文档内容
重难点突破 16 圆锥曲线中的定点、定值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：面积定值................................................................................................................................3
题型二：向量数量积定值....................................................................................................................4
题型三：斜率和定值............................................................................................................................7
题型四：斜率积定值............................................................................................................................8
题型五：斜率比定值..........................................................................................................................10
题型六：斜率差定值..........................................................................................................................12
题型七：线段定值..............................................................................................................................13
题型八：坐标定值..............................................................................................................................15
题型九：角度定值..............................................................................................................................16
题型十：直线过定点..........................................................................................................................18
题型十一：动点在定直线上..............................................................................................................19
题型十二：圆过定点..........................................................................................................................21
03 过关测试.........................................................................................................................................221、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，
具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一个参数 ，
即可带用其他式子，消去参数 ．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程： ，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到 和 的关系： ，等式带入消参，消掉 ．
③参数无关找定点：找到和 没有关系的点．题型一：面积定值
【典例1-1】如图所示，已知椭圆 ，A，B是四条直线 ， 所围成的矩形的两个顶
点．若M，N是椭圆C上的两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求
的面积是否为定值，并说明理由．
【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线 上各点向 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为 .
(1)求 的轨迹方程；
(2) 是 上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 ，
①若 ，求 的值；
②证明：三角形 与三角形 的面积之比为定值.
【变式1-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 在椭圆 上，且
面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 相交于P，Q两点，且 ，求证： （ 为坐标原点）的面积
为定值.【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知 ，曲线 上任意一点到点 的距离是到直线 的距离的两
倍.
(1)求曲线 的方程；
(2)已知曲线 的左顶点为 ，直线 过点 且与曲线 在第一、四象限分别交于 ， 两点，直线 、
分别与直线 交于 ， 两点， 为 的中点.
（i）证明： ；
（ii）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 是否为定值？若是，求出这个定值；
若不是，请说明理由.
【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知 ， ，平面上有动点 ，且直线 的斜率与直
线 的斜率之积为1.
(1)求动点 的轨迹 的方程.
(2)过点A的直线与 交于点 （ 在第一象限），过点 的直线与 交于点 （ 在第三象限），记直
线 ， 的斜率分别为 ， ，且 .试判断 与 的面积之比是否为定值，若为定值，
请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
题型二：向量数量积定值
【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆 ： ， ，过点 的动直线 与椭
圆 交于 、 两点.
(1)求线段 的中点 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线
与椭圆 有且仅有一个公共点，直线 ，垂足分别为点 .
(1)求证： ；
(2)求证： 为定值，并求出该定值；
【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的两
个端点的连线构成一个正方形.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ，过椭圆 的右焦点 作直线 交 于 、 两点，试问： 是否为定值？若是，求
出这个定值；若不是，请说明理由.【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交
直线 （ ）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线 于R，若 OMQ， ONR
△
的面积之和为 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若 ， ， ， ，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线
l，使 为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴的
两个端点为 ，且四边形 是边长为2的正方形. 分别是椭圆的左右顶点，动点 满足
，连接 ，交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证： 为定值.
【变式2-4】已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，且 ，以
为圆心， 为半径的圆 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ，
（ⅰ）设点 在第一象限，且直线 与 交于 .若 ，求 的值；
（ⅱ）连接 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，且 为定值，已知点 在定直线上，求 所
在定直线方程.题型三：斜率和定值
【典例3-1】已知椭圆 与双曲线 的离心率的平方和为 .
(1)求 的值；
(2)过点 的直线 与椭圆 和双曲线 分别交于点 ， ， ， ，在 轴上是否存在一点 ，直
线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，使得 为定值？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆 的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构
成等边三角形.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ，过点 的两条直线 和 分别交椭圆 于点 和点 （ 和 .不重合），直线 和 的
斜率分别为 和 .若 ，判断 是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.
【变式3-1】椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且椭圆 经过点 ，直线
（ ）与 交于 ， 两点（异于点 ）.
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 与直线 的斜率之和为定值，并求出这个定值.
【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，左顶
点为A，则上顶点为 ，且 的方程为 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 是直线 上一点，过点 的两条不同直线分别交 于点 ， 和点 ， ，且 ，求
证：直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值.
题型四：斜率积定值
【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线 的左焦点为F，左顶点为
E，虚轴的上端点为P，且 ， ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设 是双曲线C上不同的两点，Q是线段 的中点，O是原点，直线 的斜率分别为
，证明： 为定值．
【典例4-2】已知椭圆 ，过点 ， ， 分别是 的左顶点和下顶点， 是
右焦点， .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于不同的两点 ， .设直线
， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【变式4-1】已知椭圆 左右焦点 分别为椭圆 的左右
顶点，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，交椭圆 于点 ，且 与 的
周长之差为 .(1)求椭圆 与椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定
值.
【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线 的左､右焦点 ， 分别为双
曲线 的左､右顶点，过点 的直线分别交双曲线 的左､右两支于 两点，交双曲线
的右支于点 （与点 不重合），且 与 的周长之差为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 交双曲线 的右支于 两点.
①记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；
②试探究： 是否为定值？并说明理由.
x2 y2
【变式4-3】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)过点 ，且离心率为 .
a2 b2
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过点 且斜率不为0的直线 与双曲线 的左右两支交于 ， 两点.问：在 轴上是否存在定点
，使直线 的斜率 与 的斜率 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.题型五：斜率比定值
【典例5-1】设抛物线 的焦点为 ，点 ，过点 且斜率存在的直线交 于不同的
两点，当直线 垂直于 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，设直线 的斜率分别为 ，证明：
（ⅰ） 为定值；
（ⅱ）直线 恒过定点.
【典例5-2】如图所示，已知点 ，F是椭圆 的左焦点，过F的直线与椭圆交于 两点，
直线 分别与椭圆交于 两点．
(1)证明：直线 过定点．
(2)证明：直线 和直线 的斜率之比为定值．
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图， 轴，垂足为D，点P在线段 上，且 ．(1)点M在圆 上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为 ，过点 作一条直线与 相交于 两点，与直线 交于
点Q．记 的斜率分别为 ，证明： 是定值．
【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆 的离心率为 ，中心是坐标原点 ，焦点在 轴上，右焦点
为F，A、B分别是 的上、下顶点. 的短半轴长是圆 的半径，点 是圆 上的动点，且点 不在 轴
上，延长BM与 交于点 的取值范围为 .
(1)求椭圆 、圆 的方程;
(2)当直线BM经过点 时，求 的面积;
(3)记直线AM、AN的斜率分别为 ，证明: 为定值.
【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点 ，动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，
动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程：
(2)直线 与曲线 交于 两点，且 交 于点 ，求定点 的坐标，使 为定
值；
(3)过（2）中的点 作直线交曲线 于 两点，且两点均在 轴的右侧，直线 的斜率分别为
，求 的值．题型六：斜率差定值
【典例6-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，D为椭圆C的右顶
点，且 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，过点 的直线与椭圆C交于A，B两点（A点在B点左侧），直线AM与直线
交于点N，设直线NA，NB的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【典例6-2】已知双曲线 经过点 ，右焦点为 ，且 成等差数
列.
(1)求 的方程；
(2)过 的直线与 的右支交于 两点（ 在 的上方）， 的中点为 在直线 上的射影为
为坐标原点，设 的面积为 ，直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值，如果
是，求出该定值，如果不是，说明理由.
【变式6-1】已知椭圆 的离心率为 ，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交
于点Q，直线BP交x轴于点N．(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证： 为定值，并求出此定值（其中 、 分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点
在双曲线 上．过 的左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定值．
题型七：线段定值
【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆 ： .
(1)若椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，求证： ；
(2) 为直线 ： 上的一个动点， ， 为椭圆 的左、右顶点， ， 分别与椭圆 交于 ， 两
点，证明 为定值，并求出此定值.
【典例7-2】如图，已知圆 ，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为
，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若 ， ，试探究
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点 作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得 .且 ，点D为
垂足，证明：存在定点F，使得 为定值.
【变式7-1】已知点 在曲线 上， 为坐标原点，若点 满足 ，记动点 的轨
迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)设 是上 的两个动点，且以 为直径的圆经过点 ，证明： 为定值．
【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系 中，动点 满足
，点P的轨迹为C，过点 作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
(1)求轨迹C的方程；
(2)求 面积的取值范围；
(3)若直线l与直线 交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，
T，证明： 为定值．【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 ，动点 满足 ，
动点 的轨迹为曲线 交 于另外一点 交 于另外一点 .
(1)求曲线 的标准方程;
(2)已知 是定值，求该定值;
题型八：坐标定值
【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
上顶点为 ， ， 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2) 是 上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线 过点 且与 交于 ， 两点（均异于点 ），
点 在 上，设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ，问点 的横坐标是否为定
值？若为定值，求出点 的横坐标；若不为定值，请说明理由.
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，
对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图， ， 分别为抛物线
y2=2px(p>0)的切线三角形和切点三角形， 为该抛物线的焦点．当直线 的斜率为 时， 中点
的纵坐标为 ．
(1)求 ．(2)若直线 过点 ，直线 分别与该抛物线的准线交于点 ，记点 的纵坐标分别为 ，
证明： 为定值．
(3)若 均不与坐标原点重合，证明：
【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点 与两定点 ， 连线的斜率之积为3．
(1)求动点 的轨迹 的方程：
(2)过点 的直线与轨迹 交于 ， 两点，点 ， 均在 轴右侧，且点 在第一象限，直线 与
交于点 ，证明：点 横坐标为定值．
题型九：角度定值
【典例9-1】抛物线 ： 的焦点为 ，直线 的倾斜角为 且经过点 ，直线 与抛物线
交于两点 ， .
（1）若 ，求角 ；
（2）分别过 ， 作抛物线 的切线 ， ，记直线 ， 的交点为 ，直线 的倾斜角为 .试探究
是否为定值，并说明理由.
【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C： 的离心率为 ，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线 与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线 ， 分
别与直线 交于M，N两点，试问 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ，
， 为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公
式，该变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，
矩阵通常用大写英文字母 ， ，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.
【变式9-2】已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为
直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，
BP分别与y轴交于点M，N.求证： 为定值.题型十：直线过定点
【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M经过定点 ，且与圆 内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值；
（ii）设直线 ，证明：直线PQ过定点.
【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E恒过定点 ，且与直线 相切，记圆心E的轨迹为
，直线 与 相交于A，B两点，直线 与 相交于C，D两点，且
，M，N分别为弦 的中点，其中A，C均在第一象限，直线 与直线 的交点为G．
(1)求圆心E的轨迹 的方程；
(2)直线 是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．
【变式10-1】（2024·江西·二模）已知 ， ，M是圆O： 上任意一点， 关于点
M的对称点为N，线段 的垂直平分线与直线 相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设 （ ）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直
线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
【变式10-2】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： ，F是椭圆的右焦点且椭圆C
与圆M： 外切，又与圆N： 外切．(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，
E两点，证明：直线DE过定点．
题型十一：动点在定直线上
【典例11-1】已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的上、下顶点， 为坐标
原点，直线 与 交于不同的两点 ， ．
(1)设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上．
【典例11-2】已知椭圆 经过点 ，离心率 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 且倾斜角为 的直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 为椭圆 上任意一点，求
面积的最小值.(3)如图，过点 作两条直线 分别与椭圆 相交于点 ，设直线 和 相交于点 .
证明点 在定直线上.
【变式11-1】已知A，B分别是双曲线 的左、右顶点，P是C上异于A，B的一
点，直线PA，PB的斜率分别为 ，且 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点 的直线 ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【变式11-2】已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 作 轴的垂线交椭圆 于点 ．
过点 作椭圆 的切线，交 轴于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)过点 的直线（非 轴）交椭圆 于 、 两点，过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，求证：线段
的中点在定直线上．
【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴， 、
是椭圆上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为 和 ，M，N为椭圆上异于 、 的两点，直线MN不过原点且不与坐标
轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线 与直线 相交于点T．
（i）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的最小值；（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．
题型十二：圆过定点
【典例12-1】已知椭圆 的离心率为 ， 、 分点是椭圆 的左、右顶点， 是
椭圆 上不同于 、 的一点， 面积的最大值是2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记直线 、 的斜率分别为 、 ，且直线 、 与直线 分别交于 、 两点．
①求 、 的纵坐标之积；
②试判断以 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线 上的两点 的横坐标分别为
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的直线 与抛物线 交于点 ，问：以 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.
【变式12-1】已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，点 是椭圆上异于顶点的任意
一点，过点 作椭圆的切线 ，交 轴于点A，直线 过点 且垂直于 ，交 轴于点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 在 上，直
线 ∶ 与 相交于 两点，过 分别向 的准线 作垂线，垂足分别为 .
(1)设 的面积分别为 ，求证： ；
(2)若直线 ， 分别与 相交于 ，试证明以 为直径的圆过定点 ，并求出点 的坐标.
1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点 对应的复数 满足 ，设点 的运动轨迹为
．点 对应的数是0．
(1)证明 是一个双曲线并求其离心率 ；
(2)设 的右焦点为 ，其长半轴长为 ，点 到直线 的距离为 （点 在 的右支上），证明：
；
(3)设 的两条渐近线分别为 ，过 分别作 的平行线 分别交 于点 ，则平行四
边形 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
2．（2024·湖南常德·三模）已知O为坐标原点，椭圆C： 的上、下顶点为A、B，椭圆上
的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 ，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四
边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.3．已知一张纸上画有半径为 的圆 ，在圆 内有一个定点 ，且 ，折叠纸片，使圆上某一点
刚好与 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当 取遍圆上所有点时，所有折痕与
的交点形成的曲线为 ．
(1)若曲线 的焦点在 轴上，求其标准方程；
(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线 恒有两个交点 ，
且 ，（ 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（1）的条件下， 是曲线 上异于上顶点 、下顶点 的任一点，直线 分别交 轴于点
，若直线 与过点 的圆 相切，切点为 ，证明：线段 的长为定值，并求出定值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，短轴长为 ，左、右焦点分别为 ， ，
P是椭圆C上的一个动点， 面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求 的取值范围；
(3)过椭圆的左顶点A作直线 轴，M为直线l上的动点，B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点Q．
试判断数量积 ， 是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系 中，双曲线 的上
下焦点分别为 ， . 已知点 和 都在双曲线上， 其中 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;
(2)设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 .
(i) 若 ，求直线 的斜率；
(ii) 求证： 是定值.
6．已知椭圆 ，设动点P满足 ，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜
率之积为 ．问：是否存在两个点 ， ，使得 为定值？若存在，求 ， 的坐标；若不存
在，请说明理由．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线 的实轴长为2，设 为 的右焦点，
为 的左顶点，过 的直线交 于A，B两点，当直线AB斜率不存在时， 的面积为9．
(1)求 的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线 于P，Q两点，设 为线段PQ的中点，
记直线AB，FM的斜率分别为 ，证明： 为定值．
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线 上一点，且
．
(1)求抛物线 的方程．
(2)若 是抛物线 上一点，过点 的直线与拋物线 交于 两点（均与点 不重合），
设直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，椭圆 的焦距是
2， （异于 ）是椭圆 上的动点，直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点 ，使得
为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线 ： ，圆 ： ， 为坐标原点.
(1)若直线 ： 分别与抛物线 相交于点A， （ 在B的左侧）、与圆 相交于点S，
（S在 的左侧），且 与 的面积相等，求出 的取值范围；
(2)已知 ， ， 是抛物线 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中 ， 均与圆 相切，
请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
11．设椭圆 ， ， 分别是C的左、右焦点，C上的点到 的最小距离为1，P是
C上一点，且 的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：
为定值．
12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，且 为线段ST的中点.
（i）证明：直线 与曲线 有且仅有一个交点；
（ii） 求证： 是定值.
13．（2024·湖北·模拟预测）已知 为抛物线 ： 的焦点， ， ， 是 上三个不同的点，
直线 ， ， 分别与 轴交于 ， ， ，其中 的最小值为4.
(1)求 的标准方程；
(2) 的重心 位于 轴上，且 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ， 是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由.
14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆 过定点 且与直线 相切，记圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)已知 、 两点的坐标分别为 、 ，直线 、 的斜率分别为 、 ，证明： ；
(2)若点 、 是轨迹 上的两个动点且 ，设线段 的中点为 ，圆 与动点
的轨迹 交于不同于 的三点 、 、 ，求证： 的重心的横坐标为定值．
15．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）椭圆 的焦点为 和 ，短轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆上、下顶点分别为 、 ，过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点（不与 、 两点重
合）.
①求证： 与 的交点的纵坐标为定值；
②已知直线 ，求直线 、 、 围成的三角形面积最小值.16．已知圆 ： ， 为圆心，动直线 过点 ，且与圆 交于 ， 两点，记弦 的
中点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过 作两条斜率分别为 ， 的直线，交曲线 于 ， 两点，且 ，求证：直线 过定点．
17．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点.以 的一个顶点和两个焦点为
顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 .
(1)求栯圆 的方程；
(2)设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆 交于不同的两点 ，与直线 交于点 .点
在 轴上， 为坐标平面内的一点，四边形 是菱形.求证：直线 过定点.
18．已知圆 ，圆 动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹
为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设不经过点 的直线 与曲线 相交于 两点，直线 与直线 的斜率均存在且斜率之和为
，直线 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
19．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，过 分别作 轴的垂线，垂足为点，求证：直线 与 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
