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格致课堂
第六章 平面向量
一、单选题
1．已知向量 ，向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ，
则：向量 在向量 方向上的投影为 .
本题选择B选项.
2．已知向量⃗a=(1，2)，⃗b=(x ，4) ，若向量 ，则x=（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
【答案】D
【解析】 . ，故选D.
3．已知向量 ，且 ，则
A． B．
C． D．5
【答案】B
【解析】根据题意可得 ，可得 ，
所以 ，从而可求得 ，故选B.
4．在四边形ABCD中， ， ， ，那么四边形ABCD的形状是
（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对
【答案】C格致课堂
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，由题知 ，四边形
ABCD是梯形.
故选：C.
5．已知 分别是 的三个内角所对的边，满足 ，则 的形状是（
）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理得： ,又 ，
所以有 ，即 .
所以 是等边三角形.
故选C
6．已知点 若点 在直线 上，则实数 （ ）
A．－12 B．13 C．－13 D．12
【答案】C
【解析】向量 共线， ，选C
7．设 的内角 所对边的长分别为 , 若 且 的面积为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
1 1
【解析】∵ ，且 的面积为2，∴S = ×a×c×sinB=2，即 ×1×4√2×sinB=2，
Δ 2 2
√2
∴sinB= ，∴∠B=450或1350，当B=135°时AC2=12+(4√2) 2-2×1×4√2×cos1350=41，
2格致课堂
AC=√41，6＜AC＜7，a+c=1+4√2＜6＜AC（舍）∴
AC AB 5 4√2
AC2=12+(4√2) 2-2×1×4√2×cos450=25，即AC=5，∴ = ，即 = ，∴
sinB sinC sin450 sinC
4
sinC= ．
5
8．已知球 的半径为 ， 、 是球面上的两点，且 ，若点 是球面上任意一点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，取线段 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，可知 ，
由勾股定理可得 ，且有 ，
由向量的加法法则可得 ， ，
.
，由向量的三角不等式可得 ，
，所以， .
因此， 的取值范围是 .
故选：B.
二、多选题格致课堂
9．下列四式中能化简为⃗AD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】 ，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：AD．
10．已知非零向量 ， ， ， 满足 ， ，则以下结论正确的是（ ）
A．若 与 不共线， 与 共线，则
B．若 与 不共线， 与 共线，则
C．存在k，使得 与 不共线， 与 共线
D．不存在k，使得 与 不共线， 与 共线
【答案】AD
【解析】非零向量 ， ， ， 满足 ，
若 与 不共线， 与 共线，可得 ，即 ， ，解得 ．所以A正确，
B错误．
若 与 共线，可得 ， ， ，
可得 与 共线，所以C错误，D正确．格致课堂
故选:AD．
11．若点D，E，F分别为 的边BC，CA，AB的中点，且 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】如图，
在 中， ，故A正确；
，故B正确；
， ，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABC
12．在 中，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 定为等腰三角形格致课堂
C．若 ，则 定为直角三角形
D．若三角形的三边的比是 ，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ACD
【解析】在 中，若 ，则 ，因此 ，A正确；
若 ，则 或 ，
即 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，B错误；
若 ，
则 ，
所以 ，即 ， ，
所以 定为直角三角形，C正确；
三角形的三边的比是 ，设最大边所对的角为 ，
则 ，因为 ，
所以 ，D正确.
故选:ACD.
三、填空题
13．在ΔABC中，已知三边a,b,c满足b2+a2-c2=√3ab，则∠C= ．
π
【答案】
6
a2+b2-c2 √3ab √3
【解析】试题分析：∵b2+a2-c2=√3ab，∴cos∠C= = = ，
2ab 2ab 2格致课堂
π
所以在ΔABC中∠C= ．
6
5π
ΔABC A,B,C a,b,c a=3√3,c=2,B= 6 b
14．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 ＝ ．
【答案】
【解析】由余弦定理得 ，所以 ．
15．在平行四边形 中， ，则 __________．
【答案】-7
【解析】在平行四边形ABCD中， ，
，
则 .
16．若正方形 的边长为1，且 则 .
【答案】5
【解析】由题意可知：
，所以 .
四、解答题
17．已知向量 、 满足： ， ， .
求：（1）向量 与 的夹角；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设向量 与 的夹角为 ，⃗a∙⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ=6cosθ，格致课堂
∴⃗a∙(⃗b-⃗a)=⃗a∙⃗b-⃗a2=6cosθ-1=2，解得 ，∵θϵ[0,π]， ；
（2）|2⃗a-⃗b|=√(2⃗a-⃗b) 2 =√4⃗a2-4⃗a∙⃗b+⃗b2=√4-12+36=2√7.
18．如图所示，平行四边形AOBD中，设向量 ， ，且 ， ，用
表示 、 、 ．
1 5 2 2 1 1
【答案】⃑OM= ⃑a+ ⃑b,⃑ON= ⃑a+ ⃑b,⃑MN= ⃑a- ⃑b
6 6 3 3 2 6
【解析】 ＝ － ＝⃑a－⃑b
1 5
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ⃑a+ ⃑b.
6 6
2 2
又 ＝⃑a＋⃑b. ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ⃑a+ ⃑b，
3 3
1 1
∴ ＝ － ＝ ⃑a＋ ⃑b－ ⃑a－ ⃑b＝ ⃑a- ⃑b.
2 6
19．已知： 是 的内角， 分别是其对边长，向量
， （1）求角 的大小；
（2）若， ，求 的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵ ， ，格致课堂
∴ ，即 ，
整理得： ，即 ，
∴ ，则 ；
（2）由 ，得到 ，∵ ，
∴由正弦定理 得： .
20．已知向量 ，求：
(1) ；(2) 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，
解得sin α＝ .又因为α∈(0， )，所以cos α＝ ，tan α＝ ，
所以a＋b＝(7,1)，因此|a＋b|＝ .
(2)cos(α＋ )＝cos αcos －sin αsin .
21．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；格致课堂
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）根据正弦定理 ，故
根据余弦定理 ，故 ， .
（2） ， ，
即 ，故周长为
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量 与向量 共线.
（1）求B；
（2）若 ， ，且⃗AD=2⃗DC，求BD的长度.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵ 与 共线，∴ .
即 ，∴
即 ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ .
（2） ， ， ，在△ABC中，由余弦定理得：
，∴ .
则 或 （舍去）.格致课堂
∴ ，∵⃗AD=2⃗DC∴ .
在△BDC中，由余弦定理得：
，
∴ .
