦长分别为 ， 则 ；过 且垂直于 轴的直线被圆 所截得的弦长分别为 ，则 ，又 ，解得 ，所以 的方程为 . （2）设 ，则 .① 设过点 与椭圆 相切的直线方程为 ， 联立 得 ， 则 ， 整理得 .② 由题意知 ， 为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得 . 又因为 ，所以 ，所以 为定值 ．(二) 与线段长度有关的定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简, 得出结果为定值 【例3】（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线 的离心率为 ，点 在双曲线 上. (1)求双曲线 的方程； (2)点 ， 在双曲线 上，直线 ， 与 轴分别相交于 两点，点 在直线 上，若坐标原点 为线段 的中点， ，证明：存在定点 ，使得 为定值. 【解析】（1）由题意，双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上， 可得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 . （2）由题意知，直线的 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，整理得 ， 则 且 ， 设 ，则 ， 直线 的方程为 ， 令 ，可得 ，即 , 同理可得 ，因为 为 的中点，所以 ， 即 ， 可得 ，即 ， 所以 或 ， 若 ，则直线方程为 ，即 ， 此时直线 过点 ，不合题意； 若 时，则直线方程为 ，恒过定点 ， 所以 为定值， 又由 为直角三角形，且 为斜边， 所以当 为 的中点 时， . (三)与面积有关的定值问题 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 【例4】（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆 ： 的左焦点为 ，上、下顶点分别为 ， ， ． (1)求椭圆 的方程； (2)若椭圆上有三点 ， ， 满足 ，证明：四边形 的面积为定值． 【解析】（1）依题意 ，又 ，所以 ， 所以 ， 所以椭圆方程为 . （2）证明：设 ， ， ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，且 ，所以 ，即 ， 又 ， ，所以 ， 若直线 的斜率不存在， 与左顶点或右顶点重合， 则 ，所以 ， 所以 ， 若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程整理得 ， 所以 ， ， ， 所以 所以 ， 整理得 ， 又 ， 又原点 到 的距离 ， 所以 ， 将 代入得 ， 所以 ，综上可得，四边形 的面积为定值 . (四) 与斜率有关的定值问题 与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式, 再利用题中条件或韦达定理化简. 【例5】（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知 分别是椭圆 的左､右顶点， 分别是 的上顶点和左焦点.点 在 上，满足 . (1)求 的方程； (2)过点 作直线 （与 轴不重合）交 于 两点，设直线 的斜率分别为 ，求证： 为 定值. 【解析】（1）因为 ，故可设 ，因为 ，故 ，即 ，解得 . 又 在椭圆 上，故 ，解得 ，故 . 又 ，故 ，故 ， . 故 的方程为 . （2）因为椭圆方程为 ，故 ，当 斜率为0时 或 重合，不满足题意， 故可设 ： .联立 可得 ，设 ，则 . 故 故定值为 (五) 与向量有关的定值问题 与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式, 再通过计算得出与向量系数有关的定值结论. 【例6】（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线 的离心率为 ， 点 在 上. (1)求双曲线 的方程. (2)设过点 的直线 与双曲线 交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为常数？若 存在，求出点 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线 的离心率为 ， 所以 ，化简得 . 将点 的坐标代入 ，可得 ，解得 ， 所以 的方程为 . （2）设 ，直线 的方程为 ，联立方程组 消去 得（1- ， 由题可知 且 ，即 且 ， 所以 . 设存在符合条件的定点 ，则 ， 所以 . 所以 ， 化简得 . 因为 为常数，所以 ，解得 . 此时该常数的值为 ， 所以，在 轴上存在点 ，使得 为常数，该常数为 . 【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知 为椭圆C： 内一定点,Q为直线l： 上一动点,直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间）,O为坐标原点.（1）当直线PQ的倾斜角为 时,求直线OQ的斜率； （2）当 AOB的面积为 时,求点Q的横坐标； （3）设 , ,试问 是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由. 【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为 ,且 , 所以直线PQ的方程为： , 由 ,得 , 所以直线OQ的斜率是 ； （2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为 , 由 ,得 , 设 ,则 , 所以 , 所以 ,解得 ,即 , 所以直线PQ的方程为 或 , 由 ,得 ； 由 ,得 ； （3）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为 , 由 ,得 , 设 ,则 , 所以 , 因为 , , 所以 , 所以 , . (六) 与代数式有关的定值问题 与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得 出定值【例8】在平面直角坐标系 中，椭圆 的右准线为直线 ，动直线 交椭圆于 两点，线段 的中点为 ，射线 分别交椭圆及直线 于点 ， 如图，当 两点分别是椭圆 的右顶点及上顶点时，点 的纵坐标为 （其中 为椭圆的离心率），且 ． (1)求椭圆 的标准方程； (2)如果 是 的等比中项，那么 是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆 的右准线为直线 ，动直线 交椭圆于 两点，当 零点分别 是椭圆 的有顶点和上顶点时，则 ，因为线段 的中点为 ，射线 分别角椭 圆及直线 与 两点，所以 ，由 三点共线，可得 ，解得 ，因为 ，所以 ，可得 ，又由 ，解得 ，所以椭圆 的标准方 程为 .（2）解：把 代入椭圆 ，可得 ，可得 ，则 ，所以 ，即 ,所以直线 的方程为 ，由 ，可得 ，因为 是 的等比中项，所以 ，可得 ，又由 ，解得 ，所以 ，此时满足 ，所以 为常数 . (六) 与定值有关的结论 1.若点A,B是椭圆C： 上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则 ； 2.若点A,B是双曲线C： 上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的 点,则 . x2 y2  1a b0 Pm,n a2 b2 3.设点 是椭圆 C： 上一定点,点 A,B 是椭圆 C 上不同于 P 的两点,若 bm2 n0 ,则直线AB斜率为定值 an2 ； x2 y2  1a 0,b0 4. 设点 Pm,n 是双曲线C： a2 b2 一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若 bm2  n0 ,直线AB斜率为定值 an2 ； Pm,n y2 2pxp0 5. 设点 是抛物线 C： 一定点,点 A,B 是抛物线 C 上不同于 P 的两点,若p  n0 n ,直线AB斜率为定值 . x2 y2  1a b0 6.设 是椭圆 a2 b2 上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点 ,则 . 7.点A,B是椭圆C： 上动点,O为坐标原点,若 ,则 = （即点 O到直线AB为定值） 8. 经过椭圆 （a＞b＞0）的长轴的两端点A 和A 的切线,与椭圆上任一点的切线相交于 1 2 P 和P,则 . 1 2 9. 过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x 轴于P,则 . 10. 点 为椭圆 (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过 引 轴、 轴的平 行线,交 轴、 轴于 ,交直线 于 ,记 与 的面积为 ,则： . 【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数 且 ,椭圆 ： ,点 是 上的动点． （1）若点 的坐标为 ,求 的焦点坐标； （2）设 ,若定点 的坐标为 ,求 的最大值与最小值；（3）设 ,若 上的另一动点 满足 （ 为坐标原点）,求证： 到直线PQ的距离是定值． 【解析】（1）∵椭圆 ： ,点 的坐标为 , ∴ , , ∴ 的焦点坐标为 ； （2）设 ,又 , 由题知 ,即 , ∴ , 又 , ∴当 时, 取得最大值为25；当 时, 取得最小值为 ； ∴ 的最大值为5,最小值为 . （3） 当 时,椭圆 ： , 设 ,当直线PQ斜率存在时设其方程为 ,则 由 ,得 , ∴ , 由 可知 ,即 , ∴ ,即 , ∴ ,可得 ,满足 ,∴ 到直线PQ的距离为 为定值； 当直线PQ斜率不存在时, ,可得直线方程为 , 到直线PQ的距离为 . 综上, 到直线PQ的距离是定值． 三、跟踪检测 1．（2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2. (1)求 的方程； (2)过点 且斜率不为0的直线 与 自左向右依次交于点 ， ，点 在线段 上，且 ， 为线段 的中点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值. 2．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线， 且过点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)已知 是双曲线 上不同于 的两点，且 于 ，证明：存在定点 ，使 为定值. 3．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C： 的焦点为F，过点 P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点． (1)求p的值；(2)是否存在定点T， 使得 为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由． 4．（2023届重庆市2023届高三上学期质量检测）已知抛物线 的焦点为F，斜率不为0 的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时， . (1)求p的值； (2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且 ，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否 为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由. 5．（2023届江苏省百校联考高三上学期考试）设 为椭圆 ： 的右焦点，过点 且与 轴不 重合的直线 交椭圆 于 ， 两点. (1)当 时，求 ； (2)在 轴上是否存在异于 的定点 ，使 为定值（其中 ， 分别为直线 ， 的斜率）？若存 在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由. 6．（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点 重合，椭圆 的长轴长为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，交抛物线 于 两点，请问是否存在实常数 ，使为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 7．（2023届江苏省南京市高三上学期数学大练）已知点B是圆C: 上的任意一点，点F（ ，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P. (1)求动点Р的轨迹E的方程; (2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A，A，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA 与E的另一 1 2 1 个交点为M，QA 与E的另一个交点为N，证明: FMN的周长为定值. 2 △ 8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆 的左､右焦点为 ， ， 且左焦点坐标为 ， 为椭圆上的一个动点， 的最大值为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： . 9．（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 离心率为 ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线 交直线 于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线 垂直的直线记为l，直线 交y轴于点P，交直线l于点Q，求证： 为定值． 10．（2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考）已知 ，直线 的斜率之 积为 ，记动点 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程;(2)直线 与曲线 交于 两点， 为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ， 证明: 的 面积为定值. 11．（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测）已知点 是椭圆 的左焦点， 是椭圆 上的任意一点， ． (1)求 的最大值； (2)过点 的直线 与椭圆 相交于两点 ，与 轴相交于点 ．若 ， ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 12．（2023届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试）已知椭圆 ： ， ，过点 的动直 线 与椭圆 交于 、 两点. (1)求线段 的中点 的轨迹方程； (2)是否存在常数，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 13．（2023届云南省下关第一中学高三上学期考试）已知椭圆 过点 ，离心 率为 ，直线 与椭圆 交于 两点，过点 作 ，垂足为C点，直线AC与椭圆 的另一个交点为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)试问 是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 14．如图,点M是圆 上任意点,点 ,线段 的垂直平分线交半径 于点P,当点M 在圆A上运动时, （1）求点P的轨迹E的方程； （2） 轴,交轨迹 于 点（ 点在 轴的右侧）,直线 与 交于 （ 不过 点）两点, 且直线 与直线 关于直线 对称,则直线 具备以下哪个性质？证明你的结论？ ①直线 恒过定点；②m为定值；③n为定值． 15．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上 的一个动点.以原点O为圆心,半径为 的圆与线段OM交于点N,作 轴于点D,作 于点Q. （1）令 ,若 , , ,求点Q的坐标； （2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程； （3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点 , ,若点E､F分别满足 , ,设直线 和 的交点为K,设直线 ： 及点 ,（其中 ）, 证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值 .